三个正数的算术几何平均不等式

1、3.三个正数的算术-几何平均不等式 333 , ,3a b cRabcabc 引 理 ： 如 果那 么 等号当且仅a=b=c时成立 333 3323 3332 22 222 222 222 3 ()333 ()333 () ()()3() ()23 ()() 1 () ()()()0, 2 abcabc aba babcabc abca bababc abcabab ccab abc abcaabbacbccab abc abcabbcca abcabbcca 证明： 1.1.三个正数的算术三个正数的算术- -几何平均不等式：几何平均不等式： (1)(1)如果如果a,b,cRa,b,cR+ +

2、, ,那么那么a a3 3+b+b3 3+c+c3 3_,_,当且仅当当且仅当_时时, , 等号成立等号成立. . (2)(2)定理定理3 3：如果：如果a,b,cRa,b,cR+ +, ,那么那么 , ,当且仅当当且仅当 _时时, ,等号成立等号成立. . abc 3 3abc3abc a=b=ca=b=c 3 abc a=b=ca=b=c 2.2.基本不等式的推广基本不等式的推广. . 对于对于n n个正数个正数a a1 1,a,a2 2,，a an n, ,它们的算术平均不小于它们的几何它们的算术平均不小于它们的几何 平均平均, ,即即 _ _ 当且仅当当且仅当_时时, , 等号成立等号

3、成立. . 12n aaa n n 12n a aa , a a1 1=a=a2 2=a=an n 1.1.如果如果x0 x0，如何求，如何求 的最小值的最小值? ? 提示：提示： 当且仅当当且仅当x=1x=1时，取时，取“=”.=”.故故 最小值为最小值为3.3. 2 1 2x x 3 222 111 2xxx3 x x3. xxx 2 1 2x x 2.2.若若ab0,ab0,则则 的最小值为的最小值为_._. 【解析】【解析】因为因为ab0,ab0,所以所以a-b0,a-b0, 所以所以 当且仅当当且仅当 即即a=2,b=1a=2,b=1时，等号成立时，等号成立. . 答案：答案：3 3

4、 1 a ab b 11 a(ab)b (ab)b(ab)b 3 1 3 (ab) b3, (ab)b 1 abb (ab)b ， 3.3.设设x,y,z0 x,y,z0且且x+3y+4z=6,x+3y+4z=6,则则x x2 2y y3 3z z的最大值是的最大值是_._. 【解析】【解析】因为因为 所以所以x x2 2y y3 3z1z1，当且仅当，当且仅当 即即 时，等时，等 号成立号成立. . 所以所以x x2 2y y3 3z z的最大值为的最大值为1.1. 答案：答案：1 1 23 6 xx 6x3y4zyyy4z6 x y z, 22 x y4z 2 ， 1 x2,y1z 4 ，

5、 1.1.对不等式对不等式 成立的成立的a,b,ca,b,c的理解的理解 (1)(1)在不等式中在不等式中a,b,ca,b,c的范围是的范围是a0,b0,c0.a0,b0,c0. (2)(2)三个正数的和为定值，积有最大值三个正数的和为定值，积有最大值. .积为定值积为定值, ,和有最小值和有最小值, , 当且仅当三个正数相等时取等号当且仅当三个正数相等时取等号. . 3 abc abc 3 类型类型 一一 用平均不等式求最值用平均不等式求最值 【典型例题】【典型例题】 1.1.当当x(0,1)x(0,1)时，函数时，函数y=xy=x2 2(1-x)(1-x)的最大值是的最大值是_._. 2.

6、2.为锐角，求为锐角，求y=sin cosy=sin cos2 2的最大值的最大值. . 【解题探究】【解题探究】1.1.题题1 1中各项系数有正，有负中各项系数有正，有负, ,如何构造和为定如何构造和为定 值？值？ 2.2.题题2 2中正余弦的积的形式，如何构造和为定值？中正余弦的积的形式，如何构造和为定值？ 【解析】【解析】1.1.因为因为0 0 x x1,1,所以所以1-x1-x0, 0, 所以当所以当 即即 时，时， 答案：答案： 23 xx 1x x x4 22 yx (1x)4(1x)4(), 2 2327 4 27 x 1x, 2 2 x 3 max 4 y . 27 1.1.当

7、当x(0,1)x(0,1)时，函数时，函数y=xy=x2 2(1-x)(1-x)的最大值是的最大值是_._. 2.2.由由y=sin cosy=sin cos2 2得，得，y y2 2=sin=sin2 2coscos4 4 当且仅当当且仅当2sin2sin2 2=cos=cos2 2，即，即 时取等号，此时时取等号，此时 222 1 2sincoscos 2 222 3 1 2sincoscos4 (), 2327 3 sin 3 max 2 3 y. 9 2.2.为锐角，求为锐角，求y=sincos2y=sincos2的最大值的最大值. . 【拓展提升】【拓展提升】 1.1.用平均不等式求

8、最值的方法用平均不等式求最值的方法 (1)(1)利用三个正数的算术利用三个正数的算术- -几何平均不等式求最值，可简记为几何平均不等式求最值，可简记为 “积定和最小，和定积最大积定和最小，和定积最大”. . (2)(2)应用平均不等式，要注意三个条件，即应用平均不等式，要注意三个条件，即“一正、二定、三一正、二定、三 相等相等”同时具备时，方可取得最值同时具备时，方可取得最值. .其中定值条件决定着平均其中定值条件决定着平均 不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如配系数、不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如配系数、 拆项、分离常数、平方变形等拆项、分离常数、平方变形等. .

9、(3)(3)当不具备使用平均不等式的条件时，求函数的最值可考虑当不具备使用平均不等式的条件时，求函数的最值可考虑 利用函数的单调性利用函数的单调性. . 2.2.拼凑定值方法在基本不等式中的应用拼凑定值方法在基本不等式中的应用 利用平均不等式求解最值问题的前提是要求代数式的和或者利用平均不等式求解最值问题的前提是要求代数式的和或者 积为定值，而题目条件往往无法满足，此时可以将平均不等积为定值，而题目条件往往无法满足，此时可以将平均不等 式的取等条件作为出发点，拼凑定和式的取等条件作为出发点，拼凑定和( (或积或积) )，求积，求积( (或和或和) )的的 最大最大( (或小或小) )值值. .

10、 【变式训练】【变式训练】已知已知a,b,cRa,b,cR+ +, ,求求 的最小值的最小值. . 【解析】【解析】 当且仅当当且仅当a=b=ca=b=c时取等号时取等号. . 故最小值为故最小值为9.9. abcbca ()() bcaabc 222 222 abcbcabcacababc ()()3 bcaabcabcbccaab 222 6 222 bc ac ab abc 369, abcbc ac ab 类型类型 二二 用平均不等式证明不等式用平均不等式证明不等式 【典型例题】【典型例题】 1.1.已知已知a,b,cRa,b,cR+ +, ,求证：求证： 2.2.设设a,b,cRa,

11、b,cR+ +，求证：，求证： 【解题探究】【解题探究】1.1.题题1 1中如果将不等式的左边展开，可以证明不中如果将不等式的左边展开，可以证明不 等式成立吗？等式成立吗？ 2.2.题题2 2中利用一次平均不等式能否证明不等式成立中利用一次平均不等式能否证明不等式成立? ? 1119 (abc)(). abbcac2 333 111 abc2 3. abc 探究提示：探究提示： 1.1.如果将不等式的左边展开，则不等式变为：如果将不等式的左边展开，则不等式变为： 无法利用平均不等式来证明无法利用平均不等式来证明. . 2.2.不能不能. .因为左边有分式，也有整式的形式，要用一次平均不因为左边

12、有分式，也有整式的形式，要用一次平均不 等式，还要利用一次基本不等式等式，还要利用一次基本不等式. . cab 3 abbcac ， 【证明】【证明】1.1.因为因为a,b,cRa,b,cR+ +, , 所以所以(a+b)+(b+c)+(a+c)(a+b)+(b+c)+(a+c) 所以所以 又又 所以所以 当且仅当当且仅当a+b=b+c=c+aa+b=b+c=c+a，即，即a=b=ca=b=c时，等号成立时，等号成立. . 3 3 (ab)(bc)(ac)， 3 3 abc(ab)(bc)(ac). 2 3 111111 3, abbcacab bc ac 1119 (abc)(). abbc

13、ac2 2.2.因为因为a,b,cRa,b,cR+ +, , 所以所以 所以所以 而而 所以所以 当且仅当当且仅当a=b=ca=b=c时等号成立时等号成立. . 3 333333 1111113 3, abcabcabc 333 1113 abcabc, abcabc 33 abc2abc2 3, abcabc 333 111 abc2 3. abc 【变式训练】【变式训练】已知已知a,b,cRa,b,cR+ +, ,证明证明 【解题指南】【解题指南】分析待证式子的特征分析待证式子的特征, ,通过变形转化为用算术通过变形转化为用算术 几何平均不等式证明几何平均不等式证明. . 【证明】【证明】

14、因为因为a a，b b，cRcR+ +, ,所以所以 所以所以 又又 所以所以 当且仅当当且仅当a=b=ca=b=c时，等号成立时，等号成立. . 所以所以 2 222 111 ()(abc)27. abc 3 abc3 abc0. 22223 (abc)9 a b c . 3 222222 1111 30, abca b c 22223 3 222222 1111 ()(abc)39 a b c27. abca b c 2 222 111 ()(abc)27. abc 用平均不等式解应用题用平均不等式解应用题 【典型例题】【典型例题】 1.1.设三角形三边长为设三角形三边长为3,4,5,P3

15、,4,5,P是三角形内的一点，则是三角形内的一点，则P P到这个到这个 三角形三边距离乘积的最大值是三角形三边距离乘积的最大值是_._. 2.2.制造容积为制造容积为 立方米的无盖圆柱形桶立方米的无盖圆柱形桶, ,用来做底面的金属板用来做底面的金属板 的价格为每平方米的价格为每平方米3030元元, ,用来做侧面的金属板的价格为每平方用来做侧面的金属板的价格为每平方 米米2020元元, ,要使用料成本最低要使用料成本最低, ,则此圆柱形桶的底面半径和高分则此圆柱形桶的底面半径和高分 别为多少别为多少? ? 2 【解析】【解析】1.1.设设P P到长度为到长度为3 3，4 4，5 5的三角形三边的

16、距离分别是的三角形三边的距离分别是 x,y,zx,y,z，三角形的面积为，三角形的面积为S.S. 则则 又因为又因为3 32 2+4+42 2=5=52 2， 所以这个三角形为直角三角形，其面积所以这个三角形为直角三角形，其面积 所以所以3x+4y+5z=23x+4y+5z=26=12,6=12, 所以所以 所以所以 当且仅当当且仅当3x=4y=5z,3x=4y=5z,即即 时等号成立时等号成立. . 答案：答案： 1 S(3x4y5z), 2 1 S3 46 2 ， 3 3 3x 4y 5z3x4y5z12, max 16 (xyz). 15 44 x,y1,z 35 16 15 2.2.设

17、此圆柱形桶的底面半径为设此圆柱形桶的底面半径为r r米米, ,高为高为h h米米, ,则底面积为则底面积为rr2 2, , 侧面积为侧面积为2rh.2rh. 设原料成本为设原料成本为y y元元, ,则则y=30ry=30r2 2+40rh,+40rh, 因为桶的容积为因为桶的容积为 , ,所以所以 所以所以 所以所以 当且仅当当且仅当 即即 时，等号成立，此时时，等号成立，此时 答：要答：要使用料成本最低使用料成本最低, ,圆柱形桶的底面半径为圆柱形桶的底面半径为 米，高米，高 为为 米米. . 2 2 r h, 2 1 rh, 2r 22 2011 y30 r10 (3r) rrr 23 3

18、 1 1 103 (3r)30 3 . r r 2 1 3r, r 3 9 r 3 3 9 h. 2 3 9 r 3 3 9 h 2 【拓展提升】【拓展提升】 1.1.用不等式解决实际问题的方法与技巧用不等式解决实际问题的方法与技巧 应用不等式解决实际问题时，关键是如何把等量关系、不等应用不等式解决实际问题时，关键是如何把等量关系、不等 量关系转化为不等式的问题来解决，也就是建立数学模型是量关系转化为不等式的问题来解决，也就是建立数学模型是 解应用题的关键，最后利用不等式的知识来解解应用题的关键，最后利用不等式的知识来解. . 2.2.利用平均不等式解决应用题的一般步骤利用平均不等式解决应用题

19、的一般步骤 (1)(1)理解题意，设变量，设变量时一般要把所求最大值或最小理解题意，设变量，设变量时一般要把所求最大值或最小 值的变量定为函数值的变量定为函数. . (2)(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为求函数的最大建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为求函数的最大 值或最小值问题值或最小值问题. . (3)(3)在定义域内，求出函数的最值在定义域内，求出函数的最值. . (4)(4)验证相等条件，得出结论验证相等条件，得出结论. . 【类题试解】【类题试解】无论是工业设备还是家庭生活用具，圆柱形的容无论是工业设备还是家庭生活用具，圆柱形的容 器都不少见器都不少见.你是否留心了多数

20、圆柱形容器不是细细长长的，也你是否留心了多数圆柱形容器不是细细长长的，也 不是扁扁的，而是高和底面直径大致相等，你是否想过这是为不是扁扁的，而是高和底面直径大致相等，你是否想过这是为 什么？当然，高和底面直径大致相等的圆柱形看上去比较匀称，什么？当然，高和底面直径大致相等的圆柱形看上去比较匀称， 这是一条理由这是一条理由.但更主要的原因似乎不在这里但更主要的原因似乎不在这里.我们知道，容器我们知道，容器 的容积往往是一定的，但表面积却随着形状而改变，这就意味的容积往往是一定的，但表面积却随着形状而改变，这就意味 着同样容积的圆柱形容器有的用料较省而有的则费料，着同样容积的圆柱形容器有的用料较省

21、而有的则费料，如果仅如果仅 从成本角度考虑，自然应制造用料最省的，那么究竟怎样的圆从成本角度考虑，自然应制造用料最省的，那么究竟怎样的圆 柱形容器用料最省呢柱形容器用料最省呢( (假设容器是密闭的假设容器是密闭的) )？ 【解析】【解析】如图所示，设容器的高为如图所示，设容器的高为h,h,底面半径为底面半径为r,r,表面积为表面积为S S， 容积为容积为V V，V V为定值为定值. . 于是有于是有V=rV=r2 2h h 及及S=2rS=2r2 2+2rh+2rh， 根据三个正数的算术根据三个正数的算术- -几何平均不等式，由几何平均不等式，由得得 将将代入代入得得 当且仅当当且仅当2r2r

22、2 2=rh,=rh,即即h=2r,h=2r, 也就是高和底面直径相等时也就是高和底面直径相等时, ,中等号成立，此时，圆柱的中等号成立，此时，圆柱的 表面积表面积 最小，最小， 制造容器用料最省，同时可算得制造容器用料最省，同时可算得 2222 33 S2 rrhrh3 (2 r ) ( rh) ( rh)3 2 ( r h) ， 23 S3 2 V， 23 S3 2 V , 33 V4V r,h. 2 1.1.若若x0,x0,则则 的最小值为的最小值为( )( ) A.9 B. C.13 D.A.9 B. C.13 D.不存在不存在 【解析】【解析】选选B.B.因为因为x0,x0, 所以所

23、以 当且仅当当且仅当 即即 时等号成立时等号成立. . 2 9 4x x 3 3 36 3 3 222 999 4x2x2x3 2x 2x3 36 xxx ， 2 9 2x x ， 3 1 x36 2 2.2.若若loglogx xy=-2,y=-2,则则x+yx+y的最小值是的最小值是 ( )( ) A. B. C. D.A. B. C. D. 【解析】【解析】选选A.A.因为因为loglogx xy=-2,y=-2, 所以所以x x0 0且且x1,yx1,y0,0,且且y=xy=x-2 -2, , 所以所以 当且仅当当且仅当 即即 时等号成立时等号成立. . 3 3 2 2 3 2 3 3 3 3 2 2 2 3 3 3 2 xx113 2 xy3 22x42 ， 2 x1 2x ， 3 x2 3.3.函数函数 则则 ( )( ) A.A.有最