电路的暂态分析

1、第第3章章 电路的暂态分析电路的暂态分析 3.1 概述概述 3.2 换路定则换路定则 3.3 RC电路的响应电路的响应 3.4 一阶线性暂态分析的三要素一阶线性暂态分析的三要素 3.5 RL电路的全响应电路的全响应 旧稳态旧稳态 新稳态新稳态 过渡过程过渡过程 : C 电路处于旧稳态电路处于旧稳态 KR U + _ C u 开关开关K闭合闭合 3.1 概述概述 电路处于新稳态电路处于新稳态 R U + _ C u “稳态稳态”与与 “暂态暂态”的概念的概念: 产生过渡过程的电路及原因产生过渡过程的电路及原因? 无过渡过程无过渡过程 I 电阻电路电阻电路 t = 0 UR + _ I K 电阻是

2、耗能元件，其上电流随电压比例变化，电阻是耗能元件，其上电流随电压比例变化， 不存在过渡过程。不存在过渡过程。 U t C u 电容为储能元件，它储存的能量为电场能量电容为储能元件，它储存的能量为电场能量 ，其，其 大小为：大小为： 电容电路电容电路 2 0 2 1 cuidtuW t C 因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电电 容的电路存在过渡过程。容的电路存在过渡过程。 U KR + _ C uC 电感电路电感电路 电感为储能元件，它储存的能量为磁场能量，电感为储能元件，它储存的能量为磁场能量， 其大小为：其大小为： 2 0 2 1 Lidtui

3、W t L 因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电电 感的电路存在过渡过程。感的电路存在过渡过程。 K R U + _ t=0 iL t L i R U 3.2.1 换路定则换路定则 换路换路: 电路状态的改变。如：电路状态的改变。如： 3.2 换路定则换路定则 1 . 电路接通、断开电源电路接通、断开电源 2 . 电路中电源的升高或降低电路中电源的升高或降低 3 . 电路中元件参数的改变电路中元件参数的改变 . 换路定则换路定则: 在换路瞬间，电容上的电压、在换路瞬间，电容上的电压、 电感中的电流不能突变。电感中的电流不能突变。 设：设：t=0 时

4、换路时换路 0 0 - 换路前瞬间换路前瞬间 - 换路后瞬间换路后瞬间 )0()0( CC uu )0()0( LL ii 则：则： 换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突 变的原因解释如下：变的原因解释如下： 自然界物体所具有的能量不能突变，能量的积累或自然界物体所具有的能量不能突变，能量的积累或 释放需要一定的时间。所以释放需要一定的时间。所以 * 电感电感 L 储存的磁场能量储存的磁场能量）（ 2 2 1 LL LiW L W不能突变不能突变 L i 不能突变不能突变 C W 不能突变不能突变 C u不能突变不能突变 电容电容C存储的电场能量

5、存储的电场能量）（ 2 2 1 CuWc * 若若 cu 发生突变，发生突变， dt duc i 不可能不可能！ 一般电路一般电路 则则 所以电容电压所以电容电压 不能突变不能突变 从电路关系分析从电路关系分析 K R U + _ C i uC C C C u dt du RCuiRU K 闭合后，列回路电压方程：闭合后，列回路电压方程： )( dt du Ci C 3.2.2 初始值的确定初始值的确定 求解要点求解要点：换路定理：换路定理 1. )0()0( )0()0( LL CC ii uu 2. 根据电路的基本定律和换路后的等效根据电路的基本定律和换路后的等效 电路，确定其它电量的初始

6、值。电路，确定其它电量的初始值。 初始值初始值（起始值）：（起始值）：电路中电路中 u、i 在在 t=0- 时时 的大小。的大小。 例例1： V0)0()0( Cc uu 则根据换路定理：则根据换路定理： 设：设： V0)0( c u R U R u i R )0( )0( )0( R uUuU C )0( K R U + _ C C u i t=0 R u ?)( ?)( i uCU 0 在在t=0+时，电容时，电容 相当于短路相当于短路 在在t= 时，电容时，电容 相当于断路相当于断路 例例2： K R1 U + _ C C u C i t=0 R2 U=12V R1=2k R2=4k C

7、=1 F )0( c uV8 42 4 12 21 2 RR R U 根据换路定理：根据换路定理： V8)0()0( cc uu )0 ( C imA2 4 8)0( 2 R uC 0)( 0)( C C i u 在在t=0+时，时， 电容相当电容相当 于一个恒于一个恒 压源压源 例例3 换路时电压方程换路时电压方程 : )0()0( )0()0( LL LR uRi uuU 根据换路定理根据换路定理 A 0)0()0( LL ii 解解: V20020 )0()0( RiUu LL 求求 : )0( ),0( L L u i 已知已知: R=1k, L=1H , U=20 V、 A 0 L

8、i 设设 时开关闭合时开关闭合0t 开关闭合前开关闭合前 iL U K t=0 uL uR R L ?)( L i ?)( L u mA200 已知已知: 电压表内阻电压表内阻 H1k1V20LRU、 k500 V R 设开关设开关 K 在在 t = 0 时打开。时打开。 求求: K打开的瞬间打开的瞬间,电压表两端电压表两端 的电压。的电压。 换路前换路前mA20 1 20 )0( R U i L (大小大小,方向都不变方向都不变) 换路瞬间换路瞬间 mA20)0()0( LL ii 例例4 K . U L V R iL mA20)0()0( LL ii VLV Riu )0 ()0 ( V1

9、0000 105001020 33 注意注意:实际使用中要加保护措施实际使用中要加保护措施 K U L V R iL uV 已知已知: K 在在“1”处停留已久，在处停留已久，在t=0时合向时合向 “2”求求: LCCL uuiii、 例例3 i E 1k2k + _ R K 1 2 R2R1 L i C i C u L u 6V 2k mA5 . 1 22 106 )0( 3 1 RR E iL V325 .1)0()0( 1 Riu LC 换路前换路前t=0-时时的等效电路的等效电路 E R1 + _ R C u R2 L i 解：解： mA5 . 1)0()0( LL ii mA3 10

10、1 36)0( )0( 3 2 R uE i C C mA5 . 4)0()0()0( CL iii V3)0()0( 1 RiEu LL 计算结果计算结果 电量电量i L i C i C u L u 0t 0tmA5.1 mA5.4 mA5.1 mA5.1 0 mA3 V3 V3V3 0 (1) t=0-时时 的初始值。的初始值。 (2) t=0+ 时时 ）（ 0 C u)0( L i t=0+ 时时的等效电路的等效电路 E 1k2k + _ R2 R1 i L i C i 3V 1.5mA + - L u - + C 视为开路，视为开路，L 视为短路。视为短路。 )0( C U S闭合前电

11、路处稳态，在闭合前电路处稳态，在t=0时时,S闭合，闭合， 求求: LCCLR uuiii、 即即 t=(0+)时刻的值。时刻的值。 例例4 mA5 1000 5 101 )0( )0( 3 C C u i V;5)0(2)0( RC iu 换路前的等效电路换路前的等效电路(t=0-) 解：解： mA5 . 2)0( 2 1 )0()0( iii RL ;A0)0( C i mA5 )2/2(1 10 )0( i V55 . 22)0(102)0( 3 LL iu R i 1k 2k + _S L i C i C u L u 10V 1k 2k R u 的初始值，的初始值， (1) t=0-时

12、时 (2) t=0+ 时时V 5)0()0( CC uu mA5 . 2)0()0( LL ii 0)0( R i （S 短路）短路） R i 1k 2k + _S L i C i C u L u 10V 1k 2k R u t=0 + 时的等效电路时的等效电路 R i 1k 2k + _ S L i C i C u 10V 1k 2k R u L u 0)0()0(101 3 CC ui 据据KVL 0)0()0(102 3 LL ui 据据KVL V0)0( L u C 视为开路，视为开路，L 视为短路。视为短路。 S打开前电路处稳态，在打开前电路处稳态，在t=0时时,S打开，打开， 求求

13、: 例例3.2.1 V;414)0()0( 3 LC iRu 21 2121 1 21 1 )0( RR RR R u RR R i RR R iL 电路中各电流与电压的初始值，电路中各电流与电压的初始值， 解：解：(1) t=0-时时 (2) t=0+ 时时 V 4)0()0( CC uu A1)0()0( LL ii 1 i C + _ S L i C i C u L u 8V 4 L R3 R1 R2 R + _ 4 4 + _ 2 U i 换路前的等效电路换路前的等效电路(t=0-) C 视为开路，视为开路，L 视为短路。视为短路。 1 i C + _ L i C i C u L u

14、8V 4 L R3 R1 R2 R + _ 4 4 + _ 2 U i A1 )4/4(2 8 44 4 小结小结 1. 换路瞬间，换路瞬间， LC iu 、 不能突变。其它电量均可不能突变。其它电量均可 能突变，变不变由计算结果决定；能突变，变不变由计算结果决定； 0)0 ( 0 Ii L 电感相当于恒流源电感相当于恒流源 3. 换路瞬间，换路瞬间， 0)0( L i，电感相当于断路；，电感相当于断路； 2. 换路瞬间，若换路瞬间，若，0)0( C u 电容相当于短路；电容相当于短路； ，0)0( 0 Uu C 电容相当于恒压源电容相当于恒压源若若 3.3 RC电路的响应电路的响应 C C

15、C u dt du RCuRiU 根据电路规律列写电压、电根据电路规律列写电压、电 流的微分方程，若微分方程是一流的微分方程，若微分方程是一 阶的，则该电路为一阶电路阶的，则该电路为一阶电路 KR U + _ C C u it=0 一阶电路过渡过程的求解方法一阶电路过渡过程的求解方法 (一一) 经典法经典法: 用数学方法求解微分方程；用数学方法求解微分方程； (二二) 三要素法三要素法: 求求 初始值初始值 稳态值稳态值 时间常数时间常数 0 C C u dt du RC + - U R C uR uC i t=0 UuC )0(0)( C u 0 CR uu 0 C uRi dt du Ci

16、 C 列写回路方程：列写回路方程： 3.3.1 一阶一阶RC电路的零输入响应电路的零输入响应 方程通解为：方程通解为： 0 C C u dt du RC 一阶常系数线性奇次微分方程一阶常系数线性奇次微分方程 RC t C Aeu UAeuC 0 )0(即即: UA 得得 代入代入UuC )0(将将 RC t C Ueu RC 称称为时间常数为时间常数 t C Ueu C u t U uc 变化规律：变化规律： Uu dt du RC C C 一阶常系数线性微分方程一阶常系数线性微分方程 方程的解由两部分组成：方程的解由两部分组成： CCC uutu)( 3.3.2 一阶一阶RC电路的零状态响应

17、电路的零状态响应 KR U + _ C C u i t=0 R u 电压方程电压方程 特解特解通解通解 )( C u 取换路后的新稳态值（取换路后的新稳态值（稳态分量稳态分量或或强制分量强制分量） 作特解作特解 0 C C u dt du RC通解即通解即的解的解 又称又称自由分量自由分量或或暂态分量暂态分量 A为积分常数为积分常数 Uutu CC )()( 特解为：特解为： 通解为：通解为：RC t C Aeu 又称又称稳态分量稳态分量或或强制分量强制分量 RC t CCC AeUuutu )(求求A代入初始条件代入初始条件 0)0( C u 0)0( 0 AUAeUuC 得得: UA得得

18、UA )1 ()( / RCt RC t C eUUeUtu Uu dt du RC C C 3.3.2 一阶一阶RC电路的零状态响应电路的零状态响应 KR U + _ C C u i t=0 R u 电压方程电压方程 )1 ()( / RCt RC t C eUUeUtu 方程解方程解 RC时间常数时间常数 0 0 2 .63)( UuC t 当当 时时: 方程解可写为方程解可写为 C u t U 当当 t=5 时，过渡过程基本结束，时，过渡过程基本结束，uC达到稳态值。达到稳态值。 0.632U )1 ()( t C eUtu t 0 23456 C u 00.632U 0.865U 0.

19、950U 0.982U 0.993U 0.998U i 若若较小，则曲线是什么样的？较小，则曲线是什么样的？ 电流的曲线是什么样的？电流的曲线是什么样的？ 若若较大，则曲线是什么样的？较大，则曲线是什么样的？ 较小较小较大较大 越大，过渡过程曲线变化越慢，越大，过渡过程曲线变化越慢， uC达到稳态所需要的时间越长。达到稳态所需要的时间越长。 结论：结论： K R U + _ C C u i t=0 0 )0(Uu C 0 )0(Uu C 根据换路定理根据换路定理 UuC)( 叠加方法叠加方法 状态为状态为0，即，即U0=0 t C UeUu 1 输入为输入为0，即，即U=0 / 02 t C

20、eUu / 021 )( t CCC eUUUuuu 3.3.3 RC电路的完全响应电路的完全响应 / 0 )( t C eUUUu )1 ( / 0 t C eUeUu t 全响应零输入响应零状态响应全响应零输入响应零状态响应 全响应稳态分量暂态分量全响应稳态分量暂态分量 3.4 一阶线性电路暂态分析的三要素法一阶线性电路暂态分析的三要素法 t effftf )()0()()( 一阶电路微分方程解的通用表达式：一阶电路微分方程解的通用表达式： 三要素三要素 )(f -稳态值稳态值 -初始值初始值 )0( f -时间常数时间常数 )(tf代表一阶电路中任一电压、电流函数。代表一阶电路中任一电压

21、、电流函数。式中式中 电路中含有一种储能元件，其时域响应就可用一阶微分方程电路中含有一种储能元件，其时域响应就可用一阶微分方程 来描述，这种电路称为一阶电路。来描述，这种电路称为一阶电路。 三要素法求解过渡过程要点：三要素法求解过渡过程要点： )0()0()(632. 0 fff 终点终点)(f 起点起点 )0 ( f t 分别求初始值、稳态值、时间常数分别求初始值、稳态值、时间常数 将以上结果代入过渡过程通用表达式将以上结果代入过渡过程通用表达式 画出过渡过程曲线（画出过渡过程曲线（由初始值由初始值稳态值稳态值） 例例1 K R1=2k U=10V + _ C=1 F C u C i t=0

22、1R u R2=3k )0()0( CC uuV6 32 3 10 21 2 RR R U V10)(Uu C S102101102 363 1 CR / )()0()( t CCCC euuuu V41010610 500102/ 3 tt ee “三要素法三要素法”例题例题 K R1=2k U=10V + _ C=1 F C u C i t=01R u R2=3k V410 500t C eu 4V 6V 10V 0 t uC V4 500 1 t CR euUu uR1mA2 2 4 500 500 1 1 t t R C e e R u i 2mA iC 例例2 t=0 R1= 5k

23、R2= 5k I=2mA C u C=1 F )0()0( CC uuV1052 1 IR V5)5/5(2)/()( 21 RRIuC S105 . 2)/( 3 21 CRRRC RC，R为去掉为去掉C后的有源二端网络的等效电阻后的有源二端网络的等效电阻 / )()0()( t CCCC euuuu V55)510(5 400t- 105.2 3 ee t uC 5 10 0 t 已知：开关已知：开关 K 原在原在“3”位置，电容未充电。位置，电容未充电。 当当 t 0 时，时，K合向合向“1” t 20 ms 时，时，K再再 从从“1”合向合向“2” 求：求： titu C 、 例例3

24、3 + _ U1 3V K 1 R1 R2 1k 2k C 3 C u i + _ U2 5V 1k 2 R3 0)0( C u 解解：第一阶段第一阶段 （t = 0 20 ms，K：31） V000 CC uu mA30 1 1 R U i R1 + _ U1 3V R2 i C u 初始值初始值 K + _ U1 3V 1 R1 R2 1k 2k C 3 C u i 3 0)0( C u 稳态值稳态值 第一阶段（第一阶段（K：31） V2 1 21 2 U RR R uC mA1 21 1 RR U i R1 + _ U1 3V R2 i C u K + _ U1 3V 1 R1 R2 1

25、k 2k C 3 C u i 3 时间常数时间常数 k 3 2 / 21 RRRd ms2CR d 第一阶段（第一阶段（K：31） R1 + _ U1 3V R2 i C u C K + _ U1 3V 1 R1 R2 1k 2k C 3 C u i 3 t effftf )()0()()( )V(000 CC uu )V(2 1 21 2 U RR R uC )(ms2CR d V 22)( 2 t c etu 第一阶段（第一阶段（t = 0 20 ms）电压过渡过程方程：）电压过渡过程方程： t effftf )()0()()( mA21 2 t eti mA30 1 1 R U i mA

26、1 21 1 RR U i ms2CRd 第一阶段第一阶段（t = 0 20 ms）电流过渡过程方程：电流过渡过程方程： 第一阶段波形图第一阶段波形图 20ms t 2 )V( C u 3 t ）（mAi 20ms 1 说明：说明： 2 ms, 5 10 ms 20 ms 10 ms , t=20 ms 时，可以认为电路时，可以认为电路 已基本达到稳态。已基本达到稳态。 下一阶段下一阶段 的起点的起点 下一阶段下一阶段 的起点的起点 起始值起始值 V2)ms20( )ms20( C C u u 第二阶段第二阶段: 20ms mA5 .1 )ms20( )ms20( 31 2 RR uU i c

27、 （K由由 12） + _ U2 R1 R3 R2 C u i + _ t=20 + ms 时等效电路时等效电路 K U1 R1 + _ + _ U2 3V 5V 1k 1 2 R3 R2 1k 2k C 3 C u i 稳态值稳态值第二阶段第二阶段:(K:12) mA25. 1 )( 321 2 RRR E i V5 . 2 )( 2 321 2 E RRR R uc _ + E2 R1 R3 R2 C u i K U1 R1 + _ + _ U2 3V 5V 1k 1 2 R3 R2 1k 2k C 3 C u i 时间常数时间常数 k1/)( 231 RRRR d ms3CR d 第二阶

28、段第二阶段:(K:12) _ C u C + U2 R1 R3 R2 i K U1 R1 + _ + _ U2 3V 5V 1k 1 2 R3 R2 1k 2k C 3 C u i 第二阶段第二阶段（ 20ms ）电压过渡过程方程电压过渡过程方程 V 5 . 05 . 2)20( 3 20 t C etu ms3CR d V2)ms20( C u V5 . 2)( C u 第二阶段第二阶段（20ms ）电流过渡过程方程电流过渡过程方程 mA 25. 025. 1)20( 3 20 t eti mA5.1)ms20( i mA25.1)(i ms3CR d V 22)( 2 t c etu 第一

29、阶段第一阶段： 20ms t 2 2.5 C u(V) V 5 .05 .2)20( 3 20 t c etu 第二阶段第二阶段： 第一阶段第一阶段： mA 25.025.1)20( 3 20 t eti 3 1.5 t 1.25 i 1 (mA) 20ms mA 21)( 2 t eti 第二阶段第二阶段： 3.5 RL电路的全响应电路的全响应 t=0 L L u R0 R U R u i S + + - - 0t当当 时时,有：有： dt di LRiU t L R e R U I R U i )( 0 解得解得: 稳态分量稳态分量 暂态分量暂态分量 t effftf )()0()()(

30、L R 求求: 电感电压电感电压)(tu L 例例 已知：已知：K 在在t=0时闭合，换路前电路处于稳态。时闭合，换路前电路处于稳态。 t=0 3A L L u K R2 R1R3 IS 2 2 1 1H 第一步第一步:求起始值求起始值)0 ( L u A23 21 2 )0()0( LL ii t=0 3A L L u KR2 R1R3 IS 2 2 1 1H t =0时等效电路时等效电路 3A L L i 21 2 V4 /)0()0( 321 RRRiu LL t=0+时等效电路，电时等效电路，电 感相当于一个感相当于一个2A的的 恒流源恒流源 2A L u R1 R2 R3 t=0 3

31、A L L u KR2 R1R3 IS 2 2 1 1H t=0+时的等效电路时的等效电路 第二步第二步:求稳态值求稳态值 )( L u t= 时等效电路时等效电路 V0)( L u t=0 3A L L u KR2 R1R3 IS 2 2 1 1H L u R1 R2 R3 第三步第三步:求时间常数求时间常数 s)(5 . 0 2 1 R L 321 /RRRR t=03A L L u K R2 R1R3 IS 2 2 1 1H L R2 R3 R1 L R 第四步第四步: 将三要素代入通用表达式得过渡过程方程将三要素代入通用表达式得过渡过程方程 V4)0( L u 0)( L u s5 . 0 V4 )04(0 )