第十四章结构动力学

1、一、结构动力计算的内容与目的一、结构动力计算的内容与目的 静力荷载静力荷载施力过程缓慢，忽略惯性力施力过程缓慢，忽略惯性力 的影响。的影响。 静力荷载作用静力荷载作用大小、方向、作用点确定大小、方向、作用点确定 结构处于平衡状态结构处于平衡状态 内力、变形、位移确定（不随时间变化）内力、变形、位移确定（不随时间变化） 动力荷载的特征动力荷载的特征： 荷载的大小、方向荷载的大小、方向（作用位置（作用位置*）随时间而变化随时间而变化 荷载变化较快，使结构产生不容忽视的加速度荷载变化较快，使结构产生不容忽视的加速度 动力计算动力计算： 考虑惯性力考虑惯性力达朗贝尔原理达朗贝尔原理（动力静力平衡）（动

2、力静力平衡） 内力、位移、荷载均为时间的函数内力、位移、荷载均为时间的函数 （瞬间（瞬间(t)的平衡）的平衡） 周期荷载（简谐）周期荷载（简谐）周期荷载（非简谐）周期荷载（非简谐） 冲击荷载（冲击荷载（急剧增大、急剧减少急剧增大、急剧减少） 随机荷载随机荷载 11 11 1 k Sky Imy 0myky 2 0yy mm k1 ymy Imy 0m yy k 1 0myky 00 yy ）（ (0)0 yy 01 yC 0 2 y C 0 ( )0t y yy cos tsin t 则则 y(t)= a sin(t+) (t) = acos(t+) 0 0 yasin y acos 2 2

3、02 0 ya 0 0 y tg y 令令 ( ) 2 t yasint () 2 t T asinty 自振周期自振周期 2 T 每隔一段时间就重复原来运动每隔一段时间就重复原来运动 单位：秒（单位：秒（S） 2 1 T f 单位时间内的振动次数单位时间内的振动次数 ， 单位：单位： 1秒（秒（1/S） f T 2 2 2秒内完成的秒内完成的 振动次数振动次数 频率频率 园频率（频率）园频率（频率） st g W g mm k 1 重力静位移 重力 W mgW st gg W m k m T st 222 周期的重要性质：周期的重要性质： （1）只与结构本身的只与结构本身的性质性质 m、k有

4、关有关 结构固有的动力特性，与外界干扰无关结构固有的动力特性，与外界干扰无关 外界干扰只能影响振幅和初相角；外界干扰只能影响振幅和初相角； （2） k m 1 （148） 形状相似，周期相差很大动力性能相差很大 结构 形状不同，周期相近动力性能相近 （4） 1/st ， 质点放在结构上产生最大位移处，质点放在结构上产生最大位移处， 可以得到最小频率和最大周期可以得到最小频率和最大周期 EI l 48 3 1 EI l 768 7 3 2 EI l 192 3 3 3 1 1 481 ml EI m 3 2 7 768 ml EI 3 3 192 ml EI 计算计算 251. 11 321 1

5、23 k （） 3 1 1 2 2 48 ml T EI EI ml T 768 7 2 3 2 EI ml T 192 2 3 3 （2）刚度法）刚度法 a. 加链杆约束加链杆约束约束动力自由度；约束动力自由度； b. 给单位位移；给单位位移； c. 求约束力求约束力刚度刚度k。 例例2 刚架，梁质量刚架，梁质量m，刚度，刚度； 柱柱(忽略质量忽略质量)刚度刚度EI，高，高h。 试求试求自振频率自振频率和和周期周期 32 2412 2 h EI h i k 3 24kEI mmh EI mh T 24 2 3 计算计算 k * （计算（计算） 例例3 例例2中，若初始位移中，若初始位移，初始

6、速度，初始速度0 试求试求振幅值振幅值及及 t=1s时的时的位移值位移值 解：上例已计算解：上例已计算 3 24 mh EI ( ) sin() t yat 2 2 22 00 0 2 yv ay 0 ( )0t y yy cos tsin t SinCosy t 0 )1( 2、考虑阻尼作用时的自由振动、考虑阻尼作用时的自由振动 阻尼（力）阻尼（力）：振动过程中各种阻力的作用：振动过程中各种阻力的作用 使自由振动逐渐衰减而不能无限延续使自由振动逐渐衰减而不能无限延续 共振时振幅并非无限大共振时振幅并非无限大 （外部介质）（外部介质）空气和液体的阻力、支承的摩擦空气和液体的阻力、支承的摩擦 （

7、内部作用）（内部作用）材料分子之间的摩擦和粘着性材料分子之间的摩擦和粘着性 阻尼的种类：阻尼的种类： （1）粘滞阻尼力）粘滞阻尼力 R = - （线性阻尼）（线性阻尼） 两个物体的相对滑动面之间有一层连续油膜存在时两个物体的相对滑动面之间有一层连续油膜存在时 或物体以低速在粘性液体内运动或物体以低速在粘性液体内运动 （2）流体阻尼）流体阻尼 R = - cv2 固体以较大速度在流体介质内运动固体以较大速度在流体介质内运动 （例（例3m/s以上）以上） （3）摩擦力）摩擦力 R kN 两个干燥的平滑接触面之间的摩擦力两个干燥的平滑接触面之间的摩擦力 （4）结构阻尼）结构阻尼 材料之间的材料之间的

8、内摩擦内摩擦 粘滞阻尼力计算简单，其余的可化为等效粘滞阻尼力粘滞阻尼力计算简单，其余的可化为等效粘滞阻尼力 考虑阻尼的考虑阻尼的振动方程振动方程 I + R + S = 0 其中：其中：R = - 11 0myyk y 有阻尼的有阻尼的自由振动微分方程自由振动微分方程 2 20yyy 令 2 11 ,22 k k mm （169）* 2m 即： 设解 ( ) rt t yCe 22 20 rtrtrt Cr eCreCe 22 20 rt rrCe 特征方程 22 20rr 2 1,2 1r 2 20yyy （1） 1（小阻尼）（小阻尼） 令 2 1 （1610） 1 2 ri 、 12 (

9、)12 rtr t t ybeb e 12 itit beb e 12 titit ebeb e ( )12 t t yeBcostB sint 有阻尼的自振频率有阻尼的自振频率 2 1,2 1r 设初始条件设初始条件: t = 0, y = y0、 = 0 00 102 , yy ByB ( )12 12 t t t yeB costB sint eB sintB cost 00 0122 yy yBBB 0 ( 0 )0 (cos) t t yet yy sityn 0 012 00yeBcosB sin ( )12 t t yeBcostB sint ( ) () t t yb esin

10、t 22 00 0 () yy by 0 00 y tg yy 写成写成 其中其中 (14-12) 式（式（1412）的位移）的位移 时间曲线如（图时间曲线如（图149） 所示：所示： 低阻尼低阻尼体系自由振动体系自由振动y-t 曲线曲线逐渐衰减逐渐衰减的正的正 弦（波动）曲线弦（波动）曲线 a.阻尼对频率（周期）的影响阻尼对频率（周期）的影响 2 1 2 1 T T T T 0.2 TT 阻尼比阻尼比阻尼的基本参数：阻尼的基本参数： k 2 0.2, 1 0.2 0.960.98 t be b、阻尼对振幅的影响、阻尼对振幅的影响 振幅随时间逐渐衰减振幅随时间逐渐衰减 2 T 后 一周期一周期

11、 1 n n t T n tT n ybe e ybe 相隔相隔j个周期：个周期： 1 2 ln2 n n y T y n 1 1 ln 2 n y y 1 ln n n y y 振幅对数递减量振幅对数递减量 1 ln 2 n nj y jy 若 0.2,1 n 1 ln 2 nj y jy 取对数：取对数： （2）1 （大阻尼），（大阻尼）， 此时特征根此时特征根r1、r2为一对重根（负实数），为一对重根（负实数）， 通解为：通解为： 22 12 (11 ) t yeCchtC sht 这是非周期函数，故不发生振动，这是非周期函数，故不发生振动， 且受初始干扰偏离平衡位置后且受初始干扰偏离平

12、衡位置后 返回中心位置更慢返回中心位置更慢 （3）1（临界阻尼）（临界阻尼） 微分方程解微分方程解 12 t yeCC t 特征方程根特征方程根 010 0yCyyt 2120 210 | tt t yC eCC t e CCy 200 Cyy ( )00 1y t t yytt e y t 曲线仍是有衰减性质曲线仍是有衰减性质 ， 但不具有波动性质但不具有波动性质 （如图）（如图） ( )00 1y t t yytt e 0 y0 试题试题 21 m 由：令 11 22 cr mmk 临界阻尼系数临界阻尼系数 使运动不再具有波动性质使运动不再具有波动性质 所对应的阻尼系数最小值所对应的阻尼系

13、数最小值 阻尼比：阻尼比： cr 反映阻尼情况的基本参数反映阻尼情况的基本参数 1 ,ln 2 n nnj nj y yy jy 实测相隔实测相隔j个周期的振幅个周期的振幅计算计算： ( ) 0 t IRSP 11( ) t myyk yP 2 ( ) 1 2 m t yyyP 0 t12 t yeB costB sint （ ） （1418） t m F yyysin2 2 特解： 12 sincosyCtCt 12 cossinyCtCt 22 12 sincosyCtCt 代入方程： 22 12 22 12 2()cos ()2sinsin CCt F CCtt m 22 12 22 1

14、2 20 2 CC F CC m 对于任意的t上式均成立，一定有相应系数相等： 22 12 22222 22 22222 4 2 4 F C m F C m 全解： 自由振动：自由振动：频率频率，振幅衰减；，振幅衰减； B1、B2由初始条件确定由初始条件确定 强迫振动：强迫振动：频率频率，C1、C2与与F有关有关 ( )12 12 sincos t t yeBCostB Sint CtCt 可解： 10022 22222 22 22 00 222 2222222222 00 21 2 4 2 44 F ByyC m yyFF B mm yy CC 设初始条件设初始条件: t = 0, y =

15、y0、 = 0 00 0 2 ) 2 2222 ( 2 2 sins2co st t s t t t yecostsint costsint tt ey yy y y 过渡阶段过渡阶段 平稳阶段平稳阶段 22 12 22222 22 22222 4 2 4 F C m F C m ( )12 12 sincos t t yeBCostB Sint CtCt 1 22 2 1 0 F C m C ( ) 22 1 sin sin t F yt m At 振幅（最大位移）振幅（最大位移） ( )max 2 2 1 1 1 tst F Ayy m 动力（位移）系数动力（位移）系数 ( )max 2

16、2 1 1 t st y y 最大动位移 的比值 最大静位移 （1422） 0 0，动力位移与动力荷载同相，动力位移与动力荷载同相 ， 0，动力位移与动力荷载反相动力位移与动力荷载反相 单自由度，干扰力与惯性力作用点重合，单自由度，干扰力与惯性力作用点重合， 内力动力系数位移动力系数内力动力系数位移动力系数 的特性（由图示） 101 （）， 动力按静力作用 P(t)变化非常慢 （与自振周期T相比） 2 011 （ ）， 且当 ( ) 31 t y （ ）， 共振 ，不是一开始就很大形成过程由小逐渐变大 大，但也是很大的数会由于阻尼共振时振幅不 实际 41| （ ） 2 2 1 1 / | 1

17、1 22 12 22222 22 22222 4 2 4 F C m F C m ( ) (cossinsincos) sin() t yAtt At cos sin A A 22 12 2 22222 11 2 22 1 1 4 2 () F ACC m C tgtg C 振幅振幅 相位差相位差 2 2 2 222 22 222 22 1 4 1 1 4 1 st F Ay m 动力系数动力系数 与与/有关，与阻尼比有关，与阻尼比有关有关 的关系曲线： （图1412） 讨论： 当：01时，曲线渐趋平缓， 1 附近，峰值下降显著 研究共振， 阻尼影响不容忽略 若 0 1 实际共振 （1） ,0

18、0 ， tFkyycymsin tFkysin 动荷载主要与弹性力平衡 平衡反相 （ )( P S t k F ysin y与P(t)同相位 2 222 22 1 4 1 1 22 2 ()tg 1，静力荷载，静力荷载 振动慢，惯性力、阻振动慢，惯性力、阻 尼力小尼力小 （2） ,00,0,tg ， y很小的颤动 ky,c很小,振动快，惯性力大 tFymsin 动荷载主要与惯性力平衡 反相与 I Pmij fP 22 sin Ist fmyytmy 与位移 sin st yyt同相位 反相位与 )( Py sinmycykyFt 2 222 22 1 4 1 1 22 2 ()tg （3） 1

19、,90tg ， 增加快 （共振） ( ) 2 t tPF 时 荷载值为最大时， 位移、加速度最小 0yyy、， 最大， sinmyykyFt sinyFt 动荷载主要与阻尼力平衡 共振时，阻尼力起重要作用，不容忽略 2 222 22 1 4 1 1 22 2 ()tg 0.75/1.25范围范围，阻尼对位移影响很大；，阻尼对位移影响很大； 阻尼较小时，共振现象仍很危险；阻尼较小时，共振现象仍很危险； 工程设计，工程设计， 自振频率自振频率应比应比 大大2530% 。 1112( ) 1112( ) () t t yIP myP 1112( ) 12 11( ) 11 ( )2 12 11 t

20、t t myyP myk yP P yy m （1428） 瞬时冲量的动力反应 动量定理：质点质点(m)的动量(mv)在某一时间间隔内的 改变量，等于同一时间内的作用力的冲量（Pt）（图） tPmvmv 12 t=0, y=0, v1=0 t, v2=v0 mv0=Pt 令为令为 Q（瞬时冲量）（瞬时冲量） 0 Q v m 冲量作用时间很短，忽略t ，相当于物体： 在 (0)(0)0 00, Q tyvv m 时的自由振动 0 ( ) tt t vQ yesintesint m tQPt时刻有 （坐标平移），则 （1411） ( ) () t t Q yesint m 一般动荷载的动力反应一般

21、动荷载的动力反应 (t)加载过程视为一系列瞬时冲量组成加载过程视为一系列瞬时冲量组成 t=时，时，P()在微分时段在微分时段d内冲量内冲量ds=P()d 微分冲量对动力反应的贡献：微分冲量对动力反应的贡献： （时刻冲量对时刻冲量对t时的动力反应）时的动力反应） ( )()t P d dyesint m 动力反应动力反应y(t)为为0t时刻所有微分反应的叠加时刻所有微分反应的叠加 () ( )( ) 0 1 t t t yP esintd m ( )( ) 0 1 t t yP sintd m 若有若有y0、v0， 则则 t t dtSinP m tSin v tCosyy 0 0 0)( )(

22、 1 任意荷载任意荷载P作用的动力响应作用的动力响应 （1）突加荷载 0 00 0 )( tP t Pt t t dtSinP m y 0 0)( 1 dtSin m P t 0 2 0 t tCos m P 0 2 0 | tCos m P 1 2 0 tCosyst1 0 2 0 P m P yst t=(2n-1)ymax=2yst 2 max st y y 实例图实例图 （2）短时荷载）短时荷载 ut utP t Pt 0 0 00 0)( 动力反应分二段考虑动力反应分二段考虑 0 0 00 11() 2sinsin 22 stst st st yycos tycostt ycos t

23、 ttcos t tt yt t 1 st yycos t 当当0 t t0 时时 当当t0 T/2 时，最大位移发生在前一阶段：时，最大位移发生在前一阶段：2 2 0 2sin 2 t 以以t0时的位移和速度时的位移和速度 为初始位移和初始速度为初始位移和初始速度 的的自由振动自由振动 1、振动微分方程建立、振动微分方程建立 （1）刚度法（位移法）刚度法（位移法） a) n个质量个质量n个位移；个位移； b) 附加链杆：附加链杆： 反力惯性力；反力惯性力； c) 令附加链杆发生令附加链杆发生实际位移实际位移 反力反力=Ri 刚度系数：刚度系数： d) Yi = 1 引起的反力引起的反力 ki

24、i、kji e) 同理有同理有kij、kjj 1122iiiinn Rk yk yk y 叠加叠加(b)、(c)，附加链杆的反力之和，附加链杆的反力之和0（原结构）（原结构） 0 iii m yR)2 , 1(ni 且且 1122iiiinn Rk yk yk y 即有即有 0 2211 niniiii ykykykym )2 , 1(ni n个自由度体系个自由度体系振动方程振动方程 0 0 0 2 1 11 22221 11211 2 1 2 1 nnnnn n n nn y y y kkk kkk kkk y y y m m m (14-43) 0MYKY （2）柔度法（力法）柔度法（力法

25、） a) n个质量个质量n个位移；个位移； 只受惯性力只受惯性力-mi （作为静力荷载）（作为静力荷载） 柔度系数：柔度系数： b) Pi = 1 引起的位移引起的位移 ii、ji c) 同理有同理有ij、jj 思路：考虑弹性体系的某一思路：考虑弹性体系的某一质量质量mi ，在自由振动过程，在自由振动过程 中任一时刻中任一时刻t的的位移位移yi ，应当等于体系中应当等于体系中各个质量各个质量的惯性的惯性 力力-mj (j=1,2n)共同作用下共同作用下所产生的静力位移。所产生的静力位移。， ( )111222 ()()() i tiiinnn ym ym ym y 0 )()(222)(111

26、 tinnintiti yymymym 0 0 0 2 1 2 1 2 1 21 22221 11211 nnnnnnn n n y y y y y y m m m )2 , 1(ni n个位移方程：个位移方程： 矩阵形式：矩阵形式： （1444） 0MYY M质量阵质量阵， （集中质点）对角阵（集中质点）对角阵 柔度阵柔度阵，对称，正定，非奇异（结构），对称，正定，非奇异（结构） 1 K 柔度矩阵与刚度矩阵柔度矩阵与刚度矩阵互为逆矩阵互为逆矩阵 振动微分方程：振动微分方程： 0 yyM 设解设解 )sin(tYy 0)sin()sin( 2 tYtYM 0)sin() 2 tYMI 对任意对

27、任意,)sin(tt均成立，则均成立，则 0)( 2 YMI 0) 1 ( 2 YIM 振型方程：振型方程： 其中：其中：I为单位矩阵，为单位矩阵，Y=Y1 Y2 YnT为振幅列向量为振幅列向量 0)( 2 YMI 齐次方程，若齐次方程，若Y有非零解则：有非零解则： 频率（特征）方程频率（特征）方程 0 1 2 IMD 即即 2 1 0 IMD 展开展开 0 2211 2222121 1212111 nnnnn nn nn mmm mmm mmm 关于关于的的n次方程次方程 )2 , 1(ni i )2 , 1(ni i （1447） 2 1 0 IMD （1447） ( )( ) sin()

28、 kk iikk yYt （i=1,2, n ） 即各质点按同一频率即各质点按同一频率k作同步简谐振动，作同步简谐振动， 则各质点的位移的比值：则各质点的位移的比值： y1:y2: :yn = Y1:Y2: :Yn为定值（不随时间变化）为定值（不随时间变化） 即任意时刻，结构振动保持同一形态，像单自由度振动。即任意时刻，结构振动保持同一形态，像单自由度振动。 将将 2 1 k k 代入振型方程 ( ) ( )0(1,2) k k MIYkn 由于由于D=0，n个方程中只有个方程中只有n-1个方程线性无关，个方程线性无关， 不能求得不能求得Y(k)1,Y(k)2,Y(k)n的确定值，的确定值，

29、但可以确定相对比值但可以确定相对比值（主）振型（主）振型。 任取任取n-1个方程，令个方程，令Y(k)1 1规准化振型规准化振型 ( ) k Y(1,2)kn ( )( ) sin() kk kk yYt ( ) 1 sin()(1,2) n k ikikk k yA Ytin (1)(2)( ) 1111 2222 111222 sin()sin()sin() n nnn nnnn yYYY yYYY AtAtAt yYYY ( ) 1 sin() n k kkk k yA Yt ( ) 1 sin()(1,2) n k ikikk k yA Ytin （1）两个自由度）两个自由度 频率方程

30、 0 1 1 2 1 2221 1211 m m D 0 222121 212111 mm mm 0)( 212112222111 mmmm 2 1112221122122112 ()()0mmm m 2 111122211122211 22122112 2 1 ()()4() 2 mmmmmm 2, 1 2, 1 1 振型方程 (k) 1111221 2112222 0 0 k k mmY mmY 取第一方程 1 ( ) 122122 ( ) 2111 111 2 1 k k k k Y mm Ym m （k=1、2） 写成列阵形式：写成列阵形式： ( ) 1( ) 2 k k Y Y Y

31、例例143 求 )( i i Y、 解 1122 3 1122 2 2 3 93 9 1 222 24 2 393 9243 lll EI llll EI 1221 1122 2 2 3 93 9 12 21 () 2 3 9 3 93 9 1221 2 () 2 3 93 93 9 lll EI llll llll 33 8587 2 3 9 3 9486 ll EIEI 33 11112 3 47 () 243486 15 15 486 ll mm EIEI ml EI 33 21112 3 47 () 243486 1 486 ll mm EIEI ml EI )(442 2 1 22

32、12 2 11 22 111121 mmm ， mm 1211 取较大的为取较大的为1，对应，对应1为较小的为较小的 1 3 1 1 5.69 EI ml 2 3 2 1 22 EI ml 振型 1 1 158 7 486 15 243 4 486/7 33 3 21 11 EI ml m EI l mEIl Y Y 1 1 18 7 486 1 243 4 486/7 33 3 22 12 EI ml m EI l mEIl Y Y 频率 解解II EI l 243 4 3 2211 EI l 486 7 3 2112 频率方程 0 1 1 2 222121 212 2 111 mm mm

33、0 1 243 4 486 7 486 71 243 4 2 33 3 2 3 m EI l m l m EI l m EI l 令0 87 78 486 1 3 2 EI ml 1 15 1416 2 1 1541616 2 1 01516 049)8)(8( 2 2 1 2 3 2 4861 ml EI 频率 1 333 1 2 2 486 5.69 48615 22.05 486 1 EIEIEI mlmlml 正交性 0 1 1 1 1 11 2 1)2()1 ( mm m m YMY T 1 1 158 7 8 7 1 1 1 111 212 21 11 m m Y Y 1 1 18

34、 7 8 7 222 12 Y Y 振型 0yKyM M质量阵，质量阵， （集中质点）对角阵（集中质点）对角阵 K刚度阵，对称，正定，非奇异（结构）刚度阵，对称，正定，非奇异（结构） 设解设解 n Y Y Y YtYy 2 1 )sin( )sin( 2 tY y 0)sin()( 2 tYKM 对任意的对任意的t（即（即 )sin(t ）等式均成立则：）等式均成立则： 2、按刚度法求解、按刚度法求解 振型方程振型方程0)( 2 YMK 齐次方程非零解齐次方程非零解系数行列式系数行列式D=0 频率（特征）方程频率（特征）方程 0 2 MK 频率方程频率方程关于关于2的的n阶代数方程（阶代数方程

35、（n为自由度数）为自由度数） 可解可解n个根个根 )2 , 1( 2 ni ii 频率向量频率向量w：由小到大排列：由小到大排列)2 , 1(ni i 其中其中1基本频率或第一频率基本频率或第一频率 0)( 2 YMK i 由于由于 0( 2 MKD i n个方程线性相关，任取个方程线性相关，任取n1个方程可解（取个方程可解（取Y11） i 阶振型：阶振型： )2 , 1( 21 )( niYYYY T niii i 无穷多组解无穷多组解 niii i CYCYCYYC 21 )( 标准化主振型标准化主振型 )( i Y （一）两个自由度体系（一）两个自由度体系 矩阵形式：矩阵形式： 0 0

36、2 1 2 2 2221 121 2 11 Y Y mkk kmk 即：即： 0 2 YMK 齐次方程有非零解：齐次方程有非零解： 0 2 2 2221 121 2 11 mkk kmk D 0 2 MK 频率方程（特征方程）频率方程（特征方程） 方程的两个根：方程的两个根：21、 、2 （ （16-58） 21、 、2均 均0，所以两个自由度体系共有二个自振频率，所以两个自由度体系共有二个自振频率 1基本（第一）圆频率基本（第一）圆频率最小圆频率最小圆频率 2第二圆频率第二圆频率 22 1112221221 222 112211221221 1212 22 1122112211221221

37、12121 1 2 2 ()()0 ()()0 1 ()()4 2 kmkmk k kkk kk k mmm m kkkkk kk k mmmmm m 振型方程，代入振型方程，代入i ， 由于由于D=0，两个方程线性相关（两组系数成比例），两个方程线性相关（两组系数成比例）， 只有一个独立方程任取其一，可得：只有一个独立方程任取其一，可得： 0)( 2121 2 11 iiii YkYmk 主振型：主振型： 1 2 11 12 2 1 mk k Y Y ii i 振幅之比振幅之比 第一振型（基本振型）第一振型（基本振型） 1 2 111 12 21 11 1 : mk k Y Y 第二振型第二

38、振型 1 2 211 12 22 12 2 : mk k Y Y 例例145 【解】【解】 1、K M 2、频率方程、频率方程 i 3、振型方程、振型方程 Y(i), 3 620 24 231 011 EI K l 200 01.50 001 Mm 2 3 6220 24 23 1.51 011 EI KM l 3 24 ml EI 1、K、M： 刚度矩阵刚度矩阵 质量矩阵质量矩阵 式中：式中： 6220 23 1.510 011 32 123 3182780 0.392,1.774,3.834 11 33 22 33 33 33 24 3.067 24 6.525 24 9.592 EIEI

39、 mlml EIEI mlml EIEI mlml 2、频率方程：、频率方程： 频率：频率： 试算法：试算法： ( ) 1 2 3 62200 23 1.510 0110 k k k k Y Y Y (1) 1 2 3 5.126200 22.41210 010.6080 Y Y Y (1) 2 (1)(1) 23 5.21620 22.4120 Y YY (1) 2 (1)(1) 32 2.608 22.4124.290 Y YY 3、振型方程、振型方程 第第k阶：阶： kk k K=1 1 1=0.392=0.392 令令Y11， 取前取前2个方程个方程 (1) 1 (1) 2 3 1 2

40、.608 4.290 Y YY Y (2) 1 (2) 2 3 1 1.226 1.584 Y YY Y (3) 1 (3) 2 3 1 0.834 0.294 Y YY Y 同理，可求第二、三振型同理，可求第二、三振型: 图图1425MSSolver 4、主振型的正交性、主振型的正交性 振型方程振型方程 2 () 0KMY 设体系具有设体系具有n个自由度，个自由度， 两个不同的自振频率对应二个振型向量。两个不同的自振频率对应二个振型向量。 ( ) 12 , kT kkknk YYYY ( ) 12 , eT eeenl YYYY ( )2( ) kk k KYMY ( )2( ) ee e

41、KYMY ( )( )2( )( ) eTkeTk k YKYYMY ( )( )2( )( ) kTekTe e YKYYMY （1） （2） 第二式两侧同时取转之置：第二式两侧同时取转之置： ( )( )2( )( ) eTTkeTTk e YKYYMY MMKK TT （1）（）（2） 22( )( ) 0 eTk ke YMY ( )( ) 0 eTk ke keYMY 对于质量阵对于质量阵M，不同频率的主振型彼此正交，不同频率的主振型彼此正交 ( )( ) 0 eTk YMY 对于刚度阵对于刚度阵K，不同频率的主振型也是彼此正交，不同频率的主振型也是彼此正交 0 )()( kTe Y

42、KY （1460） （1461） ( )( )2( )( ) eTkeTk k YKYYMY （1） （2） (1)(2) 21 1 2.6084.2901.51.226 11.584 1 2 3.9124.2901.226 1.584 (2 3.912 1.226 4.290 1.584) 0.0010 T YM Ym m m m 1 12 2 1 1 sinsin iiiin niP k iPijjiP j k iPijj j yIIIy yPtt P 图图1426， n个集中质量，个集中质量， k个简谐周期荷载个简谐周期荷载 Pjsint， 位移：位移： 1 12 2 1 1 sinsi

43、n iiiin niP k iPijjiP j k iPijj j yIIIy yPtt P 1 2 12iPiiik k P P P 11121111111211 21222222212222 1212 *1* sin s nk nk nnnnnnnnnnkk kn k myyP myyP t myyP MyyP in t tSinYy 111211111 212222222 1 2 2 2 () () sinsin sinsin nP nP nnnnnnnnP P mYY mYY mYY MYY tt tt I=-M I 纯强迫振动的解：纯强迫振动的解： （14-62） 1112( ) 1

44、628 t myyP（ ） 1 0 2 1 0 2 02 02 sinsin 1 0 1 ()0 P IMY IMY ItMyt YMI MI 2 22 () 11 ()0 P P MEY MEY 对任意的对任意的t成立：成立： 振幅方程，可解振幅振幅方程，可解振幅Y。 代入振动方程，可得各质点的惯性力：代入振动方程，可得各质点的惯性力： 惯性力幅值惯性力幅值I0。位移、惯性力和干扰力同时最大。位移、惯性力和干扰力同时最大。 （1464） （1465） 1 0 2 1 ()0 P MI 1 0 2 1 ()0 P MI 01 11121311 0 21222322 2 20 31323333

45、2 1 11 ()0 1 P P P m I I m I m 其中，其中，ij、iP iP， ， 与力法中求解相同与力法中求解相同 P=0P=0，P P，00T T， 且且P P作用于质点。作用于质点。 1 01 2 1 () 0.971 0.764 0.023 P IM P 000 112233P MI MI MI MM 惯性力幅值惯性力幅值 最大动力弯矩图最大动力弯矩图 (p90)刚度法： n个自由度结构，各干扰力作用于质点（图（图1426） 振动方程： PyKyM 简谐荷载： PF sin t 平稳振动阶段：质点作简谐振动 yY sin t 振幅方程 2 kMYF 设 MkD 2 0 （

46、与频率方程形式相同） 若D00 即 1 2 1 2 Y sin tKMF sin t YKMF 若 i D即0 0 （与任一频率重合）有几种情况 ni2 , 1 Y 共振 02 02 1 2 2 1 202 sinsin 1 () () IItMyMYt IMY KMMYF KMEIF 惯性力惯性力 （1469） 可解惯性力幅值可解惯性力幅值I0 2 kMYF（1468） 近似法计算结构的较低频率近似法计算结构的较低频率 工程实际问题工程实际问题 1、能量法求第一频率、能量法求第一频率 动能动能质量和速度质量和速度 应变能应变能结构变形结构变形 能量守恒原理：能量守恒原理：一个无阻尼弹性体系自

47、由度振动时，一个无阻尼弹性体系自由度振动时， 任一时刻的总能量（动能与应变能之和）应当保持不变任一时刻的总能量（动能与应变能之和）应当保持不变 ( )( )tt VU常量 结构自由振动：结构自由振动： 最大振幅最大振幅V=0，Umax 静力平衡位置静力平衡位置Vmax，U0 maxmax UV 梁的自由振动梁的自由振动 位移位移 ( . )( )x tx yY sint 速度速度 ( . )( )x tx vyY cost 动能动能 2222 ( )( )( ) 00 11 22 ll xxx Vmy dxcostm Y dx 22 max( )( ) 0 1 2 l xx Vm Y dx 结构弯曲应变能结构弯曲应变能 2 2 ( , ) 00 22 ( ) 0 11 22 1 2 ll x t l x M UdxEI ydx EI sintEI Ydx 2 max( ) 0 1 2 l x UEI Ydx maxmax UV能量守恒能量守恒 222 ( )( )( ) 00 11 22 ll xxx m Y dxE