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文档简介

1、2021-7-1 北京理工大学北京理工大学- -化工与环境学院化工与环境学院 1 2021-7-1 2021-7-1 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 化工与环境学化工与环境学院院 过程装备与控制工程过程装备与控制工程 专业专业 陈祥光陈祥光 2014年年3月月 本章作业本章作业: : 3-13-1、3-23-2、3-83-8 2021-7-1 北京理工大学北京理工大学- -化工与环境学院化工与环境学院 2 2021-7-1 2021-7-1 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 前言前言 时域分析法时域分析法: 控制系统的时间响应一般分为两部分,即

2、控制系统的时间响应一般分为两部分,即瞬态响应瞬态响应 和和稳态响应稳态响应。所谓。所谓瞬态响应瞬态响应,是指系统输出参数从初,是指系统输出参数从初 始平衡状态变化到新的平衡状态的过渡过程;始平衡状态变化到新的平衡状态的过渡过程;稳态响稳态响 应应则是指式则是指式 时系统的输出状态。时间响应可表示时系统的输出状态。时间响应可表示 为为 式中式中: )()()(tytyty st ;)(瞬态响应tyt 。稳态响应)(lim)(tyty t s (3-1) t 系统或环节系统或环节 2021-7-1 北京理工大学北京理工大学- -化工与环境学院化工与环境学院 3 2021-7-1 2021-7-1

3、第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 时域分析法时域分析法就是通过研究控制系统对一个就是通过研究控制系统对一个特定输入特定输入 信号信号的时间响应来的时间响应来评价系统性能评价系统性能的方法。这种方法所的方法。这种方法所 采用的手段是直接求解描述系统特性的微分方程或状采用的手段是直接求解描述系统特性的微分方程或状 态方程,因此对低阶系统是一种比较准确的分析法。态方程,因此对低阶系统是一种比较准确的分析法。 由于许多由于许多高阶系统的时间响应高阶系统的时间响应常可近似为一个二阶常可近似为一个二阶 系统的时间响应,因而时域分析法对研究高阶系统的系统的时间响应,因而时域分析法对研

4、究高阶系统的 性能也具有重要意义。性能也具有重要意义。 前言前言 2021-7-1 北京理工大学北京理工大学- -化工与环境学院化工与环境学院 4 2021-7-1 2021-7-1 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 3.1 3.1 典型输入信号典型输入信号 3.2 3.2 控制系统的瞬态响应控制系统的瞬态响应 3.3 3.3 劳斯稳定判据劳斯稳定判据 3.4 3.4 控制系统的稳态误差控制系统的稳态误差 3.5 3.5 控制系统瞬态响应性能指标控制系统瞬态响应性能指标 3.6 3.6 常规调节规律及其对控制系统

5、性能的影响常规调节规律及其对控制系统性能的影响 2021-7-1 北京理工大学北京理工大学- -化工与环境学院化工与环境学院 5 2021-7-1 2021-7-1 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 一个基本的自动控制系统组成如下图所示。一个基本的自动控制系统组成如下图所示。 图图 自动控制系统的结构图自动控制系统的结构图 2021-7-1 北京理工大学北京理工大学- -化工与环境学院化工与环境学院 6 2021-7-1 2021-7-1 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 本章提要本章提要 反馈控制系统能改善系统的反馈控制系统能改善系统的瞬态响应

6、瞬态响应和和稳态响应稳态响应, ,设计过设计过 程的主要任务之一是要按规定的性能指标进行。本章介绍常用程的主要任务之一是要按规定的性能指标进行。本章介绍常用 的的时域性能指标时域性能指标: : 如超调量如超调量、调节时间调节时间、峰值时间峰值时间、上升时间上升时间 与与稳态跟踪误差稳态跟踪误差等。等。 采用特定的输入信号如阶跃信号、斜坡信号来测试控制系采用特定的输入信号如阶跃信号、斜坡信号来测试控制系 统的响应统的响应, , 建立二阶系统的建立二阶系统的固有频率固有频率和和阻尼比阻尼比同性能指标的定同性能指标的定 量关系。量关系。 反馈系统的稳定性同系统传递函数特征方程的根是直接相反馈系统的稳

7、定性同系统传递函数特征方程的根是直接相 关的。关的。Routh-HurwitzRouth-Hurwitz方法是判断系统稳定性的实用工具。运方法是判断系统稳定性的实用工具。运 用这种方法不必实际计算特征方程根的值用这种方法不必实际计算特征方程根的值, , 就能得到特征方程就能得到特征方程 在在s s右半平面上根的个数。右半平面上根的个数。 2021-7-1 北京理工大学北京理工大学- -化工与环境学院化工与环境学院 7 2021-7-1 2021-7-1 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 3.1.1 3.1.1 阶跃函数阶跃函数 阶跃函数的数学表示式如式阶跃函数的数学表示

8、式如式(3-1)(3-1),其函数图形如,其函数图形如 图图3-1a3-1a所示。在控制系统的分析和设计中,阶跃输入所示。在控制系统的分析和设计中,阶跃输入 通常取通常取单位阶跃函数形式单位阶跃函数形式。单位阶跃函数的其拉氏。单位阶跃函数的其拉氏 变换为变换为 3.1 3.1 典型输入信号典型输入信号 s tuL 1 (3-1) 系统或环节系统或环节 u y t t 图图3-1a3-1a 1 2021-7-1 北京理工大学北京理工大学- -化工与环境学院化工与环境学院 8 2021-7-1 2021-7-1 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 3.1.2 3.1.2 脉冲

9、函数脉冲函数 脉冲输入通常取单位脉冲函数,其数学表示式如式脉冲输入通常取单位脉冲函数,其数学表示式如式(3-2)(3-2),函,函 数图形如图数图形如图3-1b3-1b所示。系统在单位脉冲函数输入作用下的输出,所示。系统在单位脉冲函数输入作用下的输出, 称为称为单位脉冲响应单位脉冲响应,常计作,常计作 。显然,如果把单位阶跃函数。显然,如果把单位阶跃函数 对时间取导数,就成为单位脉冲函数;对时间取导数,就成为单位脉冲函数; )(tg (3-2) 系统或环节系统或环节 u y t t 1tL 图图3-1b3-1b 3.1 3.1 典型输入信号典型输入信号 2021-7-1 北京理工大学北京理工大

10、学- -化工与环境学院化工与环境学院 9 2021-7-1 2021-7-1 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 3.1.3 3.1.3 斜坡函数斜坡函数 斜坡函数的数学表示式如式斜坡函数的数学表示式如式(3-3)(3-3),函数图形如图,函数图形如图3-1c3-1c所所 示。斜坡函数输入通常取示。斜坡函数输入通常取单位单位斜坡函数斜坡函数 。其拉氏变。其拉氏变 换为换为 系统或环节系统或环节 r y t t 2 1 s trL (3-3) 图图3-1c3-1c )(tr 3.1 3.1 典型输入信号典型输入信号 2021-7-1 北京理工大学北京理工大学- -化工与环境

11、学院化工与环境学院 10 2021-7-1 2021-7-1 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 3.1 3.1 典型输入信号典型输入信号 图图3-1d3-1d 2021-7-1 北京理工大学北京理工大学- -化工与环境学院化工与环境学院 11 2021-7-1 2021-7-1 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 3.2.1 3.2.1 一阶系统的瞬态响应一阶系统的瞬态响应 一阶系统方块图如图一阶系统方块图如图3-23-2所示。所示。 3.2 3.2 控制系统的瞬态响应控制系统的瞬态响应 图图3-2 一阶系统方块图一阶系统方块图 X(s)Y(s)

12、1 0 0 sT K 2021-7-1 北京理工大学北京理工大学- -化工与环境学院化工与环境学院 12 2021-7-1 2021-7-1 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 系统的闭环传递函数为:系统的闭环传递函数为: 1 1 1 1 1 1 1 )( )( 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 s K T K K KsT K sT K sT K sX sY 或 1)( )( Ts K sX sY (3-11) 3.2 3.2 控制系统的瞬态响应控制系统的瞬态响应 2021-7-1 北京理工大学北京理工大学- -化工与环境学院化工与环境学院 13 2021-7-1

13、 2021-7-1 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 式中式中: 0 0 1 K K K 0 0 1K T T 上式表明,由一阶惯性环节构成的上式表明,由一阶惯性环节构成的单位单位 反馈控制系统反馈控制系统,仍具有一阶特性仍具有一阶特性。式中的。式中的T T 为系统的时间常数,为系统的时间常数,K K为系统的放大系数为系统的放大系数。 下面来分析下面来分析当当K=1K=1时系统的瞬态响应。时系统的瞬态响应。 3.2 3.2 控制系统的瞬态响应控制系统的瞬态响应 2021-7-1 北京理工大学北京理工大学- -化工与环境学院化工与环境学院 14 2021-7-1 2021

14、-7-1 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 (1 1)一阶系统的单位阶跃响应)一阶系统的单位阶跃响应 在单位阶跃输入在单位阶跃输入 下,系统的输出为下,系统的输出为 由拉氏反变换可以得到系统的单位阶跃响由拉氏反变换可以得到系统的单位阶跃响 应为应为 stuLsX1)( 1 1 )1( 1 )( 1 1 )( Ts T sTss sX Ts sY T t esYLtyth 1)()()( 1 (3-12) 3.2 3.2 控制系统的瞬态响应控制系统的瞬态响应 2021-7-1 北京理工大学北京理工大学- -化工与环境学院化工与环境学院 15 2021-7-1 2021-7

15、-1 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 3.2 3.2 控制系统的瞬态响应控制系统的瞬态响应 2021-7-1 北京理工大学北京理工大学- -化工与环境学院化工与环境学院 16 2021-7-1 2021-7-1 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 3.2 3.2 控制系统的瞬态响应控制系统的瞬态响应 2021-7-1 北京理工大学北京理工大学- -化工与环境学院化工与环境学院 17 2021-7-1 2021-7-1 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 由上式可以看出,一阶系统的单位阶跃响由上式可以看出,一阶系统的单位阶跃响

16、 应是应是一条指数曲线一条指数曲线,如图,如图3-33-3所示。所示。在在t=0t=0处处 曲线的斜率最大,等于曲线的斜率最大,等于1/T 1/T 。经过时间响应。经过时间响应 上升到稳态值的上升到稳态值的63.2%63.2%,经过,经过3T3T或或4T4T时,时, 响应将分别达到响应将分别达到95%95%或或98.2%98.2%。 3.2 3.2 控制系统的瞬态响应控制系统的瞬态响应 2021-7-1 北京理工大学北京理工大学- -化工与环境学院化工与环境学院 18 2021-7-1 2021-7-1 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 K=1K=1 图图3-3 3-3

17、 一阶系统单位阶跃响应一阶系统单位阶跃响应 3.2 3.2 控制系统的瞬态响应控制系统的瞬态响应 2021-7-1 北京理工大学北京理工大学- -化工与环境学院化工与环境学院 19 2021-7-1 2021-7-1 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 (2 2)单位脉冲响应)单位脉冲响应 在单位脉冲输入作用下,系统的输出为在单位脉冲输入作用下,系统的输出为 1 1 1 )( Ts sY 相应的系统单位脉冲响应为相应的系统单位脉冲响应为 T t e T sYLtytg 1 )()( 1 (3-13) 3.2 3.2 控制系统的瞬态响应控制系统的瞬态响应 2021-7-1

18、北京理工大学北京理工大学- -化工与环境学院化工与环境学院 20 2021-7-1 2021-7-1 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 单位脉冲响应曲线如图单位脉冲响应曲线如图3-33-3所示。从式所示。从式(3-12)(3-12)和和(3-13)(3-13) 可以明显看出,可以明显看出,h(t)h(t)和和g(t)g(t)之间之间存在着存在着导数和积分导数和积分关系。关系。 图图3-3 3-3 一阶系统单位阶跃响应一阶系统单位阶跃响应 3.2 3.2 控制系统的瞬态响应控制系统的瞬态响应 2021-7-1 北京理工大学北京理工大学- -化工与环境学院化工与环境学院 2

19、1 2021-7-1 2021-7-1 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 2 1)(strLsX 1 1 ) 1( 1 )( 2 22 Ts T s T sTss sY 系统的输出为系统的输出为 式中式中: T t t Tety Tttyty t s lim 稳态响应分量稳态响应分量。 (3 3)单位斜坡响应)单位斜坡响应 在单位斜坡输入在单位斜坡输入 作用下,作用下, 3.2 3.2 控制系统的瞬态响应控制系统的瞬态响应 2021-7-1 北京理工大学北京理工大学- -化工与环境学院化工与环境学院 22 2021-7-1 2021-7-1 第第3 3章章 控制系统的时

20、域分析法控制系统的时域分析法 单位斜坡响应曲线示于图单位斜坡响应曲线示于图3-53-5。 图图3-5 3-5 一阶系统单位斜坡响应一阶系统单位斜坡响应 3.2 3.2 控制系统的瞬态响应控制系统的瞬态响应 2021-7-1 北京理工大学北京理工大学- -化工与环境学院化工与环境学院 23 2021-7-1 2021-7-1 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 一阶系统单位斜坡响应的稳态分量,是与单一阶系统单位斜坡响应的稳态分量,是与单 位斜坡输入函数斜率相同而时间延迟了一个时位斜坡输入函数斜率相同而时间延迟了一个时 间常数间常数T T的斜坡函数。的斜坡函数。 在过渡过程结

21、束后,系统的稳态输出与单位在过渡过程结束后,系统的稳态输出与单位 斜坡输入之间存在着斜坡输入之间存在着跟踪误差跟踪误差,其大小正好等,其大小正好等 于于时间常数时间常数T T。 3.2 3.2 控制系统的瞬态响应控制系统的瞬态响应 2021-7-1 北京理工大学北京理工大学- -化工与环境学院化工与环境学院 24 2021-7-1 2021-7-1 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 3.2.2 3.2.2 二阶系统的瞬态响应二阶系统的瞬态响应 (1) (1) 二阶系统的标准形式二阶系统的标准形式 与第与第2 2章里推得的二阶对象或环节的数章里推得的二阶对象或环节的数 学

22、模型一样,二阶线性控制系统的数学模学模型一样,二阶线性控制系统的数学模 型也可以表示为一般形式的二阶线性常系型也可以表示为一般形式的二阶线性常系 数微分方程式数微分方程式: tKxtya dt tdy a dt tyd a 32 2 2 1 (3-15) 3.2 3.2 控制系统的瞬态响应控制系统的瞬态响应 2021-7-1 北京理工大学北京理工大学- -化工与环境学院化工与环境学院 25 2021-7-1 2021-7-1 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 若若 ,式,式(3-15)(3-15)可写成可写成 txKty dt dy T dt yd T p 2 2 2

23、2 或或 txKty dt tdy dt tyd npnn 22 2 2 2 式中式中 31 2 aaT 32 2aaT 3 aKK p n T1 0 3 a 3.2 3.2 控制系统的瞬态响应控制系统的瞬态响应 2021-7-1 北京理工大学北京理工大学- -化工与环境学院化工与环境学院 26 2021-7-1 2021-7-1 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 在式在式(3-1b)(3-1b)中,令中,令 ,可以得到通,可以得到通 常研究二阶特性使用的数学模型,即二阶系统常研究二阶特性使用的数学模型,即二阶系统 数学模型的数学模型的标准形式标准形式 1 p K )(

24、)( )( 2 )( 22 2 2 txty dt tdy dt tyd nnn (3-17) 称为称为自然频率自然频率或无阻尼振荡频率;或无阻尼振荡频率; 称为称为阻尼系数阻尼系数或阻尼比。或阻尼比。 n 3.2 3.2 控制系统的瞬态响应控制系统的瞬态响应 2021-7-1 北京理工大学北京理工大学- -化工与环境学院化工与环境学院 27 2021-7-1 2021-7-1 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 由式由式(3-17)(3-17)所表示的标准形式二所表示的标准形式二 阶系统的方块图如图阶系统的方块图如图3-63-6所示。所示。 系统的闭环传系统的闭环传 递

25、函数为:递函数为: 22 2 2 nn n sssX sY sW (3-18) )2( 2 n n ss )(sX )(sY 图图3-6 3-6 二阶系统方块图二阶系统方块图 3.2 3.2 控制系统的瞬态响应控制系统的瞬态响应 2021-7-1 北京理工大学北京理工大学- -化工与环境学院化工与环境学院 28 2021-7-1 2021-7-1 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 由式由式(3-17)(3-17)可求得二阶系统的可求得二阶系统的特征方程特征方程为为 02 22 nns s 或或0)( 21 ssss 可见,二阶系统的时间响应取决可见,二阶系统的时间响应取

26、决 于于 和和 这两个参量。这两个参量。n 3.2 3.2 控制系统的瞬态响应控制系统的瞬态响应 2021-7-1 北京理工大学北京理工大学- -化工与环境学院化工与环境学院 29 2021-7-1 2021-7-1 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 从式从式(3-18)(3-18)不难求出闭环系统的特征根不难求出闭环系统的特征根 ( (闭环极点闭环极点) ) 、 1 s1 2 2 nn s(3-19) 显然,当阻尼系数具有不同值时,显然,当阻尼系数具有不同值时, 特征根将可能是特征根将可能是两个相异实根、两个相两个相异实根、两个相 等实根、一对共轭复根或一对纯虚根。等

27、实根、一对共轭复根或一对纯虚根。 3.2 3.2 控制系统的瞬态响应控制系统的瞬态响应 2021-7-1 北京理工大学北京理工大学- -化工与环境学院化工与环境学院 30 2021-7-1 2021-7-1 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 (2)(2)二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应 ,过阻尼情况过阻尼情况1 1 2 1 nn s 1 2 2 nn s 因因 1 1 ,二阶系统有两个不相等,二阶系统有两个不相等 的负实根的负实根 和和 ,即,即 1 s 2 s 3.2 3.2 控制系统的瞬态响应控制系统的瞬态响应 22 2 2 nn n sssX sY s

28、W 2021-7-1 北京理工大学北京理工大学- -化工与环境学院化工与环境学院 31 2021-7-1 2021-7-1 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 因此,系统单位阶跃响应的象函数可写成因此,系统单位阶跃响应的象函数可写成 )( 21 2 sssss sY n 令令 、 ,代入上式代入上式, 1 s = 1 1 T 2 2 1 T s 2 21n ss,整理可得整理可得并注意到并注意到 11 1 21 sTsTs sY 3.2 3.2 控制系统的瞬态响应控制系统的瞬态响应 2021-7-1 北京理工大学北京理工大学- -化工与环境学院化工与环境学院 32 202

29、1-7-1 2021-7-1 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 由前面第由前面第2-62-6节例节例2-92-9中的式中的式(2-107)(2-107) 可求得系统的单位阶跃响应:可求得系统的单位阶跃响应: )( 1 1 21 21 21 1T t T t eTeT TT sYLth (3-20) 注:注: )( 1 1 )( 21 21 21 T t T t eTeT TT Ktf (2-107) 3.2 3.2 控制系统的瞬态响应控制系统的瞬态响应 2021-7-1 北京理工大学北京理工大学- -化工与环境学院化工与环境学院 33 2021-7-1 2021-7-1

30、 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 上式表明,输出瞬态响应有上式表明,输出瞬态响应有两个单调衰减两个单调衰减 的指数项组成的指数项组成,这是一个不振荡的衰减过程。,这是一个不振荡的衰减过程。 当阻尼系数当阻尼系数 1 1时,时, ,式,式 (3-20)(3-20)右边两个指数项中后一项衰减得快,右边两个指数项中后一项衰减得快, 若将后一项忽略不计,则系统的输出响应与若将后一项忽略不计,则系统的输出响应与 一阶系统的响应相同。若一阶系统的响应相同。若 ,则式,则式 (3-20)(3-20)近似为近似为 1 T 2 T 0 2 T 1 1)( T t eth 3.2 3.2

31、 控制系统的瞬态响应控制系统的瞬态响应 2021-7-1 北京理工大学北京理工大学- -化工与环境学院化工与环境学院 34 2021-7-1 2021-7-1 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 对于只有一个负实数极点的情况,极点离原点越对于只有一个负实数极点的情况,极点离原点越 远,如图远,如图3-73-7中极点中极点2 2所示,过渡过程进行的越迅速;极所示,过渡过程进行的越迅速;极 点离原点越近,如图中的极点点离原点越近,如图中的极点1 1,过渡过程的变化速度越,过渡过程的变化速度越 慢,须经过较长时间才能到达稳态值。慢,须经过较长时间才能到达稳态值。 图图3 37

32、7 负实轴极点及对应的时间响应负实轴极点及对应的时间响应 3.2 3.2 控制系统的瞬态响应控制系统的瞬态响应 2021-7-1 北京理工大学北京理工大学- -化工与环境学院化工与环境学院 35 2021-7-1 2021-7-1 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 1 过阻尼过阻尼 3.2 3.2 控制系统的瞬态响应控制系统的瞬态响应 22 2 2 nn n sssX sY sW 频率域频率域 时间域时间域 2021-7-1 北京理工大学北京理工大学- -化工与环境学院化工与环境学院 36 2021-7-1 2021-7-1 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统

33、的时域分析法 =1=1,临界阻尼情况临界阻尼情况。 =1=1时系统时系统 有两个相等的负实根,即有两个相等的负实根,即 n ss 21 系统单位阶跃响应的象函数为系统单位阶跃响应的象函数为 2 2 n n ss sY 3.2 3.2 控制系统的瞬态响应控制系统的瞬态响应 22 2 2 nn n sssX sY sW 2021-7-1 北京理工大学北京理工大学- -化工与环境学院化工与环境学院 37 2021-7-1 2021-7-1 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 由式由式(2-112)(2-112)可得系统的单位阶跃响可得系统的单位阶跃响 应为应为 )1(1)( 1

34、 tesYLth n t n 当阻尼系数当阻尼系数 =1 =1时,二阶系统的单位阶时,二阶系统的单位阶 跃响应跃响应仍是一个不振荡的衰减过程仍是一个不振荡的衰减过程。 3.2 3.2 控制系统的瞬态响应控制系统的瞬态响应 2021-7-1 北京理工大学北京理工大学- -化工与环境学院化工与环境学院 38 2021-7-1 2021-7-1 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 1临界阻尼临界阻尼 3.2 3.2 控制系统的瞬态响应控制系统的瞬态响应 22 2 2 nn n sssX sY sW 重根重根 2021-7-1 北京理工大学北京理工大学- -化工与环境学院化工与环

35、境学院 39 2021-7-1 2021-7-1 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 11,欠阻尼情况,欠阻尼情况0 在这种情况下,系统有一对共轭复根,即在这种情况下,系统有一对共轭复根,即 ;1 2 1 nn js 2 2 1 nn js 若令若令, 2 1, ndn 则系统的一对共轭复根可写为则系统的一对共轭复根可写为 d jss 21, 3.2 3.2 控制系统的瞬态响应控制系统的瞬态响应 22 2 2 nn n sssX sY sW 2021-7-1 北京理工大学北京理工大学- -化工与环境学院化工与环境学院 40 2021-7-1 2021-7-1 第第3 3章

36、章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 式中式中 称为衰减系数称为衰减系数, 称为阻尼振称为阻尼振 荡频率荡频率。如把这一对闭环极点标在复平面上,。如把这一对闭环极点标在复平面上, 可以得到图可以得到图2-322-32所示的极点分布图。所示的极点分布图。 在前面的例在前面的例2-102-10中已用两种方法计算过这中已用两种方法计算过这 种情况下的种情况下的拉氏反变换拉氏反变换,因此,由式,因此,由式(2-109)(2-109)可可 求得系统的单位阶跃响应:求得系统的单位阶跃响应: d 3.2 3.2 控制系统的瞬态响应控制系统的瞬态响应 2021-7-1 北京理工大学北京理工大学- -化

37、工与环境学院化工与环境学院 41 2021-7-1 2021-7-1 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 由式由式(3-22)(3-22)可见,欠阻尼二阶系统单可见,欠阻尼二阶系统单 位阶跃响应的瞬态分量是振幅随时间按指位阶跃响应的瞬态分量是振幅随时间按指 数函数规律衰减的数函数规律衰减的周期函数周期函数。 )1sin( 1 1)( 2 2 1 t e sYLth n t n (3-22) = 2 1 arctg arccos 式中式中: 或或 3.2 3.2 控制系统的瞬态响应控制系统的瞬态响应 2021-7-1 北京理工大学北京理工大学- -化工与环境学院化工与环境学

38、院 42 2021-7-1 2021-7-1 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 振荡频率为振荡频率为 其数值与阻尼系其数值与阻尼系 数数 有关,故称有关,故称阻尼振荡频率阻尼振荡频率。由于瞬态分量。由于瞬态分量 2 1 nd 2 1 1 t n e 衰减的快慢程度取决与包络线衰减的快慢程度取决与包络线 的的 收敛频率,而当阻尼系数收敛频率,而当阻尼系数 一定时,包络线一定时,包络线 收敛速率又取决于指数函数收敛速率又取决于指数函数 的幂。的幂。 t n e n 所以所以 称为称为衰减系数衰减系数。 3.2 3.2 控制系统的瞬态响应控制系统的瞬态响应 2021-7-1

39、北京理工大学北京理工大学- -化工与环境学院化工与环境学院 43 2021-7-1 2021-7-1 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 10欠阻尼欠阻尼 3.2 3.2 控制系统的瞬态响应控制系统的瞬态响应 22 2 2 nn n sssX sY sW 2021-7-1 北京理工大学北京理工大学- -化工与环境学院化工与环境学院 44 2021-7-1 2021-7-1 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 ,无阻尼情况无阻尼情况 0 此时,系统有一对纯虚根此时,系统有一对纯虚根 n jss 21, 象函数为象函数为 2222 2 1 )( nn n

40、 s s sss sY 所以系统的单位阶跃响应为所以系统的单位阶跃响应为 tsYLth n cos1 1 3.2 3.2 控制系统的瞬态响应控制系统的瞬态响应 22 2 2 nn n sssX sY sW 2021-7-1 北京理工大学北京理工大学- -化工与环境学院化工与环境学院 45 2021-7-1 2021-7-1 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 0 无阻尼无阻尼 3.2 3.2 控制系统的瞬态响应控制系统的瞬态响应 22 2 2 nn n sssX sY sW 2021-7-1 北京理工大学北京理工大学- -化工与环境学院化工与环境学院 46 2021-7-

41、1 2021-7-1 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 ,负阻尼情况负阻尼情况 01 由于由于 0,所以系统特征根所以系统特征根 1, 2 21 nn ss 将具有正的实部将具有正的实部( ) 。相应相应 的系统输出响应就是式的系统输出响应就是式(3-20)和式和式(3-22) 中中 的情况的情况。 0 n 0 3.2 3.2 控制系统的瞬态响应控制系统的瞬态响应 22 2 2 nn n sssX sY sW 2021-7-1 北京理工大学北京理工大学- -化工与环境学院化工与环境学院 47 2021-7-1 2021-7-1 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系

42、统的时域分析法 01负阻尼负阻尼 3.2 3.2 控制系统的瞬态响应控制系统的瞬态响应 2021-7-1 北京理工大学北京理工大学- -化工与环境学院化工与环境学院 48 2021-7-1 2021-7-1 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 1负阻尼负阻尼 3.2 3.2 控制系统的瞬态响应控制系统的瞬态响应 2021-7-1 北京理工大学北京理工大学- -化工与环境学院化工与环境学院 49 2021-7-1 2021-7-1 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 显然,由于式中含有显然,由于式中含有正指数正指数,所以单位阶,所以单位阶 跃响应跃响应

43、 是是一发散的响应过程一发散的响应过程,就是说系统,就是说系统 的输出参数不能达到稳定状态,而是随着时间的输出参数不能达到稳定状态,而是随着时间 的推移发散到无穷大。过渡过程发散的系统是的推移发散到无穷大。过渡过程发散的系统是 不稳定系统。不稳定系统。 时的等幅振荡情况介于稳定时的等幅振荡情况介于稳定 和不稳定之间,通常将其划为不稳定的范围和不稳定之间,通常将其划为不稳定的范围。 )(th 0 图图3-83-8所示为不同所示为不同 值时的各种根分布值时的各种根分布 情况及对应的单位阶跃响应。情况及对应的单位阶跃响应。 3.2 3.2 控制系统的瞬态响应控制系统的瞬态响应 2021-7-1 北京

44、理工大学北京理工大学- -化工与环境学院化工与环境学院 50 2021-7-1 2021-7-1 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 图图3-8(a) 3-8(a) 二阶系统特征根位置及其单位阶跃响应二阶系统特征根位置及其单位阶跃响应 3.2 3.2 控制系统的瞬态响应控制系统的瞬态响应 2021-7-1 北京理工大学北京理工大学- -化工与环境学院化工与环境学院 51 2021-7-1 2021-7-1 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 图图3-8(b) 3-8(b) 二阶系统特征根位置及其单位阶跃响应二阶系统特征根位置及其单位阶跃响应 3.2

45、3.2 控制系统的瞬态响应控制系统的瞬态响应 2021-7-1 北京理工大学北京理工大学- -化工与环境学院化工与环境学院 52 2021-7-1 2021-7-1 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 图图3-8(c)3-8(c)二阶系统特征根位置及其单位阶跃响应二阶系统特征根位置及其单位阶跃响应 3.2 3.2 控制系统的瞬态响应控制系统的瞬态响应 2021-7-1 北京理工大学北京理工大学- -化工与环境学院化工与环境学院 53 2021-7-1 2021-7-1 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 图图3-9 3-9 二阶系统标准阶跃响应二阶系

46、统标准阶跃响应 3.2 3.2 控制系统的瞬态响应控制系统的瞬态响应 22 2 2 nn n sssX sY sW W(S)W(S) U(S)U(S)H(S)H(S) 2021-7-1 北京理工大学北京理工大学- -化工与环境学院化工与环境学院 54 2021-7-1 2021-7-1 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 图图3-93-9中画出了阻尼系数中画出了阻尼系数 不同时由式不同时由式 (3-20)(3-20)、(3-21)(3-21)、(3-22)(3-22)描述的二阶系统单位描述的二阶系统单位 阶跃响应对无量纲时间阶跃响应对无量纲时间 的关系曲线。的关系曲线。

47、t n 图图3-93-9画出的是式画出的是式(3-17)(3-17)或或(3-18)(3-18)描述的标描述的标 准形式二阶系统的单位阶跃响应曲线,也就准形式二阶系统的单位阶跃响应曲线,也就 是一般二阶系统微分方程式是一般二阶系统微分方程式(3-16(3-16)中放大系)中放大系 数数 阶跃输入幅值阶跃输入幅值A=1A=1的情况。的情况。1 p K 3.2 3.2 控制系统的瞬态响应控制系统的瞬态响应 2021-7-1 北京理工大学北京理工大学- -化工与环境学院化工与环境学院 55 2021-7-1 2021-7-1 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 由查得的无量纲时

48、间由查得的无量纲时间 除以计算出除以计算出 的系统的的系统的 ,就可以换算成系统响应曲,就可以换算成系统响应曲 线的时间横坐标值线的时间横坐标值, ,即即 t n n n nt t 所以,如实际系统的所以,如实际系统的 ,而且输入,而且输入 也不是单位阶跃输入即也不是单位阶跃输入即A A时,由图时,由图3-93-9查得查得 的纵坐标数据的纵坐标数据 应乘以应乘以 ,换算成实,换算成实 际系统输出响应曲线纵坐标值际系统输出响应曲线纵坐标值 ,即,即 1 p K th AK p )(ty )()(tAhKty p 3.2 3.2 控制系统的瞬态响应控制系统的瞬态响应 2021-7-1 北京理工大学

49、北京理工大学- -化工与环境学院化工与环境学院 56 2021-7-1 2021-7-1 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 3.2.3 3.2.3 二阶系统的单位脉冲响应二阶系统的单位脉冲响应 由于系统单位阶跃响应由于系统单位阶跃响应 对时间的导数对时间的导数就是系统就是系统 的单位脉冲响应的单位脉冲响应 。 th tg ;1时当 21 1 21 1 )( TT t ee TT tg(3-24)(3-24) ;1时当 t n n tetg 2 )( (3-25)(3-25) tetg n t n n 2 2 1sin 1 )( (3-26)(3-26) 时当10 3.2

50、 3.2 控制系统的瞬态响应控制系统的瞬态响应 1 1 )( Ts sY T t e T sYLtytg 1 )()( 1 一阶系统一阶系统 2021-7-1 北京理工大学北京理工大学- -化工与环境学院化工与环境学院 57 2021-7-1 2021-7-1 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 图图3-103-10画出了不同画出了不同 值时的单位脉冲响应曲线。值时的单位脉冲响应曲线。 时,单位脉冲响应时,单位脉冲响应不产生振荡不产生振荡。 1 图图3-10 3-10 二阶系统单位脉冲响应曲线二阶系统单位脉冲响应曲线 3.2 3.2 控制系统的瞬态响应控制系统的瞬态响应

51、2021-7-1 北京理工大学北京理工大学- -化工与环境学院化工与环境学院 58 2021-7-1 2021-7-1 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 实际的控制系统通常都是二阶以上的系实际的控制系统通常都是二阶以上的系 统。高阶系统的闭环传递函数可以写成统。高阶系统的闭环传递函数可以写成 n m nn nn mm mm ssssss zszszsK asasasa bsbsbsb sX sY sW 21 21 1 1 10 1 1 10 )( )( )( (3-28) 3.2.5 3.2.5 高阶系统瞬态响应近似分析高阶系统瞬态响应近似分析 3.2 3.2 控制系统

52、的瞬态响应控制系统的瞬态响应 2021-7-1 北京理工大学北京理工大学- -化工与环境学院化工与环境学院 59 2021-7-1 2021-7-1 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 (3-29) 式中式中 nrq2 假设假设系统的所有极点、零点互不相同,系统的所有极点、零点互不相同, 并设极点中有并设极点中有q q个实数极点个实数极点和和r r对共轭复数对共轭复数 极点极点,而零点中只有实数零点,则式,而零点中只有实数零点,则式(3-28)(3-28) 可写为可写为 q i r k nknkki m j j ssss zsK sW 11 22 1 )2()( )( 3

53、.2 3.2 控制系统的瞬态响应控制系统的瞬态响应 2021-7-1 北京理工大学北京理工大学- -化工与环境学院化工与环境学院 60 2021-7-1 2021-7-1 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 系统单位阶跃响应具有以下形式:系统单位阶跃响应具有以下形式: )1sin()( 11 2 0k q i r k knk t k ts i teBeAAth nkki (3-30) 从上式可以看出,线性高阶系统从上式可以看出,线性高阶系统 的瞬态响应是由的瞬态响应是由若干一阶若干一阶和和二阶瞬态二阶瞬态 响应分量响应分量组成的。如果所有闭环极点组成的。如果所有闭环极点

54、都具有负的实部,那么都具有负的实部,那么当当时间时间 时,系统的稳态输出量时,系统的稳态输出量 。 t 0 Ah 3.2 3.2 控制系统的瞬态响应控制系统的瞬态响应 2021-7-1 北京理工大学北京理工大学- -化工与环境学院化工与环境学院 61 2021-7-1 2021-7-1 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 从式从式(3-29)(3-29)可知,高阶系统瞬态响应可知,高阶系统瞬态响应 分量的系数分量的系数 和和 不仅与平面上不仅与平面上极点极点 位置位置有关,而且也取决于有关,而且也取决于零点的位置零点的位置。 i A k B 如某个极点如某个极点 靠近某一

55、零点靠近某一零点 而远离其他极点,同时与平面的而远离其他极点,同时与平面的原点原点相距也相距也 很远,则计算出的相应响应分量的系数很远,则计算出的相应响应分量的系数 将很小,所以该分量的影响就越小。将很小,所以该分量的影响就越小。 )( i s )( j z i A 3.2 3.2 控制系统的瞬态响应控制系统的瞬态响应 2021-7-1 北京理工大学北京理工大学- -化工与环境学院化工与环境学院 62 2021-7-1 2021-7-1 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 若若一对极、零点十分接近时一对极、零点十分接近时,该极点,该极点 对系统瞬态响应对系统瞬态响应几乎没

56、有影响几乎没有影响。反之,若。反之,若 某极点某极点 远离零点,但远离零点,但距平面原点较距平面原点较 近近,则计算出的相应分量的系数,则计算出的相应分量的系数 就比就比 较大,该分量对系统瞬态响应的影响就较较大,该分量对系统瞬态响应的影响就较 大大。这就引出。这就引出主导极点主导极点的概念。的概念。 )( i s i A 3.2 3.2 控制系统的瞬态响应控制系统的瞬态响应 2021-7-1 北京理工大学北京理工大学- -化工与环境学院化工与环境学院 63 2021-7-1 2021-7-1 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 3.3 3.3 劳斯稳定判据劳斯稳定判据

57、引言引言: 线性控制系统稳定的线性控制系统稳定的充分与必要条件充分与必要条件可可 以归纳为以下几种表达方式:以归纳为以下几种表达方式: 线性系统特征方程式的所有根都线性系统特征方程式的所有根都为负数为负数或具或具 有负的实根;有负的实根; 特征方程式的所有根均在特征方程式的所有根均在S平面平面的左半部分;的左半部分; 系统闭环传递函数的极点均在系统闭环传递函数的极点均在S平面平面的左半部的左半部 分。分。 2021-7-1 北京理工大学北京理工大学- -化工与环境学院化工与环境学院 64 2021-7-1 2021-7-1 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 根据上述关于

58、系统稳定性的充要条件判断一根据上述关于系统稳定性的充要条件判断一 个控制系统是否稳定,必须求出特征方程式的所个控制系统是否稳定,必须求出特征方程式的所 有根。有根。 对于一、二阶系统来说这是不难做到的,但对于一、二阶系统来说这是不难做到的,但 对于高于二阶的系统求取特征方程式的根就相当对于高于二阶的系统求取特征方程式的根就相当 困难,困难, 这一节将介绍一种不必实际求解特征方程式这一节将介绍一种不必实际求解特征方程式 而能知道特征方程是否存在实部为正的根的判别而能知道特征方程是否存在实部为正的根的判别 方法,这种方法称为方法,这种方法称为代数判据代数判据。 3.3 3.3 劳斯稳定判据劳斯稳定

59、判据 2021-7-1 北京理工大学北京理工大学- -化工与环境学院化工与环境学院 65 2021-7-1 2021-7-1 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 所谓所谓代数判据代数判据,就是由代数方程式的,就是由代数方程式的系数系数来来 判断根的实部是否均为负值的一般方法。这种方判断根的实部是否均为负值的一般方法。这种方 法早在十九世纪末已先后由劳斯法早在十九世纪末已先后由劳斯(E.J.Routh E.J.Routh ) 和霍维茨和霍维茨(A.Hurwitz)(A.Hurwitz)分别独立提出。分别独立提出。 这些数学成果被移植到自动控制理论中作为这些数学成果被移植到自

60、动控制理论中作为 系统稳定性的系统稳定性的代数判据代数判据。劳斯判据和霍维茨判据。劳斯判据和霍维茨判据 的形式相差不多,这里只介绍应用比较普遍的劳的形式相差不多,这里只介绍应用比较普遍的劳 斯判据。斯判据。 3.3 3.3 劳斯稳定判据劳斯稳定判据 2021-7-1 北京理工大学北京理工大学- -化工与环境学院化工与环境学院 66 2021-7-1 2021-7-1 第第3 3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 为常数,为常数, 且一般且一般 。 3.3.1 3.3.1 系统稳定性的初步判别系统稳定性的初步判别 对于大多数线性控制系统,闭环传递对于大多数线性控制系统,闭环传递 函数

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