21直线的倾斜角和斜率

1、1 2 问题情境问题情境 直线直线最简单的几何图形最简单的几何图形 飞逝的流星沿不同飞逝的流星沿不同 的方向运动的方向运动 在空中形成美丽的直线在空中形成美丽的直线 对于平面直角坐标系内的一条直线对于平面直角坐标系内的一条直线 l ，它的，它的 位置由哪些条件确定？位置由哪些条件确定？ x y O l 我们知道，两点确定一条直线一点能确定我们知道，两点确定一条直线一点能确定 一条直线的位置吗？已知直线一条直线的位置吗？已知直线 l 经过点经过点P，直线，直线 l 的位置能够确定吗？的位置能够确定吗？ x y O l l l P 过一点过一点P可以作无数条直线可以作无数条直线l 1， l 2 ，

2、 l 3 ， 它们都经过点它们都经过点P （组成一个直线束），这些直线（组成一个直线束），这些直线 区别在哪里呢？区别在哪里呢？ x y O l l l P 容易看出，它们的倾斜程度不同怎样描述容易看出，它们的倾斜程度不同怎样描述 直线的倾斜程度呢？直线的倾斜程度呢？ x y O l l l P 7 问题情境问题情境 确定直线的要素确定直线的要素 问题问题1： (1) _确定一条直线确定一条直线. 两点两点 (2) (2) 过一个点有过一个点有_条直线条直线. . 无数条无数条 确定直线位置的要素除了确定直线位置的要素除了点点之外之外, 还有直线的还有直线的方向方向,也就是直线的也就是直线的倾

3、斜程倾斜程 度度. . . . x y o y xo 问题问题1：如何确定一条直线在直角坐标：如何确定一条直线在直角坐标 系的位置呢？系的位置呢？ 两点或一点和方向两点或一点和方向 问题问题2：如果已知一点还需附加什么条：如果已知一点还需附加什么条 件，才能确定直线？件，才能确定直线？ 一点和方向一点和方向 问题问题3：如何表示方向？：如何表示方向？ 用角用角 一、直线的倾斜角一、直线的倾斜角 注意：注意： (1)直线向上方向；直线向上方向； (2)轴的正方向。轴的正方向。x 0 y 在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线， 把把x轴（正方向）按

4、逆时针方向绕着交点旋转到和轴（正方向）按逆时针方向绕着交点旋转到和 直线重合所成的角，叫作直线的直线重合所成的角，叫作直线的倾斜角倾斜角 例例1.1.下列四图中，表示直线的倾斜角的是下列四图中，表示直线的倾斜角的是 ( ) 练习巩固倾斜角的概念练习巩固倾斜角的概念： a y x o A y x o a B a y x o C y x ao D A x y o l l1 1 l l2 2 l l3 3 想一想想一想 1 l 2 l 3 l 例例2.看看这三条直线，它们倾斜角的看看这三条直线，它们倾斜角的 大小关系是什么？设大小关系是什么？设 、 、 分别为分别为 、 、 231 1 2 3 p

5、o y x l y p o x l p o y x l p o y x l 规定：当直线和规定：当直线和x轴平行或重合时，轴平行或重合时， 它的倾斜角为它的倾斜角为0 2 2、直线的倾斜角范围的探索直线的倾斜角范围的探索 由此我们得到直线倾斜角由此我们得到直线倾斜角的范围为：的范围为： )180,0 oo 想一想想一想 你认为下列说法对吗？你认为下列说法对吗？ 1、所有的直线都有唯一确定的倾斜、所有的直线都有唯一确定的倾斜 角与它对应。角与它对应。 2、每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线。、每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线。 对对 错错 3 3、直线倾斜角的意义直线倾斜角的意义 体现了直线对

6、轴正方向的倾斜程度体现了直线对轴正方向的倾斜程度 在平面直角坐标系中，每一条直线都在平面直角坐标系中，每一条直线都 有一个确定的倾斜角。有一个确定的倾斜角。 倾斜角倾斜程度 2 l 3 l x 1 l y o 倾斜角相同能确倾斜角相同能确 定一条直线吗？定一条直线吗？ 相同倾斜角可作无相同倾斜角可作无 数互相平行的直线数互相平行的直线 15 问题情境问题情境 楼梯的倾斜程度用楼梯的倾斜程度用坡度坡度来刻画来刻画 1.2m 3m 3m 2m 坡度坡度= 高度高度 宽度宽度 坡度越大，楼梯越陡坡度越大，楼梯越陡 2 2、直线的斜率、直线的斜率 定义：定义：倾斜角不为倾斜角不为900的直线，它的倾斜

7、角的正切的直线，它的倾斜角的正切 值叫做这条直线的斜率。斜率通常用值叫做这条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：表示，即： tank ), 2 () 2 , 0 a 倾斜角倾斜角不是不是9090的直线都有斜率，并且倾斜角不同，直线的斜的直线都有斜率，并且倾斜角不同，直线的斜 率也不同因此，可以用斜率表示直线的倾斜程度率也不同因此，可以用斜率表示直线的倾斜程度 17 级宽级宽 高高 级级 建构数学建构数学 直线倾斜程度的刻画直线倾斜程度的刻画 高度高度 宽度宽度 直线直线 x y o P Q M 直线的倾斜程度直线的倾斜程度 = 类比思类比思 想想 3 3、探究：由两点确定的直线的斜率 ),( 1

8、11 yxP ),( 222 yxP 2121 12 , , yyxx QPP 且 如图，当如图，当为锐角时，为锐角时， 能不能构造能不能构造 一个直角三一个直角三 角形去求？角形去求？ tank x y o 1 x2 x 1 y 2 y ),( 12 yxQ 中在QPPRt 12 QP QP QPPk 1 2 12 tantan 12 12 xx yy 0 锐角锐角 x y o ),( 111 yxP ),( 222 yxP ),( 12 yxQ 如图，当如图，当为钝角是，为钝角是， 2121 , ,180 yyxx 且 tan )180tan(tan 中在 12QP PRt QP QP 1

9、 2 tan 21 12 xx yy 12 12 21 12 tan xx yy xx yy k 0 1 x 2 x 1 y 2 y 钝角钝角 x y o (3) ),( 12 yxQ ),( 111 yxP ),( 222 yxP y ox (4) ),( 12 yxQ ),( 111 yxP ),( 222 yxP 21 pp1、当、当 的位置对调时的位置对调时 ， 值又如何呢？值又如何呢？ k 当直线平行于当直线平行于y 轴，或与轴，或与y 轴重合时，上述斜率公式还轴重合时，上述斜率公式还 适用吗？为什么？适用吗？为什么？ 已知直线上两点已知直线上两点 ，运用上述公，运用上述公 式计算直

10、线式计算直线 斜率时，与斜率时，与 两点坐标的顺序有两点坐标的顺序有 关吗？关吗？ ),(),( 222111 yxPyxP),(),( 222111 yxPyxP 21 , PP ),(),( 222111 yxPyxP AB 22 数学应用数学应用 例例1 1：如图，直线如图，直线 都经过点都经过点 ，又，又 分别经过点分别经过点 ,讨讨 论论 斜率的是否存在斜率的是否存在,如存在如存在,求出直线求出直线 的斜率的斜率. 4321 ,llll) 3 , 2(P 4321 ,llll ) 5 , 2(),3 , 5(),1 , 4(),1, 2( 4321 QQQQ 4321 ,llll x

11、 y ol1 l2 l3 l4 解解:直线直线l1的斜率的斜率k1= k2= k3= 1 22 31 1 24 31 0 25 33 直线直线l4的斜率不存的斜率不存 在在 直线直线l2的斜率的斜率 直线直线l3的斜率的斜率 P Q1 Q2 Q3 Q4 直线斜率的计算直线斜率的计算 K K1 1=1=1 K K2 2=-1=-1 K K3 3=0=0 斜率不存在斜率不存在 23 纵坐标的纵坐标的 增量增量 x y o 11 ( ,)P x y 22 ( ,)Q x y 21 yy 21 xx 已知两点已知两点 P(x1， ，y1)， ， Q(x2， ，y2)， ， 如果如果 x1x2， ，则直

12、线则直线 PQ的的斜率斜率 为：为： 12 12 xx yy k 建构数学建构数学 直线斜率的定义直线斜率的定义 x y y x 横坐标横坐标 的增量的增量 请同学们任意给出两点的坐请同学们任意给出两点的坐 标标,并求过这两点的直线的斜并求过这两点的直线的斜 率率. 形形数数 24 问题问题3： 对于一条与对于一条与x x轴不垂直的定直轴不垂直的定直 线而言线而言, ,直线的斜率是定值吗直线的斜率是定值吗? ? 是定值是定值,定直线上任意两点定直线上任意两点 确定的斜率总相等确定的斜率总相等 从上可以看出直线的倾斜角与斜率之间的关系从上可以看出直线的倾斜角与斜率之间的关系: 直线直线 形状形状

13、 平行于平行于 x 轴轴 第一象限第一象限垂直垂直 于于x轴轴 第二象限第二象限 的的 大小大小 的的 范围范围 的的 增减性增减性 k k 0 900 9018090 k=0 无无 k0 递增递增 不存在不存在 无无 k0 x p y O （1） . kk3k1 3.3.直线的倾斜角为直线的倾斜角为，则直线的，则直线的 斜率为斜率为tantan？ 4.4.任意直线有倾斜角，则任意直线任意直线有倾斜角，则任意直线 都有斜率？都有斜率？ 33 已知三点已知三点A(-3,-3),B(-1,1),C(2,7)A(-3,-3),B(-1,1),C(2,7), 求求K KAB AB， ，K KBC BC

14、 问题问题9： 如果如果K KAB AB=K =KBC, BC,那么 那么A A、B B、C C三点有怎样的关系？三点有怎样的关系？ 34 数学应用数学应用 如果直线如果直线l上一点上一点P P沿沿x轴方向向右平移轴方向向右平移2 2 个单位个单位, ,再沿再沿y轴方向向上平移轴方向向上平移4 4个单位后个单位后 仍在直线仍在直线l上上, ,那么该直线的斜率为多少那么该直线的斜率为多少? ? 问题问题6： 斜率为斜率为2 问题问题7： 直线直线l的斜率为的斜率为2,2,将将l向左平移向左平移1 1个单位个单位 得到直线得到直线l1, ,则则l1的斜率为多少的斜率为多少? ? 斜率为斜率为2 问

15、题问题8： 平行直线的斜率之间有怎样的关系平行直线的斜率之间有怎样的关系? ? 斜率相等斜率相等 或斜率都不存在或斜率都不存在 35 判断下列三点是否在同一直线判断下列三点是否在同一直线 上上 (1) A(0,2), B(2,5), C(3,7) (2) A(-1,4), B(2,1), C(-2,5) 1 1、直线的倾斜角的定义、直线的倾斜角的定义 2 2、直线的斜率的定义、直线的斜率的定义 3 3、两点间斜率公式、两点间斜率公式 当直线当直线 l 与与x轴相交时，轴相交时， 我们取我们取x轴作为基准，轴作为基准， x轴正向与直线轴正向与直线 l 向上向上 方向之间所成的角方向之间所成的角

16、叫做叫做直线直线 l 的倾斜角的倾斜角 0180 12 12 xx yy k 一条直线的倾斜角一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条的正切值叫做这条 直线的斜率直线的斜率. tan k ), 2 () 2 ,0 a 37 求过点求过点M(0,2)M(0,2)和和 N(2,3mN(2,3m2 2+12m+13)(m+12m+13)(mR)R)的直线的直线l的斜率的斜率k 的取值范围。的取值范围。 问题问题10： 直线斜率的大小与直线的倾斜直线斜率的大小与直线的倾斜 程度有什么联系？程度有什么联系？(课后研究课后研究) 解解: 02 2)13123( 2 mm k 2 1 2 11123 2 mm 2

17、 1)2(3 2 m 2 1 )2( 2 3 2 m 由斜率公式得直线由斜率公式得直线l l 的斜率的斜率 2 1 kk的的取取值值范范围围为为 38 3.平面解析几何的本质是平面解析几何的本质是 用代数方用代数方 法研究图形的几何性质，体现了数法研究图形的几何性质，体现了数 形结合的重要数学思想。形结合的重要数学思想。 两个概念两个概念直线的斜率、倾斜角；直线的斜率、倾斜角； 2.两个问题两个问题- （1）已知直线上两点如何求斜率；）已知直线上两点如何求斜率； （2）已知一点和斜率如何画出直线。）已知一点和斜率如何画出直线。 39 难点展示：难点展示： 例题一：直线例题一：直线 l 过点过点

18、M(-1,1)M(-1,1)且与以且与以 P(-2,2)Q(3,3)P(-2,2)Q(3,3)为两端点的线段为两端点的线段PQPQ有公有公 共点共点, 求直线求直线 l 的斜率的取值范围。的斜率的取值范围。 例例2。已知直线的斜率。已知直线的斜率K的变化范围为（的变化范围为（ 1，1， 求直线的倾斜角求直线的倾斜角 的取值范围。的取值范围。 分析：分析： 因为直线的斜率正负不同，直线的倾斜角范围因为直线的斜率正负不同，直线的倾斜角范围 也不同，因此，应分斜率为负值和非负值两种也不同，因此，应分斜率为负值和非负值两种 情况讨论。情况讨论。 当当K （ 1，0）时）时, ), 4 3 ( 当当K

19、0，1 时，时， 4 ,0 解：解： 直线斜率直线斜率K的变化范围（的变化范围（ 1，1=（ 1，0） 0，1， 所以直线的倾斜角范围为所以直线的倾斜角范围为 ), 4 3 ( 4 ,0 _11)4( _10)3( _135,45)2( _60,451 .3 的的取取值值范范围围时时，则则倾倾斜斜角角， 的的取取值值范范围围时时，则则倾倾斜斜角角， 的的取取值值范范围围时时，则则斜斜率率 的的取取值值范范围围时时，则则斜斜率率）（ ，斜斜率率为为的的倾倾斜斜角角为为已已知知直直线线 k k k k kl )3, 1 ), 1 )1,( 45,0 )180,13545,0 直线直线 的倾斜角的倾

20、斜角 =30，直线，直线 ， 求求 , 的斜率。的斜率。 1 1 l 12 ll 1 l 2 l 解：解： 的斜率为的斜率为 的倾斜角为的倾斜角为 的斜率为的斜率为 000 2 1203090 3 3 tan 11 k 1 l 2 l 2 l3tan 22 k o x y 2 l 2 1 l 1 练习练习),5|(|, 5 cosa a 满足已知直线的倾斜角 .求该直线的斜率 解解: ;,90, 0cos,0) 1 ( 0 不存在时当ka ), 0, 5|,0)2(aa时当 , 5 25 25 1sin 22 aa . 25 cos sin tan 2 a a k ;0,在时所求直线的斜率不存

21、当所以a . 25 0 2 a a a 时所求直线的斜率为当 推导二推导二: y o l x 1 P 2 P P 的方向如图设向量 21P P ),(, 121221 yyxxPP则向上 , 21P POP 过原点作向量 ),( 1212 yyxxP的坐标为则点 ,tan 12 12 xx yy k 由正切函数的定义得 . 12 的结果的方向向上时推得同样当向量PP ),(. 121221 21 yyxxPP PP 为直线的方向向量 及与它平行的向量都称直线上的向量 练习：已知直线练习：已知直线l的一个方向向量的一个方向向量 解：解： 2 3 2 3 k )3 , 2(v ，求直线的斜率。，求

22、直线的斜率。 则直线的斜率为则直线的斜率为 : 2 3 k 例例1 如图如图 ，已知，已知 ，求，求 直线直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角的斜率，并判断这些直线的倾斜角 是锐角还是钝角是锐角还是钝角 ),2 , 3(A),1 , 4( B)1, 0( C 解：直线解：直线AB的斜率的斜率 ; 7 1 34 21 AB k ; 2 1 4 2 )4(0 11 BC k 直线直线BC的斜率的斜率 直线直线CA的斜率的斜率; 1 3 3 30 21 CA k 由由 及及 知，直线知，直线AB 与与CA的倾斜角均的倾斜角均 为锐角；由为锐角；由 知，直线知，直线BC的倾斜角为钝角的倾

23、斜角为钝角 0 AB k0 CA k 0 BC k 求经过已知两点的直线的斜率和倾斜角：求经过已知两点的直线的斜率和倾斜角： 方法：先用经过两点的直线的斜率公方法：先用经过两点的直线的斜率公 式求斜率，式求斜率， 再求倾斜角。再求倾斜角。 0 AB k 0 BC k 由由 及及 知，直线知，直线AB 与与CA的倾斜角均的倾斜角均 为锐角；由为锐角；由 知，直线知，直线BC的倾斜角为钝角的倾斜角为钝角 0 CA k0 AB k 0 BC k 0 CA k0 AB k 0 BC k 0 CA k0 AB k 由由 及及 知，直线知，直线AB 与与CA的倾斜角均的倾斜角均 为锐角；由为锐角；由 知，直线知，直线BC的倾斜角为钝角的倾斜角为钝角 0 BC k 0 CA k0 AB k 0 BC k 0 CA k0 AB k 0 BC k 0 CA k0 AB k 例例2的和求经过两点)(2 ,() 1 , 2( 21 RmmPP .,的取值范围的倾斜角并求出的斜率直线ll 解解:. 2,2) 1 ( 21 xxm时当 ; 2 倾斜角 ,因此直线的斜率不存在轴垂直于直线xl , 2 1