2020年高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用2-12导数的综合应用课时规范练理（含解析）

1、学必求其心得，业必贵于专精212 导数的综合应用课时规范练(授课提示:对应学生用书第241页）a组基础对点练1（2016高考全国卷)设函数f（x）ln xx1。(1)讨论f(x）的单调性；（2）证明当x(1，）时,1x；（3）设c1，证明当x(0,1)时，1（c1)xcx。解析：（1)由题设，f（x）的定义域为(0，），f(x）1，令f(x)0，解得x1.当0x1时，f（x）0,f(x)单调递增；当x1时，f（x)0，f（x）单调递减(2）证明:由(1）知，f（x)在x1处取得最大值，最大值为f(1）0。所以当x1时，ln xx1.故当x(1，)时，ln xx1，ln1，即1x.（3)证明:由

2、题设c1，设g（x）1（c1)xcx，则g(x)c1cxln c，令g(x）0,解得x0ln 。当xx0时,g(x）0，g（x）单调递增；当xx0时，g(x）0，g(x)单调递减由（2）知1c，故0x01。又g(0)g(1）0，故当0x1时,g（x)0.所以当x(0,1）时，1（c1)xcx.2设函数f(x）exax2.（1)求f（x）的单调区间；(2)若a1,k为整数，且当x0时，(xk）f(x)x10，求k的最大值解析：(1)f（x）的定义域为(，），f（x)exa。若a0，则f（x)0，所以f（x)在(,）上单调递增若a0，则当x（,ln a)时，f（x）0;当x（ln a,）时，f（x

3、）0.所以，f(x）在（,ln a）上单调递减,在（ln a，）上单调递增(2)由于a1，所以（xk)f(x)x1（xk)(ex1）x1。故当x0时,(xk)f(x)x10等价于k0)令g(x)x，则g（x)1。由(1)知，函数h(x）exx2在(0，）上单调递增而h(1)0，h(2)0，所以h(x)在(0，)上存在唯一的零点故g(x)在（0,)上存在唯一的零点设此零点为，则（1,2）当x（0,）时，g(x）0;当x(，）时,g(x）0,所以g(x）在（0，)上的最小值为g(），又由g（）0，可得e2，所以g（)1（2,3）由于式等价于k1),g(x）90,即g(x)在(1，)上单调递减，则g

4、（x）g（1)0，即当x1时，9ln x9x。故当x1时,f（x)。4(2016高考全国卷)设函数f(x)cos 2x（1)(cos x1)，其中0,记f(x）的最大值为a.(1)求f（x）；（2)求a；（3）证明f（x）2a。解析：（1)f（x）2sin 2x(1)sin x.(2）当1时，f(x）|cos 2x（1)(cos x1）|2(1）32f(0)因此a32。当01时，将f（x）变形为f(x)2cos2x（1）cos x1。令g（t）2t2（1)t1，则a是g（t）|在1，1上的最大值，g(1），g(1）32,且当t时，g(t）取得极小值，极小值为g.令1.当0g。又g（1)|0，所

5、以a。综上，a(3）证明：由(1）得f（x)|2sin 2x(1）sin x2|1|。当0时，f(x）1242(23）2a.当0.当x0时,g(x）3x26x1k0，g（x）单调递增，g（1)k10,g（0）4,所以g（x)0在（，0有唯一实根当x0时，令h（x)x33x24，则g（x)h（x）（1k）xh（x)h(x)3x26x3x（x2)，h(x)在(0，2）单调递减，在(2，）单调递增，所以g（x）h(x）h(2）0.所以g（x）0在（0,)没有实根综上，g（x)0在r上有唯一实根,即曲线yf(x)与直线ykx2只有一个交点3（2017邢台摸底考试)已知函数f（x）axex（e为自然对数

6、的底数）（1）当a时，求函数f（x）的单调区间及极值；(2）当2ae2时，求证：f(x）2x.解析：（1)当a时，f（x）xex。令f(x)ex0，得x1,当x1时，f（x)0;当x1时，f(x）0，所以，函数f(x）的单调递增区间为(，1)，单调递减区间为（1，)，当x1时，函数f(x）有极大值，没有极小值（2）证明:令f（x)2xf(x)ex(a2)x，当a2时，f（x）ex0，所以f(x)2x。当2a2e时,f（x）ex(a2）exeln（a2),当xln（a2)时,f（x)0；当xln(a2)时,f（x)0，所以f(x）在（，ln(a2）上单调递减,在(ln（a2)，)上单调递增，所以

7、f(x）f（ln（a2）)eln（a2)（a2)ln（a2)(a2)1ln(a2)因为2a2e，所以a20，1ln(a2）1ln(2e)20，所以f(x）0,即f（x）2x,综上，当2ae2时，f(x）2x.4（2017开封模拟)已知函数f（x)xln xax(ar)(1）若函数f（x）在区间e2，）上为增函数，求a的取值范围；（2)若对任意x（1，)，f(x）k（x1)axx恒成立，求正整数k的值解析：(1）由f（x)xln xax，得f(x)ln xa1，函数f（x）在区间e2，)上为增函数，当xe2，）时，f（x）0，即ln xa10在区间e2，）上恒成立,a1ln x。当xe2,)时，

8、ln x2，），1ln x(，3a3.（2）若对任意x(1，),f(x)k（x1）axx恒成立，即xln xaxk（x1）axx恒成立，也就是k（x1）xln xaxaxx恒成立，x（1，)，x10，则问题转化为k对任意x（1，)恒成立设函数h(x），则h（x），再设m（x）xln x2,则m(x)1.x(1，），m（x）0，则m（x）xln x2在（1,）上为增函数，m（1)1ln 121，m（2)2ln 22ln 2,m（3）3ln 321ln 30,m（4）4ln 422ln 40，x0(3,4），使m(x0）x0ln x020.当x（1，x0)时，m(x)0，h(x)0，当x（x0，）时,m(x）0,h（x）0，h(x)在(1，x0）上单调递减,在