四川省绵阳市第一次诊断文科数学试题及答案

1、绵阳市高2013级第一次诊断性考试数学(文史类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分cbcbd baccc二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分111213a2147 15三、解答题：本大题共6小题，共75分 16解 ：（1） mn， mn=(cos，1-sin)(-cos，sin)=0，即-cos2+sin-sin2=0 3分由sin2+cos2=1，解得sin=1， ，kz.6分（2） m-n=(2cos，1-2sin)， |m-n|=， 9分 5-4sin=3，即得， 12分17解：（1）由已知an+1=2an+1，可得an+1+1=2(an+1

2、) （常数）3分此时，数列是以为首项，2为公比的等比数列， ，于是an=2n-1 6分（2）.7分 ，两边同乘以，得两式相减得 ，12分18解：（1）设第n年的受捐贫困生的人数为an，捐资总额为bn则an=80+(n-1)a，bn=50+(n-1)10=40+10n. 2分 当a=10时，an=10n+70， ，解得：n8 5分即从第9年起每年的受捐大学生人均获得的奖学金才能超过0.8万元 6分（2）由题意：(n1)，即 ，8分整理得 (5+n)80+(n-1)a-(4+n)(80+na)0，即400+5na-5a+80n+n2a-na-320-4na-80n-n2a0，化简得80-5a0，解

3、得a16，11分 要使人均奖学金年年有增加，资助的大学生每年净增人数不超过15人12分19解：（1）在rtabc中，ac=abcos60=，. ， =9+23cos120=6. 4分（2）在acd中，adc=180-a-dca=120-，由正弦定理可得，即. 5分在aec中，ace=+30，aec=180-60-(+30)=90-，由正弦定理可得：，即， 6分 ，7分令f()=sin(120-)cos，060， f()=(sin120cos-cos120sin)cos，10分由060，知602+60180， 0sin(2+60)1， f()， ， ，即的最小值为12分20解：（1），由题意得3

4、ax2+bx+c0的解集为x|-2x1， a0，且方程3ax2+bx+c=0的两根为-2，1于是，得b=3a，c=-6a2分 3ax2+bx+c0的解集为x|x1， f(x)在(-，-2)上是减函数，在-2，1上是增函数，在(1，+)上是减函数 当x=-2时f(x)取极小值，即-8a+2b-2c-1=-11，把b=3a，c=-6a，代入得-8a+6a+12a-1=-11，解得a=-1 5分（2）由方程f(x)-ma+1=0，可整理得，即 7分令， 列表如下：x(-，-2)-2(-2，1)1(1，+)+0-0+g(x)极大值极小值 g(x)在-3，-2是增函数，在-2，0上是减函数11分又，g(

5、-2)=10，g(0)=0，由题意知直线y=m与曲线有两个交点，于是m0， 当a0时， x(0，)时，f(x)在(0，)上是增函数；x(，+) 时，f(x)在(，+)上是减函数 综上所述，当a0时，f(x)的单调递增区间为(0，)，f(x)的单调递减区间为(，+)5分（2）当a=1时， ， .要证，即证，因，即证，令()，即证().令()，由(1)知，在(1，+)上单调递减， 即， 令()，则0，在(1，+)上单调递增，=0，即() 综得()，即9分（3）由已知即为，x1，即，x1令，x1，则当k0时，故在(1，+)上是增函数，由 g(1)=-1-k+2k=k-10，则k1，矛盾，舍去当k0时，由0解得xek，由0解得1x0(k0)恒成立，求k的最小值令h(t)=2t-et，则，当0，即tln2时，h(t)单调递增，当ln2时，h(t)单调递减， t=ln2时，