材料力学 扭转组合

1、1 第四章第四章 扭扭 转转 2 标题标题 第四章第四章 扭扭 转转 4-24-2、外力偶矩、外力偶矩 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图 4-14-1、概述、概述 4-34-3、圆轴扭转时截面上的应力计算、圆轴扭转时截面上的应力计算 4-44-4、圆轴扭转时的变形计算、圆轴扭转时的变形计算 4-54-5、圆轴扭转时的强度条件、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件刚度条件 圆轴的设计计算圆轴的设计计算 4-64-6、材料扭转时的力学性质、材料扭转时的力学性质 4-74-7、圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形、圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形 4-84-8、矩形截面杆自由扭转理论的主要结果、矩形截面杆自由扭转理论的主

2、要结果 4-94-9、扭转超静定问题、扭转超静定问题 3 一、概一、概 述述 汽车传动轴汽车传动轴 4-14-1、概述概述 4 汽车方向盘汽车方向盘 4-14-1、概述概述 5丝锥攻丝丝锥攻丝 4-14-1、概述概述 6 扭转变形是指杆件受到大小相等扭转变形是指杆件受到大小相等, ,方向方向 相反且相反且作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用, , 使杆件的横截面绕轴线产生转动。使杆件的横截面绕轴线产生转动。 受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横 截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴 扭转。扭转。

3、 3-23-2、概述概述 7 直接计算直接计算 3-23-2、外力偶矩、外力偶矩 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图 1.1.外力偶矩外力偶矩 二、外力偶矩二、外力偶矩 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图 8 按输入功率和转速计算按输入功率和转速计算 电机每秒输入功：电机每秒输入功： 外力偶作功完成：外力偶作功完成： )N.m(1000 k PW 60 2 n MW e k P k P 已知已知 轴转速轴转速n n 转转/ /分钟分钟 输出功率输出功率P Pk k 千瓦千瓦 求：力偶矩求：力偶矩M Me e 4-34-3、外力偶矩、外力偶矩 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图 9 T = Me 2.2.扭矩和扭矩图扭矩和扭

4、矩图 3-23-2、外力偶矩、外力偶矩 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图 10 T = Me 3-33-3、外力偶矩、外力偶矩 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图 11 3-23-2、外力偶矩、外力偶矩 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图 12 3-33-3、外力偶矩、外力偶矩 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图 13 扭矩正负规定扭矩正负规定 右手螺旋法则右手螺旋法则 右手拇指指向外法线方向为右手拇指指向外法线方向为 正正(+),(+),反之为反之为 负负(-)(-) 3-23-2、外力偶矩、外力偶矩 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图 14 扭矩图扭矩图 3-33-3、外力偶矩、外力偶矩 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图 15 解解: : (1

5、)(1)计算外力偶矩计算外力偶矩 由公式由公式Pk k/n 3-33-3、外力偶矩、外力偶矩 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图 例题例题4-14-1 16 (2)(2)计算扭矩计算扭矩 (3)(3) 扭矩图扭矩图 3-33-3、外力偶矩、外力偶矩 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图 17 3-33-3、外力偶矩、外力偶矩 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图 18 18 19 19 图（图（1） 1.现象（图现象（图1）：）： 20 20 图（1） 变形前原为平面的横截面，变形后变形前原为平面的横截面，变形后 仍保持为平面仍保持为平面平面假设平面假设，形状，形状 和大小不变，半径保持为直线（此和大小不变，半径保持为直线（此

6、 假设只适用于假设只适用于等直圆杆等直圆杆）；）； 横截面上只有切应力，无正应力。横截面上只有切应力，无正应力。 二二 等直圆杆扭转时的应力等直圆杆扭转时的应力 1.几何关系几何关系 21 dx d EG GG 1 tan dx d 图（2） dx d O2 G1 D1 O1 G D A E T T p pq q 即即：任一点处的切应变随该点在横截面任一点处的切应变随该点在横截面 上的位置而变化，与上的位置而变化，与 成正比，同一成正比，同一 半径的圆周上各点处的切应变均相同。半径的圆周上各点处的切应变均相同。 由图示几何关系可得：由图示几何关系可得： 经过半径的任意点经过半径的任意点G的纵向

7、的纵向 线线EG的倾斜角（横截面半径的倾斜角（横截面半径 上任意一点上任意一点E处的切应变）。处的切应变）。 横截面上任意点横截面上任意点G到轴线到轴线 （圆心）的距离；（圆心）的距离； 22 G dx d GG 将式带入式，并令相应点处的剪应力为将式带入式，并令相应点处的剪应力为 ，则有：，则有： max max 图（图（3） R O 在线弹性范围内在线弹性范围内 在同一半径的圆周上各点处在同一半径的圆周上各点处 的切应力值均相等，其值与的切应力值均相等，其值与 成正比。成正比。 的方向应垂的方向应垂 直于半径直于半径 。 由式可知：由式可知： 讨论：讨论： 23 u 切应力分布切应力分布

8、切应力切应力沿半径呈沿半径呈线性分布线性分布。 24 A TdA A TdA dx d G 2 A P IdA 2 32 4 d I P R O2 图（图（4） dA dA T 由静力学中的合力矩原理可得：由静力学中的合力矩原理可得： 将式带入式，得：将式带入式，得： 带入式得：带入式得： P GI T dx d （实心圆形截面（实心圆形截面 ），）， 25 P I T R I W P P 16 3 d W P P W T max 再将式带入就可得：再将式带入就可得： 令令 扭转截面系数，单位是扭转截面系数，单位是m3 （同样也适用于空心圆截面杆）（同样也适用于空心圆截面杆） 当= R时，时，

9、 RI T I TR PP / max 等直圆杆扭转时横截面上等直圆杆扭转时横截面上 一点处切应力计算公式。一点处切应力计算公式。 （实心圆截面（实心圆截面 ） 26 1 1、切应力计算、切应力计算 令令抗扭截面系数抗扭截面系数 3-43-4、圆轴扭转时截面上的应力计算、圆轴扭转时截面上的应力计算 27 2.2. I Ip p 与与 W Wp p 的计算的计算 实心轴实心轴 3-43-4、圆轴扭转时截面上的应力计算、圆轴扭转时截面上的应力计算 28 空心轴空心轴 令令 则则 3-43-4、圆轴扭转时截面上的应力计算、圆轴扭转时截面上的应力计算 29 实心轴与空心轴实心轴与空心轴 I Ip p

10、与与 W Wp p 对比对比 3-43-4、圆轴扭转时截面上的应力计算、圆轴扭转时截面上的应力计算 30 已知：已知：P P7.5kW, 7.5kW, n n=100r/min,=100r/min,最最 大切应力大切应力不得超过不得超过40MPa,40MPa,空心圆轴空心圆轴 的内外直径之比的内外直径之比 = 0.5= 0.5。二轴长。二轴长 度相同。度相同。 求求: : 实心轴的直径实心轴的直径d d1 1和空心轴的外和空心轴的外 直径直径D D2 2；确定二轴的重量之比。；确定二轴的重量之比。 解：解： 首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩 实心

11、轴实心轴 3 1 6 16 716 2 0 045m=45mm 40 10 . .d 例题例题4-24-2 7 5 95499549716 2N m 100 . . x P MT n max1 3 11 16 40MPa xx P MM Wd TT 31 已知：已知：P P7.5kW, 7.5kW, n n=100r/min,=100r/min,最大最大 切应力切应力不得超过不得超过40MPa,40MPa,空心圆轴的空心圆轴的 内外直径之比内外直径之比 = 0.5= 0.5。二轴长度。二轴长度 相同。相同。 求求: : 实心轴的直径实心轴的直径d d1 1和空心轴的外和空心轴的外 直径直径D

12、D2 2；确定二轴的重量之比。；确定二轴的重量之比。 空心轴空心轴 d20.5D2=23 mm 3 2 46 16 716 2 0 046m=46mm 1-40 10 . .D max2 34 2 2 16 40MPa 1 xx P MM WD TT 32 确定实心轴与空心轴的重量之比确定实心轴与空心轴的重量之比 空心轴空心轴 D D2 246 mm46 mmd d2 223 mm23 mm 实心轴实心轴 d d1 1=45 mm=45 mm 长度相同的情形下，二轴的重量之比即为长度相同的情形下，二轴的重量之比即为 横截面面积之比：横截面面积之比： 28. 1 5 . 01 1 1046 10

13、45 1 2 2 3 3 22 2 2 1 2 1 D d A A 33 已知：已知：P P1 114kW,14kW,P P2 2= = P P3 3= =P P1 1/2/2， n n1 1= =n n2 2=120r/min,z=120r/min,z1 1=36,z=36,z3 3=12;=12;d d1 1= = 70mm, 70mm, d d 2 2=50mm, =50mm, d d3 3=35mm. =35mm. 求求: :各各轴轴横截面上的最大切应力横截面上的最大切应力。 P P1 1=14kW, =14kW, P P2 2= = P P3 3= = P P1 1/2=7 kW/2

14、=7 kW n n1 1= =n n2 2= 120r/min= 120r/min 360r/minr/min 12 36 120 3 1 13 z z nn 解：解：1 1、计算各轴的功率与转速、计算各轴的功率与转速 M M1 1=T=T1 1=1114 N.m=1114 N.m M M2 2=T=T2 2=557 N.m=557 N.m M M3 3=T=T3 3=185.7 N.m=185.7 N.m 2 2、计算各轴的扭矩、计算各轴的扭矩 例题例题4-34-3 3 34 16.54MPaPa 1070 111416 E 9-3 1P 1 max W T .69MPa22Pa 1050

15、55716 H 9-3 2P 2 max W T .98MPa12Pa 1053 7 .18516 C 9-3 3P 3 max W T 3 3、计算各轴的横截面上的、计算各轴的横截面上的 最大切应力最大切应力 3 35 相对扭转角相对扭转角抗扭刚度抗扭刚度 四、圆轴扭转时的变形计算四、圆轴扭转时的变形计算 3-53-5、圆轴扭转时的变形计算、圆轴扭转时的变形计算 n i Pi ii GI lT 1 36 1. 1. 等截面圆轴：等截面圆轴：2. 2. 阶梯形圆轴：阶梯形圆轴： 3-63-6、圆轴扭转时的强度条件、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件刚度条件 圆轴的设计计算圆轴的设计计算 五、圆轴扭

16、转时的强五、圆轴扭转时的强 刚度设计刚度设计 37 单位长度扭转角单位长度扭转角 扭转刚度条件扭转刚度条件 许用单位扭转角许用单位扭转角 3-63-6、圆轴扭转时的强度条件、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件刚度条件 圆轴的设计计算圆轴的设计计算 38 扭转强度条件扭转强度条件 扭转刚度条件扭转刚度条件 已知已知T T 、D D 和和 ，校核强度校核强度 已知已知T T 和和 ， 设计截面设计截面 已知已知D D 和和 ，确定许可载荷确定许可载荷 已知已知T T 、D D 和和 / / ，校核刚度校核刚度 已知已知T T 和和 / / ，设计截面设计截面 已知已知D D 和和 / / ，确定许可载

17、荷确定许可载荷 3-63-6、圆轴扭转时的强度条件、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件刚度条件 圆轴的设计计算圆轴的设计计算 39 3-63-6、圆轴扭转时的强度条件、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件刚度条件 圆轴的设计计算圆轴的设计计算例题例题4-44-4 40 传动轴的转速为传动轴的转速为n n=500r/min=500r/min，主动轮，主动轮A A 输入功率输入功率 P P1 1=400kW=400kW，从动轮，从动轮C C，B B 分别输出功率分别输出功率P P2 2=160kW=160kW，P P3 3=240kW=240kW。 已知已知 =70MPa=70MPa， =1=1/m/m，G

18、 G=80GPa=80GPa。 (1)(1)试确定试确定AC AC 段的直径段的直径d d1 1 和 和BC BC 段的直径段的直径d d2 2； (2)(2)若若AC AC 和和BC BC 两段选同一直径，试确定直径两段选同一直径，试确定直径d d； (3)(3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理主动轮和从动轮应如何安排才比较合理? ? 1e M A B C 2e M 3e M 1 d 2 d n P M e 1 1 9549mN7640 500 400 9549 mN3060 400 160 12 ee MMmN4580 400 240 13 ee MM 解：解： 1.1.外力外力 3-6

19、3-6、圆轴扭转时的强度条件、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件刚度条件 圆轴的设计计算圆轴的设计计算例题例题4-54-5 41 2.2.扭矩图扭矩图 mm2 .82m102 .82 1070 764016 16 3 3 6 3 1 T d 按刚度条件按刚度条件 mm4 .86m104 .86 11080 180764032 18032 3 4 29 4 2 1 G T d 3.3.直径直径d d1 1的选取的选取 按强度条件按强度条件 mN7640 mN4580 mm4 .86 1 d 1e M A B C 2e M 3e M 1 d 2 d 3 1 max 16 d T 18032 4 1 max dG T 42 按刚度条件按刚度条件 4.4.直径直径d d2 2的选取的选取 按强度条件按强度条件 1e M A B C 2e M 3e M 1 d 2 d mN7640 mN4580 mm3 .69m103 .69 1070 458016 16 3 3 6 3 2 T d mm76m1076 11080 180458032 18032 3 4 29 4 2