高三数学离散型随机变量的期望与方差2

1、第十一章第十一章 概率与统计概率与统计 第 讲 （第二课时）（第二课时） 题型题型4 4 求随机变量的方差求随机变量的方差 1. 已知离散型随机变量的分布列为 设=2+3，求E，D. -101 P 1 2 1 3 1 6 解：因为 所以 点评：由随机变量的分布列直接按公式 计算可求得方差.对相关的两个随机变量、 ，若满足一定关系式：=a+b，则 E(a+b)=aE+b，D(a+b)=a2D(或D=E 2-(E)2). 222 111 ( 1)1 263 1111115 101 3233369 E D ， ， 720 234. 39 EEDD， 设随机变量具有分布 k=1，2， 3，4，5，求E

2、(+2)2，D(2-1)，(-1). 解：因为 1 () 5 Pk ， 22222 11111 123453. 55555 11111 1234511. 55555 E E 所以 22 22 111 132333 2 555 111 4353410142. 555 D 222 (2)(44)44 1112427. (21)48 (1)(1)2. EEEE DD DD ， 2. 某突发事件，在不采取任何预防措施的 情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造 成400万元的损失.现有甲、乙两种相互独 立的预防措施可供采用.单独采用甲、乙预 防措施所需的费用分别为45万元和30万元， 采用相应预防措施

3、后此突发事件不发生的 概率分别为0.9和0.85.若预防方案允许甲、 乙两种预防措施单独采用，联合采用或不 采用，请确定预防方案使总费用最少.(总费 用=采取预防措施的费用+发生突发事件损 失的期望值) 题型题型5 期望在实际问题中的决策作用期望在实际问题中的决策作用 解：(1)不采取预防措施时，总费用即损失 期望值为4000.3=120(万元); (2)若单独采取措施甲，则预防措施费用为 45万元，发生突发事件的概率为1-0.9=0.1， 损失期望值为4000.1=40(万元)，所以总 费用为45+40=85(万元)； (3)若单独采取预防措施乙，则预防措施费 用为30万元，发生突发事件的概

4、率为1- 0.85=0.15，损失期望值为 4000.15=60(万元)，所以总费用为 30+60=90(万元); (4)若联合采取甲、乙两种预防措施，则预 防措施费用为45+30=75(万元)，发生突发 事件的概率为(1-0.9)(1-0.85)=0.015，损 失期望值为4000.015=6(万元)，所以总 费用为75+6=81(万元). 综上分析，选择联合采用甲、乙两种预防 措施，可使总费用最少. 点评：从两种(或多种)随机实验事件方案中 进行优选或决策，一般是比较它们的期望 值，期望值大就是平均值大. 春节期间，某鲜花店购进某种鲜花的 进货价为每束2.5元，销售价为每束5元.若 在春节

5、期间没有售完，则节后以每束1.5元 的价格处理.据往年有关资料统计，春节期 间这种鲜花的需求量(单位：束)服从下列 分布： 问该鲜花店在春节前应进货多少束鲜花为 宜? 20304050 P0.20.350.30.15 解：依据题意，售出一束鲜花获利润2.5元， 处理一束鲜花亏损1元. (1)若进货20束，因为P(20)=1， 所以利润的期望值E1=1202.5=50(元). (2)若进货30束，如果只能售出20束，则利 润为202.5-101=40(元);如果能售出30 束，则利润为302.5=75(元). 因为P(=20)=0.2，P(30)=0.8， 所以利润的期望值 E2=0.240+0

6、.875=68(元). (3)若进货40束，则同理可得利润的期望值 E3=0.2(202.5-201)+0.35(302.5- 101)+0.45402.5=73.75(元). (4)若进货50束，则利润的期望值 E4=0.2(202.5-301)+0.35(302.5- 201)+0.3(402.5- 101)+0.15502.5=69(元). 因为E3最大，故该鲜花店春节前进货40束鲜 花为宜. 3. 某企业准备投产一批特殊型号的产品， 已知该种产品的成本C与产量q的函数关系式 为 该种产品的市 场前景无法确定，有三种可能出现的情形，各 种情形发生的概率及产品价格p与产量q的函 数关系式如

7、下表所示： 题型题型6 期望与函数的综合应用期望与函数的综合应用 3 2 32010 (0). 3 q Cqqq 市场情形概率价格p与产量q的函数关系式 好0.4p=164-3q 中0.4p=101-3q 差0.2p=70-3q 设L1、L2、L3分别表示市场情形好、中、差 时的利润，随机变量q表示当产量为q而市 场前景无法确定时的利润. (1)分别求利润L1、L2、L3与产量q的函数关 系式； (2)当产量q确定时，求期望Eq; (3)试问产量q取何值时，Eq取得最大值. 解：(1)由题意可得 同理可得 3 2 1 3 1643(32010) 3 14410 (0). 3 q Lqqqq q

8、 qq 3 2 3 3 8110 (0) 3 5010 (0). 3 q Lqq q Lqq ， (2)由期望的定义可知， (3)由(2)可知，Eq是产量q的函数，设 123 33 33 0.40.40.2 0.4144100.4 (8110) 33 0.2 (5010)10010. 33 q ELLL qq qq qq qq 3 10010 (0) 3 q q f qEqq ， 得f (q)=-q2+100. 令f (q)=0，解得q=10或q=-10(舍去). 由题意及问题的实际意义，当0q10时， f (q)0;当q10时，f (q)0可知，当q=10 时，f(q)取得最大值，即Eq最大

9、时的产量q 为10. 点评：若随机变量中的概率含有参数，则其 期望值可转化为含参变量的函数，利用函数 的一些性质可进一步讨论期望的有关问题. 小张有一只放有a个红球、b个黄球、c 个白球的箱子，且a+b+c=6(a，b，cN)，小 刘有一只放有3个红球、2个黄球、1个白球的箱 子.两人各自从自己的箱子中任取一球，规定： 当两球同色时小张胜，异色时小刘胜. (1)用a、b、c表示小张胜的概率； (2)若又规定当小张取红、黄、白球而胜的得分 分别为1分、2分、3分，否则得0分，求小张得 分的期望的最大值及此时a、b、c的值. 解：(1)P(小张胜)=P(两人均取红球)+P(两 人均取黄球)+P(两

10、人均取白球) (2)设小张的得分为随机变量，则 32132 . 66666636 abcabc 12 (3)(2) 6666 3 (1) 66 32 (0)1()1. 36 cb PP a P abc PP张张 ， ， 小小胜胜 所以 因为a，b，cN，a+b+c=6， 所以b=6-a-c.当a=c=0，b=6时， E最大，为 . 12332 3210 (1) 66666636 33431 3636236 cbaabc E abcbabcb ， 2 3 有甲、乙两种钢筋，从中各抽取等量 样品检查其抗拉强度指标，得如下分布列： 甲： 乙： 题型题型 产品质量的比较产品质量的比较 11012012

11、5130135 P0.10.20.40.10.2 100115125130145 P0.10.20.40.10.2 其中、分别表示甲、乙的抗拉强度，试 比较甲、乙两种钢筋哪一种质量较好? 解：因为E=1100.1+1200.2 +1250.4+1300.1+1350.2=125， E=1000.1+1150.2+1250.4 +1300.1+1450.2=125， 又D=(110-125)20.1+(120-125)20.2 +(125-125)20.4+(130-125)20.1 +(135-125)20.2=50， D=(100-125)20.1+(115-125)20.2 +(125-125)20.4+(130-125)20.1+ (145-125)20.2=165. 所以E=E，DD，这表明甲、乙两种 钢筋的抗拉强度的平均水平一致，但甲的 稳定性较乙的要好，故甲种钢筋的质量比 乙种钢筋好. 1. 对离散型随机变量的方差应注意： (1)D表示随机变量对E的平均偏离程度， D越大，表明平均偏离程度越大，说明的取 值越分散；反之D越小，的取值越集中，在 E附近.统计中常用D来描述的分散程度. (2)D与E一样也是一个实数，由的分布列 唯一确定. 2.分布列、期望、方差常与应用问题 结合，对此首先必须对实际问题进行