统计学第五章

1、第五章第五章 时间序列分析时间序列分析 时间序列概述时间序列概述 时间序列指标分析法时间序列指标分析法 时间序列构成因素分析法时间序列构成因素分析法 教学基本要求教学基本要求 1，熟悉时间序列的意义和种类。，熟悉时间序列的意义和种类。 2，掌握平均发展水平、增长量、发展速度和增长，掌握平均发展水平、增长量、发展速度和增长 速度、平均发展速度和平均增长速度的概念及计速度、平均发展速度和平均增长速度的概念及计 算方法。算方法。 3，熟悉时间序列的构成要素及组合模型。，熟悉时间序列的构成要素及组合模型。 4，掌握测定长期趋势的移动平均法和趋势方程拟，掌握测定长期趋势的移动平均法和趋势方程拟 合法。合

2、法。 一、时间序列概述一、时间序列概述 （一）时间序列的概念（一）时间序列的概念 1.1.概念概念 把反映客观现象的同一指标在不同时间把反映客观现象的同一指标在不同时间 上的指标数值，按时间先后顺序排列起来形上的指标数值，按时间先后顺序排列起来形 成的数列。成的数列。 如，表如，表5-1： 表表5-1 20012005年某市经济指标年某市经济指标 年年 份份 20012002200320042005 国内生产总值（亿元）国内生产总值（亿元） 519.7 645.1 733.1 829.0 926.3 年末人口数（万人）年末人口数（万人） 531.53 534.7 537.4 540.4 543

3、.2 市区人口比重（市区人口比重（%） 47.18 47.63 47.86 48.06 48.31 职工年平均工资（元职工年平均工资（元/人）人）5814 5624 7336 7854 8224 2.2.时间序列的基本要素时间序列的基本要素 时间时间序列序列 资料所属时间资料所属时间 统计指标数值统计指标数值 3 3、时间序列的意义、时间序列的意义 p利用时间序列可以反映客观现象发展变化过程及利用时间序列可以反映客观现象发展变化过程及 其历史状况；其历史状况； p根据时间序列可以计算动态分析指标，考察现象根据时间序列可以计算动态分析指标，考察现象 发展变化的方向、速度、趋势及其变化的规律性；发

4、展变化的方向、速度、趋势及其变化的规律性； p根据时间序列发展变化的趋势，可以预测现象未根据时间序列发展变化的趋势，可以预测现象未 来变化状态；来变化状态； p将互相联系的时间序列进行对比，可以研究有关将互相联系的时间序列进行对比，可以研究有关 现象的联系程度。现象的联系程度。 （二）时间序列的种类（二）时间序列的种类 时间序时间序列列 总量指标总量指标 时间序列时间序列 相对指标相对指标 时间序列时间序列 平均指标平均指标 时间序列时间序列 将客观现象的某一总量指标在将客观现象的某一总量指标在 不同时间上的指标数值按时间不同时间上的指标数值按时间 先后顺序排列起来所形成的时先后顺序排列起来所

5、形成的时 间序列间序列 。 时期时期序列序列 时点时点序列序列 顺序排列顺序排列 将现象某一平均指标在不将现象某一平均指标在不 同时间上的指标值，按时同时间上的指标值，按时 间的先后顺序排列起来形间的先后顺序排列起来形 成的时间序列。成的时间序列。 特特 点点特点特点 时期序列特点：时期序列特点： 序列中各个指标的数值是可以相加的，即相加序列中各个指标的数值是可以相加的，即相加 具有一定的经济意义。具有一定的经济意义。 序列中每一个指标数值的大小与所属的时期长序列中每一个指标数值的大小与所属的时期长 短有直接的联系。短有直接的联系。 序列中每个指标的数值，通常是通过连续不断序列中每个指标的数值

6、，通常是通过连续不断 地登记而取得的。地登记而取得的。 返返回回 时点序列特点：时点序列特点： Y序列中各个指标的数值是不能相加的，相加不具序列中各个指标的数值是不能相加的，相加不具 有实际经济意义；有实际经济意义； Y序列中每一个指标数值的大小与其时间间隔长短序列中每一个指标数值的大小与其时间间隔长短 没有直接联系；没有直接联系； Y序列中每个指标的数值，通常是通过在一定时点序列中每个指标的数值，通常是通过在一定时点 上进行登记一次而取得的。上进行登记一次而取得的。 三、时间序列的编制原则三、时间序列的编制原则 时期长短应统一时期长短应统一 总体范围应该一致总体范围应该一致 计算方法应该统一

7、计算方法应该统一 指标的经济内容应该相同指标的经济内容应该相同 返回返回 二、时间序列指标分析法二、时间序列指标分析法 （一）发展水平（一）发展水平 1.概念概念 发展水平是指时间序列中每个时间上对应的指发展水平是指时间序列中每个时间上对应的指 标数值，又称发展量或动态序列水平。它反映客观标数值，又称发展量或动态序列水平。它反映客观 现象在不同时期所达到的水平。现象在不同时期所达到的水平。 2.表现形式表现形式 发展水平有三种表现形式：总量指标、相对指发展水平有三种表现形式：总量指标、相对指 标和平均指标。标和平均指标。 发发展水平一般是总总量指标标，如工农业总产值农业总产值； 也可用相对对指

8、标来标来表示，如工业总产值业总产值占工农业总农业总 产值产值的比例；或用平均指标来标来表示，如全国职国职工年 平均工资资等。 3.分类类 时间序列通常的表述形式为：时间序列通常的表述形式为： a0、a1、a2、an-1、an 发展水平根据其在时间序列中的次序地位和作用 发展水平根据其在时间序列中的次序地位和作用 不同，可分为：最初水平、中间水平和最末水平。不同，可分为：最初水平、中间水平和最末水平。 数列中数列中, a0是最初水平，是最初水平，an是最末水平，是最末水平， a1 - an-1 是中间水平。是中间水平。 如某公司如某公司20002005年产品销售收入为：年产品销售收入为： 单位：

9、万元单位：万元 指标标名称称 2000 2001 2002 2003 2004 2005 产产品销销售 收 入 200 280 370 500 700 1000 最初水平 中间间水平 最末水 平 基期 报报告期 水平 水 平 所要观察研究的那个时间上的发展水平，常称所要观察研究的那个时间上的发展水平，常称 为报告期水平，又称计算期水平；用于对比计算基础为报告期水平，又称计算期水平；用于对比计算基础 的发展水平称为基期水平。的发展水平称为基期水平。 （二）平均发展水平（二）平均发展水平 1.概念概念 平均发展水平是指将时间序列中各项发展水平加平均发展水平是指将时间序列中各项发展水平加 以平均而求

10、得的平均数，又称为动态平均数或序时平以平均而求得的平均数，又称为动态平均数或序时平 均数。它表明现象在某段时期内发展变化的一般水平。均数。它表明现象在某段时期内发展变化的一般水平。 2.2.平均发展水平与一般平均数的异同平均发展水平与一般平均数的异同 相同相同点点 区区别别 两者都是将现象的个别数量两者都是将现象的个别数量 差异抽象化，概括地反映现差异抽象化，概括地反映现 象的一般水平。象的一般水平。 计算依据不同，序时平均数的计算依计算依据不同，序时平均数的计算依 据是时间序列，而一般平均数是变量据是时间序列，而一般平均数是变量 数列。数列。 平均的内容不同，序时平均数所平平均的内容不同，序

11、时平均数所平 均的是被研究现象本身某一指标在均的是被研究现象本身某一指标在 不同时间上取值的差异，而一般平不同时间上取值的差异，而一般平 均数平均的是总体单位某一标志值均数平均的是总体单位某一标志值 在同一时间上的差异。在同一时间上的差异。 反映的问题不同，序时平均数从反映的问题不同，序时平均数从 动态的角度反映被研究现象本身动态的角度反映被研究现象本身 在一段时间内的一般发展水平，在一段时间内的一般发展水平， 而一般平均数是从静态的角度说而一般平均数是从静态的角度说 明总体各单位在具体的条件下某明总体各单位在具体的条件下某 个标志值的一般水平，不反映时个标志值的一般水平，不反映时 间的变动性

12、间的变动性 。 3.3.由总量指标时间序列计算序时平均数由总量指标时间序列计算序时平均数 R由时期序列计算序时平均数由时期序列计算序时平均数 n a n aaaa a n 321 例：某公司例：某公司2000-20052000-2005平均产品销售收入的计算平均产品销售收入的计算 R由时点序列计算序时平均数由时点序列计算序时平均数 f af a n a a或 v由连续时点序列计算平均发展水平由连续时点序列计算平均发展水平 例，例，某事业事业单单位某月第某月第1周周出勤情况情况统计统计如下： 时时 间间 1 2 3 4 5 出勤出勤人数数 256 249 245 236 259 要求：计算该月第

13、要求：计算该月第1周平均出勤人数。周平均出勤人数。 解：该数列属于间隔相等的连续时点序列，则该月第解：该数列属于间隔相等的连续时点序列，则该月第1周平均周平均 出勤人数为：出勤人数为： 人）(245 5 259236245249256 n a a 例：某企业例：某企业20062006年年1 1月份在册职工人数变动资料如表月份在册职工人数变动资料如表5-25-2所示，试计算所示，试计算 1 1月份平均在册职工人数。月份平均在册职工人数。 表表5-2 5-2 某企业某企业20062006年年1 1月份职工在册人数情况月份职工在册人数情况 单位单位: :人人 日日 期期 1 1月月1 1日日 1 1

14、月月5 5日日 1 1月月1515日日 1 1月月1919日日 1 1月月3131日日 在册人数在册人数 72726363818166667070 解：表中在册人数时间序列属于间隔不等的连续时点序列，则解：表中在册人数时间序列属于间隔不等的连续时点序列，则 该企业该企业20062006年年1 1月份平均职工人数为月份平均职工人数为: : )(87.67 1124104 1*7012*66 4*81 10*63 4*72 人 f af a v由间断时点序列计算平均发展水平由间断时点序列计算平均发展水平 第一种：由间隔相等的间断时点序列计算平均发展水平。第一种：由间隔相等的间断时点序列计算平均发展

15、水平。 第一步，用期初和期末时点值求其平均值作为该时期的代表第一步，用期初和期末时点值求其平均值作为该时期的代表 值，即值，即 2 , 2 , 2 , 2 1433221nn aaaaaaaa 第二步：将这些代表值加以简单平均，即第二步：将这些代表值加以简单平均，即 1 22 1 2222 32 11433221 n a aa a n aaaaaaaa a nnn 这种方法叫首末折半法这种方法叫首末折半法 例：根据表例：根据表5-35-3资料，计算资料，计算1998-20051998-2005年某省国有单位年均职工人数。年某省国有单位年均职工人数。 表表5-3 5-3 某省某省1997-200

16、51997-2005年年末国有单位职工人数年年末国有单位职工人数 单位单位: :万人万人 年末年末 199719971998199819991999200020002001200120022002200320032004200420052005 年末职年末职 工人数工人数 521521544544571571599599604604717717604604603603485485 解解: :表中职工人数时间序列属于间隔相等的间断时点序列，其计算表中职工人数时间序列属于间隔相等的间断时点序列，其计算 方法如下：方法如下： )(63.597 8 4781 19 2 485 603640717604

17、599571544 2 521 万人 a 第二种：由间隔不等的间隔时点序列计算平均发展水平第二种：由间隔不等的间隔时点序列计算平均发展水平 代表时间间隔式中f f f aa f aa f aa a n nn 1 1 2 32 1 21 222 例：某城市例：某城市2005年的外来人口资料如表年的外来人口资料如表5-4，试计算月平均外来人，试计算月平均外来人 口数：口数： 表表5-4 某城市某城市2005年的外来人口资料年的外来人口资料 单位：人单位：人 日日 期期 1 1月月1 1日日 5 5月月1 1日日 8 8月月1 1日日 1212月月3131日日 人口数（万人）人口数（万人）13.53

18、 13.53 13.87 13.87 14.01 14.01 13.37 13.37 解解: :表中时间序列属于间隔不相等的间断时点序列。计算方法表中时间序列属于间隔不相等的间断时点序列。计算方法 如下：如下： )(67.13 534 5* 2 37.1301.14 3* 2 01.1467.13 4* 2 87.1353.13 万人 a 4.4.由相对数时间序列计算序时平均数由相对数时间序列计算序时平均数 根据相对数时间序列计算平均发展水平，必根据相对数时间序列计算平均发展水平，必 须先计算组成这个相对数时间序列的两个绝对数须先计算组成这个相对数时间序列的两个绝对数 时间序列的序时平均数，然

19、后把两个序时平均数时间序列的序时平均数，然后把两个序时平均数 对比，就可以得到相对数时间序列的序时平均数。对比，就可以得到相对数时间序列的序时平均数。 Y根据两个时期序列组成的相对数时间序列计根据两个时期序列组成的相对数时间序列计 算序时平均数算序时平均数 b a n b n a b a c 例：某企业例：某企业20062006年第一季度业务收入计划完成情况的资年第一季度业务收入计划完成情况的资 料如表料如表5-55-5所示。所示。 表表5-5 5-5 某企业某企业20062006年第一季度业务收入计划完成情况年第一季度业务收入计划完成情况 一月份一月份 二月份二月份 三月份三月份 实际业务收

20、入（万元）实际业务收入（万元）a a 250250360360600600 计划业务收入（万元）计划业务收入（万元）b b 200200300300400400 业务收入计划完成（业务收入计划完成（% %）c c 125125120120150150 试计算第一季度平均计划完成程度。试计算第一季度平均计划完成程度。 解解: :计划完成程度是相对指标计划完成程度是相对指标, ,此序列中的指标不能直接相此序列中的指标不能直接相 加加, ,其分子、分母均为时期序列，则有：其分子、分母均为时期序列，则有： %4 .134 %100 3400300200 3600360250 %100 每月平均计划业务

21、收入 每月平均实际业务收入 一季度平均完成程度 Y根据两个时点序列对比组成的相对数（或平均数）根据两个时点序列对比组成的相对数（或平均数） 时间序列计算序时平均数时间序列计算序时平均数 由两个连续时点序列对比而成的相对数时间序列由两个连续时点序列对比而成的相对数时间序列 序时平均数的计算方法：序时平均数的计算方法： bf af f bf f af b a c或 b a b a c 由两个间断时点序列对比组成的相对数时间序列，间隔由两个间断时点序列对比组成的相对数时间序列，间隔 相等时，序时平均数的计算方法：相等时，序时平均数的计算方法： 间隔相等时：间隔相等时： 22 22 1 22 1 22

22、 432 1 432 1 432 1 432 1 n n n n b bbb b a aaa a n b bbb b n a aaa a b a c 1 1 2 32 1 21 1 1 2 32 1 21 1 1 2 32 1 21 1 1 2 32 1 21 222 222 222 222 n nn n nn n nn n nn f bb f bb f bb f aa f aa f aa f f bb f bb f bb f f aa f aa f aa c 间隔不等时：间隔不等时： 1 1 2 32 1 21 1 1 2 32 1 21 1 1 2 32 1 21 1 1 2 32 1 2

23、1 222 222 222 222 n nn n nn n nn n nn f bb f bb f bb f aa f aa f aa f f bb f bb f bb f f aa f aa f aa c 例，某企业某年第二季度职工人数资料如下：例，某企业某年第二季度职工人数资料如下： 时间时间 4.1 5.11 6.30 职工人数职工人数 1000 1000 1043 非生产人数非生产人数 250 260 240 非生产人员比重非生产人员比重 （%） 25 26 23 要求：计算该企业第二季度非生产人员平均比重。要求：计算该企业第二季度非生产人员平均比重。 解：非生产人员比重序列是由两个间

24、隔不等的间断时点序列解：非生产人员比重序列是由两个间隔不等的间断时点序列 对比形成，分别计算职工和非生产人员的序时平均数，然后对比形成，分别计算职工和非生产人员的序时平均数，然后 再对比。即：再对比。即： %9 .24 5 .92096 22950 51 2 10431000 40 2 10001000 51 2 240260 40 2 260250 b a c 由一个时期序列和一个时点序列对比而成的相对数时间序列计算序由一个时期序列和一个时点序列对比而成的相对数时间序列计算序 时平均数的方法：分别计算分子与分母的序时平均数，然后对比可得。时平均数的方法：分别计算分子与分母的序时平均数，然后对

25、比可得。 例：某企业例：某企业20062006年上半年劳动生产率数据如下表所示：年上半年劳动生产率数据如下表所示： 月月 份份 一一二二 三三 四四 五五 六六七七 工业总产值（万元）工业总产值（万元）a a 35 35 37 37 38 38 42 42 45 45 54 54 月初职工人数（人）月初职工人数（人）b b 395 395 405 405 405 405 415 415 425 425 440 440 455 455 劳动生产率（元劳动生产率（元/ /人）人）c c 875 875 914 914 927 927 1000 1000 1039 1039 1205 1205 要求

26、：计算上半年平均月劳动生产率。要求：计算上半年平均月劳动生产率。 解：劳动生产率时间序列是由一个时期序列和一个时点解：劳动生产率时间序列是由一个时期序列和一个时点 序列相应指标序列相应指标( (工业总产值和职工人数工业总产值和职工人数) )对比形成的，对比形成的， 计算平均月劳动生产率应先求出工业总产值和职工计算平均月劳动生产率应先求出工业总产值和职工 人数的平均数人数的平均数, ,然后再对比。即然后再对比。即 人元998 ) 16/() 2/4554404254154054052/395( 6/ )544542383735( b a c 5，由平均数时间序列计算序时平均数，由平均数时间序列计

27、算序时平均数。 依据静态平均数时间序列计算。方法与由相对数依据静态平均数时间序列计算。方法与由相对数 时间序列计算序时平均数相同。时间序列计算序时平均数相同。 如，某单位职工平均工资情况如下：如，某单位职工平均工资情况如下： 时间时间 1月月 2月月 3月月 4月月 工资总额工资总额 （元）（元） 100000 120000 140000 150000 月初职工人数月初职工人数 100 110 120 110 平均工资（元）平均工资（元） 952 1043 1217 - 依据序时平均数时间序列计算。依据序时平均数时间序列计算。 如：某单位某月出勤情况如下：如：某单位某月出勤情况如下： 时间时间

28、 第一周第一周 第二周第二周 第三周第三周 第四周第四周 平均出勤人数平均出勤人数 245 252 248 255 f af a n a a或 （三）增长量（三）增长量 1.1.概念概念 增长量是报告期水平与基期水平之差增长量是报告期水平与基期水平之差, ,也称为也称为 增减量或增长水平。反映某种社会经济现象在一定增减量或增长水平。反映某种社会经济现象在一定 时期内报告期水平比基期水平增长的绝对数量。其时期内报告期水平比基期水平增长的绝对数量。其 计算公式为：计算公式为： 增长量增长量= =报告期水平报告期水平- -基期水平基期水平 2.由于采由于采 用的基期用的基期 不同，增不同，增 长量可

29、分长量可分 为逐期增为逐期增 长量和累长量和累 计增长量计增长量。 增长量增长量基期基期 逐期增长量逐期增长量 累计增长量累计增长量 关关 系系 逐期增减量之和等于相应时期的累计增减量。用符号逐期增减量之和等于相应时期的累计增减量。用符号 表示为：表示为： )()()()( 011201 aaaaaaaa nnn 每两个相邻的累计增减量之差等于相应时期的逐期增每两个相邻的累计增减量之差等于相应时期的逐期增 减量。减量。 )()()( 1010 nnnn aaaaaa 3.3.年距增长量年距增长量= =报告年某期发展水平报告年某期发展水平上年同期发展水平上年同期发展水平 （四）平均增长量（四）平

30、均增长量 1.1.概念概念 平均增长量是将各逐期增长量的数量差异抽象化，用平均增长量是将各逐期增长量的数量差异抽象化，用 来说明某种现象在较长时期内平均每期增长数量的统计分来说明某种现象在较长时期内平均每期增长数量的统计分 析指标。其计算公式为：析指标。其计算公式为： 1-时间数列项数 累计增长量 逐期增长量个数 逐期增长量之和 平均增长量 平均增长量视研究对象的考察重点不同，有两种不平均增长量视研究对象的考察重点不同，有两种不 同的计算方法：（同的计算方法：（1 1）水平法（）水平法（2 2）累计法）累计法 （五）发展速度（五）发展速度 1.1.概念概念 发展速度是指社会经济现象的报告期水平

31、除发展速度是指社会经济现象的报告期水平除 以基期水平求得的相对指标，反映社会经济现象以基期水平求得的相对指标，反映社会经济现象 数量特征发展变化的方向和程度。计算公式为：数量特征发展变化的方向和程度。计算公式为： 基期水平 报告期水平 发展速度 2.2.发展速度的分类发展速度的分类 发展速度发展速度 定基发展速度定基发展速度 环比发展速度环比发展速度 也叫也叫“总速度总速度”，计算公式为：，计算公式为： 00 3 0 2 0 1 , a a a a a a a a n 即 最初水平 报告期水平 定期发展速度 12 3 1 2 0 1 , n n a a a a a a a a 即 前一期水平

32、报告期水平 环比发展速度 关关 系系 定期发展速度等于相应时期的各个环比发展速定期发展速度等于相应时期的各个环比发展速 度的连乘积。即：度的连乘积。即： 012 3 1 2 0 1 a a a a a a a a a a n n n 每两个相邻的定期发展速度之商等于相应时期每两个相邻的定期发展速度之商等于相应时期 的环比发展速度。即：的环比发展速度。即： 10 1 0 : n nnn a a a a a a （六）增长速度（六）增长速度 1.1.概念概念 增长速度是报告期增长量与基期水平之比求得的相对增长速度是报告期增长量与基期水平之比求得的相对 指标，也可用报告期的发展速度减指标，也可用报告

33、期的发展速度减1 1，它反映现象在一定，它反映现象在一定 时期内数量特征增长变化的方向和程度。通常用百分比或时期内数量特征增长变化的方向和程度。通常用百分比或 倍数表示。其计算公式为：倍数表示。其计算公式为： 11 发展速度 基期水平 报告期水平 基期水平 基期水平报告期水平 基期水平 增长量 增长速度 用符号表示为：用符号表示为： 1 00 0 a a a aa nn 增长速度 增长速度增长速度 环比增长速度环比增长速度 累计增长量与某一固定时期水平之比的累计增长量与某一固定时期水平之比的 相对数，它反映社会经济现象在较长时相对数，它反映社会经济现象在较长时 期内总的增长速度。期内总的增长速

34、度。 1 1 00 0 a a a aa nn 定期发展速度 最初水平 累计增长量 定期增长速度 定基增长速度定基增长速度 逐期增长量与前一期水平之比的相逐期增长量与前一期水平之比的相 对数，它是表示社会经济现象逐期对数，它是表示社会经济现象逐期 的增长程度。的增长程度。 1 1 11 1 n n n nn a a a aa 环比发展速度 前一期水平 逐期增长量 环比增长速度 （七）平均发展速度（七）平均发展速度 1.1.概念概念 平均发展速度是时间序列中各时期环比发展速度的平均发展速度是时间序列中各时期环比发展速度的 序时平均数，用以表明现象在一个较长时期内逐期发展序时平均数，用以表明现象在

35、一个较长时期内逐期发展 变化的平均程度。变化的平均程度。 2 2、几何平均法求平均发展速度：、几何平均法求平均发展速度： 计算公式计算公式: : n n n n n n G R a a a a a a a a a a x 012 3 1 2 0 1 例：根据下表数据计算平均发展速度。例：根据下表数据计算平均发展速度。 年份年份 1999 1999 2000200020012001200220022003200320042004 产值（亿元）产值（亿元） 5300 5300 5400 5400 8320 8320 12500 12500 14800 14800 21270 21270 环比发展速

36、度环比发展速度 101.9 101.9 154.1 154.1 150.2 150.2 118.4 118.4 143.7 143.7 %04.1320129. 4 %7 .143%4 .118%2 .150%1 .154%9 .101 5 5 G x 3 3、累计法（方程式法）、累计法（方程式法） 这种方法是求各年发展水平总和与基期水平之比的平这种方法是求各年发展水平总和与基期水平之比的平 均每年递增或递减的速度。即：均每年递增或递减的速度。即： 0 32 a a xxxx n 应用代数平均法计算平均发展速度时直接计算发展速度应用代数平均法计算平均发展速度时直接计算发展速度 较难，应根据较难

37、，应根据平均增长速度查对表平均增长速度查对表查对计算。查对计算。 （八）平均增长速度（八）平均增长速度 平均增长速度是指现象各个时期的环比增平均增长速度是指现象各个时期的环比增 长速度的平均数，也称平均增长率。它用以表长速度的平均数，也称平均增长率。它用以表 明现象在较长时期逐期增长速度的一般水平。明现象在较长时期逐期增长速度的一般水平。 平均增长速度平均增长速度 = = 平均发展速度平均发展速度 1 1 返回返回 （一）时间序列的构成因素及其组合模型（一）时间序列的构成因素及其组合模型 三、时间序列构成因素分析法三、时间序列构成因素分析法 时间序列时间序列 长期趋势长期趋势（T T） 季节变

38、动季节变动（S S） 循环变动循环变动（C C） 不规则变动不规则变动（I I） 时间序列变动的基本形式。时间序列变动的基本形式。 它是指由各个时期普遍的、它是指由各个时期普遍的、 持续的、决定性的根本性持续的、决定性的根本性 因素的作用，使现象在一因素的作用，使现象在一 个长时期内沿着一个方向、个长时期内沿着一个方向、 逐渐向上或向下变动的趋逐渐向上或向下变动的趋 势。势。 狭义的季节变动是指现象狭义的季节变动是指现象 受自然因素的影响，在一受自然因素的影响，在一 年中随季节的更换而发生年中随季节的更换而发生 的有规律的变化。广义的的有规律的变化。广义的 季节变动是指在一年内由季节变动是指在

39、一年内由 于社会、政治、经济、自于社会、政治、经济、自 然因素的影响，形成的以然因素的影响，形成的以 一定时期（年、季、月、一定时期（年、季、月、 周、日）为周期的有规律周、日）为周期的有规律 的重复变动。的重复变动。 现象发生周期比较长的涨现象发生周期比较长的涨 落起伏的变动。通常所指落起伏的变动。通常所指 的循环变动乃经济发展盛的循环变动乃经济发展盛 衰不绝相替之变动。衰不绝相替之变动。 时间序列除了以上各种变动时间序列除了以上各种变动 以外，还有受临时的、偶然以外，还有受临时的、偶然 的因素或不明原因引起的非的因素或不明原因引起的非 周期性、非趋势性的随机变周期性、非趋势性的随机变 动，

40、就是不规则变动，这种动，就是不规则变动，这种 变动是无法预知的。变动是无法预知的。 （二）时间序列变动分析的模型（二）时间序列变动分析的模型 当当4 4种变动因素呈现出相互独立的关系时，种变动因素呈现出相互独立的关系时， 动态序列总变动动态序列总变动( (Y) )体现为各种因素的总和，体现为各种因素的总和， 即即Y= =T+ +S+ +C+ +I。 当当4 4种变动因素呈现出相互影响的关系时，种变动因素呈现出相互影响的关系时， 动态序列总变动动态序列总变动( (Y) )体现为各种因素的乘积，体现为各种因素的乘积， 即即Y= =TSCI。这种方法中，。这种方法中，S，C，I均均 为比率，用百分数

41、表示。为比率，用百分数表示。 （三）时间序列趋势变动分析（三）时间序列趋势变动分析 r长期趋势是指由各个时期普遍的、持续的、长期趋势是指由各个时期普遍的、持续的、 决定性的根本性因素的作用，使现象在一决定性的根本性因素的作用，使现象在一 个长时期内沿着一个方向、逐渐向上或向个长时期内沿着一个方向、逐渐向上或向 下变动的趋势。下变动的趋势。 r反映现象发展的长期趋势有两种基本形式：反映现象发展的长期趋势有两种基本形式： 一种是直线趋势，另一种是非直线趋势即一种是直线趋势，另一种是非直线趋势即 趋势曲线。趋势曲线。 r长期趋势测定的常用方法长期趋势测定的常用方法 移动平均法移动平均法 移动平均法是

42、将原有的时间序列的时距扩大，从移动平均法是将原有的时间序列的时距扩大，从 第一项数值开始，采取逐项依次递移的办法，对原时间第一项数值开始，采取逐项依次递移的办法，对原时间 序列边移动边平均，计算出一系列移动平均发展水平，序列边移动边平均，计算出一系列移动平均发展水平， 作为原有时间序列对应时期的趋势值，从而形成一个新作为原有时间序列对应时期的趋势值，从而形成一个新 的派生的时间序列。这种由移动平均数形成的派生序列，的派生的时间序列。这种由移动平均数形成的派生序列， 消除了短期的偶然因素对原时间序列的影响，使研究对消除了短期的偶然因素对原时间序列的影响，使研究对 象的基本发展趋势得以呈现。在这新

43、的时间序列中，原象的基本发展趋势得以呈现。在这新的时间序列中，原 序列中受偶然因素的影响而引起的波动被消除，从而反序列中受偶然因素的影响而引起的波动被消除，从而反 映现象的总趋势。映现象的总趋势。 应用移动平均法分析长期趋势时，应注意：应用移动平均法分析长期趋势时，应注意： A.A.用移动平均法对原动态序列修匀，修匀程度的用移动平均法对原动态序列修匀，修匀程度的 大小，与原序列移动平均的项数多少有关；大小，与原序列移动平均的项数多少有关； B.B.移动平均法所取项数的多少，应视资料的特点移动平均法所取项数的多少，应视资料的特点 而定；而定； C.C.移动平均法，采用奇数项移动比较简单，一次移动

44、平均法，采用奇数项移动比较简单，一次 即得趋势值；而采取偶数项移动时，往往要经过二次即得趋势值；而采取偶数项移动时，往往要经过二次 平均；平均； D.D.移动平均后的序列，比原序列的项数减少。移动平均后的序列，比原序列的项数减少。 趋势方程拟合法趋势方程拟合法 最小平方法的基本原理：通过对序列的数最小平方法的基本原理：通过对序列的数 学处理，拟合一条理想的趋势线，使它与学处理，拟合一条理想的趋势线，使它与 原序列达到最优拟合，满足两条要求：原序列达到最优拟合，满足两条要求：A . A . 原序列的实际值与趋势值离差和为零，即：原序列的实际值与趋势值离差和为零，即： (YYYtYt)=0)=0；

45、B. B. 原序列的实际值与趋势原序列的实际值与趋势 值离差平方和为最小，值离差平方和为最小，(YYt)2=minYYt)2=min。 故又称最小平方法。故又称最小平方法。 *最小平方法既可用于配合直线，也可用于配合曲最小平方法既可用于配合直线，也可用于配合曲 线。线。 *选择数学模型可用散点图（点线图）：若散点大选择数学模型可用散点图（点线图）：若散点大 致在一条直线周围波动，为直线趋势；若散点大致致在一条直线周围波动，为直线趋势；若散点大致 在一条曲线周围波动，为曲线趋势。也用动态指标在一条曲线周围波动，为曲线趋势。也用动态指标 判断：计算一次增量（逐期增长量，若大致相等，判断：计算一次增

46、量（逐期增长量，若大致相等， 基本趋势是直线型）、二次增量（逐期增长量的逐基本趋势是直线型）、二次增量（逐期增长量的逐 期增长量，若大体相等，基本趋势是抛物线型）或期增长量，若大体相等，基本趋势是抛物线型）或 环比发展速度（若大体相等，基本趋势是指数型）环比发展速度（若大体相等，基本趋势是指数型） 直线方程直线方程 其趋势方程为：其趋势方程为： btayc 用最小平方法求解用最小平方法求解a a、b b两个参数的标准方程两个参数的标准方程 组由两个组成。即组由两个组成。即 2 tbxaty tbnay 22 )( 1 1 t n t yt n ty b tbya 也可作图来判断。具体方法如下：

47、也可作图来判断。具体方法如下： 以横轴以横轴t t表示时间，纵轴表示时间，纵轴y y表示原序列的指标数值，表示原序列的指标数值， 坐标原点定在坐标原点定在19981998年，其序号用年，其序号用0 0来表示，将该序列中的来表示，将该序列中的 指标数值和相对应的时间形成的点画在直角坐标系中，指标数值和相对应的时间形成的点画在直角坐标系中， 可发现其散点集中在一条直线周围，故可以拟合直线趋可发现其散点集中在一条直线周围，故可以拟合直线趋 势方程。势方程。 根据求参数根据求参数a a和和b b的公式的公式 22 )( 1 1 t n t yt n ty b tbya 经计算得：经计算得： 68.77

48、 336 26100 36204*8 72427*36329184*8 82.8703 8 36 *86.77 8 72427 2 b a tbtay68.7782.8703 94.9402968.7782.8703y 将将20062006年时间序号年时间序号9 9代入配合的趋势方程，可得到代入配合的趋势方程，可得到20062006 年底该省人口数的趋势值（即预测值）：年底该省人口数的趋势值（即预测值）： * *简算法：为了便于手工计算，可将原序列中时间简算法：为了便于手工计算，可将原序列中时间t t的中的中 间项取为零，使得间项取为零，使得“t t0”0”，此时，标准方程组可简化为：，此时，

49、标准方程组可简化为： 2 tbty nay 解方程组得：解方程组得： x cy b 2 n y a 注意：当时间序列为奇数项时，中间一年为注意：当时间序列为奇数项时，中间一年为 原点，原点，t值分别为值分别为、-3、-2、-1、0、1、2、 3、，从而从而使使tt0 0；当时间序列为偶数项时，；当时间序列为偶数项时， 用中间两项的中点为原点，这时，用中间两项的中点为原点，这时，t t以半年为单以半年为单 位，原点以前各项的位，原点以前各项的t t值分别为值分别为、-5-5、-3-3、-1-1， 原点以后各项的原点以后各项的t t值依次为值依次为1 1、3 3、5 5、，同样可，同样可 使使tt

50、0 0 现用简捷法来拟合上例的趋势方程。现用简捷法来拟合上例的趋势方程。 年份年份 年末人口数（万人）年末人口数（万人） tt 2ty 19988763 -7 49-61341 19998861 -5 25-44305 20008946 -3 9-26838 20019027 -1 1-9027 20029100 119100 20039172 3927516 20049243 52546215 20059315 74965205 合计计72427 0168 6525 解：各年的逐期增长量大致相等，故判断拟合的趋势解：各年的逐期增长量大致相等，故判断拟合的趋势 方程的基本形态为直线。方程的基本

51、形态为直线。 对时间进行简化后，根据求参数对时间进行简化后，根据求参数a a和和b b的公式的公式 将将20062006年时间序号年时间序号9 9代入配合的趋势方程，可得到代入配合的趋势方程，可得到2020 0606年底该省人口数的趋势值（即预测值）：年底该省人口数的趋势值（即预测值）： )(94.9402984.3838.9053万人y 所以，趋势方程所以，趋势方程 ty84.3838.9053 84.38 168 6525 38.9053 8 72427 2 b a tbty nay 得： 又如又如某公司19982004年啤啤酒销销售额统计额统计 年份份 t Y t2 tY 1998 -3

52、 500 9 -1500 1999 -2 600 4 -1200 2000 -1 650 1 -650 2001 0 650 0 0 2002 1 700 1 700 2003 2 780 4 1560 2004 3 900 9 2700 合计计 0 4780 28 1610 解：各年的逐期增长量大致相等，故判断拟合的趋势方程的解：各年的逐期增长量大致相等，故判断拟合的趋势方程的 基本形态为直线。基本形态为直线。 对时间进行简化后，根据求参数对时间进行简化后，根据求参数a a和和b b的公式的公式 5 .57 28 1610 9 .682 7 4780 2 b a tbty nay 得： 抛物

53、线方程抛物线方程 当时间序列各期水平的二次增量大致相同时，当时间序列各期水平的二次增量大致相同时， 趋势线近似一条抛物线，可配合抛物线方程：趋势线近似一条抛物线，可配合抛物线方程： 2 ctbtayc 用最小平方法求解参数用最小平方法求解参数a、b、c时，使用下面时，使用下面 三个方程：三个方程： 4322 32 2 tctbtayt tctbtaty tctbnay 422 2 2 0 tctayt tbty tcnay t 可得简化方程为： 时，当令 年份年份t t y y tyty 19991999-5-51200 1200 -6000 -6000 252530000 30000 625

54、 625 1200.361200.36 -0.36-0.36 0.10000.1000 20012001-3-31400 1400 -4200 -4200 9 9126001260081811399.301399.30 0.100.10 0.19000.1900 20022002-1-11620 1620 -1620 -1620 1 1162016201 11620.031620.03 -0.03-0.03 0.00090.0009 200320031 11862 1862 186218621 1186218621 11862.541862.54 -0.54-0.54 0.09160.0916

55、 200420043 32127 2127 638163819 9191431914381812126.842126.84 0.160.16 0.02560.0256 200520055 52413 2413 1206512065252560325603256256252412.932412.93 0.070.07 0.00490.0049 合计合计0 010622 10622 8488848870701255501255501414 1414 10622.010622.0 0 00.94260.9426 2 t yt 2 4 tc y c yy 2 )( c yy 表表5-11 5-11 某

56、商场小家电销售量抛物线参数计算表某商场小家电销售量抛物线参数计算表 解：先计算各年的二级增长量，大致相等，判断拟合解：先计算各年的二级增长量，大致相等，判断拟合 的趋势方程的基本形态为抛物线。的趋势方程的基本形态为抛物线。 有关数值的计算见表有关数值的计算见表5-11，将上表数据代入公式得：，将上表数据代入公式得： 得趋势线方程为：得趋势线方程为： 2 7232. 22571.1215652.1738ttyc 7232. 2 2571.121 5652.1738 141470125550 708488 70610622 c b a ca b ca 解得： 指数曲线方程指数曲线方程 指数曲线方程

57、为：指数曲线方程为： t c aby 指数曲线方程的求解方法是先化为直线方程：即指数曲线方程的求解方法是先化为直线方程：即 btaylogloglog 从而从而 BtAY 例：某生产企业例：某生产企业1998-20051998-2005年产量资料如下，试配合适当的年产量资料如下，试配合适当的 趋势线。趋势线。 表表5-12 5-12 某生产企业某生产企业1998-20051998-2005年产量参数计算表年产量参数计算表 年年 份份 199819981999199920002000200120012002200220032003 2004200420052005 产量（万吨）产量（万吨） 17

58、2 172 159 159 141 141 138 138 130 130 130 130 129 129 131 131 环比发展速度环比发展速度 （）（） 92928989989894949999100100102102 解：通过计算可知，各年的环比发展速度大体相同，见表解：通过计算可知，各年的环比发展速度大体相同，见表5 5 -13-13，所以可配合指数趋势曲线方程。，所以可配合指数趋势曲线方程。 具体计算资料见表具体计算资料见表5-13: 5-13: 年份年份 产量产量Y Y t t t t2 2 y y t ty y 19981998172172-7-749492.2355 2.23

59、55 -15.6485 -15.6485 19991999159159-5-525252.2014 2.2014 -11.0070 -11.0070 20002000141141-3-39 92.1492 2.1492 -6.4476 -6.4476 20012001138138-1-11 12.1399 2.1399 -2.1399 -2.1399 200220021301301 11 12.1139 2.1139 2.1139 2.1139 200320031301303 39 92.1139 2.1139 6.3417 6.3417 200420041291295 525252.1106

60、 2.1106 10.5530 10.5530 200520051311317 749492.1173 2.1173 14.8211 14.8211 113011300 016816817.1817 17.1817 -1.4133 -1.4133 调整时间，令调整时间，令t t0 0，所以：，所以： 1477. 2 8 1817.17 lg 0084. 0 168 4133. 1 )(lg 2 n y A t yt B 查反对数表得：查反对数表得：a140.51 140.51 b0.980.98 因此指数趋势曲线方程为：因此指数趋势曲线方程为： t Y)98.0(51.140 把把t t的取值