电通量、高斯定理

1、上节回顾：上节回顾： 1. 库仑定律库仑定律-点电荷之间的相互作用规律点电荷之间的相互作用规律 2. 库仑力的叠加原理：库仑力的叠加原理：即多个电荷同时作用力等于每个电荷即多个电荷同时作用力等于每个电荷 =单独作用力之矢量和。单独作用力之矢量和。 3. 电场强度电场强度描述电场强弱的物理量描述电场强弱的物理量 单位正电荷在电场中单位正电荷在电场中 某点所受到的电场力某点所受到的电场力 （1）点电荷产生的电场强度）点电荷产生的电场强度 ., , 321 qqq （2）点电荷系）点电荷系 产生的电场中的场强产生的电场中的场强 （3）任意带电体）任意带电体(连续带电体连续带电体)电场中的场强电场中的

2、场强 4. 电场强度的计算电场强度的计算 场强叠加原理场强叠加原理 0 q F E 定义式定义式 （下一页）（下一页） (1)无限长均匀带无限长均匀带 电细棒的场强电细棒的场强 5. 几个常用的电场公式几个常用的电场公式 y E 0 2 (2)圆环在其中轴线上圆环在其中轴线上 任意点产生的场强任意点产生的场强2 3 22 0 )(4xR qx E (3)无限大均匀带电无限大均匀带电 平面产生的场强平面产生的场强 0 2 E （下一页）（下一页） 内容回顾内容回顾 1 q 12 r 21 F 12 F 2 q 12 2 12 21 12 r r qq kF 2、电场强度的定义、电场强度的定义 0

3、 q F E 3、电场强度的计算、电场强度的计算 （1）点电荷产生的电场强度）点电荷产生的电场强度 r r q q F E 4 2 00 0q 0q 1、 库仑定律库仑定律 （下一页）（下一页） ., , 321 qqq （2）点电荷系）点电荷系 产生的电场中的场强计算产生的电场中的场强计算 2 r 1 r 3 r 3 q 2 q 1 q p 1 E 2 E 3 E E n i i i i n i i r r q EE 1 2 0 1 4 1 （3）任意带电体电场中的场强计算）任意带电体电场中的场强计算 r r dq EdE 4 1 2 0 Ed dq r （下一页）（下一页） 带电体在电场中

4、所受的电场力带电体在电场中所受的电场力 电场强度的定义电场强度的定义 0 q F E 1、点电荷所受的电场力、点电荷所受的电场力 EqF 0 q F 0 q F 点电荷在电场中所受的力大小等点电荷在电场中所受的力大小等 于于qE，方向取决与电量的正负方向取决与电量的正负 2、带电体所受的电场力、带电体所受的电场力 迭加原理迭加原理 F d dq EqF dd qEFF VV dd （下一页）（下一页） 1. 电场线、电（电场线、电（E）通量、高斯定理通量、高斯定理 2. 利用高斯定理求静电场的分布利用高斯定理求静电场的分布 教学要求教学要求: 理解电（理解电（E）通量的概念通量的概念, 会计算

5、均匀场及较简会计算均匀场及较简 单电场中简单曲面的电（单电场中简单曲面的电（E）通量通量; 2. 理解高斯定理的物理意义理解高斯定理的物理意义, 能用高斯定理分析较简能用高斯定理分析较简 单的有关的问题单的有关的问题; 3. 能用高斯定理计算球对称分布的带电体产生的电场。能用高斯定理计算球对称分布的带电体产生的电场。 本讲内容：本讲内容： 本讲重点：电通量概念及高斯定理的应用。本讲重点：电通量概念及高斯定理的应用。 （下一页）（下一页） 8-4 电场强度通量电场强度通量 高斯定理高斯定理 1 电场线的电场线的 定义：定义： 一、一、 电场线（电场线（E 线）线） (1)方向方向: 电场线上各点

6、的电场线上各点的切线方向切线方向表表 =表示电场中表示电场中该点场强的方向。该点场强的方向。 1 E 2 E 3 E 2. 电场线示例（看电场线示例（看P17图图8-16） 场强就等于电场线的面密度场强就等于电场线的面密度 dSdNE E dS 显然，电场线密集处场强大。显然，电场线密集处场强大。 (2) 密度密度: 穿过垂直于该点场强方向的单穿过垂直于该点场强方向的单 =位面积上的电场线的条数（位面积上的电场线的条数（电场线的电场线的 =面密度）面密度）等于该点的等于该点的场强的大小场强的大小。 均匀电场的电场线是平行直线均匀电场的电场线是平行直线. （下一页）（下一页） （下一页）（下一页

7、） 3. 电场线的性质：电场线的性质： 2）电场线不会在无电荷的地方中断；电场线不会在无电荷的地方中断； 3）电场线不会在无电荷的地方相交；电场线不会在无电荷的地方相交； 4）静电场的电场线不会形成闭合曲线静电场的电场线不会形成闭合曲线 （感应电场的电场线都是闭合曲线）。（感应电场的电场线都是闭合曲线）。 E qq 1 、电（、电（E）通量的定义通量的定义 二、二、 电（电（E）通量通量 1）静电场的电场线起于正电荷，）静电场的电场线起于正电荷， =终止于负电终止于负电 荷；电荷是电场线荷；电荷是电场线 =的的“源源”和和“尾尾” 通过任一曲面的电场线通过任一曲面的电场线 的条数称为通过这一曲

8、的条数称为通过这一曲 面的面的电通量电通量。用。用 表示表示 e 类比类比: 场强场强E 相当于水流密度相当于水流密度, 电通量电通量 相当于通相当于通 过某过某 一截面的水流量一截面的水流量. e E dS dSdNE （下一页）（下一页） 2. 电电（E）通量的计算通量的计算 (1)均匀电场中电通量的计算均匀电场中电通量的计算 S 的投影面积的投影面积 曲曲 面面 S 电场线电场线 SE e 即：场强与曲面在垂直于电场线即：场强与曲面在垂直于电场线 方向的投影面积之乘积方向的投影面积之乘积 （2）非均匀电场中电通量的计算非均匀电场中电通量的计算 难点：曲面上难点：曲面上 各点的场强大各点的

9、场强大 小与方向均是小与方向均是 变化的。变化的。 对策：将曲面对策：将曲面 分割成若干小分割成若干小 面元，先求每面元，先求每 一面元的电通一面元的电通 量，再利用积量，再利用积 分求得整个曲分求得整个曲 面的电通量。面的电通量。 （下一页）（下一页） 小面元上的电通量计算小面元上的电通量计算 要点：小面元可视为小平面，要点：小面元可视为小平面， 其上的场强可视为均匀场。其上的场强可视为均匀场。 E n dS dS dS dS 面元在垂直于场强方向面元在垂直于场强方向 的投影是的投影是 ， dS通过它的电通量等于面元通过它的电通量等于面元 的电通量的电通量, 又又 cos)cos(dSnEd

10、SdS cosEdSEdSd e 定义：定义：矢量面元：矢量面元： ndSSd 大小等于面元的面积，方向取其法线方向。大小等于面元的面积，方向取其法线方向。 因此通过面元的电通量可表示为：因此通过面元的电通量可表示为：SdEd e Sd （下一页）（下一页） 小面元上的电通量的正与负小面元上的电通量的正与负 cosEdSSdEd e E n 0ed 2 E n 0 e d 2 E n 0 e d 2 通过任一曲面通过任一曲面S 的电通量：的电通量： SS ee SdEd （下一页）（下一页） 通过任一闭合曲面通过任一闭合曲面S的电通量：的电通量： S e SdE 闭合曲面法线方向的规定闭合曲面

11、法线方向的规定： 外法线方向外法线方向(自内向外自内向外) 为正。为正。 n 注意：电通量是一个代数量，可正可负；注意：电通量是一个代数量，可正可负； 取决于对曲面法线正方向的规定。取决于对曲面法线正方向的规定。 对于上面的规定，电力线穿出闭合曲面电通量为正；对于上面的规定，电力线穿出闭合曲面电通量为正； =电力线穿入闭合曲面电通量为负。电力线穿入闭合曲面电通量为负。 （下一页）（下一页） 电通量的计算示例：电通量的计算示例：计算通过以点电荷计算通过以点电荷 q 为球心，为球心， 以以 r 为半径的闭合球面的电通量。为半径的闭合球面的电通量。 2 4 rESE e 2 0 4r q E 2 0

12、 2 4 4 r q rSE e E S r 解：解：先按先按“水流量水流量”的类比来计算。由于球面上各点的类比来计算。由于球面上各点 的的= “水流密度水流密度” E 大小相等，方向均与曲面垂直大小相等，方向均与曲面垂直 ，=故通过球面的故通过球面的“水流量水流量” 为：为： 0 q （下一页）（下一页） 再按电通量的定义来计算：再按电通量的定义来计算： cosEdSSdE e E S r Sd 0 2 2 0 4 4 q r r q dSE e 两种方法求得的结果相同。两种方法求得的结果相同。 讨论：讨论： 1）在此情况下，通过球面的）在此情况下，通过球面的 =电通量与球面的半径无关；电通

13、量与球面的半径无关； 2）通过球面的电通量的正负由球面内的电）通过球面的电通量的正负由球面内的电 =荷的正负决定；正电荷是电场线的荷的正负决定；正电荷是电场线的“源源” ，=负电荷是电场线的负电荷是电场线的“尾闾尾闾”。 按照面元矢量的定义，如图所示任取面元矢量按照面元矢量的定义，如图所示任取面元矢量 ， 由于由于 与与 E方向相同，故夹角为零。而在球面上方向相同，故夹角为零。而在球面上E为为 常数，可提到积分号外。因此有：常数，可提到积分号外。因此有： Sd Sd （下一页）（下一页） 3）从闭合曲面内从闭合曲面内穿出穿出的一条电场线产生的一条电场线产生正正一单位的一单位的 = 电通量电通量

14、; 从外面从外面穿入穿入闭合曲面的一条电场线产闭合曲面的一条电场线产 = 生生负负一单位的电通量。一单位的电通量。 问题：问题： 通过静电场中通过静电场中任意任意闭合曲面的电通闭合曲面的电通 量应如何计算？有什么意义？量应如何计算？有什么意义？ 下一页看下一页看 三、静电场的高斯定理三、静电场的高斯定理 e 0 静电场中任何一闭合曲面静电场中任何一闭合曲面 S 的电通量的电通量 ，等于，等于 该曲面所包围的电荷的代数和的该曲面所包围的电荷的代数和的 分之一倍。分之一倍。 （闭合曲面内） i S e qSdE 0 1 数学表达式：数学表达式： 证明：可用库仑定律和叠加原理分步证明之。证明：可用库

15、仑定律和叠加原理分步证明之。 通过通过 以点电荷以点电荷q为球心的任意闭为球心的任意闭 合球面的电通量均为合球面的电通量均为 ; 0 q 2. 通过包围点电荷通过包围点电荷q在内的任意闭在内的任意闭 合曲面的电通量均为合曲面的电通量均为 ; 0 q E S r Sd （下一页）（下一页） 由由电场线的连续性电场线的连续性可知，可知， 一根电场线穿入必穿出，产生一根电场线穿入必穿出，产生 的电通量恰好抵消。的电通量恰好抵消。 所以当所以当 闭合曲面内无电荷时，电通量闭合曲面内无电荷时，电通量 必为零。必为零。 3 .闭合曲面外的点电荷对闭合曲面闭合曲面外的点电荷对闭合曲面 电通量的贡献等于零。电

16、通量的贡献等于零。 4. 多个点电荷的电通量等于它们多个点电荷的电通量等于它们 单独存在时的电通量的代数和。单独存在时的电通量的代数和。 E q dS dS eneee 21i q 2 q 1 q （下一页）（下一页） E 1) 高斯定理中的场强高斯定理中的场强 是由是由全部电荷全部电荷产生的产生的; 2) 闭合曲面的闭合曲面的电通量只决定于它所包含的电通量只决定于它所包含的 电荷电荷。 ） 内 （闭合曲面内） qqSdE i S e ( 1 0 5. 静电场中任意闭合曲面静电场中任意闭合曲面 =的电通量的电通量, 等于该闭曲等于该闭曲 =面内包围的电荷的代数面内包围的电荷的代数 =和除以和除

17、以 ; 与闭合曲与闭合曲 =面外的电荷无关面外的电荷无关. 0 out q2 i q 2 q 1 q out q 1 out q3 内 q 外 q 两两 点点 说说 明明 （下一页）（下一页） 附附 对于静止电荷的电场，库仑定律和高斯定律对于静止电荷的电场，库仑定律和高斯定律 =等价。等价。 高斯定理的用途：高斯定理的用途： 当电荷分布具有某种对称性时，可用高斯定理求当电荷分布具有某种对称性时，可用高斯定理求 出该电荷系统的电场的分布。比其他方法简便。出该电荷系统的电场的分布。比其他方法简便。 当已知场强分布时，可用高斯定理求出任一区域当已知场强分布时，可用高斯定理求出任一区域 的电荷、电位分

18、布。的电荷、电位分布。 对于运动电荷的电场，库仑定律不再正确，对于运动电荷的电场，库仑定律不再正确， =而高斯定理仍然有效。而高斯定理仍然有效。 （下一页）（下一页） 四、高斯定理的应用四、高斯定理的应用计算电场强度分布计算电场强度分布 曲曲面面内内 i qEdSSdE 0 1 cos 曲曲面面内内 i qdSE 0 1 cos 注意：这样注意：这样 求得的是高求得的是高 斯面处的场斯面处的场 强！强！ 当当场源电荷分布具有某种对称性时场源电荷分布具有某种对称性时，选取一个，选取一个 适当的曲面适当的曲面高斯面高斯面，使该曲面上的场强大小处处，使该曲面上的场强大小处处 相等，则面积分相等，则面

19、积分 中的中的E为常量，故有：为常量，故有： S Edscos 0 / cos 1 曲曲面面内内 i q dS E （下一页）（下一页） 例一、例一、 用高斯定理求点电荷的场强分布用高斯定理求点电荷的场强分布 0 2 4cos q rEdSEdSESdE SSS e 2 0 4r q E 再考虑到场强的方向，则有：再考虑到场强的方向，则有： 点电荷的场具有以点电荷为中心的球对称性，即点电荷的场具有以点电荷为中心的球对称性，即 在以点电荷为球心的任意球面上，场强的大小相等，在以点电荷为球心的任意球面上，场强的大小相等， 方向应沿半径方向指向外。故选以点电荷为球心，方向应沿半径方向指向外。故选以点

20、电荷为球心， 任任 一长度一长度 r 为半径的球面为高斯面。则有：为半径的球面为高斯面。则有： 0 2 0 4 r r q E （下一页）（下一页） 例二、试求均匀带电的球面内外的场强分布。例二、试求均匀带电的球面内外的场强分布。 设球面半径为设球面半径为 R，所带总电量为所带总电量为 Q。 解：解： 它具有与场源同心的球面对称性。故选同心球面为高它具有与场源同心的球面对称性。故选同心球面为高 斯面。场强的方向沿径向，且在球面上场强处处相等。斯面。场强的方向沿径向，且在球面上场强处处相等。 当当 时高斯面时高斯面1内电荷为内电荷为Q，所以所以 Rr ， 0 2 4 Q rEdSESdE SS

21、e Rrr r Q E 4 2 0 RrE0 当当 时高斯面时高斯面2内电荷为内电荷为 0 Rr E Q 均匀带电球壳均匀带电球壳 R 场源的对称性决定着场强分布的对称性。场源的对称性决定着场强分布的对称性。 首先考虑球面外任意点首先考虑球面外任意点P 的场强。的场强。 高斯面高斯面1 r p 再考虑球面内任意点再考虑球面内任意点P 的场强。的场强。 高斯面高斯面2 p （下一页）（下一页） 结果表明：结果表明： 均匀带电球壳外的场强分均匀带电球壳外的场强分 布正象球面上的电荷都集布正象球面上的电荷都集 中在球心时所形成的点电中在球心时所形成的点电 荷在该区的场强分布一样。荷在该区的场强分布一

22、样。 在球面内场强均为零。可在球面内场强均为零。可 用右面的图表示。用右面的图表示。 E Q R r 0 ; 4 2 0 Rrr r Q E当 ; 0RrE当 均匀带电的球面均匀带电的球面 内外的场强分布内外的场强分布 （下一页）（下一页） 例三、求均匀带电的球体内外的场强分布。设球体例三、求均匀带电的球体内外的场强分布。设球体 = 半径为半径为R，所带总带电为所带总带电为Q r R Qr E 4 3 0 inside S s QrEdSESdE 0 2 1 4cos r r Q E 4 2 0 解：解：场源分布的具有球面对称性。其产生的电场分布场源分布的具有球面对称性。其产生的电场分布 =

23、也同样具有球面对称性。故选取与带电球体同心也同样具有球面对称性。故选取与带电球体同心 = 的球面为高斯面。的球面为高斯面。 333 3 / 3 4 )3/4( :RQrr R Q QRr in 当 2 0 4rQE inside QQRr in :当 （下一页）（下一页） 该电场分布具有柱面对称性。即该电场分布具有柱面对称性。即 在以带电直线为轴线的任一柱面在以带电直线为轴线的任一柱面 上，场强的大小相等，方向均沿上，场强的大小相等，方向均沿 半径方向。半径方向。 以带电直导线为轴，作一个通过以带电直导线为轴，作一个通过P点，点， 高为高为 的圆筒形封闭面为高斯面的圆筒形封闭面为高斯面 S，

24、l 例四、求无限长均匀带电直线的场强分布。例四、求无限长均匀带电直线的场强分布。 = 设电荷线密度为设电荷线密度为 l top S side S bottom S r P 通过通过S面的电通量为圆柱侧面面的电通量为圆柱侧面 和上下底面三部分的通量。和上下底面三部分的通量。 （下一页）（下一页） 因上、下底面的场强方向与面平行，因上、下底面的场强方向与面平行， 其电通量为零。即式中后两项为零。其电通量为零。即式中后两项为零。 inside i lq 此闭合面包含的电荷总量此闭合面包含的电荷总量 lrlEdSESdE face side face side e 0 1 2 S face side

25、e SdESdE bottomtop SdESdE r E 0 2 其方向沿场点到带电直线的垂线其方向沿场点到带电直线的垂线 方向，由电荷的正负决定。方向，由电荷的正负决定。 E l S e O r p （下一页）（下一页） 由于电荷分布是平面由于电荷分布是平面 对称的，所以对称的，所以场强场强分布也分布也 是平面对称的，即离平面是平面对称的，即离平面 等远处的场强大小都相等、等远处的场强大小都相等、 方向都垂直于带电平面。方向都垂直于带电平面。 电场线如图所示。电场线如图所示。 例五、例五、求无限大均匀带电平板的场强分布。设面电荷求无限大均匀带电平板的场强分布。设面电荷 密度为密度为 e 解解: 对称性分析对称性分析 ） 内 （闭合曲面内） qqSdE i S e ( 1 0 （下一页）（下一页） 选一其轴垂直于带电平面的选一其轴垂直于带电平面的圆筒式圆筒式 封闭面作为高斯面封闭面作为高斯面 S，带电平面平带电平面平 分此圆筒，场点分此圆筒，场点 p位于它的一个底位于它的一个底 面上。由于圆筒侧面上各点的场强面上。由于圆筒侧面上各点的场强 方向垂直于侧面的法线方向，所以方向垂直于侧面的法线方向，所以 电通量为零；又两个