光的衍射习题课

1、第二章 光的衍射 习题课 一、基本要求 1了解惠更斯菲涅耳原理,菲涅耳 半波带法 2掌握单缝夫琅禾费衍射的条纹分布，以 及缝宽，波长等对衍射条纹的影响 3理解光栅衍射方程，会分析光栅常数， 光栅缝数N等对条纹的影响 菲涅耳圆孔衍射菲涅耳圆孔衍射 SR r0 P B0 B1 B3 B2 r1=r0+/2 r2=r1+/2 r3=r2+/2 (1)P点合振幅： 1 1 () 2 nn Aaa n 为偶数 n 为奇数 1. 菲涅耳半波带法 2 0 11 n n rR R（平行光入射） 2 0 , n n r 0n nr (2)最大波带数 无任何衍射屏时： 1 0 2 a A 二、基本内容 2 2、夫

2、琅和费单缝衍射、夫琅和费单缝衍射 当当 时，时， (1) (1) 中央衍射极大中央衍射极大 2 0 2 sin . u II u 光强公式光强公式 2 2 0 sin lim1. u u . 0 0 II sin , b u 其中： (2) 各级衍射极小各级衍射极小 sinbk 各极小近似等间距，各极小近似等间距， (3) (3) 各级衍射次极大各级衍射次极大 (4) (4) 中央明条纹的角宽度中央明条纹的角宽度 两第一衍射极小之间的角距离就是中央极大的两第一衍射极小之间的角距离就是中央极大的 角宽度（是其它明条纹角宽度的两倍）角宽度（是其它明条纹角宽度的两倍）: : 1 01 22sin2.

3、 bb 1 2 sin()(1, 2,.)bnn 3：光栅衍射（多缝衍射）：光栅衍射（多缝衍射） 光强公式光强公式 22 0 22 sinsin I sin sinsin , uNv I uv bd uv 其中： (1)(1)干涉主极大干涉主极大: : kdsin ( (光栅方程光栅方程) ) （2 2） 干涉极小干涉极小 sin() m dm N 可见，在两个主极大之间有可见，在两个主极大之间有N N1 1个极小。个极小。 (0,1,2;m 1,2,32)mN (3) (3) 干涉次极大干涉次极大 2 1 sin() 2 m dm N 因此因此, , 在在两个干涉主极大之间两个干涉主极大之间

4、 有有(N-2)(N-2)个个 干涉次极大干涉次极大. . (0,1,2)m ( 1,2,3,1.)mN （4 4）缺级）缺级 . abm bn 例如例如 3, d b 则则 3,6m 等级次等级次 被调制掉被调制掉, , 条纹不出现条纹不出现. . 总之总之, ,光栅光强是多光束干涉被单缝衍射调制的结果光栅光强是多光束干涉被单缝衍射调制的结果. . (1,2,)n sinbn sin.m（a+b) 三、讨论 1由下列光强分布曲线，回答下列问题 （1）各图分别表示几缝衍射 （2）入射波长相同，哪一个图对应 的缝最宽 （3）各图的 等于多少？有 哪些缺级? b ab 图（a） 0 I I sin

5、o 单缝衍射 缝最宽 b f x 2 0 1N (因为 ） 2N 2 b ab 6, 4, 2 k缺级 中央明纹中有3个主极大 o 0 I I sin 图（图（b b） 4 N4 b bb 12, 8, 4 k缺级 中央明纹中有7个主极大 图（c） 0 I I sin o 1.根据惠更斯根据惠更斯-菲涅耳原理，若已知光在某时刻的波阵菲涅耳原理，若已知光在某时刻的波阵 面为面为 S，则，则 S 的前方某点的前方某点 P 的光强度决定于波阵面的光强度决定于波阵面 S 上上 所在面积元发出的子波各自传到所在面积元发出的子波各自传到 P 点的点的 （A）振动振幅之和；）振动振幅之和； （B）光强之和；

6、）光强之和； （C）振动振幅之和的平方；）振动振幅之和的平方； （D）振动的相干叠加。）振动的相干叠加。 D p dE(p) r Q dS n e S ) r2 - tcos()( r dS CKE ( A ) . ( B ) /2.( C ) 3 /2.( D ) 2 . 2.一束波长一束波长为的平行单色光垂直入射到一单缝为的平行单色光垂直入射到一单缝 AB 上，上， 在屏幕在屏幕 D 上形成衍射图样，如果上形成衍射图样，如果 P 是中央亮纹一侧是中央亮纹一侧 第二个暗纹所在的位置，则第二个暗纹所在的位置，则BC 的长度为的长度为 D A B C L D P 屏 暗纹暗纹: : , 3 ,

7、2 , 1k kksinb 2 2 sinbBC b 3、用单色光照射狭缝，、用单色光照射狭缝，BP-AP=3 ，问题，问题： （1）狭缝可分为几个半波带？狭缝可分为几个半波带？ （2）P点处是明条纹还是暗条纹？点处是明条纹还是暗条纹？ （3）若）若BP-AP=2.5 ，结果又如何？，结果又如何？ A B C L D P F 屏 BCAPBP3 2 6 暗条纹暗条纹 BCAPBP 5 . 2 2 5 明条纹明条纹 4、在单缝夫琅禾费衍射实验中，屏上第三级暗纹对应、在单缝夫琅禾费衍射实验中，屏上第三级暗纹对应 的单缝处的波面可划分为几个半波带？若将缝宽缩小的单缝处的波面可划分为几个半波带？若将缝

8、宽缩小 一半，原来第三级暗纹处将是什么条纹？一半，原来第三级暗纹处将是什么条纹？ )3 , 2 , 1 2 2sinkkkb（ 暗纹条件：暗纹条件： 6个半波带个半波带 3sinb )3 , 2 , 1 2 1 sin 2 kk b （）（第一级明纹第一级明纹 2 3 5 . 1k 缝宽变化前：缝宽变化前： 此级数对应明纹还是暗纹？此级数对应明纹还是暗纹？ 半波带数目半波带数目 缝宽变化后：缝宽变化后：sin 2 k b 四、计算 1单缝衍射，缝宽b=0.5mm， 透镜焦距f=50cm，以白光垂直 入射，观察到屏上 x=1.5mm明纹中心 求：（1）该处光波的波长 （2）此时对应的单缝所在处的

9、波阵面分成 的波带数为多少？ f x sin又因为（2） o x x f 2 ) 12(sin kb 解（1）由单缝衍射明 纹条件得 （1）2, 1k nm333 , 4 )( nm420 , 3 )( nm600 , 2 nm1000 , 1 4 3 2 1 k k k k 符合 符合 )(x ) 12( 2 kf bx 由式（1），式（2）得， 处波长为 )cm50,mm5 . 1( fx 在可见光范围内，满足上式的光波： 可允许在屏上x=1.5mm处的明纹为波长 600nm的第二级衍射和波长为420nm的第三 级衍射 o x x f 712k , 3 512k , 2 为时 为时 k k

10、 （2）此时单缝可分成的波带数 分别是 讨论：当单缝平行于透镜（屏）上下微小 平移时，屏上的条纹位置是否也随之移动. 位置不变！为什么？ 2双缝干涉实验中，缝距 ， 缝宽 ，即双缝（N=2）的衍射， 透镜焦距f=2.0m，求当 光垂直 入射时， mm4 . 0ab mm08. 0 b nm480 （1）条纹的间距 （2）单缝中央亮纹范围内的 明纹数目（为什么要讨论这一 问题？） 解：分析 双缝干涉却又受 到每一缝（单缝） 衍射的制约，成为 一个双缝衍射， (图示衍射图样) x x o f （1）由 得明纹 中心位置 kabsin)( 因为 f xk sinfk ab x k 条纹间距 m102

11、4 3 1 f ab xxx kk （2）欲求在单缝中央 明纹范围内有多少条明 纹，需知单缝衍射中央 明纹宽度 b f l 2 x x o f （由 求得） 所以该范围内有明条纹为 sinb 102 2 b ab ab f b f x l 或者从中央明纹半（角）宽 度来考虑，则有明纹 5 2 b ab ab f b f x l x x o f 因为 ，即出现缺级现象 即总共可以看到11条（包括 零级明条）的明条纹，但是 5 b ab )10 , 5( 所以，在单缝中央明级范围内可以看到9 条明纹(-4,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,+4) x x o f 3x=600nm单色光垂直入

12、射光 栅，已知第二级，第三级明纹 分别位于 处，且第4级缺级，求 3 . 0sin2 . 0sin 32 与 光栅常数（ ）和缝宽bab 已知 2sin)( 2 ab 3sin)( 3 ab m106 4 ab 得 kabsin)( 解（1）由光栅方程，有 又因第4级缺级，则由 ， 得k b ab k m105 . 1 4 4 b b ab 4、波长为、波长为600nm的单色平行光，垂直入射到缝宽为的单色平行光，垂直入射到缝宽为 b=0.60mm的单缝上，缝后有一焦距的单缝上，缝后有一焦距f=60cm的透镜的透镜 ，在透镜焦平面上观察衍射图样。则中央明纹的宽，在透镜焦平面上观察衍射图样。则中央

13、明纹的宽 度度 是多少？两个第三级暗纹之间的距离是多少？是多少？两个第三级暗纹之间的距离是多少？ b f x 2 中央明纹宽度：中央明纹宽度： mm2 . 1 106 . 0 106001060 2 3 92 两个第三级暗纹间距：两个第三级暗纹间距： b kf x 2 b kf xk mm6 . 3 106 . 0 1060010603 2 3 92 5.波长为波长为 600nm 的单色平行光垂直入射到缝宽的单色平行光垂直入射到缝宽 b =0.6mm 的的 单缝上单缝上，缝后有一焦距缝后有一焦距 f = 40 cm 透镜。求透镜。求： （1）屏上中央明纹的宽度屏上中央明纹的宽度; ; （2）若

14、在屏上若在屏上 P 点观察到一明纹，点观察到一明纹，op=1.4mm ，问问 P 点处是点处是 第第 几级明纹？对几级明纹？对 P 点而言缝处波面可分成几个半波带？点而言缝处波面可分成几个半波带？ 解：解：(1) b f x 2 3 92 106 . 0 106001040 2 0.8mm 2/) 12sinkb（ ftgx 3k 可知由2/) 12(sinkb 个半波带。时，可分成当7123kk 第三级明纹第三级明纹 )2( f x o p b sintg 6、一束平行单色光垂直入射到一光栅上，若光栅、一束平行单色光垂直入射到一光栅上，若光栅 的透光缝的宽度的透光缝的宽度b与不透光部分的宽度

15、与不透光部分的宽度b相等，相等， 则可能看到的衍射光谱的级次有哪些？则可能看到的衍射光谱的级次有哪些？ bbdb2 光栅常数：光栅常数： kdsin 缺级：缺级： sinkb 2 k k b d ,.21，k ,.)3 , 2 , 1( 2kkk 能看到的级次是：能看到的级次是： .5310，k 7、波长为、波长为 的单色光垂直照射在缝宽为的单色光垂直照射在缝宽为b,总缝数总缝数 为为N,光栅常数为光栅常数为d的光栅上，光栅方程（表示的光栅上，光栅方程（表示 出现主极大的衍射角出现主极大的衍射角 应满足的条件）为：应满足的条件）为： ,.)3, 2, 1, 0(sinkkd 8、波长为、波长为

16、 的单色光垂直照射在光栅的单色光垂直照射在光栅 常数为常数为 的光栅上，可能观察到的的光栅上，可能观察到的 光谱线的最高级次为光谱线的最高级次为 级。级。 nm550 cmd 4 102 kdsin 2 636. 3 max k 3 9.用一束具有两种波长的平行光垂直入射在光栅上，用一束具有两种波长的平行光垂直入射在光栅上， ，发现距离中央明纹，发现距离中央明纹5cm处处 光的第光的第k级主极大级主极大 和和 光的第光的第(k+1)级主极大相重合，放置在光栅与屏之间的透级主极大相重合，放置在光栅与屏之间的透 镜的焦距镜的焦距f=50cm,问问：（：（1）上述）上述k=?(2)光栅常数光栅常数d

17、=? nm600 1 nm400 2 1 2 2 21 2 k 11 sintg 1 解：解： 的的k级与级与 的的(k+1)级主极大谱线相重合级主极大谱线相重合 2 11 sinkd 21 ) 1(sin kd cmxfkd 3 1 102 . 1/ 1 tgfx kdsin d f o 1 x 10. 波长波长 的单色光垂直入射到一光栅上的单色光垂直入射到一光栅上,测得第二级测得第二级 主极大的衍射角为主极大的衍射角为 ，且第三级是缺级。，且第三级是缺级。 （1）光栅常数）光栅常数d=? （2）透光缝可能的最小宽度）透光缝可能的最小宽度b=? （3）在选定了上述光栅常数和透光缝宽度后，求在

18、衍射角）在选定了上述光栅常数和透光缝宽度后，求在衍射角 范围内可能观察到的全部主极大的级次。范围内可能观察到的全部主极大的级次。 nm600 2/2/ 0 30 kdsin 解解:(1)利用光栅方程利用光栅方程 cm k d 4 0 9 104 . 2 30sin 106002 sin (2) cm d b 4 min 108 . 0 3 3sind 若第三级不缺级，对光栅有：若第三级不缺级，对光栅有： 由于第三级缺级，对应最小可能的缝宽满足单缝衍射由于第三级缺级，对应最小可能的缝宽满足单缝衍射 第一级暗纹：第一级暗纹： sinb 10. 波长波长 的单色光垂直入射到一光栅上的单色光垂直入射到一光栅上,测得第二级测得第二级 主极大的衍射角为主极大的衍射角为 ，且第三级是缺级。，且第三级是缺级。 （1）光栅常数）光栅常数d=? （2）透光缝可能的最小宽度）透光缝可能的最小宽度b=? （3）在选定了上述光栅常数和透光缝宽度后，求在衍射角）在选定了上述光栅常数和透光缝宽度后，求在衍射角 范围内可能观察到的全部主极大的级次。范围内可能观察到的全部主极大的级次。 nm600 2/2/ 0 30 kdsin(3) 4 90sin 0 max d k 实际呈现的明纹是：实际呈现的明纹是：2, 1, 0k kdsin 解：解： 1