材料成形理论基础

1、金属塑性成形力学基础金属塑性成形力学基础 华中科技大学 材料成形与模具技术国家重点实验室 l吴树森，柳玉起. 材料成形原理. 北京：机械 工业出版社，2008 l陈平昌，朱六妹，李赞. 材料成形原理. 北京： 机械工业出版社，2001 l徐洲，姚寿山. 材料加工原理. 北京：科学出 版社，2003 l刘全坤.材料成形基本原理. 北京：机械工业 出版社，2005 l汪大年.金属塑性成形原理，北京：机械工业 出版社，1986 l绪论 l应力分析 l应变分析 l屈服准则 l应力应变关系（本构关系） l金属塑性成形问题求解方法 金属塑性成形的优点 l材料结构致密，组织改善，性能提高 l材料利用率高，流

2、线分布合理，制件强度提高 l尺寸精度高，可以实现少、无切削生产 l生产效率高，适用于大批量生产 塑性成形工艺的分类 l体积成形 锻造、轧制、挤压、拉拔 l板料（冲压）成形 冲裁、弯曲、拉深 l通常，轧制、拉拔、挤压是生产型材、板材、管材和 线材等金属材料的加工方法，属于冶金工业领域，而 锻造、冲压则是利用金属轧材来制造机器零件的加工 方法，属于机械制造工业领域。 l体积成形 锻造 通过金属体积的转移和分配来进行塑性成形 自由锻：锻件精度低，生产率不高，适于单件、小批量 生产或大型锻件生产 模锻（开式模锻、闭式模锻)： 锻件外形和尺寸精度高，生产率高，适于大批量生产 开式模锻 闭式模锻 l体积成

3、形 轧制：使金属锭料或坯料通过两个旋转轧辊间的直 线或异型的特定空间来获得一定截面形状的材料，使 大截面材料变成了小截面材料，可生产型材、板材等。 l体积成形 拉拔：将中等截面坯料拉过有一定形状的模孔来 获得小截面材料，可生产棒材、管材和线材。 l体积成形 挤压：将在筒体中 的大截面坯料或锭料一 端加压，使金属从模孔 中挤出，从而获得符合 模孔截面形状的小截面 材料。在挤压成形过程 中，材料受到较大的三 向压应力作用，适于生 产低塑性材料的型材和 管材。 l板料成形 分离工序 (落料、冲孔） 成形工序（弯曲、拉深） 冲裁 拉深 l金属塑性成形理论塑性力学的发展 1864，Tresca屈服准则(

4、最大剪应力准则)： 当材料中一点处的最大剪应力达到某一定值时，该质点 就发生屈服。 1913，Von Mises屈服准则(能量准则）： 当单位体积的弹性形变能达到某一常数时，质点就发生 屈服。 1948，Hill各向异性屈服准则 l金属塑性成形问题的求解方法 主应力法 滑移线法 上限法 有限元法 l金属塑性成形问题的求解方法 主应力法（初等解析法） 从塑性变形体的应力边界条件出发，建立简化 的平衡方程和屈服条件，并联立求解，得出边 界上的正应力和变形的力能参数，不考虑变形 体内的应变状态。 l金属塑性成形问题的求解方法 滑移线法 假设材料为刚塑性体，在平面变形状态下，塑 性变形区内任一点存在两

5、族正交的滑移线族， 结合边界条件可解出滑移线场和速度场，从而 求出塑性变形区内的应力状态和瞬时流动状态， 计算出力能参数。 l金属塑性成形问题的求解方法 上限法 从变形体的速度边界条件出发，对塑性变形区 取较大的单元，根据极值原理，求出塑性变形 能为极小值时满足变形连续条件和体积不变条 件时的动可容速度场，计算出力能参数，不考 虑塑性变形区的应力状态是否满足平衡方程。 l金属塑性成形问题的求解方法 有限元法 将连续体离散为有限个单元的组合体，单元之 间用节点连接，在每个单元内假设近似函数即 插值函数来分片表示系统的求解场函数，插值 函数由节点值确定，单元之间的作用由节点传 递，建立物理方程，对

6、全部单元的组合体进行 数值计算，可求出变形体内的应变、应力等场 变量以及力能参数。 l发展前景 超大、超小、高精尖、高度集成 l非线性 几何非线性 物理非线性 状态非线性 n多物理场耦合 变形 热传导 l模具和工艺的复杂性 复杂几何形状 多工序 n材料组织性能变化 相变、再结晶 织构 损伤 l主要分类 板料成形模拟 体积成形模拟 l主要方法 弹塑性有限元法 刚塑性有限元法 无网格法 l汽车覆盖件冲压成形过程模拟 l板料液压成形过程模拟 l弯管成形过程模拟 l五金级进模零件成形过程模拟 l金属锻造成形过程模拟 l金属拉拔成形过程模拟 l. l各向同性的均匀连续体 l体积力为零 l变形体在表面力作

7、用下处于平衡状态 l初始应力为零 l体积不变 由于金属塑性成形非常复杂，数学与力学 的处理非常困难，因此需要做一些假设和近似 处理： l各向同性的均匀连续体 假设材料是连续的，即在材料内不存在任何缺 陷； 假设材料各质点的组织、化学成分相同； 假设材料在各方向上的物理性能和力学性能相 同； l体积力为零 成形过程中的外力可分为两类：表面力和体积 力； 表面力：集中力、分布载荷； 体积力是作用在物体质点上的力，与物体的质 量成正比，例如重力、磁力和惯性力等等； 对于塑性成形来说，除了高速锤锻造、爆炸成 形等少数情况，体积力相对于表面力很小，可 以忽略不计； l变形体在表面力作用下处于平衡状态 材

8、料成形时模具和零件处于平衡状态； 如果零件划分为有限个单元体，每个单元体仍 处于平衡状态； 作用于整体和每个单元体上的外力系的矢量和 为零，外力系对任一点的总力矩也为零； l初始应力为零 内力是由于材料受外力作用而产生的，内力的 变化达到一定程度就会使材料产生塑性变形； 课程内容主要考虑金属在外力作用下产生塑性 变形； l体积不变 弹性变形时，体积变化必须考虑； 塑性变形时，体积虽有微小变化，但与塑性变 形量相比很小，可以忽略不计，因此，一般假 设金属在塑性变形前后的体积保持不变； l应力的概念 内力：因外力作用而在物体内部产生的力 内力的特点： 1. 随外力的变化而变化，是“附加内力” 2.

9、 内力是分布力系，常用其主矢量和主矩表 示 应力：单位面积上的内力 应力表示内力的强度，作用于物体质点之间 l应力状态：物体内一点的各个截面上的应力状况 研究一点的应力状态，就是建立该点不同方向的截 面上的不同应力的 表达方式和相互间的联系； 目的：对于确定物体处于弹性或塑性阶段的强度 问题或屈服条件问题都很重要，是建立复杂应力 状态下强度准则和屈服条件所必须的基础知识 假设 A为任意微元截面， P为截 面上的作用力，则 A截面的应力 向量p dA d A lim 0A PP p p M F A A P 在空间直角坐标系中，将全应力p向三个坐标轴进行投影， 也可得到三个应力分量，即一 个正应力

10、和二个剪应力 p也称为全应力向量，可分解为垂 直于截面的正应力 和平行于截面 的剪应力 ，从而有 222 p l应力状态表示 应力状态一般用单元体表示 单元体：材料内部的质点，是包围质点的无限 小的几何体，常用的是正六面体 x y z x z y xy yx 单元体的性质 任一面上，应力均布 平行面上，应力相等 l在直角坐标系中，假设有一承受任意力系的变 形体，过变形体内任意一点切取一个其棱边分 别平行于三个坐标轴的微小六面体作为单元体。 在单元体的互相垂直的微分面上的全应力都可 以按坐标轴方向分解成一 个正应力和二个剪应 力分量，这样，在三个互相垂直的微分面上就 有三个正应力分量和六个剪应力

11、分量，这九个 应力分量可以完整地描述一点的应力状态。 l应力分量 x y z x xy yx z y xz zx zy yz yz y yx x y z xy yx yz zy zx xz 三个正应力分量 六个剪应力分量 l应力分量符号规定：两个下角标相同的是正应力分量， 如 x x表示x面上平行于x轴的正应力分量，可简写为 x ；两个 下角标不同的是剪应力分量， 如 xy表示x面上平行于y轴的 剪应力分量。将九个应力分量写成矩阵的形式为 xxyxz yxyyz zxzyz 作用在x面上 作用在y面上 作用在z面上 作用方向为z 作用方向为y 作用方向为x l应力分量有正、负号， 确定方法为：

12、单元体的 外法线指向坐标轴正向 的微分面叫做正面，反 之为负面。在正面上指 向坐标轴正向的应力分 量取正号，指向相反方 向的取负号。负面上的 应力分量则相反。按此 规定，正应力分量以拉 为正，以压为负。 l剪应力互等定理 假设单元体处于平衡状态，则绕单元体各轴的 合力矩一定为零，则 zyyz yxxy zxxz 过一点的两个正交 面上,如果有与相交 边垂直的剪应力分量, 则两个面上的这两个 剪应力分量一定等值、 方向相对或相离 x y z xy yx x z y xz zx zy yz l由剪应力互等定理可知，一点的应力状态中的 9个应力分量只有6个是互相独立的，即 xxyxzxxyxz yx

13、yyzyyz zxzyzz l直角坐标系中斜截面上的应力 x y z x xy yx z y xz zx zy yz O A B C A B C x y z O y yx yz z zy zx xy xz x px py pz N p x A B C y z O y yx yz z zy zx xy xz x px py pz N p l=cos(N,x)m=cos(N,y)n=cos(N,z) 斜截面外法线单位向量 N=(l m n) S ABC=S S OBC=lS S OAC=mS S OAB=nS 斜截面四面体的表面积分别为 四面体处于平衡状态，则 0 0 0 x y z F F F

14、0 0 0 nSmSlSSp nSmSlSSp nSmSlSSp zyzxzz zyyxyy zxyxxx zxyxxx nmlp zyyxyy nmlp zyzxzz nmlp A B C x y z O y yx yz z zy zx xy xz x px py pz N p 2222 xyz pppp 全应力 斜面上的正应力 为全应力p p在法线N方向的投影， 它等于 在N方向上的投影之和，即 xyz ppp、 、 222 =2() xyz xyzxyyzzx p lp mp n lmnlmmnnl 斜面上的剪应力为 222 p l由上述可知，已知过一点的三个正交微分面上 9个应力分量，

15、可以求出过该点任意方向微分 面上的应力，也就是说，这9个应力分量可以 全面表示该点应力状况，亦即可以确定该点的 应力状态。 l如果质点处于受力物体的边界上，则斜面ABC即为变 形体的外表面，其上的表面力（外力）T沿三坐标轴的 分量为Tx、Ty、Tz，则有应力边界条件 xxyxzx yxyyzy zxzyzz Tlmn Tlmn Tlmn 主平面 当 外法向单位矢量v 在某方向时， 全应力矢量垂直于ABC曲面，且在 该面上的剪应力为零。主平面的法 向称为应力主方向或应力主轴。 A B C x y z O px py pz v p= v 主应力 作用在主平面上的法向应力，即主 平面上的正应力。 在

16、主平面上， 主应力在三 个坐标轴上 的投影为 vx lp vy mp vz np vx lp vy mp vz np 如果 v 为主应力，单位向量 v =(l m n)，则x、 y、z坐标轴方向的应力分量分别为px、py、pz zxyxx nml zyyxy nml zyzxz nml 0)( zxyxvx nml 0)( zyvyxy nml 0)( vzyzxz nml 1 222 nml 由于 ，因此l、m、n不同时为零 0 xvyxzx xyyvzy xzyzzv 则三元齐次方程组的系数行列式一定等于零 32222 222 ()() (2)0 vxyzvxyyzzxxyyzzxv xy

17、zxyyzzxxyzyzxzxy 展开行列式，整理后得 zyx I 1 222 2 () xyyzzxxyyzzx I 222 3 2() xyzxyyzzxxyzyzxzxy I 32 123 0 vvv III 令 上式称为应力状态特征方程，它有三个实根， 即三个主应力，用 1、 、 2 、 3表示。 则有 对于一个确定的应力状态，主应力只有一组值， 即主应力具有单值性。因此， I1、I2、I3应是单 值的，不随坐标系而变。 I1、I2、I3称为应力张 量的第一、第二、第三不变量。 取三个主方向为坐标轴，用1、2、3代替x、y、 z，则应力矩阵可写为 1 2 3 00 00 00 在主轴坐

18、标系中，斜面上的正应力和剪应力为 222 123v lmn 2222 222222222 123123 ()plmnlmn 应力张量的三个不变量为 1123 I 2122331 ()I 3123 I l应力椭球面 在主轴坐标系，设任意斜切面上全应力沿坐标 轴的三个分量为p1、p2、p3，则有 222 312 222 123 1 ppp 112233 plpmpn l考虑到 1 222 nml l可得 l应力椭球面表示的是一点的应力状态在任意斜切面 上的全应力矢量p端点的轨迹，其主半轴的长度分 别等于 1、 、 2 、 3 。可以看到，三个主应力中的最 大者和最小者就是一点所有方向的应力中的最大

19、者 和最小者。 1 2 3 1 2 3 p2p1 p3 p 根据三个主应力的特点可区分各种应力状态： 单向应力状态：在三个主应力中，有两个为零，如单向拉伸； 两向应力状态：在三个主应力中，有一个为零，如弯曲、扭 转，板料成形等； 三向应力状态：三个主应力均不为零，如锻造、轧钢等； 0 球应力状态：三个主应力都相等，应力椭球面变成了球面， 所有方向都没有剪应力，都是主方向，所有方向的应力都相等。 123 圆柱形应力状态：在三个主应力中，有两个相等，单向应力 也属于这种状态，如设 ，则与 1轴垂直的所有方 向都是主方向，这些方向上的主应力都相等； 例题 设某点应力状态如图所示，试求其主 应力及主方

20、向（应力单位：10N/mm2) 某点应力状态 图中所示的应力张量为 423 261 315 ij 将各分量代入应力张量不变量的表达式 zyx I 1 222 2 () xyyzzxxyyzzx I 222 3 2() xyzxyyzzxxyzyzxzxy I 可得 123 15 60 54III 将I1、I2、I3代入应力状态的特征方程，得 32 1560540 vvv 分解因式 2 (9)(66)0 v 解得 1 2 2 3 9 33 33 (10/)Nmm 为求主方向，可组建方程组 (4)230lmn 2(6)0lmn 3(5)0lmn 1 222 nml 将解得的三个主应力值逐次代入上式

21、，并联解方程组， 得到三个主方向的方向余弦为 111 222 333 1 0.57735 3 0.21132 ; 0.78867 ; 0.57735 0.78867 ; 0.21132 ; 0.57735 lmn lmn lmn 求得的主应力及主方向示意图 主应力和主方向 主剪应力 实际上，主方向就是正应力有极值的方向，主应力就是 极值。剪应力同样随斜面的方位而改变，一般把剪应力 有极值的平面称为主剪应力平面，面上作用的剪应力称 为主剪应力。在主轴空间中，垂直一个主平面而与另两 个主平面交角为45的平面就是主剪应力平面。该面上 的主剪应力为 23 23 31 31 12 12 2 2 2 l主

22、剪应力平面图 a) b) c) d) a) 22 0,1lmn b) 1 0, 2 lmn c) 1 0, 2 mln d) 1 0, 2 nlm l主剪应力角标表示与主剪应力平面呈45相交的两 主平面的编号。三个主剪应力平面也是互相正交。 主剪应力中绝对值最大的一个，即一点所有方向切 面上剪应力的最大者，称为最大剪应力，用 表示。设三个主应力的关系为 ，则 max 123 13 max 2 l主剪应力平面上的正应力 23 23 31 31 12 12 2 2 2 1 2 45 12 12 2 12 12 2 21 12 2 12 0设 应注意到，每对主剪应力平面上的正应力都是相等的。 l应力

23、张量 张量：与坐标系选择无关的集合。当坐标系 变换时，集合的形式不改变 zzyzx yzyyx xzxyx ij 应力张量表示为 xy yx yz zy zx xz 在塑性成形理论中，应力、应变、力、速度 等物理量都是张量 i 1，3； j 1，3 123 33 xyz m l平均应力 m m叫平均应力，是不变量，与坐标系选择无关。 设 m为三个正应力的平均值，即 00 00 00 xxyxz ijyxyyz zxzyz xmxyxzm yxymyzm zxzyzmm 上式中的后一项表示球应力状态，称为应力球 张量。在球应力状态下，任何方向都是主方向， 且主应力相同，所以 m可看成是一种静水应

24、力。 由于球应力状态在任何切面上都没有剪应力， 所以不能引起物体形状改变，只是引起体积改 变。 l应力偏张量 m m m xxyxzxxyxz ijyxyyzyxyyz zxzyzzxzyz ij ij 称为应力偏张量，它是一个对称张量 应力偏张量与材料形状变化有关，即与塑性变形有关 l应力偏张量有三个不变量，即 1 ()()()0 xyzxmymzm I 222 2 222222 () 1 ()()() 6 xyyzzxxyyzzx xyyzzxxyyzzx I 222 3 2() xyzxyyzzxxyzyzxzxy I l对于主轴坐标系，有 1 0I 222 2122331 1 ()()

25、() 6 I 3123 I l八面体应力 在物体内任意一点建立应力主轴系，围绕坐标原点作 等倾斜面，面的法线与三根坐标轴的夹角都相等，则 坐标空间八个象限的等倾斜面形成一个正八面体，这 样的斜面叫八面体平面，其上的应力叫八面体应力。 八面体平面的方向余弦为 1 3 l 1 3 m 1 3 n Q 1 2 3 1 1 cos54 44 3 1 2 3 l八面体和八面体平面 l八面体应力 123 8 3 m 222 81223312 12 ()()() 33 I l在任意坐标系中为 8 3 xyz 222222 8 1 ()()()6() 3 xyyzzxxyyzzx l在任意坐标系中，等效应力定

26、义为 222 1223312 1 ()()()3 2 I l等效应力 在力学分析中，材料的各种极限值通常是在单向拉伸、 压缩试验中测出的。为了使塑性变形中的复杂应力状 态能与这些极限值相比较，人们引人“等效应力”的 概念，把复杂应力状态的应力值折合成单向应力状态 的应力值。在主轴坐标系中，等效应力定义为 222222 1 ()()()6() 2 xyyzzxxyyzzx l等效应力是一个不变量，称为广义应力或应力 强度，它不能在特定微分平面上表示出来，但 可以在一定意义上“代表”整个应力状态中的 偏张量部分，因而与材料的塑性变形密切有关。 l对于单向应力状态，设 123 0,0 l则有 1 正

27、交直角坐标系 一般认为，应力是坐标的连续函数，即应力分 量 x 、 y 、 z 、 xy 、 yx 、 yz 、 zy 、 zx 、 xz 为点的坐标（x，y，z）的连续函数 体力分量为：fx 、 fy 、 fz 单元体处于平衡状态 设受力物体中有一点Q，坐标为x、 y、 z，在Q 点的无限邻近处有一点Q，坐标为x+dx、y+dy、 z+dz，在Q和Q点间形成一个边长为dx、dy、 dz的平行六面体。由于坐标的微量变化，Q点 的应力要比Q点的应力增加一个微量。 设Q点的应力状态为 xxyxz yxyyz zxzyz 2 2 2 (, , ) 1 ( , , ) 2 xx x x df xdx

28、y z ff f x y zdxdx xx dx x 在Q点的x面上，由于坐标的变化，其正应力 分量将为 Q点的应力状态可以写为 xy xxz xxyxz yxyyz yxyyz zy zxz zxzyz dxdxdx xxx dydydy yyy dzdzdz zzz x y z x xz xy y yx yz z zx zy dx x xy xy dx x xz xz dy y yx yx dy y yz yz dy y y y dx x x x dz z z z dz z zx zx dz z zy zy dx dy dz Q Q 单元体六个面上的应力分量图 0 x F 由于单元体处于平

29、衡状态 ()()() 0 yx xzx xyxzx xyxzxx dx dydzdy dzdxdz dxdy xyz dydzdzdxdxdyf dxdydz 0 yx xzx x f xyz 0 x zx yx x f zyx 0 y zyyxy f zyx 0 z z yz xz f zyx 单元体的应力平衡微分方程 忽略体力fx 、 fy 、 fz 0 z y x zx yx x 0 z y x zyyxy 0 z y x z yz xz 1）物体内所有质点在与某一方向垂直的平面上 都没有应力，如取该方向为坐标的z轴，则有 z zx zy 0。z向必为主方向，所有质点都是 两向应力状态；

30、 2)各应力分量都与z坐标无关，整个物体的应力 分布可以在xy坐标平面上表示出来。 梁的弯曲，薄壁管扭转，薄壁容器承受内压或板 料拉延成形（壁厚或板厚方向的应力相对较小， 可忽略） 两向应力状态，在主剪应力平面上的正应力为零。 例如：棒料或管料的小变形扭转。 1 2 1 21 x y x xy dx x x x y yx dx x xy xy dy y y y dy y yx yx fx fy 0 yzxzz 0 x yx x f yx 0 y yxy f yx rrrz rz zrzz r d d dr dz r dr r r r dr r r r dr r rz rz r rz r z x

31、 y z o r dr dz d d 1 0 rrrzr r f rrzr 1 0 zrzzrz z f rrzr 21 0 rzr f rrzr r r 0 rrzr r f rzr 0 rzzrz z f rzr rrr r r 11 sin 1 2ctg0 r rrr rr rrr r 111 ctg30 sin r r rrrr 111 32ctg0 sin r r rrrr r 11 2ctg0 r r rr rrr 11 ctg30 r r rrr l位移 变形体内一质点在变形前后的位置移动了一定距离， 即产生了位移。位移是矢量，在直角坐标系中，一 点M（x, y, z）的位移矢量

32、可用其在三个坐标轴上的 投影即位移分量ux、 uy 、 uz来表示。根据连续性 假设，位移是坐标的连续函数，而且一般都有一阶 偏导数，即 ( , , ) (, , ) ii uu x y zix y z l变形 物体中各点位移不同而致使各点相对位置发生 变化的表现。 l变形单元体 当当单元体切取得极小时，可以认为它的变形是 均匀变形，物体内原来的直线和平面在变形后 仍然是直线和平面，原来相互平行的直线和平 面仍将保持平行。 小变形 物体在外力作用下产生变形，与本身几何尺 寸相比是非常小的量（一般不超过10-2数量级）， 这种变形称做小变形。在小变形分析中，变形量 的二次微量可以忽略，分析起来比

33、较简单直观， 是大变形分析的基础，因此本章只讨论小变形分 析。 M M N N r r+r 线应变（正应变） r r 线应变分量 , , xyz 角应变（剪应变） M N L x y xzzxzyyzyxxy , 角应变分量 2 M N L yx xy 2 xyyx 角应变的意义：xy表示x方 向的线元向y方向偏转的角度 l应变 线应变（正应变） 表示线长度的相对伸长或缩短量。伸长为正值， 缩短为负值 角应变（剪应变） 表示角度变化的量。角度减小为正值，角度增 加为负值 应变下标的意义 第一个下标表示线元的方向，第二个下标表示线元 变形的方向。 l考察直角坐标系 中一边长分别为 rx、ry和r

34、z 、表 面和坐标面平行 的微元六面体 PABCDEFG， 小变形后成为一 斜平行六面体 P1A1B1C1 D1E1F1G1 。 l单元体同时发生了线变形、剪变形、刚性平移 和转动。设单元体先平移至变形后的位置，然 后再发生变形，其变形可以分解为 在x、y、z方向上，线元的长度发生改变，其线 应变分别为 , , y xz xyz xyz r rr rrr 在x面、y面和z面内，单元体发生角度偏转， 其剪应变为 1 2 1 2 1 2 xyyxxy yzzyyz zxxzzx l质点的三个互相垂直方向上的9个应变分量确定了该点 的应变状态。已知这9个应变分量，可以求出给定任意 方向上的应变，这表

35、明对应不同坐标系的应变分量之 间有确定的变换关系。这9个应变分量组成一个应变张 量，由于ij= ji ，故应变张量是二阶对称张量，可 用ij表示为 xxyxz ijyxyyz zxzyz 或 xxyxz ijyyz z l应变张量的性质 存在三个互相垂直的主方向，在该方向上线元只 有主应变而无剪应变。用1、2 、3表示主应 变，则主应变张量为 1 2 3 00 00 00 ij 应变状态特征方程 32 123 0III 存在三个应变张量不变量I1、I2、I3 1123xyz I 222 2 12233 1 ()() () xyyzzxxyyzzx I 222 3123 2() xyzxyyzz

36、xxyzyzxzxy I 应指出，塑性变形时体积不变，故I10 在与主应变方向成45方向上存在主剪应变，其 大小为 1212 2323 3131 1 () 2 1 () 2 1 () 2 若 ，则最大剪应变为 123 max13 1 () 2 应变张量的分解 00 00 00 xmxyxzm ijyxymyzm zxzyzmm 设三个正应变分量的平均值为m ，即 1231 111 ()() 333 mxyz I 则 式中，第一项为应变偏张量，表示单元体的形状变化；第二 项为应变球张量，表示单元体的体积变化。塑性变形时体积 不变，m 0，应变偏张量就是应变张量。 八面体应变和等效应变 以应变主轴

37、为坐标轴，可作出八面体，八面体平面法线方 向的线元的应变叫做八面体应变 8123 1 () 3 m 222222 8 2 22 122331 1 ()()()6() 3 1 ()() 3 xyyzzxxyyzzx 8 222222 2 22 122331 2 2 ()()()6() 3 2 ()() 3 xyyzzxxyyzzx 将八面体剪应变8 乘以系数 ，可得等效应变（广义 应变、应变强度） 2 等效应变是一个不变量，在数值上等于单向均匀拉伸或均匀 压缩方向上的线应变，在屈服准则和强度分析中经常用到。 单向应力状态时，主应变为1、 2 =3 。 考虑塑性变形， 有 123 0 因而 231

38、 1 2 所以 22 111 233 ()() 322 单向应力状态的等效应变 l物体变形后，体内各质点产生了位移， 并因此而产生应变。位移场与应变场都 是空间坐标的连续函数，因而可以用位 移表示应变。 l设单元体棱边长度分别为dx、dy、dz，它在 xOy平面上的投影为abdc，变形后的投影移 至a1b1d1c1，a点变形后移到a1点后，所产生 的位移分量为u、v，则b点和c点的位移增量 为 cb cb uu udxudy xy vv vdxvdy xy l根据图中的几何关系，可以求出棱边ac(dx) 在x 方向的线应变x为 cc x uuuuu dxdxx l棱边ab(dy)在y方向的线应

39、变y为 bb y vvvvv dydyy l由图中的几何关系可得 2 1 1 2 tan 1 1 b yx b uuub b abvvdyv uu dy yy v v dy y y l因为 y v y l其值远小于1，所以有 tan yxyx u y l同理，有 tan xyxy v x l则有 xyyxxyyx uv yx l剪应变为 1 2 xyyx uv yx l按照同样的方法，由单元体在yOz和zOx坐标平 面上投影的几何关系，得其余应变分量与位移 分量之间的关系式，综合在一起为 1 2 1 2 1 2 xxyyx yyzzy zzxxz uuv xyx vvw yzy wwu zxz

40、 l上述六个方程表示小变形时位移分量和应变分 量之间的关系，是由变形几何关系得到的，称 为小应变几何方程，也叫柯西几何方程。如果 物体中的位移场已知，则可由上述小应变几何 方程求得应变场。 l要保证变形体的连续性，六个应变分量 之间应满足一定的关系，即应变连续方 程（应变协调方程、几何相容条件）。 1 2 1 2 1 2 xxyyx yyzzy zzxxz uuv xyx vvw yzy wwu zxz l在xy坐标平面内，将几何方程式中的x、y分别对y、x 求两次偏导数，可得 22 2 2 2 2 x y u yx yy v xx yx l两式相加，可得 22 2 22 2 yxy x yx

41、x y l同理可得另外两式，连同上式，有 22 2 22 22 2 22 222 22 1 2 1 2 1 2 xyy x yzy z zxxz x yyx y zzy z xxz l上式表示了在每个坐标平面内应变分量之间的关系。 l将应变几何方程中的三个剪应变等式分别对 x、y 、 z 求偏导，得 22 22 22 1 2 1 2 1 2 xy yz zx uv zy zx z vw xz xy x wu yx yz y l将前两式相加后减去第三式，得 2 xyyz zx v zxyx z l再将上式两边对y求偏导数，得 2 22 xyyzy zx vv yzxyyx zx zyx z l同

42、理可得另外两式，连同上式，有 2 2 2 xyyz zxx xyyzy zx yzxy zxz xyzxy z yzxyz x zxyzx y l上式表示了不同平面中应变分量之间的关系。 2 2 2 xyyz zxx xyyzy zx yzxy zxz xyzxy z yzxyz x zxyzx y 上述两个方程统称为变形连续方程或应变协调方程，它的 物理意义为：只有当应变分量之间满足一定的关系时，物 体变形后才是连续的。否则，变形后会出现“撕裂”或 “重叠”，变形体的连续性遭到破坏。 22 2 22 22 2 22 222 22 1 2 1 2 1 2 xyy x yzy z zxxz x

43、yyx y zzy z xxz l还应指出，如果已知一点的位移分量ui(i=1,2,3)， 则由几何方程求得的应变分量ij (i=1,2,3; j=1,2,3) 自然满足连续方程。但如果先用其他 方法求得应变分量，则只有满足上述应变连续 方程，才能由几何方程求得正确的位移分量。 l小变形时，可以认为只有正应变引起边长 和体积的变化，而剪应变所引起的边长和 体积的变化是高阶微量，可以忽略不计。 设单元体的初始边长为dx、dy、dz，则变 形前的体积为 0 Vdxdydz l单元体体积的变化（单位体积变化率）为 0 0 xyz VV V (1)(1)(1) (1) xyz xyz Vdxdydz

44、dxdydz l变形后的体积为 l实验指出，金属在外力作用下产生塑性变形时， 其所产生的体积变形是弹性的，当外力去除之后， 体积变形恢复，没有残余的体积变形，并且这种 弹性的体积改变是很小的，例如弹簧钢在一万个 大气压下体积缩小2.2%。因此，对于一般应力状 态下的变形体，在塑性变形前后的体积变化是可 以忽略的。即 0 xyz 上式称为体积不变条件。 同理，用应变增量表示的体积不变条件为 0 xyz ddd 用应变速率表示的体积不变条件为 0 xyz 体积不变条件表明，塑性变形时三个正应变之和等 于零，说明三个正应变分量不可能全部同号。 l全量应变 全量应变的大小与变形途径有关，只有知道了变

45、形途径，才能确定全量应变的大小。 如果质点曾有过几次变形，全量应变是历次变形 叠加的结果。 塑性变形是不可恢复的，单元体每经过一次加载 产生的塑性变形在卸载之后仍然保留下来，并作为 下一次加载时的初始状态，因此，变形结束时的全 量应变不一定取决于当时的应力状态。 反映单元体在某一变形过程或变形过程的某个阶 段终了时的变形大小的应变量。 l在塑性变形过程中，物体内各质点以一定的速 度运动，形成一个速度场。将质点在单位时间 内的位移叫做位移速度，它在三个坐标轴方向 的分量叫做位移速度分量，简称速度分量，即 u u t v v t w w t i i u u t ( , , , ) ii uu x

46、y z t 位移速度可简记为 位移速度既是坐标的连续函数，又是时间的函数， 因此，有 上式表示变形体内运动质点的速度场。若已知变形 体内各点的速度分量，则物体中的速度场可以确定。 l位移增量 物体在变形过程中，在某一极短的瞬时dt，质点产生 的位移改变量称为位移增量。 设质点P在dt内沿路径 PPP1从P移动无限小距离 到达P”，位移矢量PP”与 PP之间的差即为位移增量， 记为dui。这里d为增量符号， 而不是微分符号。 位移增量的速度分量为 d d d u u dt v v dt w w dt 即 d d i i u u t 位移增量分量可写为 dd i uu t l应变增量 变形体在产生

47、位移增量以后，体内各质点就有了相应 的无限小应变增量，用dij表示。瞬时产生的变形可视 为小变形，可以仿照小变形几何方程写出应变增量的 几何方程，只需用dui代替ui 、 dij代替ij即可，即 (d )1(d )(d ) d dd 2 (d )1(d )(d ) d dd 2 (d )1(d )(d ) d dd 2 xxyyx yyzzy zzxxz uuv xyx vvw yzy wwu zxz d d1 d 2 j i ij ji u u xx 即 一点的应变增量也是二阶对称张量，称为应变增 量张量，记为 ddd ddd d xxyxz ijyyz z l应变增量 应变增量是以变形瞬时

48、的形状尺寸为起始点计 算的，与以变形的起始点计算的全量应变相比， 应变增量更能准确地反映物体的变形情况。 物体在变形过程中某一瞬时产生的无限小应变。 塑性变形是一个大变形过程，在变形的整个过 程中，质点在某一瞬时的应力状态一般对应于该 瞬时的应变增量。可以采用无限小的应变增量来 描述某一瞬时的变形情况，而把整个变形过程看 作是一系列瞬时应变增量的积累。 l单位时间内的应变称为应变速率，又称变形速度， 用 表示，单位为s-1。设在时间时隔dt内产生的 应变增量为dij，则应变速率为 ij d d ij ij t l当物体的变形速度很大或变形的温度较高时 （如再结晶温度范围内），必须考虑变形速度

49、对材料力学性能的影响。 应变速率与应变增量相似，都是描述某瞬时的变形状态。 与应变增量的几何方程类似，有应变速率的几何方程 1 2 1 2 1 2 xxyyx yyzzy zzxxz uuv xyx vvw yzy wwu zxz 即 d 1 d2 ijj i ij ji u u txx 一点的应变速率也是二阶对称张量，称为应变速率张量 xxyxz ijyyz z 注意：应变速率 是应变增量dij对时间的微商，通常 并不是全量应变的微分。 ij 工程应变 变形前后尺寸变化量与变形前尺寸之比，通常用 百分数表示 假设l0为物体中两质点变形前的尺寸，ln为变 形后尺寸，则工程应变表示为 %100

50、0 0 l lln 工程应变一般适用于变形程度较小的情况，当 变形程度较大时，工程应变不足以反映物体的实 际变形过程，这时要采用对数应变。 对数应变 在实际变形过程中，假设物体中两质点的距离由 变形前的 l0 经过 n 个变形过程后变为 ln ，则总应 变量可近似为 n 个无限小的相对应变之和，即 1 1 1 12 0 01 1 1 1 1 1 1 n nn n i i ii n i i i l ll l ll l ll l ll l l 当 n 无限增大时，则总的应变量为 0 1 1 1 ln 0l l l dl l l n l l n i i i n 称为对数应变，它反映了物体变形的实际情

51、况 l对数应变 设在单向拉伸时某试样的瞬时长度为l，在下一个 瞬时，试样长度又伸长了dl，则其应变增量为 d d l l 试样从初始长度l0到终了长度l1，如果变形过 程中主轴不变，可沿拉伸方向对 进行积分， 求出总应变为 d 1 0 1 0 d 1n l l ll ll 反映了物体变形的实际情况，称为对数 应变或真实应变，它能真实地反映变形的累 积过程，表示在应变主轴方向不变的情况下 应变增量的总和。在大塑性变形中，主要用 对数应变来反映物体的变形程度。 l工程应变和对数应变的特性比较 对数应变能够反映物体变形的实际情况，工程应变 只是在变形程度很小时近似反映物体的变形情况。 从上式可以看出

52、对数应变和工程应变的关系，即只有当 变形程度很小时，工程应变才近似等于对数应变，变形 程度越大，二者相差愈大。一般认为，当变形程度超过 10%时，就要用对数应变来表达。 234 01 00 1n1n1n(1) 234 lll ll 对数应变具有可加性，工程应变不具有可加性。 设某物体的原长度为l0，历经变形过程l1、l2到l3，则总 的对数应变为各分量对数应变之和，即 3 0 3312 0012 312 012 123 1n1n() 1n1n1n l l lllldl lllll lll lll 对应的各阶段的相对应变为 103221 011223 012 llllll lll 显然 0301

53、1223 对数应变为可比应变，工程应变为不可比应变。 假设将试样拉长一倍，再压缩一半，则物体的变形程度相同。 拉长一倍时 0 0 2 1n1n2 l l 压缩一半时 0 0 0.5 1n1n2 l l 因此，对数应变为可比应变。(负号表示应变方向相反) 考虑工程应变 拉长一倍时 00 0 2 100% ll l 压缩一半时 00 0 0.5 50% ll l 因此，工程应变为不可比应变。 工程应变计算简单。 塑性体积不变条件用对数应变表示更准确。设变形体 的原始长、宽、高分别为l0、b0、h0，变形后分别为l1、 b1、h1，则体积不变条件可表示为 1111 1 1 123 000000 11

54、110 lbhl bh nnnn lbhl b h l平面应变问题 如果物体内所有质点都只在同一坐标平面内发 生变形，而该平面的法线方向没有变形，就属 于平面变形或平面应变问题。 设没有变形的方向为z方向，该方向上的位移分量为零， 其余两个方向的位移分量对z的偏导数必为零，所以 z=xz=yz=0，则平面应变状态的三个应变分量为x 、 y 、 xy，且满足以下几何方程 1 2 x y xyyx u x v y uv yx 根据体积不变条件有 xy 平面变形状态下的应力状态有如下特点： 没有变形的z方向为主方向，该方向上的剪应力为 零，z平面为主平面，z为中间主应力，在塑性状 态下，z等于平均应

55、力，即 2 1 2 zxym 如果处于变形状态，发生变形的z平面即为塑性流动 平面，平面塑性应变状态下的应力张量可写成 m m m 0 2 000 0000 2 0000 000 xy xy xxy xy ijyxyyx z 12 1m 12 2m 12m 00 2 0000 000000 2 00 00000 2 ij 上式表明，平面塑性变形时的应力状态就是纯剪应力 状态叠加一个应力球张量。 平面变形时，由于z是不变量，而且其他应力分量 都与z坐标无关，所以其平衡微分方程和平面应力 状态是一样的，即 0 0 yx x xyy xy xy 轴对称问题 讨论轴对称状态的变形时需要用圆柱坐标和球坐

56、标， 采用圆柱坐标时，一般状态的应变几何方程为 11 2 111 2 1 2 rrr zz zzrrz uvvu rrrr vvw u rzr wwu zrz 式中：r 径向，周向，z高度方向 z z r u v w 圆柱坐标系中的位移分量 轴对称变形时，通过轴线的子午面始终保持平面， 向没有位移速度，位移分量v =0，各位移分量 均与 坐标无关，由此，r = z =0 ， 向成 为应变主方向，这时，几何方程简化为 1 2 r z zr u r w z u r wu rz 对于均匀变形时的单向拉伸、锥形模挤压和拉拔， 以及圆柱体平砧镦粗等，其径向位移分量u与坐标r 成线性关系，于是得 uu r

57、r 所以 r 这时，径向正应力和周向正应力分量也相等，即 r 用球坐标时，一般状态的几何方程为 1 11 ctg sin 11 ctg 2sin 11 2sin 1 2 r rr rr u r v u r w uv r ww w r uw rw rr vu rv rr 对于轴对称状态，向的位移分量w=0，各位移分量 均与无关，由此， = r =0 ，而且 式等号后 面的第一项也为零。 r u v w 球坐标系中的位移分量 l在塑性成形分析中，会遇到许多物理量，如力、 速度、位移、应力、应变等。为了对它们进行描 述和计算，必须引进坐标系。物理量本身是不依 赖于坐标系而存在的，坐标系的选择带有一定

58、的 任意性，且同一物理量在不同的坐标系中会有不 同的数量表征。为了得到数量表征和解析结果在 任何坐标系下都具有不变的形式，即表征和结果 所反映的物理事实与坐标系的选择无关，就需要 选择一种数学工具，这一数学工具就是张量。 l角标符号 引进坐标系后，所描述的物理量在坐标系中的分量，用 角标表示其与某一坐标系的关系。成组的符号和数组用 一个带下角标的符号表示，这种符号叫角标符号。用角 标符号表示物理量在坐标系中的分量，可以使冗长繁杂 的公式在形式上变得简洁明了。 123 (1,2,3) i xyzxxxx i、 、 、 , , xxyxz yxyyzij zxzyz i jx y z 如果一个张量

59、带有m个角标，每个角标取n个值， 则该角标符号代表着nm个元素。 例如ij（i,j=x, y, z）就包含有32=9个元素，即9 个应力分量。 l求和约定 在运算中，常会遇到数组元素乘积求和的形式。例如 3 1 12233 1 ii i a xa xa xa xF 为了省略求和记号 ，引入如下的求和约定：在算式的 某一项中，如果有某个角标重复出现，就表示要对该角标 自1到n的所有元素求和。根据这一约定，上式可简记为 (1,2,3) ii a xFi 又如应变几何方程可写为 1 () ( , , ) 2 j i ij ji u u i jx y z xx 重复出现的角标叫哑标，不重复出现的角标叫

60、自由标， 自由标不包含求和的意思，表示该等式代表的个数。在 一个等式中，要分清哑标和自由标。例如 0 ( ,1,2,3) ij i i j x 这里i是哑标，j是自由标，故此式可表示为 311121 123 0 (1,2,3; 1)ij xxx 321222 123 0 (1,2,3; 2)ij xxx 132333 123 0 (1,2,3; 3)ij xxx l张量概念 有些简单的物理量，只需要一个标量就可以表示，如 距离、时间、温度等。有些物理量是空间矢量，如位 移、速度和力等，需要用空间坐标系中的三个分量来 表示。更有一些复杂的物理量，如应力状态、应变状 态，需要用空间坐标系中的三个矢