第4章 傅里叶变换和系统的频域分析

1、第4章 傅里叶变换和系统 的频域分析 连续信号与系统的频域分析就是将时间变量 变换为频率变量的分析方法，这种方法以傅 里叶（Fourier）变换理论为工具，将时间域 映射到频率域。 绪论 信号表示为正交函数分量的原理与矢量分解为正交矢量的概念类似。信号表示为正交函数分量的原理与矢量分解为正交矢量的概念类似。 1 A 一、矢量的分量一、矢量的分量 2 A 1 A E 212 Ac 1 A 2 A E 2 Ac 1 A E 2 Ac 2 A 矢量矢量 在矢量在矢量 上的分量示意图上的分量示意图 )(a )(b )(c 2 A 2112ACAE 图图(a)中中 4.1 信号分解为正交函数 用分量用分

2、量 来近似代表原矢量来近似代表原矢量 的误差的误差 矢量。矢量。 E 212AC 1A 图图 中中 为为 在在 上的斜投影，可有上的斜投影，可有 无穷多个斜投影，用斜投影近似代表原矢量无穷多个斜投影，用斜投影近似代表原矢量 时，时， 都大于都大于 。 )()(cb 、22AcAc , 1A 2A 1A EE ,E 结论：若用一矢量的分量去代表原矢量而误差矢量结论：若用一矢量的分量去代表原矢量而误差矢量 最小，则这个分量只能是原矢量的垂直投影。最小，则这个分量只能是原矢量的垂直投影。 2112ACAE 图图(a)中中 从几何图上可得：从几何图上可得： 2 21 2 21 1212 cos cos

3、 A AA A AA AAC 2 2 21 22 21 12 A AA AA AA C 12 C是在最小平方误差的意义上标志着是在最小平方误差的意义上标志着 和和 相互近似程度。相互近似程度。 1 A 2A 2 A 1 A E 212 Ac )(a 例如：例如： 和和 相同时，相同时， 1 A 2A 112C 21 AA 时，时，0 2 cos. 2 2 21 12 A AA C 由图由图 还可看出，还可看出， )(a EACA 212 1 其中其中 ， 与与 组成一正交矢量。组成一正交矢量。 EA 22A E 二、矢量的正交分解二、矢量的正交分解 正交矢量：相互垂直的矢量正交矢量：相互垂直的

4、矢量 1)1)任意平面矢量任意平面矢量A:A:均可用二维正交的分矢量组合表示均可用二维正交的分矢量组合表示 V1 V2 C1V1 C2V2 V1 V2 A 0 若若V1 、V2为正交单位矢量为正交单位矢量 1 122 ACVC V ii i i VV VA C 2)2)任意空间矢量任意空间矢量A:A: 可用三维正交的分矢量组合表示可用三维正交的分矢量组合表示 空间上完备的正交矢量集为空间上完备的正交矢量集为VV1 ,V ,V2， ， V V3 1 12233 ACVC VC V A C1V1 C2V2 C3V3 0 ii i i VV VA C 矢量空间的概念可以引申到矢量空间的概念可以引申到

5、n n维。设维。设n n维正交矢量集为维正交矢量集为 nVVVV 321、 即即 )( ( mlVV VKVV ml mmmm 0 不为单位矢量） 则则 rr r r r r nnrr VV VA K VA C VCVCVCVCA 2211 类似，我们在信号空间找到相互正交的基本信号，类似，我们在信号空间找到相互正交的基本信号， 使信号空间中的任意信号均可表示为它们的线性组合。使信号空间中的任意信号均可表示为它们的线性组合。 二二.信号的分量信号的分量 信号常以时间函数表示，所以信号的分解指的就是信号常以时间函数表示，所以信号的分解指的就是 函数的分解。函数的分解。 1 1、函数的分量、函数的

6、分量 设在区间设在区间 内，用函数内，用函数 在另一在另一 函数函数 中的分量中的分量 来近似的代表来近似的代表 原函数原函数 。 21ttt)(tf1 )(tf2)(tfC 212 )(tf1 212121ttttfCtf)()( 取何值时，得到最佳近似？取何值时，得到最佳近似？12C 选择误差函数选择误差函数 的方均值为最小的方均值为最小。)(t 即即)()()(tfctft 2 12 1 方均值为方均值为 dtt tt t t ）（ 2 12 2 2 1)( 1 求此值最小时的求此值最小时的 12C 令令 0)()( 2 2121 12 2 1 dttfctf c t t 解得解得 2

7、1 2 1 2 2 21 12 t t t t dttf dttftf c )( )()( 矢量分解矢量分解 2 2 21 12 A AA C 12 c 是在最小方均误差的意义上代表二函数是在最小方均误差的意义上代表二函数 和和 间的相关联的程度间的相关联的程度。 )( 1 tf )(2tf 00 2 1 2112 t t dttftfC)()( 称称 和和 在区间在区间 内为正交，构成内为正交，构成 了一个正交函数集。了一个正交函数集。 )(tf1)(tf2),( 21tt 21211200AAAAC 称称 与与 正交，组成正交矢量。正交，组成正交矢量。 1A 2A 0)()(:),( .

8、,)()(, 0 2 1 2121 2112 t t dttftftt tftfc 内正交的条件在 称为正交 的分量内不包含则若 正交条件正交条件 正交函数集正交函数集 . )( )(0)()( ,),( ,)(),(),( 2 1 2 1 2 21 21 数集则此函数集称为正交函 即内满足正交特性如在区间 构成一函数集个函数 t t ii t t ji n Kdttg jidttgtg tt tgtgtgn 2 1 2 1 2 1 )()( 1 )( )()( , )( )()()()( : 2 1 2211 t t i i t t i t t i i i n r rr nn dttgtf

9、K dttg dttgtf c c tgc tgctgctgctf n 满足要求由最小方均误差准则 合近似个正交的函数的线性组任意函数由 2 1 2 1 )()()(2)( 1 )()( 1 2 11 2 12 2 1 12 2 t t n r rr n r rr t t n r rr dttgctgctftf tt dttgctf tt 复变函数的正交特性复变函数的正交特性 . ),( )()( )(0)()( ),.,2 , 1)( 21 * * 2 1 2 1 函数集则此复变函数集为正交 内在区间 满足复变函数集 tt Kdttgtg jidttgtg nrtg i t t ii t t

10、 ji r 完备正交函数集完备正交函数集 . 0lim, )( 1 )()( 1 )()(),( )(),.(),(: 2 1 2 2 12 2 1 12 2 1 21 21 2 1 2 1 交函数集则此函数集称为完备正 有趋于无限大若令 方均误差为 近似表示函数在 如果用正交函数集定义一 n t t r n r r t t r n r r r r r n n Kcdttf tt dttgctf tt tgctftt tgtgtg . )(0)()( )(0),( ,)(),.,(),( : 2 1 2 1 2 21 交函数集则此函数集成为完备正 为任意正整数满足条件 即不存在有限能量函数 之

11、外如果在正交函数集 定义二 idttgtx dttxtx tgtgtg t t i t t n 10 0 1 10 0 1 10 0 )0( )0( )(0 coscos )( )0( 0 sinsin 0sincos , 2 . ),( ,.sin,cos ,.,2sin,2cos,sin,cos, 1 211 2 11 11 1 1 100 11 1111 Tt t T Tt t T Tt t nmT nm nm tdtmtn nm nm tdtmtn tdtmtn T Ttt tntn tttt 在区间内满足其中函数集 内是完备正交三角函数集在区间 )( )( 0 )( , 2 .),(

12、 ,.)2, 1, 0( 10 0 11 1 1* 1 1 100 nm nmT dtee T Ttt ne Tt t tjntjm tjn 在区间内满足其中 内是完备正交函数集在区间 复指数函数集 4.2 4.2 周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数 周期信号周期信号f f ( (t t) )的定义的定义 f f (t)= f f (t mT) t m =0,1,2,3 T =2 / 表示表示f f (t)的角频率的角频率 周期信号周期信号f f (t)在区间在区间(t0, t0+T)内可以展开成在完备内可以展开成在完备 正交函数空间中的无穷级数。正交函数空间中的无穷级数。 周期信号展开

13、成傅里叶级数的条件周期信号展开成傅里叶级数的条件 2)2) f f( (t t ) )在一在一周期内有有限个极大值或极小值周期内有有限个极大值或极小值 3) 3) f f ( (t t ) ) 在一在一周期内只有有限个第一类间断点周期内只有有限个第一类间断点 通常遇到的周期信号都满足该条件，不在特别说明。通常遇到的周期信号都满足该条件，不在特别说明。 dttf Tt t 1 1 )( 1 1、三角函数集、三角函数集 ,sin,sin,sin ,cos,cos,cos, tntt tntt 111 111 2 21 为任意整数 Tt nmtdtinntm 1 1 11 ,0cos t s Tt

14、nm Tt tdtntmtdtntm 1 1 1 1 1111 0cos tt sinsincos TtTt T tdtntdtn 1 1 1 1 1 2 1 2 2 sincos tt 三角函数的公共周期 1 2 T 正交函数集，三角函数集是一完备当n 为内可用三角函数集表示在区间周期函数)()(,Ttttf11 tnbtna a tfnn n 11 1 0 2 sincos)( 下：在均方误差最小的条件 Tt t Tt t Tt t n Tt t Tt t Tt t n tdtntf T tdtn tdtntf b tdtntf T tdtn tdtntf a 1 1 1 1 1 1 1

15、1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2 sin)( sin sin)( cos)( cos cos)( 直直流流分分量量 2 0 a 称为基波分量， 次谐波分量称为， tbtan tnbtnan nn 111 11 sincos1 nsincos1 1 1 0 1 0 )cos( 2 sincos 2 )( n nn nn n tnA a tnbtna a tf )cos( sincos sincos nn n n n n n n nn tnA tn A b Atn A a A tnbtna 22 nnn baA n a n b n n n n a b tg 1 2、 函数

16、的对称性与傅立叶系数的关系 如果信号的波形满足某种对称性，则傅立叶级数中有 些项将不出现 v 整周期对称：偶函数只含余弦项和直流项 奇函数只含正弦项 v 对半周期对称：偶谐函数只含偶次谐波分量 v 奇谐函数只含奇次谐波分量 （1）信号为偶函数 ），纵轴对称（偶函数)()(tftf 1 0 2 0 cos 2 )( cos)( 4 0 n n nn n T nn tna a tf aA m tdtntf T ab ， )( )( tf tf下形式在一个周期内可写为如 0 2 2 2 0 2 t T t T E T tt T E 0nbtf是偶函数，故)( Etdt T E tdt T E T d

17、ttf T a T TT T )( 0 2 2 0 2 2 0 2222 . 1 求其傅立叶展开式 如图所示，有一偶函数，其波形例 )(tf t TT 2 T 2 T E 解解: )( )( 11 2 2 n n E )( )( )( 为偶数 为奇数 n n n E 0 4 2 t T n n EE tf n 214 2 531 22 cos)( , sin 1 sin 8 ) 2 (cos 24 2 0 2 0 2 2 0 tdt n tn n t T E T tdtnt T E T a T T T n （2）信号为奇函数 ，原点对称（奇函数）)()(tftf 1 2 sin)( 2 ) 1

18、2( sin)( 4 0 0 0 n n nn n T t t nn tnbtf bA m tdtntf T ba ， 22 2T t T t T tf tf )( )(下形式在一个周期内可写为如 0natf是奇函数，故)( )(tf t 1 T 求其傅立叶展开式 如图所示，有一奇函数，其波形例2 解解: t T n n tf n n 21 1 2 1 1 sin)()( 1 2 0 22 2 0 2 0 ) 1( 2 )sin )( 1 cos( 8 sin 24 ) 2 (sin)( 4 n T T T n n tn n tn n t T tdtnt TT T tdtntf T b 注意：

19、 v函数是否为奇（或偶）函数不仅与周期函数的波 形 有关，而且与时间坐标原点的选择有关。 v对于非奇非偶函数，若将原信号的波形通过移动坐 标轴（包括横坐标和纵坐标）后，具有某种对称性。 v任意一个信号都可以分解为偶函数和奇函数两部分 之和，因此一般非奇非偶信号的傅立叶级数中应含 有正弦分量和余弦分量 （3）信号为半波重叠信号 0. 531531 bbbaaa 和偶次谐波无奇次谐波，只有直流 （4）信号为半波镜像信号 )( )( tf tf下形式在一个周期内可写为如 42 4 2 44 4 24 4 2 T t T t T T t T t T T t T t T t )(tf T 2 T 4 T

20、 1 2 T 0cos) 4 2(cos 4 cos) 4 2( 2 cos)( 2 2 4 4 4 4 2 2 2 tdtnt T tdtnt T tdtnt TT tdtntf T a T T T T T T T T n 求其傅立叶展开式 形如图所示，有一奇谐函数，其波例3 解解: sin) 4 2(sin 4 4 ) 2 (sin)( 4 2 4 4 0 2 0 tdtnt T tdtnt TT T tdtntf T b T T T T n 为偶数 为奇数 n n n n 0 ) 1( 8 2 1 22 2 sin 8 cos 4 )sin )( 1 cos( )sin )( 1 cos

21、( 16 22 2 4 2 4 2 4 0 22 n n tn Tn tn n tn n t tn n tn n t T T T T T T )2, 1, 0. 2 1 ne tjn （其中复指数函数集： Tdtee nmdtee Tt t tjntjn Tt t tjntjm 1 1 11 1 1 11 0 为指数函数的公共周期 1 2 T 为一完备的正交函数集当 tjn e 1 , n 表示内可用在区间（任意函数 tjn eTtttf 1 )(1, 1 tjn n n tjn n tjtj tjn n tjtj eF eFeFeF eFeFeFFtf 1 111 111 2 21 2 21

22、0)( dtetf T dtee dtetf F Tt t tjn Tt t tjntjn Tt t tjn n 1 1 1 1 1 11 1 1 1 )( 1 )( 下在方均误差最小的条件 22 1 2 nnnn nnn nnn FabF aFF bjFF n nn n F为的 偶 函 数 , 为的 奇 函 数 为了能既方便又明白地表示一个信号中包含有哪些频率为了能既方便又明白地表示一个信号中包含有哪些频率 分量，各分量所占的比重怎样，就采用了称为频谱图的表示分量，各分量所占的比重怎样，就采用了称为频谱图的表示 方法。方法。 一、一、 频谱图的概念频谱图的概念 由上一节知周期信号由上一节知周

23、期信号f f（t t）可用付里叶级数来表示。）可用付里叶级数来表示。 1 0 )cos( 2 )( n nn tnA A tf 或或 n j nn tjn n eAFetf 2 1 F)( n 4.3 周期信号的频谱 频谱图频谱图 （频谱特性曲线）：（频谱特性曲线）： 描述描述A An n（或（或|F|Fn n| |）及相位）及相位 n n随频率变化的一种谱线图随频率变化的一种谱线图 频谱图分为幅度谱和相位谱频谱图分为幅度谱和相位谱 幅度谱幅度谱：表示表示f f ( (t t) )中中各谐波的幅度各谐波的幅度(A(An n或或 |F|Fn n|)|) 随频率随频率（或（或f f ） 变化的图。

24、变化的图。 相位谱相位谱：表示：表示f f ( (t t) )中中各谐波的相位各谐波的相位 n n 随频率 随频率（或（或f f ）变化的）变化的 图图 。 5 An 0 10 A1 A2 0 2 A 5 |Fn| 0 10 F1F2 -10 -5 F- 2F- 1 幅度谱：以频率 （或（或f f ）为横坐标，以各谐波的振幅An 或或|F|Fn n| | 为纵坐标的谱线图。 每条竖线代表该频率分量的幅度，称为谱线。 连接各谱线顶点的曲线，称为包络线，反映各分 量幅度随频率 （或（或f f ）变化的情况。 幅度谱 -10 -5 5 0 10 2 n 2 5 0 10 2 n 相位谱：以频率 （或

25、（或f f ）为横坐标，以各谐波的相位 为纵坐标。 n 1 1） 单边单边 频谱频谱 信号分解为三角形级数时用单边频谱表示信号分解为三角形级数时用单边频谱表示 5 An 0 10 A1 A2 0 2 A 2 2） 双边频谱双边频谱 信号分解为指数形级数时用双边频谱表示信号分解为指数形级数时用双边频谱表示 5 |Fn| 0 10 F1F2 -10 -5 F- 2F- 1 -10 -5 5 0 10 2 n 2 5 0 10 2 n 离散性离散性：谱线只出现在离散频率点上（离散谱）：谱线只出现在离散频率点上（离散谱） 谐波性谐波性：所含频率均为周期信号角频率：所含频率均为周期信号角频率 的整数倍的

26、整数倍 收敛性收敛性：谐波幅度随谐波幅度随n n的增大而减小的增大而减小, ,当当n n 时时A An n( (或或 F Fn n) )0 0 2/ Fn 0 E/T 4/-2/-4/ An 02/ E/T 4/ 周期信号频谱的特点：周期信号频谱的特点： 例例 已知周期信号已知周期信号f(t)=2cos(2t-3)+sin(6t), 求傅立叶级数指数表示式，并画出其频谱求傅立叶级数指数表示式，并画出其频谱 2 , 2 , 5 . 0 3, 3, 1 5 . 0,5 . 0, 5 . 05 . 0 2 1 2 1 )( 2 333 111 33 3 1 3 1 662323 66)32()32(

27、 0 F F eFFF jFjFeFeF ejejeeee e j e j eetf n j nnn jj tjtjtjjtjj tjtjtjtj 与与相相角角表表示示，将将系系数数用用 |F|Fn n| | 0 0-0 0 3 3 -3 3 1 1 0.50.5 n n 0 0-0 0 3 3 -3 3 3 3 -/2-/2 /2/2 二二 、周期矩形脉冲的频谱、周期矩形脉冲的频谱 周期矩形脉冲信号 F（t） 2 2 T t T：脉冲周期 ：脉冲宽度 A：脉冲幅度 A T 1 2 T：三角函数公共周期 其复系数其复系数 考虑到，上式也可表示为考虑到，上式也可表示为 由此可得的指数形式的傅里叶

28、级数为由此可得的指数形式的傅里叶级数为 ,2, 1,0, 2 2 sin 1 0 0 2 2 2 2 00 n n n T A dte T A dtetf T F tjntjn T Tn T 2 0 , 2, 1, 0, sin n T n T n T A Fn tjn n e T n T n T A tf 0 sin 取样（抽样）函数。它在通信理论中应用很多，取样（抽样）函数。它在通信理论中应用很多， 是一个重要函数。该函数具有以下是一个重要函数。该函数具有以下特点：特点： 是偶函数；是偶函数； 当时，是以为振幅的当时，是以为振幅的“正弦函数正弦函数”， 因因 而对于而对于x的正负两半轴都为

29、衰减的正弦振荡；的正负两半轴都为衰减的正弦振荡； 在处，即，在处，即， 而在处，有；而在处，有； 。 x x xSa sin xSa 0 x 1xSa x 1 , 3 , 2 , 1nnx0sinx 0 xSa 0 x 1 sin lim 0 x x x dxxSadxxSa, 2 0 则周期矩形脉冲的傅里叶复系数可改写为则周期矩形脉冲的傅里叶复系数可改写为 2 2 2 sin 0 0 0 n Sa T A n n T A Fn n F n F 因此，的图形与因此，的图形与Sa(x)Sa(x) 的曲线相似。的曲线相似。 n n只能取只能取0 0、1 12 2、， 的频谱图形是图中虚线的频谱图形

30、是图中虚线 上的离散值，虚线称为上的离散值，虚线称为 频谱的包络线，频谱可频谱的包络线，频谱可 以看成是对包络线的离以看成是对包络线的离 散抽样。散抽样。 信号的重复周期信号的重复周期T和脉冲持续时间和脉冲持续时间与与频谱频谱的关系的关系 （1） T不变与不变与变化：当保持周期变化：当保持周期T不变，而将脉冲宽不变，而将脉冲宽 减小，则频谱的幅度随之减小，相邻谱线的间隔不减小，则频谱的幅度随之减小，相邻谱线的间隔不 变，频谱包络线过零点的频率增高，频率分量增多，频变，频谱包络线过零点的频率增高，频率分量增多，频 谱幅度的收敛速度相应变慢。谱幅度的收敛速度相应变慢。 F F0 0=A/T=A/T

31、 w w1 1=2/T=2/T （2）不变而周期不变而周期T不同：不同： 随着周期随着周期T，频谱幅度随之，频谱幅度随之，相邻，相邻 谱线的间隔变小，谱线变密。但其频谱包络谱线的间隔变小，谱线变密。但其频谱包络 线的过零点所在位置不变。如果周期无限增线的过零点所在位置不变。如果周期无限增 长（变为非周期信号），此时，相邻谱线的长（变为非周期信号），此时，相邻谱线的 间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过 渡到非周期信号的连续频谱渡到非周期信号的连续频谱 。 “带宽带宽”： 这段频率范围称为矩形信号的有这段频率范围称为矩形信号的有 效带宽（或称为效带宽（或称

32、为“频带宽度频带宽度”，简称，简称“带宽带宽”），）， 记作记作 为，即为，即 或或 频带宽度与持续时间关系：频带宽度与持续时间关系： 信号的频带宽度与信号的持续时间成反比，信号持信号的频带宽度与信号的持续时间成反比，信号持 续时间愈长，其频带愈窄；反之，信号脉冲愈窄，续时间愈长，其频带愈窄；反之，信号脉冲愈窄， 其频带愈宽。其频带愈宽。 2 0 2 1 f 三、周期信号的功率谱三、周期信号的功率谱 一、一、频谱密度函数频谱密度函数 以周期矩形信号为例，当周期 （周期信号变为非周期信号）， （离散频谱变成连续频谱） 即各频率分量的幅度趋于零（无穷小）。 T 0 1 0 2 1 nnAF 以上两

33、节讨论了周期信号的付里叶级数，并得到周期信号的频谱具有离散以上两节讨论了周期信号的付里叶级数，并得到周期信号的频谱具有离散 性、谐波性、收敛性三个特点，本节把上述傅立叶分析方法推广到非周期信性、谐波性、收敛性三个特点，本节把上述傅立叶分析方法推广到非周期信 号中，导出非周期信号的傅立叶变换号中，导出非周期信号的傅立叶变换FTFT。 此时，还用谱系数表示频谱就失效了，但谱线长度（振幅）虽同 为无穷小，但它们的大小并不相同，相对值仍有差别。 4.4非周期信号的频谱 为了表明无穷小的振幅间的相对差别，有必要引入为了表明无穷小的振幅间的相对差别，有必要引入 一个新的量一个新的量称为称为“频谱密度函数频

34、谱密度函数”。 dtetf dtetfTFjF tj T T tjn T n T )( )()( 2 2 1 limlim 则定义， 2 2 1 )( 1 T T tjn n dtetf T F 连续频率，离散频率，为非周期信号若 ：两边同时乘以 11 2 2 nTf(t) )(T 1 d dtetfTF T T tjn n 频谱函数。的频谱密度函数，简称称为原函数 频谱密度的概念值，反映单位频带的频谱从量纲上来看： f(t) jF f F TFjF n n 续函数幅度谱，相位谱均为连 示一般为复信号，故可表 )( )()( )( wj ejwFjwF jwF 叶变换二、非周期信号的傅里 1

35、1 1 11 1 1 )( 22 T )( tjn n n n tjn n e F tf d Tnd eFtf ，当 ，由周期信号 ， 2 )( ,T 1 jFFn dtetfjF dejFtf tj tj )()( )( 2 1 )( 换。的频谱密度或傅里叶变称为)()(tfjF 傅立叶逆变换 傅立叶正变换 dejFtf dtetfjF tj tj )()( )()( 2 1 )F(j)()()(f(t)F(j 1 tfjFtf，或，记作：FF ）（ 备正交）谐和振荡函数集（完这里 j tj ejFjF e )()( dtjFj dtjF dejFtf dejFtf tj tj )(sin)

36、( 2 1 )(cos)( 2 1 )( 2 1 )( )( 2 1 )( ()( 的三角函数形式三、 0 )(cos)( 1 )(cos)( 2 1 dtjF dtjF 奇函数积分为零 从上式可以看出：从上式可以看出： 非周期信号和周期信号一样，也可以分解成许多不同频率的正、余弦分量。非周期信号和周期信号一样，也可以分解成许多不同频率的正、余弦分量。 不同的是，由于非周期信号的不同的是，由于非周期信号的 于是它包含了从零到无限高的所于是它包含了从零到无限高的所 有频率分量。有频率分量。 同时，三角函数振幅同时，三角函数振幅 ，故用频谱不能直接画出，必须用它的密度，故用频谱不能直接画出，必须用

37、它的密度 函数作出。函数作出。 1.1. 最后必须指出，从理论上讲，最后必须指出，从理论上讲，FTFT也应满足类似狄氏条件。也应满足类似狄氏条件。 0 djF)( 而非必要条件。 可积，dtf(t)存在的充分条件是FT的f(t)，绝绝对对 0 )(cos)( 1 )( dtjFtf ,01T 周期信号周期信号非周期信号非周期信号 傅立叶级数傅立叶级数傅立叶变换傅立叶变换 频谱离散频谱离散频谱连续频谱连续 频谱用幅度表示频谱用幅度表示频谱用密度函数表示频谱用密度函数表示 n tjn ne Ftf 0 )( deFtf tj )( 2 1 )( 1 1、矩形单脉冲信号（门函数）、矩形单脉冲信号（门

38、函数） t 2 0 2 )(tf )( : tG 脉冲 A (a) 四 典型信号的傅立叶变换 )(sin )()()( 22 2 222 2 aA A ee j A dteAdtetfjF s jj tjtj )( ) 2 ()( aAjFs 210 222122 1224 0 , )()( )( n nn nn t 2 0 2 )(tf )( : tG 脉冲 642 0 )(jF A A 8642 0 )( (a) (b) (c) )( jF A 8642 0 (d) 连续谱连续谱 时有限，频无限时有限，频无限 有效带宽有效带宽 /2 w B 部分所以只须作出 系作出，的部分可以根据对称关奇

39、函数。故作图时 的）是（的偶函数，是 0 0 )( jF 0)()(2 tetf t 、单边指数信号 1 t 0 f(t) (a) 0 1 )( jF (b) 1 22 0 )( 11 )()()( jtg tjtj e j dtedtetftfjFF 1 22 )( 1 )( 1 )( tgjF j te t 即 不存在。不收敛，时，FT0dte t 0)(2 t etx、双边指数信号 x(t) 0t (a) 1 0 0 22 () 112 atj tatj t X je edteedt a ajaja 0)( 2 )( 22 jX 结论：结论：实偶信号的傅立叶实偶信号的傅立叶 变换是实偶函

40、数。变换是实偶函数。此时可以此时可以 用一幅图表示信号的频谱。用一幅图表示信号的频谱。 ()X j 2 a 1 a aa ）（、单位冲激函数t1 付里叶变换）的）、（()(FTt1 )(t )(jF ) 1 ( 00t 1 )(a )(b 1)( 1)()()( 0 t edtettjF jtj F 物理意义：在时域中变化 异常剧烈的冲激函数包含 幅度相等的所有频率分量。 因此，这种频谱常称为“均 匀谱“或”白色谱“。 3.5常用非周期信号的傅立叶变换 信号的持续时间与其频带宽度成信号的持续时间与其频带宽度成反比反比 ）（、冲激偶函数t2 )()( )( nn jwt）（ 广义傅立叶变换 3

41、单位直流信号单位直流信号 幅度等于幅度等于1的直流信号可表示为的直流信号可表示为 它不满足绝对可积条件，但其傅里叶变换却存在。它可它不满足绝对可积条件，但其傅里叶变换却存在。它可 以看作是函数以看作是函数 当当 时的极限。时的极限。 ttf1 0 1 aetf ta 0a 因为因为 当时，当时， 由上式可见，它是一个以由上式可见，它是一个以为自变量的冲激函数。根据冲激为自变量的冲激函数。根据冲激 函数的定义，该冲激函数的强度为函数的定义，该冲激函数的强度为 所以有所以有 2arctan2lim 1 2 lim 2 lim 0 2 0 22 0 dd 0, 0,0 2 lim 22 0 0 22

42、 0 0 11 2 dteedteedtetfF tjttjttj 2 2 lim 22 0 a 结论：结论： 1、幅度为、幅度为1的直流信号的频谱函数为的直流信号的频谱函数为2(); 2、直流信号在频域中只含有、直流信号在频域中只含有=0的直流分量，而不含其的直流分量，而不含其 它频率分量；它频率分量； 3、直流信号持续时间为无限大，因而占有的频带宽度为、直流信号持续时间为无限大，因而占有的频带宽度为0， 符合信号的持续时间与频带宽度成反比的规律。符合信号的持续时间与频带宽度成反比的规律。 0 0 ( )X 1 2 3 4 4） 符号函数的傅里叶变换符号函数的傅里叶变换 1 0 sgn( )

43、 0 0 1 0 t tt t 借助奇双边指数借助奇双边指数 函数函数, ,求极限求极限 sgn( ) t t 0 1 1 1 2 3 4 4 F(j0)=0 F(j0)=0 可认为可认为 正负正负 相互被抵消相互被抵消 的奇虚函数 0, 0, )( te te tf t t )sgn()(0 0 4321 ttf 设 0, 2 0, 0 2 lim 22 0 j j当 j tF 2 )sgn( 5 5）阶跃函数的傅里叶变换阶跃函数的傅里叶变换 f f (t)= (t) 0 () ()Fj ( )f t t 0 1 t 0 1/2 = + 1 sgn( ) 2 t t 0 1/2 1/2 1

44、0 0 ()X 1 + = 0 0 ()X () 1 1 ()R (t) = 1/2+ + 1/2sgn(t)= = ( ( )+)+j j (-1/(-1/ ) ) 归纳记忆： 1. F 变换对变换对 2. 常用函数常用函数 F 变换对：变换对： t 域域 域域 tetfjF tj d)()( tejFtf tj d)( 2 1 )( (t) (t) j 1 )( e - - t (t) j 1 g(t) 2 Sa sgn (t) j 2 e |t| 22 2 1 1 2() 4.5 傅立叶变换的性质 例：例： (t) = 1/2+ + 1/2sgn(t) = = ( )+j (-1/ )

45、【例】【例】 求图示信号的傅求图示信号的傅 里叶变换里叶变换 。 F 将看成门函数的叠加，应用门函数的将看成门函数的叠加，应用门函数的 傅里叶变换及线性性质就可简便地求得。即傅里叶变换及线性性质就可简便地求得。即 由线性性质知由线性性质知 tf tgtg 42 , F tgtgtf 42 242 42 SatgSatg 242SaSaF 2 )( satg For example F(j) = ? 0 f ( t ) t 1-1 1 Ans: f (t) = f1(t) g2(t) f1(t) = 1 2() g2(t) 2Sa() F(j) = 2() - - 2Sa() 0 f 1( t

46、) t 1 0 g2 ( t ) t1-1 1 - - 二、奇偶性二、奇偶性 If f(t) is real, then tttfjtttfttfjF tj d)sin()(d)cos()(de)()( = R() + jX() )()(| )(| 22 XRjF )( )( arctan)( R X So that R()= R() , X() = X () |F(j)| = |F( j)| , () = () (2) If f(t) F(jw) ,thenf(-t) F (jw) 的实偶函数必为 则 是实偶函数，即 )( cos)(2)()( 0sin)()( )()()()3( 0 jF

47、 tdttfRjF tdttfX tftftf 的虚奇函数必为 则 是实奇函数，即 )( sin)(2)()( 0)( )()()()4( 0 jF tdttfjjXjF R tftftf t t 0 0 ( )f t 1 1 0 0 ( )X 1 1 )(2)( )()( ftF Ftf 则 若 例如例如 (t) =1 =1 1 =2 =2(-(- ) =) =2 2( ( ) ) 例例： Sa(t) t 0 0 1/2 11 Sa( ) 0 2 1 0 0 -11 频宽有限频宽有限 t Sa(t) 0 2 1 时宽有限时宽有限 频宽无限频宽无限 时宽无限时宽无限 傅立叶变换时域与频域的对称

48、关系傅立叶变换时域与频域的对称关系 时域时域 频域频域 周期信号周期信号 离散谱离散谱 离散信号离散信号 周期性周期性 连续信号连续信号 非周期非周期 非周期信号非周期信号 连续谱连续谱 是非零的常数则 若 a a jF a atf jFtf )( 1 )( ),()( ),()(jFtf a 时，当1 一一对对矛矛盾盾。速速度度与与占占用用频频带带宽宽度度是是在在无无线线电电通通信信中中，通通信信 等等效效于于在在频频域域中中压压缩缩。展展反反之之，信信号号在在时时域域中中扩扩 等等效效于于在在频频域域中中扩扩展展。缩缩说说明明：信信号号在在时时域域中中压压 )( )( 1 1 a a FF

49、 )( 2 tf 0 1 t )( 1 tf 1 2 t 2 0 )( 1 jF 2 4 2 4 )( 2 jF 2 2 2 0 )()( ),()( 0 tj ejFttf jFtf 那么 若 失失真真。 否否则则输输出出会会分分量量都都滞滞后后相相位位则则系系统统设设计计得得每每个个频频率率 时时延延通通过过一一个个系系统统传传输输后后仅仅应应用用：要要使使一一个个信信号号 相相对对应应。延延时时和和在在频频域域中中的的移移相相说说明明：信信号号在在时时域域中中的的 , )( 0 , 01 t ttf Given that f (t)F( j), find f (at b) ? f (at

50、) a jF a | 1 f (at b) = )( a b taf a jFe a b a j | 1 For example F(j) = ? Ans: f1(t) = g6(t - 5) , f2(t) = g2(t - 5) g6(t - 5) g2(t - 5) F(j) = 5 e)3Sa(6 j 5 e)Sa(2 j 5 e)Sa(2)3Sa(6 j 0 f ( t ) t 2 -1 2 1 468 0 f1 ( t ) t 2 2 1 468 + 0 f2 ( t ) t 2 2 1 468 若若 且为常数，则且为常数，则 证明证明 由傅里叶变换定义得由傅里叶变换定义得 表明：

51、表明： 将信号乘以因子，对应于将频谱函数沿轴右移；将信号乘以因子，对应于将频谱函数沿轴右移； 将信号乘以因子，对应于将频谱函数沿轴左移。将信号乘以因子，对应于将频谱函数沿轴左移。 0 0 00 F dtetf dteetfetfF tj tjtjtj Ftf 0 0 Fetf tj tj e 0 0 tj e 0 0 (调制特性调制特性) 调制：调制：各类电子系统中，经常需要搬移频谱，此过程称为调制 解调：解调：的频谱原来在附近（高频信号），使其频谱搬 移至附近（低频信号）的过程 变频：变频：信号的频谱原来是在附近，使其频谱搬移到 附近 调制定理：调制定理： 若若 则则 解调定理解调定理 频分

52、复用技术频分复用技术 tf0 0 1 01 Ftf 000 2 1 cosFFttf 卷积定理分为卷积定理分为时域卷积定理时域卷积定理和和频域卷积定理频域卷积定理。 （1）时域卷积定理）时域卷积定理 若若 则则 2121 FFtftf 2211 ,FtfFtf 时域卷积定理说明：时域的卷积等效于频域的乘法时域卷积定理说明：时域的卷积等效于频域的乘法 【例】【例】 求图（求图（a）所示信号的傅里叶变换。）所示信号的傅里叶变换。 解解: 图（图（a）信号可以看作图（）信号可以看作图（b）信号与图（）信号与图（c） 信号的卷积得到。信号的卷积得到。 的傅里叶变换分别为的傅里叶变换分别为 由时域卷积定

53、理，得由时域卷积定理，得 tf tf 1 tf 2 tftf 21 , j eSaFtf 2 11 4 21 1 2 j j e eSa FFF 84 2 0 2 1)4( jj n eeFnttf （2）频域卷积定理）频域卷积定理 若若 则则 频域卷积定理说明：时域的乘法等效于频域的频域卷积定理说明：时域的乘法等效于频域的 卷积。卷积。 2211 ,FtfFtf 2121 2 1 FFtftf 【例】【例】 求信号的傅里叶变换求信号的傅里叶变换,并画出频谱图。并画出频谱图。 解解: 设设 ， 则看作为与之乘积。则看作为与之乘积。 由频域卷积定理得由频域卷积定理得 t t t tf4cos s

54、in ttf t t tf4cos, sin 21 tf tf1 tf2 44 22211 FtfgFtf 44 2 44 2 1 2 1 22 221 gg gFFtf 若若 当存在时，则有的时间微分傅氏变换为当存在时，则有的时间微分傅氏变换为 Ftf dt tdf tf Fj dt tdf Fj dt tfd n n n f(t)= 1/t2 ? For example 1 Ans: j t 2 )sgn( )sgn(2 2 jt )sgn( 1 j t )sgn()sgn()( 1 d d jj tt |)sgn( 1 2 t 的时间积分傅里叶变换为的时间积分傅里叶变换为 0F j F

55、df t dttfF 0 , 00 F如果的积分为零（直流分量为如果的积分为零（直流分量为0），则），则 j F df t tf tf 【例】【例】 求图（求图（a）所示信号的频谱函数。）所示信号的频谱函数。 解：解： 对对f(t)求一阶导数、二阶导数求一阶导数、二阶导数,其波形如图（其波形如图（b）、（）、（c） 所示。所示。 应用冲激函数傅里叶变换对及时移、线性性质有应用冲激函数傅里叶变换对及时移、线性性质有 因因f(t)的一阶导数、二阶导数净面积都为零，的一阶导数、二阶导数净面积都为零， 故故f(t)的频谱函数为的频谱函数为 1cos22 jj eetf 2 1 2 sin212 1co

56、s2 2 2 2 2 Sa j tf 【例】【例】 求下列截平斜变信号的频谱。求下列截平斜变信号的频谱。 解解: 利用积分特性求的频谱。利用积分特性求的频谱。 把看成脉幅为把看成脉幅为 ，脉宽为，脉宽为 的矩形脉冲的积的矩形脉冲的积 分，即分，即 0 0 0 1 0 00 tt tt t t t ty ty Y 0 1 t 0 t f ty t dfty f(t) t 0t0 1/t0 y(t) t t0 1 ) 2 ( 1 )( 0 0 0 t tG t tf t 根据矩形脉冲的频谱及时移特性，可得的频谱为根据矩形脉冲的频谱及时移特性，可得的频谱为 注意到注意到 求得求得 f F 2 0 0

57、 2 t j e t SaF 010F 2 0 0 2 1 0 1 t j e t Sa j FF j Y 设设 （1）频域微分）频域微分 若若 则则 （2）频域积分）频域积分 若若 则则 n n n d Fd F dFF 1 Ftf n n Ftfjt Ftf 1 1 0 Ftf jt tf 4.6 4.6 周期信号傅里叶变换周期信号傅里叶变换 一、正、余弦的傅里叶变换一、正、余弦的傅里叶变换 12() 由频移特性得由频移特性得 e j 0 t 2(0 ) e j 0 t 2(+0 ) cos(0t)=(e j 0 t + e j 0 t) (0 ) +(+0 ) sin(0t)= (e j

58、 0 t - e j 0 t)/(2j) j(+0 ) ( 0 ) 二、一般周期信号的傅里叶变换二、一般周期信号的傅里叶变换 n tjn nT Ftfe)( 2 2 de)( 1 T T tjn Tn ttf T F n nT n tjn nT nFjFFtf)(2)(e)( 列的傅里叶变换。例：求周期单位冲激序 -2T-T 0 T 2T 3T t 11111 32012 )( )( 1 jFp )(t T (a)周期单位冲激序列 (b)付里叶变换频谱 nn p T T tjn T T tjn n n nTp nn T jF T dtet T dtetf T F nFtjF )()( 1 2)

59、( 1 )( 1 )( 1 )(2)()( 111 2 2 2 2 1 11 F 表示在无穷小的频带表示在无穷小的频带 范围内（即谐频点）范围内（即谐频点） 取得了无限大的频谱取得了无限大的频谱 密度值。密度值。 例例：周期信号如图，求其傅里叶变换。：周期信号如图，求其傅里叶变换。 0- -11 f(t) t t 1 4- -4 解解：周期信号：周期信号f(t)也可看作也可看作 一时限非周期信号一时限非周期信号f0(t)的周的周 期拓展。即期拓展。即 f(t) = T(t)* f0(t) F(j) = () F0(j) n njnF)()( 0 F(j) = nn nn nn) 2 () 2

60、Sa()()Sa(2 本题本题 f0(t) = g2(t)Sa(2 2 2 T 之间的关系。的与其截取一个周期信号的周期信号FT)(FS)(0tftf )2()()()()( ) 1 ()( 1 ,)( 2 2 2 2 000 2 2 11 dtetfdtetfjFtf dtetf T FeFtf tj T T tj T T tjn T Tn n tjn n 已知 1 )( 1 21 0 n n jF T F ）两式得），（比较（ 由此式求出。中任一个，另一个可以或结论：已知)( 0 jFFn 三、傅里叶系数与傅里叶变换三、傅里叶系数与傅里叶变换 例：例： 付里叶变换 付里叶变换 付里叶级数