第3章 机械能和功

1、2021-7-21 第第3章章 机械能和功机械能和功 3.1 动能和动能定理动能和动能定理 3.2 保守力做功与势能保守力做功与势能 3.3 功能原理功能原理 能量守恒定律能量守恒定律 力和物体运动的力和物体运动的瞬时关系瞬时关系 力和物体运动力和物体运动过程间的关系过程间的关系 注注： ：3.2.3 由势能函数确定保守力场（由势能函数确定保守力场（不要求不要求） 2021-7-22 第第3章章 机械能和功机械能和功 3.1 动能和动能定理动能和动能定理 3.1.1 保守力做功与势能保守力做功与势能 3.1.2 功能原理功能原理 能量守恒定律能量守恒定律 3.1 动能和动能定理动能和动能定理

2、F m 3.1.1 力的功力的功 力在位移方向上的分量与该位移大小的乘积。力在位移方向上的分量与该位移大小的乘积。 rFA cos F m r 1. 恒力的功恒力的功 AFr 即：即：功等于质点受的力和它的位移的标积功等于质点受的力和它的位移的标积。 （力对空间的累积效应）（力对空间的累积效应） 2021-7-2 2. 变力的功变力的功 2021-7-23 微积分是处理连续变化问题的工具，它的一个基本思想：微积分是处理连续变化问题的工具，它的一个基本思想： 变化当中蕴含着变化当中蕴含着“不变不变”。所谓微元分割法，就是把变。所谓微元分割法，就是把变 量所处的区间进行无穷分割，这样，每一个小区间

3、的变量所处的区间进行无穷分割，这样，每一个小区间的变 量即可视为量即可视为“恒量恒量”。再把这无穷多个小区间的。再把这无穷多个小区间的“恒量恒量” 的效果加在一起，就是积分。积分从本质上讲就是连续的效果加在一起，就是积分。积分从本质上讲就是连续 求和。求和。 3.1 动能和动能定理动能和动能定理 F m 3.1.1 力的功力的功 力在位移方向上的分量与该位移大小的乘积。力在位移方向上的分量与该位移大小的乘积。 rFA cos F m r 1. 恒力的功恒力的功 AFr 即：即：功等于质点受的力和它的位移的标积功等于质点受的力和它的位移的标积。 （力对空间的累积效应）（力对空间的累积效应） 20

4、21-7-2 2. 变力的功变力的功 在小在小元位移元位移上的上的元功元功（微功微功）：）： rFA dd rFrFAd)cos(cosdd rF t d F dr a b 从从ab ，力的总功为，力的总功为所有无限小段所有无限小段 元位移元位移上的上的元功之和元功之和。 b a ab rFA ddA b a t rF d Fn Ft 2021-7-24 2021-7-25 注：注：力和位移均为矢量，但功是标量。力和位移均为矢量，但功是标量。 功是过程量，与路径有关。功是过程量，与路径有关。 功有正负。功有正负。 直角坐标系中直角坐标系中 b a ab rFA d b a b a b a z

5、z z y y y x x x zFyFxFddd )ddd()(kzj yi xkFjFiF b a zyx b a zyx zFyFxF)ddd( 3.合力的功合力的功合力的功合力的功=分力的功的代数和分力的功的代数和 4. SI制单位制单位: : 焦（焦（J ）；）；1 1J = 1 Nm 2021-7-26 5. 功率功率 （力在单位时间内所作的功力在单位时间内所作的功） t A P （1）平均功率）平均功率 （2）（瞬时）功率（瞬时）功率 t A t A P td d lim 0 rFA dd SI制中，功率的单位制中，功率的单位:瓦（瓦（ W ）；）；1 W = 1 J/S 。 v

6、F t r FP d d 2021-7-27 3.1.2 动能定理动能定理（kinetic energy theorem） b a t b a ab rFrFAdd t v mmaF tt d d 由牛二律，在切线方向，由牛二律，在切线方向， 22 2 1 2 1 ab mvmv “合外力对质点所做的功等于质点动能的增量合外力对质点所做的功等于质点动能的增量” kkakbab EEEA 质点的动能定理质点的动能定理 b a ab r t v mAd d d =v 2. 质点的动能定理质点的动能定理 1. 动能定义动能定义 2 2 1 mvE k b v a v vmvd a. 动能定理推导动能

7、定理推导 2021-7-28 b. 分析说明：分析说明： 动能定理本质上是牛顿第二定律的推论，它从一动能定理本质上是牛顿第二定律的推论，它从一 个侧面反映了质点在力学过程（空间积累过程）中所服个侧面反映了质点在力学过程（空间积累过程）中所服 从的规律。从的规律。 动能和物体的运动状态相联系，是状态量；而功是动能和物体的运动状态相联系，是状态量；而功是 与物体在力作用下的具体运动过程相联系，它一般是路与物体在力作用下的具体运动过程相联系，它一般是路 径的函数，是过程量。径的函数，是过程量。 做功是使质点动能改变的手段，动能的变化又是用做功是使质点动能改变的手段，动能的变化又是用 功来量度的，故二

8、者具有相同的单位。功来量度的，故二者具有相同的单位。 2021-7-29 c. 动能定理的微分形式动能定理的微分形式 vF t r F t A P d d d d 由功率的定义式由功率的定义式 k EAdd 和动能定理和动能定理 得得 t E vF k d d 动能定理的微分形式动能定理的微分形式 （见课本（见课本P56推导）推导） 2021-7-210 第第3章章 机械能和功机械能和功 3.2 保守力做功与势能保守力做功与势能 3.2.1 保守力与耗散力保守力与耗散力 3.2.2 势能势能 3.2.2 由势能函数确定保守力场由势能函数确定保守力场 2021-7-211 3.2 保守力做功与势

9、能保守力做功与势能 3.2.1 保守力保守力（conservative force）与耗散力与耗散力 r+dr dr rB rA A B m1 m2 1. 万有引力做功的特点万有引力做功的特点 取取m1为原点，则为原点，则m2受受m1的万有引力为：的万有引力为： r r r mGm f 2 21 引力的功为引力的功为: B A B A rr r mGm rfA dd 3 21 引引 r r r r mGm B A d 2 21 )( 2121 ）（ AB r mGm r mGm 只与只与m的始末位置有关，而与路径无关的始末位置有关，而与路径无关。 )( r r r dr ) ) (ddcosd

10、 )rrrrr r r f 2021-7-212 2.重力做功的特点重力做功的特点(参考例参考例3-5) rgmA dd smgdcos 从从12，重力的功为，重力的功为 )(d 12 2 1 mghmghAA 重重 smgd)cos( hmg d 显然，显然，m 经经L1和和L2 ,重力作功相等。重力作功相等。 重力作功，只与始末位置有关，而与路径无关。重力作功，只与始末位置有关，而与路径无关。 rmg dcos 2021-7-213 3. 弹性力做功的特点弹性力做功的特点(参考例参考例3-6) 水平面光滑。取平衡位置（弹簧为原长时物体水平面光滑。取平衡位置（弹簧为原长时物体m 位置）为坐标

11、原点，则质点从位置）为坐标原点，则质点从 x1x2，弹力弹力 f = kx 所作的功为所作的功为 2 1 d x x xfA 弹弹 亦只与始末位置有关，而与路径无关。亦只与始末位置有关，而与路径无关。 ixkf 一维运动时一维运动时 x : 对自然长度的增加量，对自然长度的增加量， k : 弹簧的弹簧的劲度劲度（stiffness）。）。 o x m x o xx1x2 km km 2 1 d x x xxk ) 2 1 2 1 ( 2 1 2 2 kxkx xkf f 2021-7-214 4. 保守力与非保守力：保守力与非保守力： 作功与路径有关的力作功与路径有关的力称为称为非保守力非保守

12、力。或或耗散力耗散力。 做功与路径无关，做功与路径无关，只与始末位置有关只与始末位置有关的力称为的力称为保守力保守力。 如：如：重力、万有引力、弹性力、静电场力重力、万有引力、弹性力、静电场力等等。 如：如： 摩擦力、爆炸力摩擦力、爆炸力等等。 0d L rf 保保 B A L2 L1 r f m2 d r L=L1+L2 m1 B A B A rfrf dd 保保保保 (L1)(L2) (L1)(L2) B A A B rfrf dd 保保保保 保守力沿任意闭合路径做的功是零保守力沿任意闭合路径做的功是零。 2021-7-215 3.2.2 势能势能(Potential Energy)（仍以

13、引力为例）（仍以引力为例） 1.定义：定义： AB B A BA r GmM r GmM rFA d 按照动能定理：按照动能定理： 若质点在引力场中运动（只受引力作用）若质点在引力场中运动（只受引力作用） kAkB B A BA EErFA d kAkB AB EE r GmM r GmM 或或 kA A kB B E r GmM E r GmM )()( 质点的动能质点的动能Ek与其在引力场中的空间位置有关，同与其在引力场中的空间位置有关，同 时，有一个与该空间位置相关的物理量时，有一个与该空间位置相关的物理量 与动能与动能 Ek相对应，相对应， 与动能与动能Ek的和保持不变。的和保持不变。

14、 )( r GmM )( r GmM m在在M的引力场中从的引力场中从A点运动到点运动到B点时，引力做点时，引力做 功为功为 2021-7-216 定义为（引力）定义为（引力）势能势能 ，通常用，通常用 Ep 表示。表示。 )( r GmM pBkBpAkA EEEE 由此可以设想：质点处于保守力场中时，相应地由此可以设想：质点处于保守力场中时，相应地 具有一具有一 定的势能定的势能与质点所处位置有关。与质点所处位置有关。 当保守力场作正功时当保守力场作正功时,动能增大，动能增大， 可以认为这是质点势能减小并转化为可以认为这是质点势能减小并转化为运动能量运动能量的缘故！的缘故！ 势能就是质点在

15、保守力场中所具有的势能就是质点在保守力场中所具有的潜在的能量潜在的能量 (Potential Energy) （Kinetic Energy） Conservative 有有“保存保存”的意思。的意思。 Conservative force保守力保守力 意味着：在保守力场中，质点的动能可以意味着：在保守力场中，质点的动能可以“势能势能” 的形式保存起来；也可以通过作功的方式再释放出来的形式保存起来；也可以通过作功的方式再释放出来 成为可对外作功的成为可对外作功的“动能动能”。 , 0 AEk 2021-7-217 说明：说明： （1）物体系统具有势能的条件是存在着相互作用的）物体系统具有势能的

16、条件是存在着相互作用的 保守力（有时称为保守内力）；保守力（有时称为保守内力）； （2）势能）势能属于属于相互作用的质点相互作用的质点系统系统； （3）势能不依赖于参考系的选择，）势能不依赖于参考系的选择，不要将势能零点不要将势能零点 的选择与参考系的选择相混淆的选择与参考系的选择相混淆； （4）EP的相对性：需先选定一个参考位置作为势能的相对性：需先选定一个参考位置作为势能 零点位置。而任一位置的势能，在数值上等于从该位置零点位置。而任一位置的势能，在数值上等于从该位置 移到参考位置保守力所作的功；移到参考位置保守力所作的功； （5）EP是状态的单值函数。是状态的单值函数。 2. 势能零点势

17、能零点 若规定系统在位形（若规定系统在位形（B）的势能为零，）的势能为零， 则：则： B A PA rfE d 保保 AB p B A BA ErFA d 保保 势能增量的负值！势能增量的负值！ )( pApB EE 2021-7-218 )( 12 mghmghA 重重 ) 2 1 2 1 ( 2 1 2 2 kxkxA 弹弹 )( 1 21 2 21 ）（ 引引 r mGm r mGm A 3. 几种势能几种势能 （1）万有引力势能万有引力势能 C r mGm rE p )( 21 令令 ， 0)( P E )( 21 r mGm rE P 有有 则则 C = 0 ， 2021-7-219

18、 （2）弹性势能）弹性势能 2 1 )( 2 CxkxE P 2 1 )( 2 xkxE P 令令 0)0(， P E有有 （3） 重力势能重力势能 CmghhE P )( 令令， 0)0( P EmghhE P )( 有有 3.2.3 由势能函数确定保守力场（由势能函数确定保守力场（不要求不要求） 2021-7-220 第第3章章 机械能和功机械能和功 3.3 功能原理功能原理 能量守恒定律能量守恒定律 3.3.1 质点系的动能定理质点系的动能定理 3.3.2 功能原理功能原理 3.3.4 机械能守恒定律机械能守恒定律 3.3.3 能量转换和守恒定律能量转换和守恒定律 2021-7-221

19、3.3 功能原理功能原理 能量守恒定律能量守恒定律 3.3.1 质点系的动能定理质点系的动能定理 )2( 2 1 2 1 d)( 2 22 2 22 2 2 222 ab b a vmvmrfF )1( 2 1 2 1 d)( 2 11 2 11 1 1 111 ab b a vmvmrfF m1 F1 f1 f2 m2 F2 b2 a1 a2 b1 v1a v2a v2b v1b 质点：质点：m1 、 m2 初速度：初速度： aa vv 21 、 21 FF 、 外力：外力：内力：内力： 21 ff 、 末速度：末速度： bb vv 21 、 m1: m2: k EAAAA )()( 212

20、1内内内内外外外外 即：即：外力的功之和内力的功之和系统末动能系统初动能外力的功之和内力的功之和系统末动能系统初动能 （1）+（2）得）得: dr1 dr2 2021-7-222 推广得推广得 kkakb EEEAA - 内内外外 所有所有外力外力对质点系做的功和对质点系做的功和内力内力对质点系对质点系做的功之做的功之 和和等于质点系等于质点系总动能的增量总动能的增量。 例：绳一端固定于墙壁，手握绳滑动。例：绳一端固定于墙壁，手握绳滑动。 手对绳的摩擦力没作功，手对绳的摩擦力没作功， 绳对手的摩擦力作负功。绳对手的摩擦力作负功。 f 注注：作用力与反作用力的功不一定等值异号。作用力与反作用力的

21、功不一定等值异号。 质点系的动能定理质点系的动能定理 内力不能改变系统的总动量，但能改变系统的总动能！内力不能改变系统的总动量，但能改变系统的总动能！ p66例例3.8自学自学，结论：质点系内一对作用力与反作用力作，结论：质点系内一对作用力与反作用力作 功之和只与两相互作用质点间的相对位移有关，与参考系功之和只与两相互作用质点间的相对位移有关，与参考系 的选择无关。的选择无关。 2021-7-223 3.3.2 功能原理功能原理(work-energy theorem) 质点系动能定理：质点系动能定理： 将内力分为将内力分为保守内力保守内力与与非保守内力非保守内力，有：，有： k EAAA 非

22、非保保内内保保内内外外 )( 12PPP EEEA 保保内内 pk EEAA 非非保保内内外外 引入系统的引入系统的机械能机械能: Pk EEE EEEAA 12非非保保内内外外 功能功能 原理原理 （积分形式）（积分形式） EAAddd 非非保保内内 外外 （微分形式）（微分形式） 12kk EE ）（）（ 1122PkPk EEEE k EAA 外外内内 2021-7-224 3.3.3 能量转换和守恒定律能量转换和守恒定律 一个一个孤立系统孤立系统不管经历何种变化，不管经历何种变化， 系统系统所有能量的总和保持不变所有能量的总和保持不变。 普遍的能量守恒定律普遍的能量守恒定律 2021-

23、7-225 3.3.4 机械能守恒定律机械能守恒定律 即：即：在只有保守内力作功时，系统的机械能不变。在只有保守内力作功时，系统的机械能不变。 显然，显然，孤立的保守系统机械能守恒。孤立的保守系统机械能守恒。 保保内内 时时，当当AEEE pk 0 A保内 保内 0 0 0 机械能守恒定律机械能守恒定律 0 非非保保内内外外 AA常常量量 E若若 则则 机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在机械运机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在机械运 动范围内的体现。动范围内的体现。 注：注： 本章所讨论的动能定理、功能原理、机械能守恒定律等本章所讨论的动能定理、功能原理、机械能守恒定律等 都是针对惯性系的

24、结论，对于非惯性系一般并不成立。都是针对惯性系的结论，对于非惯性系一般并不成立。 2021-7-226 本次课小结本次课小结 1. 深入理解深入理解功、动能、势能、动能定理、机功、动能、势能、动能定理、机 械能守恒定律械能守恒定律概念。概念。 搞清它们是属于质点、搞清它们是属于质点、 2. 搞清规律的内容、搞清规律的内容、 来源、来源、 对象、对象、适用条件、适用条件、 与参考系的关系等。与参考系的关系等。 还是属于系统？与参考系的选择有无关系？还是属于系统？与参考系的选择有无关系？ 注：自学课本例题注：自学课本例题3.1-3.11。 2021-7-227 作业作业: : 习题习题3（ P72

25、）：3-2, 3-5 练习练习：学习指导（力学）学习指导（力学） 一、一、12、13、14 二、二、37、38、39、40、41 预习预习 第第4章章 2021-7-228 b. 分析说明：分析说明： 动能定理本质上是牛顿第二定律的推论，它从一动能定理本质上是牛顿第二定律的推论，它从一 个侧面反映了质点在力学过程（空间积累过程）中所服个侧面反映了质点在力学过程（空间积累过程）中所服 从的规律。从的规律。 由动能定理知，力对物体做功，能改变物体的动由动能定理知，力对物体做功，能改变物体的动 能，也只有力对物体做功，物体的动能才能改变，能，也只有力对物体做功，物体的动能才能改变， 功是功是 机械运

26、动能量变化的量度。机械运动能量变化的量度。 功和动能的概念不可混淆功和动能的概念不可混淆 本质区别本质区别：动能和物体的运动状态相联系，任一运：动能和物体的运动状态相联系，任一运 动状态对应一定的动能，是状态量；而功是与物体在力动状态对应一定的动能，是状态量；而功是与物体在力 作用下的具体运动过程相联系，它一般是路径的函数，作用下的具体运动过程相联系，它一般是路径的函数， 因而功是过程量。因而功是过程量。 密切关系密切关系：过程便意味着状态变化。合外力对质点：过程便意味着状态变化。合外力对质点 做功，质点的动能便发生变化。做功是使质点动能改变做功，质点的动能便发生变化。做功是使质点动能改变 的

27、手段，动能的变化又是用功来量度的，故二者具有相的手段，动能的变化又是用功来量度的，故二者具有相 同的单位。同的单位。 动能是质点因运动而具有的做功本领。动能是质点因运动而具有的做功本领。 2021-7-229 例例1：有一水平放置的弹有一水平放置的弹 簧，其一端固定，另一端簧，其一端固定，另一端 系一小球，求小球的位置系一小球，求小球的位置 由由 a 移到移到 b 的过程中，弹的过程中，弹 力对它做的功。设弹簧的劲度系数为力对它做的功。设弹簧的劲度系数为 k 。 m ox f 解解：路径为直线，而力随位置改变。：路径为直线，而力随位置改变。 取取x轴与小球运动轴与小球运动 的直线平行，而原点对

28、应于小球的平衡位置。这样，小的直线平行，而原点对应于小球的平衡位置。这样，小 球在任一位置球在任一位置x 时，弹力就可以表现为时，弹力就可以表现为xkf xa ab xb b a b a x x x x ab xxkxfAd d 小球由小球由 a 移到移到 b ，弹力做的功为：，弹力做的功为： 22 2 1 2 1 ba xkxk 如果如果xaxb ，即弹簧缩短时，弹力对小球做正功。，即弹簧缩短时，弹力对小球做正功。 如果如果xaxb ，即弹簧伸长时，弹力对小球做负功。，即弹簧伸长时，弹力对小球做负功。 值得注意的是，这一弹力的功只和弹簧的始未伸值得注意的是，这一弹力的功只和弹簧的始未伸 长量

29、有关，而和伸长的中间过程长量有关，而和伸长的中间过程 无关。无关。 2021-7-230 例例2：一陨石从距地面高为：一陨石从距地面高为h处由静止开始落向地面，忽处由静止开始落向地面，忽 略空气阻力，求陨石下落过程中，万有引力略空气阻力，求陨石下落过程中，万有引力所做所做的功？的功？ 解解：取地心为原点，引力与矢径方向相反：取地心为原点，引力与矢径方向相反 d R hR rfA )(hRR GMmh R hR r r Mm Gd 2 d 2 R hR r r mMG a b h R o f ) 11 ( hRR GMm 2021-7-231 1 r 2 r 1.一对力一对力 分别作用在两个物体

30、上的大小相分别作用在两个物体上的大小相 等、方向相反的力，等、方向相反的力，称之为称之为 “一一 对力对力”。一对力通常是一对力通常是作用力与反作用力与反 作用力，作用力，但也可不是。但也可不是。 2211 dddrfrfA 212 ddrfA b2 a2 a1 b1 dr1dr2 m1 m2 f1 f2 r21 o x y z 所做元功之和所做元功之和： 21 ff 、 21 ff 因为：因为： )(d 122 rrf )dd(d 122 rrfA 所以：所以： 2112 rrr 因为：因为： 2.一对力的功一对力的功 P74 思考题思考题 3-1 求证：求证：一对内力做功与参考系的选择无关一对内力做功与参考系的选择无关。 2021-7-232 两质点间的两质点间的“一对力一对力”所做功之