结构力学力法

1、 超静定结构 以以力力作为基本未知量，在自动满作为基本未知量，在自动满 足平衡条件的基础上进行分析，根足平衡条件的基础上进行分析，根 据变形协调，解决超静定问题，据变形协调，解决超静定问题，这这 种分析方法称为种分析方法称为力法力法。 1.静定结构： 只靠平衡条件可解 的 2.超静定结构： 不能只靠平衡条件可解的 内力 反力 几何不变 几何不变无 多余联系 多余未知力多余未知力 针对结构的几何不变性来说，不必要的联系针对结构的几何不变性来说，不必要的联系 超静定结构的次数的确定： 超静定次数超静定次数 = = 基本未知力的个数基本未知力的个数 = = 多余约束数多余约束数 = 变成基本结构所需

2、解除的约束数变成基本结构所需解除的约束数 （3 次） 或 (1 次） (6 次) (4 次) 有一个多于约束有一个多于约束 的超静定结构，的超静定结构， 有四个反力，只有四个反力，只 有三个方程。有三个方程。 只要满足只要满足 i ByiiA ByAy lFaFM FFFF 1 P 1 1 P2P1 1 By F 1 为任意值，均平衡。为任意值，均平衡。 一次超静定一次超静定 使改变后的结构与原结构使改变后的结构与原结构 保持相同的变形位移条件保持相同的变形位移条件 0)()(ba ByBy 例例1. 求解图示单跨梁求解图示单跨梁 原结构原结构 待解的未知问题待解的未知问题 A B 基本结构基

3、本结构 已掌握受力、变形已掌握受力、变形 基本体系基本体系 变形协调条件变形协调条件 力法典型方程力法典型方程 未知力的位移未知力的位移 “荷载荷载”的位移的位移 0 11111 P 总位移等于已知位移总位移等于已知位移 以掌握的问题以掌握的问题 消除两者差别消除两者差别 叠加作弯矩图叠加作弯矩图 或或 0X P1111 0 11 P111 1 X 位移系数位移系数 ij 自乘自乘 广义荷载位移广义荷载位移 i P P11 MXMM 超静定计算简图超静定计算简图解除约束转解除约束转 化成静定的化成静定的 基本结构承受荷基本结构承受荷 载和多余未知力载和多余未知力 用已掌握的方法，分析单个基本未

4、用已掌握的方法，分析单个基本未 知力作用下的受力和变形知力作用下的受力和变形 同样方法分析同样方法分析 “荷载荷载”下的下的 受力、变形受力、变形 2 P2 22 21 1 P1 12 11 由此可解得基本未知力，从由此可解得基本未知力，从 而解决受力变形分析问题而解决受力变形分析问题 例例 2. 求解图示结构求解图示结构 原原 结结 构构 FP 基基 本本 体体 系系 一一 FP 基基 本本 未未 知知 力力 P FP 0 0 222212 112111 p p 0 0 2222121 1212111 p p XX XX 变形协调条件变形协调条件 力法典型方程力法典型方程 0 166 5 4

5、 0 96 5 46 P21 P21 FXX FXX 88 3 11 4 P 2 P 1 F X F X FP FPa 88 3 11 4 P 2 P 1 F X F X FP FPa FP （Fpa） P MXMXMM 2211 解法 2： FPFP 解法3： FPFP FPFP M1图图 M2图图 a B FPa FP MP图图 F a P 2 FP P2P1 11 4 , 88 15 FXaFX M1图图 M2图图 a B FPa FP MP图图 F a P 2 FP （Fpa） 0 0 P2222121 P1212111 XX XX FPFP 图图M2 图图M1 FPa FP 图图 M

6、P aFXaFX P2P1 88 3 , 88 15 FP 小结：小结：力法的解题步骤力法的解题步骤 nnPnnnn Pnn XX XX 11 111111 P X Pi MM , ij iP ij iP i X P i ii MXMM P NNN FXFF i i i QPQQ FXFF i i i 例如求例如求 K 截面竖向截面竖向 位移：位移： FP （Fpa） K FP （Fpa） K )( 1408 3 162 ) 88 15 88 3 ( 2 1 2 1 88 3 6 5 8 1 1 3 P 3 P 2 PP 1 P 2 1 EI aFaFa aFaF EI aF a EI Ky

7、)( 1408 3 88 3 2 1 8 1 1 3 P P 2 1 EI aF aF a EI Ky 对结构上的任一部分，其对结构上的任一部分，其 力的平衡条件均能满足。力的平衡条件均能满足。 0 C M 如：如： FP （Fpa） 原原 结结 构构 FP 基基 本本 体体 系系 FP 0 0 2222121 1212111 P P XX XX 0,0 21 PByPBx 0,0 21 XX FP FPa M 图图 FP （Fpa） 0 2 a a 4 aF 2 1 3 a aF 88 15 2 1 3 a2 aF 88 3 2 1 EI2 1 aF 88 3 3 2 2 a EI 1 P

8、2 2 1 2 1 Ax P PP 例例 1. 求解图示两端固支梁。求解图示两端固支梁。 解：取简支梁为基本体系解：取简支梁为基本体系 0 0 0 3333232131 2323222121 1313212111 P P P XXX XXX XXX FP 基基 本本 体体 系系 FP Pi MM , EI 由于由于 0 0,0 NP2NN1 3Q3 FFF FM 所以所以 0 332233113 P 又由于又由于 0 d dd 2 3Q 2 3N 2 3 33 EA l GA sF k EA sF EI sM 于是有于是有 0 3 X l abFP P M图图 FP 典型方程改写为典型方程改写

9、为 0 0 2222121 1212111 P P XX XX EIl alabF EIl blabF EI l P P 6 )( 6 )( 3 2 P 2 P 1 122211 2 2 P 2 2 2 P 1 l baF X l abF X 图乘求得位移系数为图乘求得位移系数为 FPab l FPa2b l2 FPab2 l2 解：取基本体系如图解：取基本体系如图(b) 典型方程：典型方程： 0 1111 P X NP1NP1 ,FFMM如图示：如图示： 例例 2. 求解图示加劲梁。求解图示加劲梁。 横梁横梁 44 m101 I 0 NP F NP F 1 N1 F N F EI EAEI

10、P 3 .533 , 2 .1267.10 1 11 当当 kN 9 .44,m 101 1 23 XA 内力内力 PN11NNP11 ,FXFFMXMM %3 .191925. 0 80 4 .15 9 .44 N F )kN( N F 梁的受力与两跨梁的受力与两跨 连续梁相同。连续梁相同。 （同例（同例3 3中中 ） k qlX 4 5 98.49 67.10 3 .533 1 当当,A 23 m107 . 1 A 梁受力有利梁受力有利 50 N F 9 .44 N F )kN( N F 46.82 - -46.82 52.35 52.35 1.66m 13.7 13.7 ？ 例例 3.

11、求解图示刚架由求解图示刚架由 于支座移动所产生的于支座移动所产生的 内力。内力。 解：取图示基本结构解：取图示基本结构 力法典型方程为：力法典型方程为： aXXX XXX XXX 3333232131 2323222121 1313212111 0 其中其中 为由于支座移动所产生的位移为由于支座移动所产生的位移, 即即 321 , iii cFR EI 常常 数数 0 ,)( ,)( 321 l b l b l b l b 最后内力（最后内力（M图）：图）： 332211 XMXMXMM 这时结构中的位移以及位移条件的校核公式如何？这时结构中的位移以及位移条件的校核公式如何？ ii k k k

12、 k cF EI sMM EI sMM R dd 单位基本未知力引起的弯矩图和反力单位基本未知力引起的弯矩图和反力 1、2、 、3等于多少？ 等于多少？ EI l EI h 3 2211 EI l 6 12 EI lh EI h 23 33 3 2 EI hl EI h 22 2 2313 问题：问题：如何建立如下基本结构的典型方程？如何建立如下基本结构的典型方程？ 1 X 3 X 2 X 基本体系基本体系2 1 X 3 X 2 X 基本体系基本体系3 1 X 3 X 2 X 基本体系基本体系2 3333232131 2323222121 1313212111 XXX aXXX bXXX i

13、i 0 0 0 3333232131 2323222121 1313212111 XXX XXX XXX 1 X 3 X 2 X 基本体系基本体系3 b a 3 2 1 a bl 用几用几 何法何法 与公与公 式法式法 相对相对 比。比。 基本体系基本体系3 b a 1x1 1x2 1x3 1x11 l 1x 2 1x2 1 1x3 1 对称结构对称结构 非对称结构非对称结构 注意：结构的几何形状、支承情况以及杆件的刚注意：结构的几何形状、支承情况以及杆件的刚 度三者之一有任何一个不满足对称条件时，就不度三者之一有任何一个不满足对称条件时，就不 能称超静定结构是对称结构。能称超静定结构是对称结

14、构。 支承不对称支承不对称 刚度不对称刚度不对称 几何对称几何对称 支承对称支承对称 刚度对称刚度对称 对称结构的求解：对称结构的求解： 力法典型方程为：力法典型方程为： 0 0 0 3333232131 2323222121 1313212111 P P P XXX XXX XXX （1）选取对称的基本结构）选取对称的基本结构 0,0 0,0, 32233113 12332211 典型方程简化为：典型方程简化为： 0 0 0 3333 P2222121 P1212111 P X XX XX 正对称部分正对称部分 反对称部分反对称部分 正对称与反正对称与反 对称荷载：对称荷载： P F P F

15、 P FP F 如果作用于结构的荷载是对称的，如如果作用于结构的荷载是对称的，如: P2211 3 p3 0 0 MXMXMM X 如果作用于结构的荷载是反对称的，如如果作用于结构的荷载是反对称的，如: P33 21 p2 p1 0 0 MXMM XX 结论：对称结构在正对称荷载作用下，其内力结论：对称结构在正对称荷载作用下，其内力 和位移都是正对称的；在反对称荷载作用下，和位移都是正对称的；在反对称荷载作用下， 其内力和位移都是反对称的。其内力和位移都是反对称的。 例，求图示结构的弯矩图。例，求图示结构的弯矩图。EI=常数。常数。 解：根据以上分析，力法方程为：解：根据以上分析，力法方程为：

16、 0 P1 111 X P11 1 1 11 5 .12 1800 144 MXMM X EI EI P 0 12 由于由于 ，问题无法化简，问题无法化简 例：例： P F P F （2）未知力分组和荷载分组）未知力分组和荷载分组 0, 12212211 YYXYYX 力法典型方程成为：力法典型方程成为： 0 0 P2222 P1111 Y Y P F 对称结构承受一般非对称荷载时，可将荷载分组，如：对称结构承受一般非对称荷载时，可将荷载分组，如： （3）取半结构计算：）取半结构计算： P F 2 P F 2 P F 2 P F 2 P F P F P FP F 对称轴对称轴 P F P FP F P FP F （d） P F （c） P F P F P F P F P F P F P F P F P F C FQ C FQ 例例1：求作图示圆环的弯矩图。：求作图示圆环的弯矩图。 EI=常数。常数。