角平分线定理和中垂线定理

1、 角平分线定理和角平分线定理和 中垂线定理中垂线定理 要点、考点聚焦要点、考点聚焦 课前热身课前热身 典型例题解析典型例题解析 课时训练课时训练 几何第八课时几何第八课时 教学目标教学目标 1学生理解角平分线的性质定学生理解角平分线的性质定 理与逆定理理与逆定理 2.中垂线定理中垂线定理 与逆定理与逆定理 3.应用定理与逆定理进行有应用定理与逆定理进行有 关的证明与计算关的证明与计算 要点、考点聚焦要点、考点聚焦 1.1.角平分线的性质定理和逆定理角平分线的性质定理和逆定理 (1)(1)点在角平分线上点在角平分线上 点到这个角的两边的距点到这个角的两边的距 离相等离相等. . (2) (2)用

2、符号语言表示角平分线的性质定理和逆定理用符号语言表示角平分线的性质定理和逆定理. .如如 图图4-4-14-4-1所示所示. . 性质定理：性质定理：PP在在AOBAOB的平分线上，的平分线上，PDOAPDOA，PEOBPEOB PD=PEPD=PE 逆定理：逆定理：PD=PE,PDOA,PEOBPD=PE,PDOA,PEOB 点点P P在在AOBAOB的平分线上的平分线上. . 判判定定定定理理 性性质质定定理理 (3)(3)角平分线是到角两边的距离相等的所有点组成的集角平分线是到角两边的距离相等的所有点组成的集 合合. . (4)(4)互逆命题与互逆定理互逆命题与互逆定理. . 2.2.线

3、段垂直平分线的性质定理及逆定理线段垂直平分线的性质定理及逆定理 (1)(1)性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个 端点的距离相等端点的距离相等. . (2)(2)逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这 条线段的垂直平分线上条线段的垂直平分线上. . (3)(3)用符号语言表示线段垂直平分线的性质定理和逆定用符号语言表示线段垂直平分线的性质定理和逆定 理理. .如图如图4-4-24-4-2所示所示. . 要点、考点聚焦要点、考点聚焦 性质定理：性质定理：PCPC是线段是线段ABAB的中垂线的中垂

4、线 PA=PBPA=PB 逆定理：逆定理：PA=PBPA=PB 点点P P在在ABAB的中垂线上的中垂线上. . 【注意】【注意】 这里不可这里不可 说说PCPC是是ABAB的中垂线的中垂线. . (4)(4)线段中垂线是和线段两个端点距离相等的所有线段中垂线是和线段两个端点距离相等的所有 点的集合点的集合. . 要点、考点聚焦要点、考点聚焦 2.如图如图4-4-3所示，直线所示，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公表示三条相互交叉的公 路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相 等，则可供选择的地址有等，则可供选择的地址有( )

5、A1处处 B.2处处 C.3处处 D. 4处处 课前热身课前热身 C D 1.下列说法正确的是下列说法正确的是( ) A.每个命题都有逆命题每个命题都有逆命题 B.直角都是邻补角直角都是邻补角 C.若若1/a=1/b则则a=b. D.真命题的逆命题是真命题真命题的逆命题是真命题. 图图4-4-3 3.如图所示，在如图所示，在ABC中，中，P为为BC上一点，上一点，PRAB于于 R，PSAC于于S，AQ=PQ，PR=PS，下面三个结论：，下面三个结论： (1)AS=AR(2)QPAR(3)BRP CSP，正确的是，正确的是 ( ) A.(1)和和(2) B.(2)和和(3) C.(1)和和(3)

6、 D.全对全对. A 课前热身课前热身 4.如图所示，在如图所示，在ABC中，中，C=90，B=15，AB 的垂直平分线交的垂直平分线交BC于于D，交，交AB于于E，DB=10cm，则，则 AC=( ) A.6 B.8 C.5 D.10 C 课前热身课前热身 5.如图所示，在如图所示，在RtABC中，中，C=90，AB的垂直平分的垂直平分 线交线交BC于于D，CAD DAB=1 2，则，则B= . 36 课前热身课前热身 典型例题解析典型例题解析 AB+AD=BC 【例【例1】 如图所示，在如图所示，在ABC中，中，A=90，AB=AC， BD是是ABC的平分线，请你猜想图中哪两条线段之和等的

7、平分线，请你猜想图中哪两条线段之和等 于第三条线段，并证明你的猜想的正确性于第三条线段，并证明你的猜想的正确性(证明你的猜想证明你的猜想 需用题中所有的条件需用题中所有的条件) 【例【例2】 (2003河南省河南省)已知：如图所示，在已知：如图所示，在RtABC中，中， ACB=90，AC=BC，D为为BC中点，中点，CEAD，垂足，垂足 为为E.BFAC交交CE的延长线于的延长线于F.求证：求证：AB垂直平分垂直平分DF. 典型例题解析典型例题解析 【例【例3】 (2003浙江省舟山市浙江省舟山市)如图所示是人字型屋架的如图所示是人字型屋架的 设计图，由设计图，由AB、AC、BC、AD四根钢

8、条焊接而成，其中四根钢条焊接而成，其中 A、B、C、D均为焊接点，且均为焊接点，且AB=AC、D为为BC的中点，的中点， 现在焊接所需的四根钢条已截好，且已标出现在焊接所需的四根钢条已截好，且已标出BC的中点的中点D. 如果焊接工身边只有可检验直角的角尺，那么为了准确快如果焊接工身边只有可检验直角的角尺，那么为了准确快 速地焊接，他首先应取的两根钢条及焊接的点是速地焊接，他首先应取的两根钢条及焊接的点是 ( ) A.AB和和BC，焊接点，焊接点B B.AB和和AC，焊接点，焊接点A C.AD和和BC，焊接点，焊接点D D.AB和和AD，焊接点，焊接点A C 典型例题解析典型例题解析 【例【例4

9、】 (2003黑龙江省黑龙江省)已知：如图已知：如图4-4-10(1)所示，所示， BD、CE分别是分别是ABC的外角平分线，过点的外角平分线，过点A作作AFBD， AGCE，垂足分别为，垂足分别为F、G.连接连接FG，延长，延长AF、AG、与、与 直线直线BC相交，易证相交，易证FG=1/2(AB+BC+BC). (1)若若BDCE分别是分别是ABC的内角平分线的内角平分线(如图如图4-4-10(2) 所示所示). (2)BD为为ABC的内角平分线，的内角平分线，CE为为ABC的外角平的外角平 分线分线(如图如图4-4-10(3)所示所示)，则在此，则在此 两种情况下，线段两种情况下，线段F

10、G与与ABC三边又有怎样的数量关三边又有怎样的数量关 系系?请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明. 典型例题解典型例题解 析析 图图4-4-10(1) 图图4-4-10(2) 图图4-4-10(3) 1.1.全等运用的干扰全等运用的干扰 角平分线定理及中垂线性质定理都是不用全等，而直角平分线定理及中垂线性质定理都是不用全等，而直 接能得出边相等，但好多学生还是喜欢再重新证一遍接能得出边相等，但好多学生还是喜欢再重新证一遍. . 2.2.证线段的中垂线时，往往只得出一个点到一条线段证线段的中垂线时，往往只得出一个点到一条线段 的两个端点距离相等，就

11、下结论的两个端点距离相等，就下结论过这一点的直线是过这一点的直线是 这条线段的中垂线，实际上由直线公理：这条线段的中垂线，实际上由直线公理：“两点确定一两点确定一 条直线条直线”，还要再找出一个这样的点，还要再找出一个这样的点. . 1.(2004四川四川)如图，已知点如图，已知点C是是AOB平分线上一点，平分线上一点， 点点P、P分别在边分别在边OA、OB上。如果要得到上。如果要得到PO=OP ，需，需 要添加以下条件中的某一个即可，请你写出所有可能结果要添加以下条件中的某一个即可，请你写出所有可能结果 的序号的序号 。 OCP= OCP ; OPC= OP C ; PC=PC ;PP OC

12、 课时训练课时训练 或或或或 2.(2004河北省河北省)如图是一个经过改造的台球桌面的示意如图是一个经过改造的台球桌面的示意 图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果 一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射）， 那么该球最后将落入的球袋是那么该球最后将落入的球袋是 ( ) A.1号袋号袋 B.2号袋号袋 C.3号袋号袋 D.4号袋号袋 B 课时训练课时训练 3.(2004广州广州)如图，如图，CB、CD分别是钝角分别是钝角AEC和锐角和锐角 ABC的中线，且的中线，且AC=AB，给出下列结论，给出下列结论AE=2ACAE=2AC； CE=2CDCE=2CD； ACD=BCE； CBCB平分平分DCE。请写。请写 出正确结论的序号出正确结论的序号 。 课时训练课时训练 4.(2004