例谈立体几何中距离与角的向量求法

1、例谈立体几何中距离与角的向量求法张黎庆用向量方法探求立体几何问题，是高中数学新教材的一大改革，高中数学课程标准指出：立体几何教学采用传统的综合法与向量法相结合，以向量法为主，这充分体现向量的工具作用。本文就立体几何中距离与角的向量求法举例说明，供参考。一、求距离例1 （2003年联赛山东预赛，19）如图1，已知正方体的棱长为2，点e是棱cd的中点，求异面直线的距离。图1解：以da、dc、分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则a1（2，0，2）、c1（0，2，2）、b1（2，2，2）、e（0，1，0），=（2，2，0），=（2，1，2），=（0，2，0），设=（x，y，z）是异面直线和的公垂

2、线的一个方向向量，则=0，=0令x=1，得=（1，1，），异面直线的距离注：利用向量求异面直线的距离，可避免作辅助线等复杂的推理，且过程简捷，其理论依据是：如图2，设ac是异面直线ab与cd的公垂线，则ab与cd间的距离，就是向量在公垂线方向向量上的射影长度，即图2例2 长方体中，ab=2，ad=1，e、f分别是棱、dc的中点，求点e到平面的距离。解：如图3，以d点为坐标原点，da、dc、dd1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则a1（1，0，3）、d1（0，0，3）、f（0，1，0）、e（1，2，）。图3=（1，0，0），=（0，1，3），设平面的法向量为=（x，y，z）。由=0，得令

3、z=1，得=（0，3，1）又=（0，2，），点e到平面的距离为。注：传统方法求点到平面的距离主要是求作点到平面的垂线段，再计算垂线段的长度，或利用等体积的方法。利用向量方法的理论依据：设平面的一个法向量为，点p是平面外一点，且。则点p到平面的距离为。二、求解例3 如图4，直棱柱中，已知abc=90，ab=a，bc=b，bb1=c，m、n分别为b1c1和ac的中点。（1）求异面直线ab1与bc1所成的角；（2）求mn的长；（3）求mn与底面abc所成的角。图4解：（1）以b为原点，ba、bc、bb1所在的直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，则a（a，0，0）、b1（0，0，c）、c1（0，b

4、，c）、=（a，0，c），=（0，b，c）所以，异面直线ab1与bc1所成的角为（2）由m、n分别为b1c1和ac的中点，得m（0，c）、n（，0）（3）过m作mpbc于点p，则p为bc的中点，连结pn，则mnp为mn与底面abc所成的角。=（，0，c），p（0，0），=（，0，0）故mn与底面abc所成的角为例4 如图5，直四棱柱中，底面abcd是直角梯形bad=abc=90，bc=2，ad=8，ab=4，异面直线ac1与a1d互相垂直，求：a1d与面adc1b1所成的角。图5解：以a为原点，ab、ad、aa1所在的直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，设aa1=a，则a（0，0，0）、b

5、（0，0，a）、d（0，8，0）、c1（4，2，a）、=（4，2，a）、=（0，8，a），由得，即a=4。设平面abc1b1的法向量=（x,y,z），则=0，又=（0，8，0），=（4，0，4）因此 取x=1，得=（1，0，1），又=（0，8，4），设与面所成的角为，则=，。即a1d与面adc1b1所成的角为例5 （2003年全国高考理科18题）如图6，在直棱柱中，底面是等腰直角三角形，abc=90，侧棱aa1=2，d、e分别是cc1与a1b的中点，点e在平面abd上的射影是abd的重心g。（1）求a1b与平面abd所成角的大小（结果用图反三角函数值表示）；（2）求点a1到平面aed的距离。图

6、6解：以c为原点，ca、cb、cc1为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图，设ca=2a，则a（2a，0，0）、b（0，2a，0）、d（0，0，1）、a1（2a，0，2）、e（a，a，1）、g（，）。所以=（，），=（0，2a，1），解得a=1，因此，平面abd的法向量为=（，），=（2，2，2）设a1b与平面abd所成角为，则所以，a1b与平面abd所成角为又设平面aed的法向量为=（x,y,z），=（2，0，1），=（1，1，0）由，得令x=1，得=（1，1，2），=（1，1，1）则点a1到平面aed的距离例6 （2001年高考题改编）如图7，四棱锥sabcd的底面abcd是直角梯形，b

7、ad=abc=90，sa=bc=ab=1，ad=2，sa底面abcd，求面scd与面sab所成二面角余弦值的大小。图7解：以a为原点，ab、ad、as所在的直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则a（0，0，0）、b（1，0，0）、c（1，1，0）、d（0，2，0）、s（0，0，1），因saad，adab，故ad面sab，设=（0，2，0）为面sab的法向量，设面scd的法向量为=（x,y,z），则，又=（1，1，0），=（1，1，1），所以 令x=1，则=（1，1，2），所求二面角的余弦值为。注：用向量法求解空间角的理论依据是：（1）设a、b是异面直线，分别是直线a,b上的向量，则异面直线

8、a,b所成的角（2）设平面的一个法向量为，与平面所成的角为，则（3）已知二面角l，分别是平面和平面的一个法向量，设二面角l的大小为，规定0，则（这里若平面的法向量是指向平面内的一点，则平面的法向量必须是由平面内的一点指向二面角的内部，如图8，否则从二面角内部一点出发向两个半平面作法向量时，二面角，如图9）我的大学爱情观1、什么是大学爱情：大学是一个相对宽松，时间自由，自己支配的环境，也正因为这样，培植爱情之花最肥沃的土地。大学生恋爱一直是大学校园的热门话题，恋爱和学业也就自然成为了大学生在校期间面对的两个主要问题。恋爱关系处理得好、正确，健康，可以成为学习和事业的催化剂，使人学习努力、成绩上升

9、；恋爱关系处理的不当，不健康，可能分散精力、浪费时间、情绪波动、成绩下降。因此，大学生的恋爱观必须树立在健康之上，并且树立正确的恋爱观是十分有必要的。因此我从下面几方面谈谈自己的对大学爱情观。2、什么是健康的爱情：1) 尊重对方，不显示对爱情的占有欲，不把爱情放第一位，不痴情过分；2) 理解对方，互相关心，互相支持，互相鼓励，并以对方的幸福为自己的满足; 3) 是彼此独立的前提下结合；3、什么是不健康的爱情：1)盲目的约会，忽视了学业;2)过于痴情，一味地要求对方表露爱的情怀，这种爱情常有病态的夸张;3)缺乏体贴怜爱之心，只表现自己强烈的占有欲;4)偏重于外表的追求;4、大学生处理两人的在爱情

10、观需要三思：1. 不影响学习：大学恋爱可以说是一种必要的经历，学习是大学的基本和主要任务，这两者之间有错综复杂的关系，有的学生因为爱情，过分的忽视了学习，把感情放在第一位；学习的时候就认真的去学，不要去想爱情中的事，谈恋爱的时候用心去谈，也可以交流下学习，互相鼓励，共同进步。2. 有足够的精力：大学生活，说忙也会很忙，但说轻松也是相对会轻松的！大学生恋爱必须合理安排自身的精力，忙于学习的同时不能因为感情的事情分心，不能在学习期间，放弃学习而去谈感情，把握合理的精力，分配好学习和感情。3、 有合理的时间；大学时间可以分为学习和生活时间，合理把握好学习时间和生活时间的“度”很重要；学习的时候，不能

11、分配学习时间去安排两人的在一起的事情，应该以学习为第一；生活时间，两人可以相互谈谈恋爱，用心去谈，也可以交流下学习，互相鼓励，共同进步。5、大学生对爱情需要认识与理解，主要涉及到以下几个方面：（1） 明确学生的主要任务“放弃时间的人，时间也会放弃他。”大学时代是吸纳知识、增长才干的时期。作为当代大学生，要认识到现在的任务是学习学习做人、学习知识、学习为人民服务的本领。在校大学生要集中精力，投入到学习和社会实践中，而不是因把过多的精力、时间用于谈情说爱浪费宝贵的青春年华。因此，明确自己的目标，规划自己的学习道路，合理分配好学习和恋爱的地位。（2） 树林正确的恋爱观提倡志同道合、有默契、相互喜欢的

12、爱情：在恋人的选择上最重要的条件应该是志同道合，思想品德、事业理想和生活情趣等大体一致。摆正爱情与学习、事业的关系：大学生应该把学习、事业放在首位，摆正爱情与学习、事业的关系，不能把宝贵的大学时间，锻炼自身的时间都用于谈情说有爱而放松了学习。 相互理解、相互信任，是一份责任和奉献。爱情是奉献而不时索取，是拥有而不是占有。身边的人与事时刻为我们敲响警钟，不再让悲剧重演。生命只有一次，不会重来，大学生一定要树立正确的爱情观。（3） 发展健康的恋爱行为 在当今大学校园，情侣成双入对已司空见惯。抑制大学生恋爱是不实际的，大学生一定要发展健康的恋爱行为。与恋人多谈谈学习与工作，把恋爱行为限制在社会规范内

13、，不致越轨，要使爱情沿着健康的道路发展。正如马克思所说：“在我看来，真正的爱情是表现在恋人对他的偶像采取含蓄、谦恭甚至羞涩的态度，而绝不是表现在随意流露热情和过早的亲昵。”（4） 爱情不是一件跟风的事儿。很多大学生的爱情实际上是跟风的结果，是看到别人有了爱情，看到别人幸福的样子（注意，只是看上去很美），产生了羊群心理，也就花了大把的时间和精力去寻找爱情（5） 距离才是保持爱情之花常开不败的法宝。爱情到底需要花多少时间，这是一个很大的问题。有的大学生爱情失败，不是因为男女双方在一起的时间太少，而是因为他们在一起的时间太多。相反，很多大学生恋爱成功，不是因为男女双方在一起的时间太少，而是因为他们准确地把握了在一起的时间的多少程度。（6） 爱情不是自我封闭的二人世界。很多人过分的活在两人世界，对身边的同学，身边好友渐渐的失去联系，失去了对话，生活中只有彼此两人；班级活动也不参加，社外活动也不参加，每天除了对方还是对方，这样不利于大学生健康发展，不仅影响学习，影响了自身交际和合