第2章暂态分析 (1)

1、东 北 大 学 信 息 学 院 吴 春 俐 20 04 年 7 月 第 2 章 线性电路的暂态分析 东 北 大 学 信 息 学 院 吴 春 俐 20 04 年 7 月 U t C u 电容为储能元件，它储存的能量为电场能量电容为储能元件，它储存的能量为电场能量 ，其，其 大小为：大小为： 电容电路电容电路 2 0 2 1 cuidtuW t C U SR + _ C uC 2.1 储能元件储能元件 东 北 大 学 信 息 学 院 吴 春 俐 20 04 年 7 月 电感电路电感电路 电感为储能元件，它储存的能量为磁场能量，电感为储能元件，它储存的能量为磁场能量， 其大小为：其大小为： 2 0

2、2 1 LidtuiW t L S R U + _ t=0 iL t L i R U 东 北 大 学 信 息 学 院 吴 春 俐 20 04 年 7 月 一种稳态一种稳态 另一种另一种新稳态新稳态 过渡过程过渡过程 : C 电路处于一种电路处于一种 稳态稳态uc =0 SR U + _ C u 开关开关S闭合闭合 2.2 2.2 电路的暂态过程与换路定律电路的暂态过程与换路定律 电路处于另一电路处于另一 稳态稳态uc =U R U + _ C u “稳态稳态”与与 “暂态暂态”的概的概 念念: 过渡过程过渡过程 uc(t) =？ 称暂态分析称暂态分析 东 北 大 学 信 息 学 院 吴 春 俐

3、 20 04 年 7 月 无过渡过程无过渡过程 I 电阻电路电阻电路 t = 0 UR + _ I S 电阻是耗能元件，其上电流随电压比例变化，电阻是耗能元件，其上电流随电压比例变化， 不存在过渡过程。不存在过渡过程。 因为电路存在因为电路存在储能元件储能元件，并且其，并且其能量发生变化能量发生变化时，时， 需要一个过程，需要一个过程，才产生过渡过程。才产生过渡过程。 为什么会为什么会 产生过渡过程？产生过渡过程？ 东 北 大 学 信 息 学 院 吴 春 俐 20 04 年 7 月 换路定律换路定律 换路换路: 电路状态的改变。如：电路状态的改变。如： 1 . 电路接通、断开电源电路接通、断开

4、电源 2 . 电路中电源的升高或降低电路中电源的升高或降低 3 . 电路中元件参数的改变电路中元件参数的改变 . 东 北 大 学 信 息 学 院 吴 春 俐 20 04 年 7 月 换路定律换路定律: 在换路瞬间，电容上的电压、在换路瞬间，电容上的电压、 电感中的电流不能突变。电感中的电流不能突变。 0 设：设：t=0 时换路时换路 0 表示表示换路前瞬间换路前瞬间 表示表示换路后瞬间换路后瞬间 )0()0( CC uu )0()0( LL ii 则：则： S R U + _ t=0 iL U SR + _C uC+ _ )0(),0(),0(),0( RRLC uiui 注意：注意： 是可以

5、突变的。是可以突变的。 东 北 大 学 信 息 学 院 吴 春 俐 20 04 年 7 月 问题：问题：换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流 为什么不能突变？为什么不能突变？ 自然界物体所具有的能量不能突变，能量的积累或自然界物体所具有的能量不能突变，能量的积累或 释放需要一定的时间。所以释放需要一定的时间。所以 * 电感电感 L 储存的磁场能量储存的磁场能量）（ 2 2 1 LL LiW L W不能突变不能突变 L i 不能突变不能突变 C u C W 不能突变不能突变不能突变不能突变 电容电容C存储的电场能量存储的电场能量）（ 2 2 1 C CuWc

6、东 北 大 学 信 息 学 院 吴 春 俐 20 04 年 7 月 * 若若 cu 发生突变，发生突变， dt duc i 不可能不可能！ 一般电路一般电路 则则 所以电容电压所以电容电压 不能突变不能突变 从电路关系分析从电路关系分析 S R U + _ C i uC C C C u dt du RCuiRU S 闭合后，列回路电压方程：闭合后，列回路电压方程： )( dt du Ci C 东 北 大 学 信 息 学 院 吴 春 俐 20 04 年 7 月 2.3 2.3 初始值及稳态值的计算初始值及稳态值的计算 求解过程求解过程： 1初始值初始值(起始值起始值)：电路中电路中 u、i 在在

7、 t=0+ 时时的大小。的大小。 )0()0( )0()0( LL CC ii uu 1. 首先根据换路定律确定首先根据换路定律确定 )0 ( f 2. 根据根据 画出画出换路后瞬间的等效电路换路后瞬间的等效电路。)0(),0( LC iu 若若，0)0( C u电容相当于短路；电容相当于短路； ，0)0( 0 Uu C 电容相当于恒压源电容相当于恒压源若若 0)0 ( 0 Ii L 0)0( L i ，电感相当于断路；，电感相当于断路； ，电感相当于恒流源，电感相当于恒流源 若若 若若 3. 根据换路后的等效电路根据换路后的等效电路和电路的基本定律和电路的基本定律， 确定其它电量确定其它电量

8、的初始值。的初始值。等)0(),0(),0(),0( RRLC uiui 东 北 大 学 信 息 学 院 吴 春 俐 20 04 年 7 月 例例1：求图示各量的初始值求图示各量的初始值 V0)0()0( Cc uu 则根据换路定律：则根据换路定律： 设：设： V0)0( c u R U R u i R )0( )0( )0( R uUuU C )0( S R U + _ C C u i t=0 R u ?)( ?)( i uCU 0 在在t=0+时，电容相时，电容相 当于短路当于短路 在在t= 时，电容时，电容 相当于断路相当于断路 东 北 大 学 信 息 学 院 吴 春 俐 20 04 年

9、 7 月 S R1 U + _ C C u C i t=0 R2 U=12V R1=2k R2=4k C=1 F )0( c uV8 42 4 12 21 2 RR R U 根据换路定律：根据换路定律： V8)0()0( cc uu 在在t=0+时，电容相时，电容相 当于一个恒压源当于一个恒压源 例例2：求图示各量的初始值求图示各量的初始值 R1 8V + _ C u C i t=0+等效电路等效电路 R2 ) 0 ( C imA2 4 8 )0( 2 R uC 0)( 0)( C C i uV8)0( c u mAi C 2)0 ( 东 北 大 学 信 息 学 院 吴 春 俐 20 04 年

10、 7 月 例例3 换路时电压方程换路时电压方程 : )0()0( )0()0( LL LR uRi uuU 根据换路定律根据换路定律 A 0)0()0( LL ii 解解: V20020 )0()0( RiUu LL 求求 : )0( ),0( L L u i 已知已知: R=1k, L=1H , U=20 V、 A 0 L i 设设 时开关闭合时开关闭合0t 开关闭合前开关闭合前 iL U S t=0 uL uR R L ?)( L i?)( L u20mA0 东 北 大 学 信 息 学 院 吴 春 俐 20 04 年 7 月 已知已知: 电压表内阻电压表内阻 H1k1V20LRU、 k50

11、0 V R 设开关设开关 S 在在 t = 0 时打开。时打开。 求求: S打开的瞬间打开的瞬间,电压表两端电压表两端 的电压。的电压。 换路前换路前mA20 1 20 )0( R U i L (大小大小,方向都不变方向都不变) 换路瞬间换路瞬间 mA20)0()0( LL ii 例例4 S . U L V R iL 东 北 大 学 信 息 学 院 吴 春 俐 20 04 年 7 月 mA20)0()0( LL ii VLV Riu )0 ()0 ( V10000 105001020 33 注意注意:实际使用中要加保护措施实际使用中要加保护措施 在在t=0+时，电感相当于一时，电感相当于一 个

12、恒流源个恒流源 S L V R 20mA t=0+等效电路等效电路 uV S . U L V R iL 东 北 大 学 信 息 学 院 吴 春 俐 20 04 年 7 月 求解过程求解过程： 2. 根据稳态时的等效电路根据稳态时的等效电路和电路的基本定律和电路的基本定律， 求各个电量求各个电量的稳态值。的稳态值。 1. 首先根据首先根据电路处于稳态时，电路处于稳态时， 画出画出稳态时的等效电路稳态时的等效电路。 电感相当于短路电感相当于短路 电容相当于断路电容相当于断路 )0(),0( LC iu如如 -换路前的稳态值换路前的稳态值 或或 -换路后的稳态值等。换路后的稳态值等。)(),(),(

13、 RLC iiu 2、稳态值的计算：、稳态值的计算： 电路处于稳态时，电路中电路处于稳态时，电路中 u、i 的大小。的大小。 如换路前的如换路前的 或换路后的或换路后的 等。等。 )0 (),0 ( LC iu)(),( LC iu 东 北 大 学 信 息 学 院 吴 春 俐 20 04 年 7 月 小结小结 1. 换路瞬间，换路瞬间， LC iu 、 不能突变。其它电量均可不能突变。其它电量均可 能突变，变不变由计算结果决定；能突变，变不变由计算结果决定； 0)0 ( 0 Ii L 电感相当于恒流源电感相当于恒流源 3. 换路瞬间，换路瞬间， 0)0( L i，电感相当于断路；，电感相当于断

14、路； 2. 换路瞬间，若换路瞬间，若，0)0( C u 电容相当于短路；电容相当于短路； ，0)0( 0 Uu C 电容相当于恒压源电容相当于恒压源若若 4. 电路处于稳态时，电路处于稳态时， 电感相当于短路电感相当于短路 电容相当于断路电容相当于断路 东 北 大 学 信 息 学 院 吴 春 俐 20 04 年 7 月 C C C u dt du RCuRiU S R U + _ C C u i t=0 2.4 RC2.4 RC一阶电路暂态分析一阶电路暂态分析 ?)(tuC 求解方法求解方法 (一一) 经典法经典法: 用数学方法求解微分方程；用数学方法求解微分方程； (二二) 三要素法三要素法

15、: 求求 初始值初始值f(0+) 稳态值稳态值f() 时间常数时间常数 东 北 大 学 信 息 学 院 吴 春 俐 20 04 年 7 月 一、一、 经典法经典法 Uu dt du RC C C 一阶常系数一阶常系数 线性微分方程线性微分方程 此微分方程的解由两部分组成：此微分方程的解由两部分组成： 方程的特解方程的特解 C u 对应齐次方程的通解对应齐次方程的通解 C u 即：即： CCC uutu)( S R U + _ C C u i t=0 R u 0)0( C u 东 北 大 学 信 息 学 院 吴 春 俐 20 04 年 7 月 Uutu CC )()( )( C u 作特解，故此

16、特解也称为作特解，故此特解也称为稳态分量稳态分量或或强强 在电路中，通常取换路后的新稳态值在电路中，通常取换路后的新稳态值 制分量制分量。所以该电路的特解为：。所以该电路的特解为： (1) 求特解求特解 C u Uu dt du RC C C 将此特解代入方程，成立将此特解代入方程，成立 S R U + _ C C u i t=0 东 北 大 学 信 息 学 院 吴 春 俐 20 04 年 7 月 C u(2)求齐次方程的通解求齐次方程的通解 0 C C u dt du RC 通解即：通解即： 的解。的解。 C u 随时间变化，故通常称为随时间变化，故通常称为自由分量自由分量或或 暂态分量暂态

17、分量。 其形式为指数。设：其形式为指数。设： RC t C Aeu A为积分常数为积分常数其中其中: 东 北 大 学 信 息 学 院 吴 春 俐 20 04 年 7 月 RC t CCC AeUuutu )( RC 时间常数时间常数 0 )0(Uu C 代入电路的起始条件代入电路的起始条件 UUA 0 t C eUUUtu )()( 0 所以所以 东 北 大 学 信 息 学 院 吴 春 俐 20 04 年 7 月 当当 t=5 时，过渡过程基本结束，时，过渡过程基本结束，uC达到稳态值。达到稳态值。 0 0 2 .63)( Uu C t当当 时时: C u t U t 023456 C u 0

18、0.632U 0.865U 0.950U 0.982U 0.993U 0.998U )1 ()( t C eUtu 时间常数时间常数 物理意义物理意义 零状态响应零状态响应 2 东 北 大 学 信 息 学 院 吴 春 俐 20 04 年 7 月 t U 0.632U 1 2 3 越大越大，过渡过程曲线变化越慢，过渡过程曲线变化越慢，uC达到达到 稳态所需要的时间越长。稳态所需要的时间越长。 结论：结论： t C UeUtu )( 1 2 3 321 东 北 大 学 信 息 学 院 吴 春 俐 20 04 年 7 月 / )()( t CR UetuUtu S R U + _ C C u i t

19、=0 R u )1 ()( / t t C eUUeUtu t U R UuC uR i RC一阶电路的一阶电路的零状态响应零状态响应 / t C e R U dt du Ci 或或 / )( t R UeiRtu 东 北 大 学 信 息 学 院 吴 春 俐 20 04 年 7 月 RC一阶电路的一阶电路的零输入响应零输入响应 + - U R C uR uC i t=0 Uuu CC )0()0( 0)( C u / t C Ueu /t R Ue iRu RC / t C e R U dt du Ci 东 北 大 学 信 息 学 院 吴 春 俐 20 04 年 7 月 + - U R C u

20、R uC i t=0 / t C Ueu / t R UeiRu RC / t C e R U dt du Ci 一阶一阶RC电路的电路的 放电过程放电过程(零输入响应零输入响应)曲线曲线 R U U U C u R u i t 0 放电放电 东 北 大 学 信 息 学 院 吴 春 俐 20 04 年 7 月 3. RC电路的全响应（非电路的全响应（非0状态）状态） S R U + _ C C u i t=0 0 )0(Uu C 0 )0(Uu C 根据换路定律根据换路定律 UuC)( Uu dt du RC C C RC t CCC AeUuutu )( ?)(tuC 代入该电路的起始条件代

21、入该电路的起始条件 0 )0(Uu C 得得: UUA 0 东 北 大 学 信 息 学 院 吴 春 俐 20 04 年 7 月 t CCC eUUUuutu )()( 0 t C eUUUtu )()( 0 RC )1 ( 1 t C eUu / 02 t C eUu （1）状态为）状态为0，即，即U0=0时时 为零状态响应：为零状态响应： （2）输入为）输入为0，即，即U=0时时 为零输入响应：为零输入响应： / 0 / 21 )1 ( tt CCC eUeUuuu 零状态响应零状态响应 零输入响零输入响 应应 全响应全响应 全响应全响应稳态响应稳态响应 暂态响应暂态响应 分解为：分解为：

22、RC电路的全响应电路的全响应 东 北 大 学 信 息 学 院 吴 春 俐 20 04 年 7 月 时间常数时间常数 0 )0(Uu C UuC)( / 0 )( t C eUUUu / )()0()( t CCC euuu 初始值初始值 稳态值稳态值 稳态值稳态值 一般形式：一般形式： / )()0()()( t effftf S R U + _ C C u i t=0 R u 东 北 大 学 信 息 学 院 吴 春 俐 20 04 年 7 月 2.5 一阶电路一阶电路 暂态暂态 过程的三要素法过程的三要素法 t effftf )()0()()( 一阶电路微分方程解的通用表达式：一阶电路微分方

23、程解的通用表达式： S R U + _ C C u i t=0 R u 其中三要素为其中三要素为: )(f 稳态值稳态值 -初始值初始值 -)0(f 时间常数时间常数- =RC )(tf代表一阶电路中任一电压、电流函数。代表一阶电路中任一电压、电流函数。式中式中 R为从为从C两端看二端网络的等效电阻两端看二端网络的等效电阻 东 北 大 学 信 息 学 院 吴 春 俐 20 04 年 7 月 三要素法求解过渡过程要点：三要素法求解过渡过程要点： 终点终点)(f 起点起点 )0 ( f t 分别求初始值、稳态值、时间常数分别求初始值、稳态值、时间常数 将以上结果代入过渡过程通用表达式将以上结果代入过渡过程通用表达式 画出响应曲线（由画出响应曲线（由初始值初始值稳态值稳态值为全响应曲线）为全响应曲线