2020版高考数学二轮复习专题二三角函数与平面向量第2讲三角变换、解三角形学案文

1、学必求其心得，业必贵于专精第2讲三角变换、解三角形 2019考向导航考点扫描三年考情考向预测2019201820171三角变换与求值第13题第16题第5题江苏高考对于三角恒等变换的命题以公式的基本运用、计算为主，其中与角所在范围、三角函数的性质、三角形等知识结合为命题的热点;解三角形与三角函数、向量交汇的综合题或实际应用题是命题方向2解三角形第15题第18题第13题1必记的概念与定理（1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin（)sin cos cos sin cos（）cos cos sin sin tan(） (2）倍角公式sin 22sin cos ； cos 2cos2sin22cos

2、2112sin2；tan 22记住几个常用的公式与结论（1）sin2cos21的变形：1sin2cos2;sin21cos2； cos21sin2;sin ；cos （2）升（降)幂公式:sin2；cos2；sin cos sin 2(3）辅助角公式：asin bcos sin（）(由a，b具体的值确定）（4）正切公式的变形：tan tan tan（)（1tan tan ） (5）正弦定理的各种形式：形式一:2r；形式二:sin a；sin b;sin c；(角到边的转换)形式三：a2rsin a,b2rsin b，c2rsin c；（边到角的转换)形式四：sabsin cbcsin aacs

3、in b（求三角形的面积）(6）余弦定理的各种形式：形式一：a2b2c22bccos a,b2a2c22accos b，c2a2b22abcos c;形式二:cos a，cos b,cos c(角到边的转换)3需要关注的易错易混点(1）三角变换中经常要化复角为单角，化未知角为已知角因此看准角与角的关系十分重要哪些角消失了，哪些角变化了,结论中是哪个角，条件中有没有这些角，在审题中必须认真观察和分析常见的变角方式有：（)；2（）(）；2()；可视为的倍角;可视为(2)的半角等等当然变换形式不唯一，应因题而异(2)解题前要善于分析题目中所给式子的结构，掌握结构的特点,通过降幂、升幂、常数代换等手段

4、，为使用公式创造条件，这是三角变换的重要策略（3）解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况,这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助解题”三角变换与求值典型例题 (1)(2019高考江苏卷)已知,则sin的值是_(2)(2018高考江苏卷)已知，为锐角，tan ，cos()求cos 2的值；求tan（)的值【解】(1)，解得tan 2或tan ，当tan 2时，sin 2,cos 2,此时sin 2cos 2,同理当tan 时，sin 2，cos 2，此时sin 2cos 2，所以sin(2）（sin 2cos 2)(2)因为tan ，tan ,所以sin cos 因为sin2co

5、s21，所以cos2，因此,cos 22cos2 1因为,为锐角,所以（0，）又因为cos（）,所以sin()，因此tan（)2因为tan ,所以tan 2，因此，tan()tan2（)(1)当“已知角有两个时，一般把“所求角表示为两个“已知角”的和或差的形式(2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”对点训练1(2019徐州模拟)已知sincos ，则sin的值为_解析 由条件得sin cos ，即sin cos 所以sin答案 2在锐角三角形abc中，若sin a2sin bsin c，则tan atan btan

6、c的最小值是_解析 由sin asin(bc)2sin bsin c得sin bcos ccos bsin c2sin bsin c,两边同时除以cos bcos c得tan btan c2tan btan c,令tan btan c2tan btan cm,因为abc是锐角三角形,所以2tan btan c2，则tan btan c1，m2又在三角形中有tan atan btan ctan（bc)tan btan cmm24248，当且仅当m2，即m4时取得等号，故tan atan btan c的最小值为8答案 8解三角形典型例题 （2019高考江苏卷）在abc中，角a,b,c的对边分别为a

7、,b，c（1）若a3c，b,cos b，求c的值;(2）若，求sin的值【解】(1)因为a3c，b，cos b,由余弦定理cos b，得,即c2所以c（2）因为，由正弦定理，得，所以cos b2sin b从而cos2b(2sin b)2，即cos2b4(1cos2b）,故cos2b因为sin b0,所以cos b2sin b0，从而cos b因此sincos b解三角形问题的求解一般是从两个角度来看，即从“角或从“边”进行转化突破，实现“边或“角的统一，问题便可突破对点训练3(2019高考江苏卷)如图，一个湖的边界是圆心为o的圆,湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥ab(ab是圆o的直径)规划

8、在公路l上选两个点p，q，并修建两段直线型道路pb，qa,规划要求:线段pb，qa上的所有点到点o的距离均不小于圆o的半径已知点a，b到直线l的距离分别为ac和bd（c，d为垂足)，测得ab10,ac6，bd12（单位：百米）（1)若道路pb与桥ab垂直，求道路pb的长；(2）在规划要求下,p和q中能否有一个点选在d处？并说明理由；（3)在规划要求下，若道路pb和qa的长度均为d(单位：百米）,求当d最小时，p，q两点间的距离解 (1)过a作aebd，垂足为e由已知条件得，四边形acde为矩形,debeac6，aecd8因为pbab，所以cospbdsinabe所以pb15因此道路pb的长为1

9、5百米(2）若p在d处，由(1）可得e在圆上，则线段be上的点(除b，e）到点o的距离均小于圆o的半径，所以p选在d处不满足规划要求若q在d处,连结ad，由（1）知ad10，从而cosbad0，所以bad为锐角所以线段ad上存在点到点o的距离小于圆o的半径因此q选在d处也不满足规划要求综上，p和q均不能选在d处(3)先讨论点p的位置当obp90时,线段pb上存在点到点o的距离小于圆o的半径，点p不符合规划要求;当obp90时，对线段pb上任意一点f,ofob，即线段pb上所有点到点o的距离均不小于圆o的半径，点p符合规划要求设p1为l上一点,且p1bab,由（1）知，p1b15，此时p1dp1

10、bsinp1bdp1bcoseba159；当obp90时，在pp1b中,pbp1b15由上可知,d15再讨论点q的位置由(2）知，要使得qa15，点q只有位于点c的右侧，才能符合规划要求当qa15时,cq 3此时,线段qa上所有点到点o的距离均不小于圆o的半径综上，当pbab，点q位于点c右侧，且cq3时，d最小,此时p，q两点间的距离pqpdcdcq173因此，d最小时，p，q两点间的距离为173（百米）1(2019南通市高三模拟)已知sin，则sinsin2的值为_解析 sinsinsin，sin2sin2cos2，则sinsin2答案 2（2019扬州模拟)若abc的三个内角满足sin

11、asin bsin c51113，则abc的形状为_解析 由正弦定理2r(r为abc外接圆半径)及已知条件sin asin bsin c51113,可设a5x，b11x，c13x（x0)则cos c0,所以c为钝角，所以abc为钝角三角形答案 钝角三角形3（2019江苏省高考名校联考（二）若coscos，,则sin 2_解析 coscos，则cos 2sin 2，可得又，解得cos 2，sin 2答案 4（2019无锡模拟)计算的值为_解析 答案 5在abc中,若tan atan btan atan b1,则cos c的值是_解析 由tan atan btan atan b1，可得1，即tan

12、（ab）1，所以ab,则c，cos c答案 6(2019南京市四校第一学期联考)已知abc的内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且2bac，若sin b，cos b,则b的值为_解析 因为2bac，sin b，cos b，sin2bcos2b1，所以ac15，所以b2a2c22accos b(ac)2484b248，得b4答案 47已知cos ，（，0)，则sincos_解析 因为(，0)，所以sin ，因为sin cos 0，所以，所以1sin,0cos,故sincos0，sincos答案 8（2019苏州第一次调研）已知a，b，c是abc中角a，b，c的对边，a4，b（4，6)，sin

13、 2asin c，则c的取值范围为_解析 由，得，所以c8cos a，因为16b2c22bccos a，所以16b264cos2a16bcos2a，又b4，所以cos2a,所以c264cos2a64164b因为b（4，6），所以32c240，所以4c2答案 (4，2)9在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，已知a2，c2，1，则c_解析 由1和正弦定理得cos asin bsin acos b2sin ccos a，即sin c2sin ccos a，因为在三角形中sin c0，所以cos a,则a60由正弦定理得，则sin c,又ca，则c60，故c45答案 4510（2019扬

14、州市第一学期期末检测)设a，b是非零实数，且满足tan，则_解析 因为tan，所以，所以acossinbcoscosasincosbsinsin,所以a（sincoscossin）b(coscossinsin），即asin()bcos（)，asinbcos,所以tan答案 11在abc中，已知ab2,ac3,a60（1)求bc的长；（2）求sin 2c的值解 (1）由余弦定理知，bc2ab2ac22abaccos a492237，所以bc（2）由正弦定理知，所以sin csin a因为abbc，所以c为锐角，则cos c 因此sin 2c2sin ccos c212(2019南通市高三模拟）在

15、abc中,角a，b,c所对的边分别为a,b，c，（abc)（abc）ab（1)求角c的大小；（2)若c2acos b，b2，求abc的面积解 (1）在abc中，由（abc)（abc）ab,得，即cos c因为0c，所以c(2）法一:因为c2acos b，由正弦定理，得sin c2sin acos b，因为abc,所以sin csin（ab），所以sin(ab)2sin acos b，即sin acos bcos asin b0，即sin（ab)0,又ab，所以ab0，即ab，所以ab2所以abc的面积为sabcabsin c22sin法二:由c2acos b及余弦定理，得c2a，化简得ab，所

16、以abc的面积为sabcabsin c22sin13（2019南京市高三年级第三次模拟考试)已知a,b，c分别是abc三个角a，b，c所对的边,且满足acos bbcos a（1)求证:ac；(2）若b2，1,求sin b的值解 （1）由正弦定理,得sin acos bsin bcos a，即（sin acos bsin bcos a)cos csin(ab)cos csin ccos a因为abc，所以sin(ab)sin c，所以sin ccos csin ccos a因为c是abc的内角，所以sin c0,所以cos ccos a又a,c是abc的内角，所以ac(2）由（1）知，ac，所以ac,所以cos b因为1，所以a2cos ba221，所以a23所以cos b又b(0，），所以sin b14(2019江苏省高考名校联考(四）已知在abc中，角a、b、c所对的边分别是a、b、c,且(1)证明：cos acos bcos c;(2)若b2c2a2bc，求