版本3-理论力学2_3—平面汇交力系与平面力偶系1

1、 2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法 2.1.1 平面汇交力系合成的几何法、力多边形法则 F3 F2 F1 F4 A F1 F2 F3 F4 FR a b cd e ab c d e F1 F2 F4 F3 FR 各力矢与合力矢构成的多边形称为力多边形。 用力多边形求合力的作图规则称为力的多边形法则。 力多边形中表示合力矢量的边称为力多边形的封闭边。 2.1.1 平面汇交力系合成的几何法、力多边形法则 结论：平面汇交力系可简化为一合力，其 合力的大小与方向等于各分力的矢量和 (几何和)，合力的作用线通过汇交点。 用 矢量式表示为： R12n FFFFF 如果一力与某一力系等效，则此力称为该

2、 力系的合力。 在平衡的情形下，力多边形中最后一力的 终点与第一力的起点重合，此时的力多边形称 为封闭的力多边形。于是，平面汇交力系平衡 的必要与充分条件是：该力系的力多边形自行 封闭，这是平衡的几何条件。 0i F 2.1.2 平面汇交力系平衡的几何条件 平面汇交力系平衡的必要与充分条件是： 该力系的合力等于零。用矢量式表示为： 例例1 已知压路机碾子重已知压路机碾子重P=20kN, r=60cm, 欲拉过欲拉过h=8cm的障碍的障碍 物。求：在中心作用的水平力物。求：在中心作用的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。的大小和碾子对障碍物的压力。 选碾子为研究对象选碾子为研究对象 取分离体画受

3、力图取分离体画受力图 解：解： 当碾子刚离地面时当碾子刚离地面时NA=0,拉力拉力F最大最大, 这时拉力这时拉力F和自重及支反力和自重及支反力NB构成一平衡力系。构成一平衡力系。 由平衡的几何条件，力多边形封闭，故由平衡的几何条件，力多边形封闭，故 由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于23.1kN23.1kN。 此题也可用力多边形方法用比例尺去量。此题也可用力多边形方法用比例尺去量。 F=11.5kN , NB=23.1kN 所以所以 577. 0 )( tg 22 hr hrr 又由几何关系又由几何关系： tgPF cos P N

4、B 2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法 2.2.1 力在坐标轴上的投影 cos x FF cos y FF F x y Fx Fy O 2.2.2 力的正交分解与力的解析表达式 F Fx Fy x y i j xy xy FF FFFij O 2.2.3 合力投影定理 Rxxi FF 平面汇交力系的合力在某轴上的投影，等 于力系中各个分力在同一轴上投影的代数和。 Ryyi FF 2.2.4 平面汇交力系合成的解析法 2222 RRR ()() xyxiyi FFFFF R R R cos(, ) x F F Fi R R R cos(, ) y F F Fj 2.2.4 平面汇交力系的平衡

5、方程 22 R ()()0 xiyi FFF 0 xi F 0 yi F 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在 作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和等于零。 上式称为平面汇交力系的平衡方程。 0 X 0 Y 045coscos 0 CDASR 045sinsin 0 CDA SRP 例例2 已知已知 P=2kN 求求SCD , RA 解解: : 1. 取取ABAB杆为研究对象杆为研究对象 2. 2. 画画ABAB的受力图的受力图 3. 3. 列平衡方程列平衡方程 由由EB=BC=0.4mEB=BC=0.4m， 3 1 2.1 4.0 tg AB EB 解得：解得： kN 24. 4 t

6、g45cos45sin 00 P SCDkN 16. 3 cos 45cos 0 CDA SR ； 4. 4. 解方程解方程 3.1平面力对点之矩的概念及计算 MO(F) Oh r F A B 3.1.1 力对点之矩（力矩） 力F与点O位于同一平面内， 点O称为矩心，点O到力的作用 线的垂直距离h称为力臂。 力对对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力 臂的乘积，它的正负可按下法确定：力使物体绕矩心逆时针转 动时为正，反之为负。 ()2 OOAB MFhA F 力矩的单位常用Nm或kNm。 3.1.2 合力矩定理与力矩的解析表达式 平面汇交力系的合力对于平面内任一点之矩等于 所有各分力

7、对于该点之矩的代数和。 R 1 ()() n i OO i MM FF F Fx Fy x y O q x y A ()sincos O yx MxFyF xFyF qq F (1) 合力矩定理 (2) 力矩的解析表达式 例1 已知F1400 N, r60 mm, a20，求力Fn对O点的矩。 ()cos78.93 N m O MF hFr F rtt()()()()cos OOOO MMMMFr FFFF Fn Fr Ft Fn 3.2 平面力偶 由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系， 称为力偶，记为(F, F)。力偶的两力之间的垂直距离d称为力臂， 力偶所在的平面称为力偶作用

8、面。 力偶不能合成为一个力，也不能用一个力来平衡。力和力 偶是静力学的两个基本要素。 3.2.1力偶与力偶矩 3.2.1 力偶与力偶矩 F F d D A B C 力偶是由两个力组成的特殊力系，它的作用只改变物体的 转动状态。力偶对物体的转动效应用力偶矩来度量。平面力偶 对物体的作用效应由以下两个因素决定： (1) 力偶矩的大小； (2) 力偶在作用面内的转向。 平面力偶可视为代数量，以M 或M(F, F)表示， 2 ABC MFdA 平面力偶矩是一个代数量，其绝对值等于力的大小与力偶 臂的乘积，正负号表示力偶的转向：一般以逆时针转向为正， 反之则为负。力偶的单位与力矩相同。 3.2.2 同平

9、面内力偶的等效定理定理 定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，转向相同,则 两力偶彼此等效。 推论： (1) 任一力偶可以在它的作用面内 任意移转，而不改变它对刚体的作 用。因此，力偶对刚体的作用与力 偶在其作用面内的位置无关。 (2) 只要保持力偶矩的大小和力偶 的转向不变，可以同时改变力偶中 力的大小和力偶臂的长短，而不改 变力偶对刚体的作用。 3.2.2 同平面内力偶的等效定理定理 力偶的臂和力的大小都不是力偶的特征量，只有 力偶矩才是力偶作用的唯一量度。今后常用如图所示 的符号表示力偶。M为力偶的矩。 1113 MFdF d 2224 MF dF d M1(F1, F1)， M2

10、(F2, F2) 3434 FFFFFF 343412 ()MFdFF dF dF dMM 在同平面内的任意几个力偶可以合成为一个合力 偶，合力偶矩等于各个力偶矩的代数和。 1 n i i MM 3.2.3 平面力偶系的合成 3.2.4 平面力偶系的平衡条件 所谓力偶系的平衡，就是合力偶的矩等于零。因此， 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩 的代数和等于零，即 1 0 n i i M 思考题1 刚体上A、B、C、D四点组成一个平行四边形，如在其 四个顶点作用有四个力，此四力沿四个边恰好组成封闭 的力多边形，如图所示。此刚体是否平衡？ F1 F3 B A C D F2 F4 思考题2

11、 P O R M 从力偶理论知道，一力不能与力偶平衡。图示轮子上的 力P为什么能与M平衡呢？ FO 例例3 在一钻床上水平放置工件在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径在工件上同时钻四个等直径 的孔的孔,每个钻头的力偶矩为每个钻头的力偶矩为 ,求工件的求工件的 总切削力偶矩和总切削力偶矩和A 、B端水平反力端水平反力? mN15 4321 mmmm mN60)15(4 4321 mmmmM 02 . 0 4321 mmmmNB N300 2 . 0 60 B N N 300 BA NN 解解: 各力偶的合力偶矩为各力偶的合力偶矩为 根据平面力偶系平衡方程有根据平面力偶系平衡方程有:

12、由力偶只能与力偶平衡的性质，由力偶只能与力偶平衡的性质， 力力NA与力与力NB组成一力偶。组成一力偶。 例例4 图示结构，已知图示结构，已知M=800N.m，求，求A、C两点的约束反力。两点的约束反力。 ).(255. 0mNRdRM CCAC 0 i M 0 MM AC NRC3137 例例5图示杆系，已知图示杆系，已知m，l。求。求A、B处约束力。处约束力。 解：解： 1、研究对象二力杆：、研究对象二力杆：AD AD N C R 2、研究对象：、研究对象： 整体整体 AD N B R l m RN BAD 思考：思考：CB杆受力情况如何？杆受力情况如何？ B R C R m 练习：练习：

13、解：解：1、研究对象二力杆： 、研究对象二力杆：BC 2、研究对象：、研究对象： 整体整体 AD N B R B R C R AD N m C R l m l m RN BAD 2 45sin 0 例例66不计自重的杆不计自重的杆AB与与DC在在C处为光滑接触处为光滑接触,它们分别受力它们分别受力 偶矩为偶矩为M1与与M2的力偶作用的力偶作用 ，转向如图。问，转向如图。问M1与与M2的比值为的比值为 多大，结构才能平衡多大，结构才能平衡? 60o 60o A B C D M1M2 解解: 取杆取杆AB为研究对象画受力图。为研究对象画受力图。 杆杆A B只受力偶的作用而平衡且只受力偶的作用而平衡且C处为光处为光 滑面约束，则滑面约束，则A处约束反力的方位可定。处约束反力的方位可定。 A B C M1 RA RC Mi = 0 RA = RC = R, AC = a a R - M1 = 0 M1 = a R (1) 60o 60o A B