第四章_连续时间傅立叶变换

1、第第4章章 连续时间傅立叶变换连续时间傅立叶变换 The Continuous time Fourier Transform 本本章的主要内容章的主要内容: : 连续时间傅立叶变换连续时间傅立叶变换; 傅立叶级数与傅立叶变换之间的关系傅立叶级数与傅立叶变换之间的关系; 傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质; 1. 系统的频率响应及系统的频域分析；系统的频率响应及系统的频域分析； 在工程应用中有相当广泛的信号是非周期在工程应用中有相当广泛的信号是非周期 信号，对非周期信号应该如何进行分解，什信号，对非周期信号应该如何进行分解，什 么是非周期信号的频谱表示，线性时不变系么是非周期信号的频谱表示，线性时

2、不变系 统对非周期信号的响应如何求得，就是这一统对非周期信号的响应如何求得，就是这一 章要解决的问题。章要解决的问题。 4.0 引言引言 Introduction 在时域可以看到，如果一个周期信号的周期在时域可以看到，如果一个周期信号的周期 趋于无穷大，则周期信号将演变成一个非周期趋于无穷大，则周期信号将演变成一个非周期 信号；反过来，如果将任何非周期信号进行周信号；反过来，如果将任何非周期信号进行周 期性延拓，就一定能形成一个周期信号。期性延拓，就一定能形成一个周期信号。 我们把非周期信号看成是周期信号在周期趋我们把非周期信号看成是周期信号在周期趋 于无穷大时的极限，从而考查连续时间傅立叶于

3、无穷大时的极限，从而考查连续时间傅立叶 级数在级数在 T趋于无穷大时的变化，就应该能够得趋于无穷大时的变化，就应该能够得 到对非周期信号的频域表示方法。到对非周期信号的频域表示方法。 4.1 非周期信号的表示非周期信号的表示连续时间傅立叶变换连续时间傅立叶变换 Representation of Aperiodic Signals: The Continuous-Time Fourier Transform 一一. .从傅立叶级数到傅立叶变换从傅立叶级数到傅立叶变换 我们已经看到，周期性矩形脉冲，当周期我们已经看到，周期性矩形脉冲，当周期 增大时，频谱的幅度随增大时，频谱的幅度随 的增大而下降

4、；谱线的增大而下降；谱线 间隔随间隔随 的增大而减小；但频谱的包络不变。的增大而减小；但频谱的包络不变。 0 T 0 T 0 T 再次考察周期性矩形脉冲的频谱图：再次考察周期性矩形脉冲的频谱图： 当当 时，周期性矩形脉冲信号将演变成为时，周期性矩形脉冲信号将演变成为 非周期的单个矩形脉冲信号。非周期的单个矩形脉冲信号。 0 T （a） （b） (a) 01 4TT (b) 0 k a 0 20 2 k a 1 4 1 4 0 01 8TT 01 2 由于由于 也随也随 增大而减小，并最增大而减小，并最 终趋于终趋于0 0，考查，考查 的变化，它在的变化，它在 时应该时应该 是有限的。是有限的。

5、 0 11 00 1 sin2 k kTT a TkT 0 T 0k T a 0 T 于是，我们推断出于是，我们推断出: :当当 时，离散的频谱将时，离散的频谱将 演变为连续的频谱。演变为连续的频谱。 0 T 0 0 0 /2 0 /2 ( ) T jkt k T T ax t edt 由由 当当 时时, , 0 T 0 0 2 ,d T 0 ,k ()( ) j t X jx t edt 0 0 lim() k T TaX j 如果令如果令则有则有 0 0 1 () k aX jk T 与周期信号傅立叶级数对比有：与周期信号傅立叶级数对比有： 这表明这表明: :周期信号的频谱就是与它相对应的

6、非周期周期信号的频谱就是与它相对应的非周期 信号频谱的样本。信号频谱的样本。 根据傅立叶级数表示：根据傅立叶级数表示： 000 000 0 11 ( )()() 2 jktjktjkt k kkk x ta eX jkeX jke T 连续时间傅立叶变换连续时间傅立叶变换 当当 0 T 时，时， ( )( ),x tx t 0 0 2 ,d T 0 k 于是有：于是有： 1 ( )() 2 j t x tX jed 傅立叶反变换傅立叶反变换 此式表明，非周期信号可以分解成无数多个频率此式表明，非周期信号可以分解成无数多个频率 连续分布、振幅为连续分布、振幅为 的复指数信号之和。的复指数信号之和

7、。 由于由于 具有频谱随频率分具有频谱随频率分 布的物理含义，因而称布的物理含义，因而称 为为频谱密度函数频谱密度函数。 1 () 2 X jd 000 0 ,0 0 ()limlim k k TTf a X jTa f ()X j 1 ( )() 2 j t x tX jed ()( ) j t X jx t edt 于是，我们得到了对非周期信号的频域描述方法于是，我们得到了对非周期信号的频域描述方法 这一对关系被称为连续时间傅立叶变换对。这一对关系被称为连续时间傅立叶变换对。 可见，周期信号的频谱是对应的非周期信号可见，周期信号的频谱是对应的非周期信号频频 谱的样本谱的样本；而非周期信号的

8、频谱是对应的周期信；而非周期信号的频谱是对应的周期信 号号频谱的包络。频谱的包络。 既然傅立叶变换的引出是从周期信号的傅立叶既然傅立叶变换的引出是从周期信号的傅立叶 级数表示出发，讨论周期趋于无穷大时的极限得级数表示出发，讨论周期趋于无穷大时的极限得 来的，傅立叶变换的收敛问题就应该和傅立叶级来的，傅立叶变换的收敛问题就应该和傅立叶级 数的收敛相一致。数的收敛相一致。 二二. 傅立叶变换的收敛傅立叶变换的收敛 这表明能量有限的信号其傅立叶变换一定存在。这表明能量有限的信号其傅立叶变换一定存在。 2. Dirichlet 条件条件 ( )x t dt a. 绝对可积条件绝对可积条件 1. 若若

9、2 ( )x tdt 则则 存在。存在。()X j 也有相应的两组条件：也有相应的两组条件： b. 在任何有限区间内，在任何有限区间内， 只有有限个极值点，只有有限个极值点， 且极值有限。且极值有限。 ( )x t c. 在任何有限区间内，在任何有限区间内， 只有有限个第一类间只有有限个第一类间 断点。断点。 ( )x t 应该指出应该指出: :这些条件只是傅立叶变换存在的充分这些条件只是傅立叶变换存在的充分 条件条件。 ( )x t ( )x t 和周期信号的情况一样，当和周期信号的情况一样，当 的傅立叶变换存的傅立叶变换存 在时，其傅立叶变换在在时，其傅立叶变换在 的连续处收敛于信号本的连

10、续处收敛于信号本 身，在间断点处收敛于左右极限的平均值，在间断身，在间断点处收敛于左右极限的平均值，在间断 点附近会产生点附近会产生Gibbs 现象。现象。 sin t t 这两组条件并不等价。例如：这两组条件并不等价。例如： 是平方可积是平方可积 的，但是并不绝对可积。的，但是并不绝对可积。 三三. .常用信号的傅立叶变换：常用信号的傅立叶变换： 1.( )( ),0 at x teu ta 0 1 () atj t X jeedt aj 22 1 ()X j a -1 ()tgX j a ( )x t t 0 1 aa0 1/a ()X j 1 2a /2 /2 a a ()X j /4

11、/4 2.( ),0 at x tea 结论：结论：实偶信号的傅立叶实偶信号的傅立叶 变换是实偶函数。变换是实偶函数。此时可以此时可以 用一幅图表示信号的频谱。用一幅图表示信号的频谱。 对此例有对此例有()()X jX j()0X j ()X j 2 a 1 a aa ( )x t t 1 0 0 0 22 () 112 atj tatj t X je edteedt a ajaja 3.( )( )x tt ()( )1 jt Xjt edt 0 ( ) t t 这表明这表明 中包括了所有的频率成分，且所有频中包括了所有的频率成分，且所有频 率分量的幅度、相位都相同。因此，系统的单位冲率分量

12、的幅度、相位都相同。因此，系统的单位冲 激响应激响应 才能完全描述一个才能完全描述一个LTI系统的特性，系统的特性， 才在信号与系统分析中具有如此重要的意义。才在信号与系统分析中具有如此重要的意义。 ( ) t ( )h t ( ) t ()X j 0 1 1 1 111 1 1 111 2sin2sin () 2Sa()2Sinc() T j t T TTT X jedt T T TTT 显然，将显然，将 中的中的 代之以代之以 再乘以再乘以 ，即，即 是相应周期信号的频谱是相应周期信号的频谱 ()X j 0 k 0 1 T 0111 01 000 sin22 Sa() k kTTT akT

13、 TTkT 4. 矩形脉冲矩形脉冲: :( )x t 1, 1 tT 0, 1 tT 1 T 1 T t ( )x t 1 ( )x t t 1 T 1 T 1 1 0 0 ( )x t t 1 2T 1 2T 1 1 0 0 ()X j 0 0 1 T 1 2T 1 2T ()X j 1 4T 0 0 不同脉冲宽度对频谱的影响不同脉冲宽度对频谱的影响 可见，可见，信号在时域和频域之间有一种相反的关系信号在时域和频域之间有一种相反的关系。 ( (称为称为理想低通滤波器理想低通滤波器) ) 与矩形脉冲情况对比，可以发现与矩形脉冲情况对比，可以发现信号在时域和频信号在时域和频 域之间存在一种对偶关

14、系。域之间存在一种对偶关系。 5. 1， 0， ()X j W W 1sin ( )Sa()sinc() 2 W j t W WtWWWt x tedWt t ()X j WW 1 1 0 0 ( )x t t (/)W 0 0 W 对偶关系可表示如下对偶关系可表示如下: ( )x t t 1 T 1 T 1 1 0 0 ()X j WW 1 1 0 0 ()X j 0 0 1 T 1 2T ( )x t t (/)W 0 0 W 同时可以看到，同时可以看到，信号在时域和频域之间也有一种信号在时域和频域之间也有一种 相反的关系相反的关系。即信号在时域脉冲越窄，则其频谱主。即信号在时域脉冲越窄，

15、则其频谱主 瓣越宽，反之亦然。瓣越宽，反之亦然。 对例对例5. 我们可以想到，如果我们可以想到，如果 ，则，则 将趋于将趋于 一个冲激。一个冲激。 W ( )x t 6. 若若 则有则有( )1x t ()2( )X j 因为因为 11 () 22 W j t W ed 所以所以( )12( ) F x t 四四. 信号的带宽信号的带宽( Bandwidth of Signals ): 由信号的频谱可以看出：信号的主要能量总是由信号的频谱可以看出：信号的主要能量总是 集中于低频分量。另一方面，传输信号的系统都集中于低频分量。另一方面，传输信号的系统都 具有自己的频率特性。因而，工程中在传输信号

16、具有自己的频率特性。因而，工程中在传输信号 时，没有必要一定要把信号的所有频率分量都有时，没有必要一定要把信号的所有频率分量都有 效传输，而只要保证将占据信号能量主要部分的效传输，而只要保证将占据信号能量主要部分的 频率分量有效传输即可。为此，需要对信号定义频率分量有效传输即可。为此，需要对信号定义 带宽。通常有如下定义带宽的方法带宽。通常有如下定义带宽的方法: 2. 对包络是对包络是 形状的频谱，通常定义主瓣宽形状的频谱，通常定义主瓣宽 度度(即即频谱第一个零点内的范围频谱第一个零点内的范围)为信号带宽。为信号带宽。 Sa( ) x 下降到最大值的下降到最大值的 时对应的频率范围时对应的频率

17、范围, , 此时带内信号此时带内信号分量占有信号总能量的分量占有信号总能量的1/2。 1.()X j 1 2 以矩形脉冲为例，按带宽的定义，可以得出，以矩形脉冲为例，按带宽的定义，可以得出， 脉宽乘以带宽等于常数脉宽乘以带宽等于常数C (脉宽带宽积脉宽带宽积)。这清楚地。这清楚地 反映了频域和时域的相反关系。反映了频域和时域的相反关系。 4.2 周期信号的傅立叶变换周期信号的傅立叶变换 到此为止，我们对周期信号用傅立叶级数表示，到此为止，我们对周期信号用傅立叶级数表示， 非周期信号用傅立叶变换表示。因为数学描述方法非周期信号用傅立叶变换表示。因为数学描述方法 的不一致，在某些情况下的不一致，在

18、某些情况下, , 会给我们带来不便。但会给我们带来不便。但 由于周期信号不满足由于周期信号不满足 Dirichlet 条件，因而不能直条件，因而不能直 接从定义出发，建立其傅立叶变换表示。接从定义出发，建立其傅立叶变换表示。 0 0 1 ( )()() 2 jtj tj t x tX jedede The Fourier Transformation of Periodic Signals 所对应的信号所对应的信号 0 ()2()X j 考查考查 这表明这表明周期性复指数信号的频谱是一个冲激周期性复指数信号的频谱是一个冲激。 于是当把周期信号表示为傅立叶级数时，因为于是当把周期信号表示为傅立叶

19、级数时，因为 0 ( ) jkt k k x ta e 就有就有 0 ()2() k k X jak 周期信号的傅立叶变换表示周期信号的傅立叶变换表示 0 ( ) jkt x te 0 ()2()X jk 若若 则则 这表明：周期信号的傅立叶变换由一系列冲激组这表明：周期信号的傅立叶变换由一系列冲激组 成，每一个冲激分别位于信号的各次谐波的频率处，成，每一个冲激分别位于信号的各次谐波的频率处， 其冲激强度正比于对应的傅立叶级数的系数其冲激强度正比于对应的傅立叶级数的系数 。 k a 例例1： 00 0 1 ( )sin 2 jtjt x ttee j 00 () ()()X j j ()X j

20、 0 0 j j 0 00 () ()()Xj 2 22 22 111 ( )( ) TT jkt T k TT at edtt dt TTT ()X j 0 0 0 00 0 1 ( )cos 2 jtjt x ttee 例例2： ( )() n x ttnT 例例3： 均匀冲激串均匀冲激串 TT2T2T0 ( )x t t 1 ()X j 02 T 2 T 2 T ( )() n x ttnT 22 ()() k X jk TT 22 ()() k X jk TT 例例4. 周期性矩形脉冲周期性矩形脉冲 1 0 0 2 2sin() 2 ()() k kT T Xjk kT 1 01 1

21、00 2 sin 22 Sa() k Tk TT akT TTk 1 0 21 2 T T ()X j 0 2 T 1 T 1 T0 1 ( )x t t 0 T 0 T 4.3 连续时间傅立叶变换的性质连续时间傅立叶变换的性质 讨论傅立叶变换的性质，旨在通过这些性质揭示讨论傅立叶变换的性质，旨在通过这些性质揭示 信号时域特性与频域特性之间的关系，同时掌握和信号时域特性与频域特性之间的关系，同时掌握和 运用这些性质可以简化傅立叶变换对的求取。运用这些性质可以简化傅立叶变换对的求取。 1. 线性线性: Linearity 则则( )( )()()ax tby taX jbY j Properti

22、es of the Continuous-Time Fourier Transform ( )(),( )()x tX jy tY j若若 2. 时移时移: Time Shifting 这表明信号的时移只影响它的相频特性，其相频这表明信号的时移只影响它的相频特性，其相频 特性会增加一个线性相移。特性会增加一个线性相移。 ( )()x tX j则则 0 0 ()() j t x ttX je 若若 3. 共轭对称性共轭对称性: Conjugate and Symmetry 若若 ( )()x tX j 则则 * ( )()x tXj * ()( ) j t Xjx t edt 所以所以 * ()

23、( ) j t Xjx t edt 即即 * ( )()x tXj 若若 是实信号，则是实信号，则( )x t * ( )( )x tx t 于是有于是有: * ()()X jXj 由由 ()( ) j t X jx t edt 可得可得 Re()Re()X jXj即即实部是偶函数实部是偶函数 虚部是奇函数虚部是奇函数 若若 () ()() j X j X jX je 则可得出则可得出 ()()X jXj()()X jXj 即：即：模是偶函数，相位是奇函数模是偶函数，相位是奇函数 若若则可得则可得()Re()Im()X jX jjX j Im()Im()X jXj 如果如果( )()x txt

24、即信号是偶函数。则即信号是偶函数。则 ()( ) j t X jx t edt ()( )() j tj xt edtxedtXj 表明：表明： 实偶信号的傅立叶变换是偶函数。实偶信号的傅立叶变换是偶函数。 表明表明 是实函数。是实函数。()X j 若若 即信号是奇函数，同样可以得出即信号是奇函数，同样可以得出:( )()x txt * ()()XjXj所以所以 * ()()X jXj又因为又因为 ()()X jXj 表明表明 是奇函数是奇函数 ()X j * ()()X jXj ()X j表明表明 是虚函数是虚函数 若若( )( )( ) eo x tx tx t则有则有: ()()() e

25、o X jXjjXj ( )() ee x tXj()Re() e XjX j ( )() oo x tjXj()Im() o XjX j 例例: 的频谱的频谱:( )u t ( )( )( ) eo u tu tu t 1 ( ) 2 e u t 1 0 ( )u t t 1/2 0 ( ) e u t t -1/2 1/2 0 ( ) o u t t 将将 分解为偶部和奇部有分解为偶部和奇部有( )u t 1 ( )Sgn( ) 2 o u tt Sgn( ) t 1, 1,0t 0t ( )( ) e u t 22 0 22 lim a j aj 1 ( )()u t j 0 Sgn(

26、)lim( )() atat a te u te ut 0 11 lim a ajaj Sgn( )tF 1 j 1 ( )Sgn( ) 2 o u tt 1 1 t Sgn( ) t at e at e 4.时域微分与积分时域微分与积分: Differentiation and Integration (可将微分运算转变为代数运算可将微分运算转变为代数运算) (将将 1 ( )() 2 j t x tX jed 两边对两边对 微分即得该性质微分即得该性质)t 由时域积分特性从由时域积分特性从( )1t 也可得到也可得到: 1 ( )( )u t j 1 ( )()(0) ( ) t xdX

27、jX j （时域积分特性）（时域积分特性） ( )()x tX j 则则 ( ) () dx t jX j dt 若若 5.时域和频域的尺度变换时域和频域的尺度变换: Scaling 当当 时，有时，有1a ()()xtXj 尺度变换特性表明：尺度变换特性表明：信号如果在时域扩展信号如果在时域扩展 a 倍，倍， 则其带宽相应压缩则其带宽相应压缩 a 倍，反之亦然。倍，反之亦然。这就从理论上这就从理论上 证明了时域与频域的相反关系，也证明了信号的脉证明了时域与频域的相反关系，也证明了信号的脉 宽带宽积等于常数的结论。宽带宽积等于常数的结论。 ( )()x tX j则则 1 ()()x atX j

28、 aa 若若 时域中的压缩（扩展）对应频域中的扩展（压缩）时域中的压缩（扩展）对应频域中的扩展（压缩） 6.对偶性对偶性: Duality 若若( )()x tX j则则()2()X jtx 2()() j t xXjt edt 2()() j t xXjt edt ()2()X jtx 1 ( )() 2 j t x tXjed 证明：证明： 也可由也可由()( ) j t X jx t edt 得到证明。得到证明。 1 ()()2() 2 j tj t X jtxedxed 根据根据 ()()xtXj 得得 0 0 ( ) () jt x t eX j 这就是这就是移频特性移频特性 例如例

29、如: : 由由 有对偶关系有对偶关系 利用时移特性有利用时移特性有 再次对偶有再次对偶有 ( )()x tX j ( )2()X jtx 0 0 ()2() jt Xj ttxe 0 0 2()2 () jt xt eX j 由对偶性可以方便地将时域的某些特性对偶到频域由对偶性可以方便地将时域的某些特性对偶到频域 由由()( ) j t Xjx t edt 得得 ()( ) j t d X jjtx t edt d 所以所以 ( )() d jtx tXj d 频域微分特性频域微分特性 该特性也可由对偶性从时域微分特性得出该特性也可由对偶性从时域微分特性得出: ( )()x tX j( )2(

30、)X jtx ( )() d jtx tX j d 由由()()xtXj有有 ()2() d X jtj x dt 利用利用时域微分特性时域微分特性有有 ()2()X jtx 对对 2()2() () d jtxtXj d 再次对偶得再次对偶得 频域微分特性频域微分特性 由时域积分特性，可对偶出频域积分特性由时域积分特性，可对偶出频域积分特性 ( )()x tX j()2()X jtx 2 2() ()2(0) () t x Xjdx j 利用利用时域积分特性时域积分特性 () 2 (0) ( )2() xt xtX jd jt 再次对偶再次对偶 ( ) (0) ( )() x t xtXjd

31、 jt ()()xtXj由由有有 频域积分特性频域积分特性 7. Parseval定理定理: 若若( )()x tX j则则 221 ( )() 2 x tdtX jd 这表明：信号的能量既可以在时域求得，也可这表明：信号的能量既可以在时域求得，也可 以在频域求得。由于以在频域求得。由于 表示了信号能量在表示了信号能量在 频域的分布，因而称其为频域的分布，因而称其为“能量谱密度能量谱密度”函数。函数。 2 ()X j 4.4 卷积性质卷积性质 The Convolution Property 一一. .卷积特性：卷积特性： 由于卷积特性的存在，使对由于卷积特性的存在，使对LTI系统在频域进系统

32、在频域进 行分析成为可能。本质上，卷积特性的成立正是行分析成为可能。本质上，卷积特性的成立正是 因为复指数信号是一切因为复指数信号是一切LTI系统的特征函数。系统的特征函数。 ( )()x tX j( )()h tH j 则则( )( )()()x th tX jH j 若若 1 ( )() 2 jt x tXjed 由由表明：表明： ()( ) j t H jh t edt 故有故有 可将可将 分解成复指数分量的线性组合，每个分解成复指数分量的线性组合，每个 通过通过LTI系统时都要受到系统系统时都要受到系统与与 对应的特征值对应的特征值 的加权。这个特征值就是的加权。这个特征值就是 ( )

33、x t j t e j t e 1 ( )( )* ( )()() 2 j t y tx th tX jH jed 所以所以()() ()Y jX jH j 由于由于 的傅氏变换的傅氏变换 就是频率为就是频率为 的复指的复指 数信号数信号 通过通过LTI系统时，系统对输入信号在系统时，系统对输入信号在 幅度上产生的影响，所以称为幅度上产生的影响，所以称为系统的频率响应系统的频率响应。 ( )h t()H j jt e 鉴于鉴于 与与 是一一对应的，因而是一一对应的，因而LTI系统系统 可以由其频率响应完全表征。由于并非任何系统的可以由其频率响应完全表征。由于并非任何系统的 频率响应频率响应 都

34、存在，因此用频率响应表征系统都存在，因此用频率响应表征系统 时，一般都限于对稳定系统。因为，稳定性保证了时，一般都限于对稳定系统。因为，稳定性保证了 ( )h t()H j ()H j dtth| )(| 二二. . LTI系统的频域分析法系统的频域分析法: : 根据卷积特性根据卷积特性, ,可以对可以对LTI系统进行频域分析系统进行频域分析, , 其过程为其过程为: : 1. 1. 由由 2. 2. 根据系统的描述，求出根据系统的描述，求出 3.3. 4. 4. ( )()x tXj ()H j ()()()Y jX jH j 1 ( ) ()y tY j F 4.5 相乘性质相乘性质 Th

35、e Multiplication Property 利用对偶性可以利用对偶性可以从卷积性质得出相乘性质从卷积性质得出相乘性质 11 ( )()x tXj 11 ()2()Xjtx 22 ( )()x tXj 22 ()2()Xjtx 2 1212 ()()4()()XjtXjtxx 若若 11 ( )()x tXj 22 ( )()x tXj 则则 1212 1 ( )( )()() 2 x tx tXjXj 2 1212 4( )( )2()()xt xtXjXj 两个信号在时域相乘，可以看成是由一个信号两个信号在时域相乘，可以看成是由一个信号 控制另一个信号的幅度，这就是控制另一个信号的幅

36、度，这就是幅度调制幅度调制。其中。其中 一个信号称为一个信号称为载波载波，另一个是，另一个是调制信号调制信号。 例例1:( )()x tX j 0 0 2() jt e 0 0 ( ) () jt x t eX j 1212 1 ( )( )()() 2 x tx tXjXj 移频性质移频性质 例例2. 正弦幅度调制正弦幅度调制: : 0 ( )(),( )coss tS jp tt ( )( ) ( )r ts t p t ( )p t ( )s t( )r t 1 0 M M ()S j ( )r t t ( )s t 00 () ()()P j 0 ( ) 0 0 ()P j 00 1

37、()() ()() 2 R jS j 00 11 () () 22 S jS j 1/2 0 0 ()R j 正弦幅度调制等效于在频域将调制信号的频谱搬正弦幅度调制等效于在频域将调制信号的频谱搬 移到载频位置。移到载频位置。 例例3. 同步解调同步解调: 000 1 ( )cos() ()() 2 r ttR j 00 111 () (2) (2) 244 S jS jS j 1/2 1/41/4 M M 0 2 0 2 此时，用一个频率特性为此时，用一个频率特性为 的系统即可从的系统即可从 恢复出恢复出 。 ()H j ( )r t( )s t ()H j 2 0 c c 只要只要 0 2

38、McM 即可。即可。 具有此频率特性的具有此频率特性的LTI系统称为系统称为理想低通滤波器理想低通滤波器。 例例4. 中心频率可变的带通滤波器：中心频率可变的带通滤波器： ( )x t( )y t( )r t ( )w t 0 jt e 0 jt e c ()X j ()W j c c ()F j A 0 0c 0c ()Y j c 1 0 c ()Y j 理想低通的频率响应理想低通的频率响应 0 2 c 1 ()H j 等效带通滤波器等效带通滤波器 相当于从相当于从 中直接用一个带通滤波器滤出的中直接用一个带通滤波器滤出的 频谱。表明整个系统相当于一个中心频率为频谱。表明整个系统相当于一个中

39、心频率为 的的 带通滤波器，改变带通滤波器，改变 即可实现中心频率可变。即可实现中心频率可变。 ()X j 0 0 4.6 傅立叶变换的性质与傅立叶变换对列表傅立叶变换的性质与傅立叶变换对列表 (自学自学) 工程实际中有相当广泛的工程实际中有相当广泛的LTI系统其输入输出关系统其输入输出关 系可以由一个线性常系数微分方程描述。一般形式系可以由一个线性常系数微分方程描述。一般形式 的的LCCDE是是: 4.7 由线性常系数微分方程表征的系统由线性常系数微分方程表征的系统 00 ( )( ) kkNN kk kk kk d y td x t ab dtdt 一一. 由由LCCDE描述的描述的LTI

40、系统的频率特性系统的频率特性: Systems Characterized by Linear Constant- Coefficient Differential Equations 由于由于 是一切是一切LTI系统的特征函数，因此系统的特征函数，因此 ，当，当 系统的输入为系统的输入为 时，系统所产生的响应就时，系统所产生的响应就 是是 。表明在。表明在 的情况下，的情况下， 求解求解LCCDE即即可得到可得到 。但是这种方法太麻。但是这种方法太麻 烦，很少使用。烦，很少使用。 ( )() j t y tH je ()H j jt e ( ) j t x te ( ) j t x te 对对LCCDE两边进行傅立叶变换有：两边进行傅立叶变换有： 00 ()()()() NM kk kk kk ajY jbjX j 由于由于()()()Y jX jH j 可见由可见由LCCDE描述的描述的LTI 系统其系统其频率特性是一频率特性是一 个有理函数个有理函数。由此可以看出，对由。由此可以看出，对由 LCCDE 描述描述 的的LTI系统，当需要求得其系统，当需要求得其 时时(比如时域分析比如时域分析 时时) ，往往是由，往往是由 做反变换得到。做反变换得到。 ( )h t ()H j 0 0 () () () M k k k N k k k bj