高中数学 考点36 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用（含2016高考试题）

1、学必求其心得，业必贵于专精考点36 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用一、解答题1。(2016全国卷高考理科t20）设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为a，直线过点b（1，0)且与x轴不重合, 交圆a于c,d两点,过b作ac的平行线交ad于点e。（1)证明|ea+|eb为定值,并写出点e的轨迹方程.（2）设点e的轨迹为曲线c1，直线交c1于m,n两点,过b且与垂直的直线与圆a交于p,q两点，求四边形mpnq面积的取值范围.【解析】（1)圆a整理为（x+1）2+y2=16,点a坐标为(1,0），如图,beac,则acb=ebd，由ac|=|ad,则adc=acd,ebd=edb,则eb|=ed,a

2、e|+eb=|ae+ed=ad=4。所以e的轨迹为一个椭圆,方程为+=1(y0）;(2）c1: +=1;设:x=my+1，因为pq，设pq：y=m(x1）,联立与椭圆c1，得(3m2+4）y2+6my-9=0；则|mn=|ym-yn|=;圆心a到pq距离d=,所以|pq|=2=2=，smpnq=|mn|pq=2412,8）.2.（2016全国卷高考文科t20）在直角坐标系xoy中，直线:y=t(t0）交y轴于点m,交抛物线c：y2=2px(p0)于点p，m关于点p的对称点为n,连接on并延长交c于点h。（1）求.（2）除h以外,直线mh与c是否有其他公共点？说明理由。【解析】（1)由已知得m（

3、0，t）,p，又n为m关于点p的对称点，故n，故直线on的方程为y=x,将其代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,解得x1=0，x2=，因此h,所以n为oh的中点，即=2。(2)直线mh与c除h以外没有其他公共点.理由如下:直线mh的方程为yt=x,即x= (yt）。代入y2=2px得y24ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直线mh与c只有一个公共点,所以除h以外,直线mh与c没有其他公共点。3.(2016全国卷理科t20)(本小题满分12分)已知抛物线c:y2=2x的焦点为f，平行于x轴的两条直线l1,l2分别交c于a,b两点,交c的准线于p,q两点.（1）若f在线段ab上，r

4、是pq的中点，证明:arfq.（2)若pqf的面积是abf的面积的两倍，求ab中点的轨迹方程。【解析】（1）由题意可知f,设l1:y=a,l2：y=b且ab0，a，bp,q,r,记过a,b两点的直线方程为l，由点a,b可得直线方程为2x-(a+b)y+ab=0，因为点f在线段ab上,所以ab+1=0,记直线ar的斜率为k1,直线fq的斜率为k2，所以k1=,k2=b，又因为ab+1=0,所以k1=,所以k1=k2,即arfq。（2)设直线ab与x轴的交点为d,所以sabf=，又spqf=，所以由题意可得spqf=2sabf即： =2，解得x1=0(舍）或x1=1。设满足条件的ab的中点为e(x

5、，y）.当ab与x轴不垂直时，由kab=kde可得(x1)。而，所以y2=x-1(x1)。当ab与x轴垂直时，e与d重合,所以，所求轨迹方程为y2=x-1。4.（2016全国卷文科t20)（本小题满分12分)已知抛物线c：y2=2x的焦点为f,平行于x轴的两条直线l1，l2分别交c于a，b两点,交c的准线于p，q两点.(1)若f在线段ab上,r是pq的中点,证明:arfq。(2)若pqf的面积是abf的面积的两倍，求ab中点的轨迹方程.【解析】(1）由题意知f.设l1：y=a，l2:y=b,且ab0，则a,b，p,q,r.记过a，b两点的直线方程为l,则l的直线方程为2x(a+b）y+ab=0

6、。由于f在线段ab上，故1+ab=0.记直线ar的斜率为k1，fq的斜率为k2，则k1=.所以arfq.（2）设l与x轴的交点为d(x1,0)，则sabf=,spqf=.由题设可得2.所以x1=0(舍去）或x1=1。设满足条件的ab的中点为e（x，y).当ab与x轴不垂直时，由kab=kde可得（x1).而=y,所以y2=x-1(x1）.当ab与x轴垂直时，e与d(1，0)重合,所以，所求轨迹方程为y2=x-1.5。(2016四川高考文科t20)已知椭圆e: =1(ab0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点p在椭圆e上.(1)求椭圆e的方程。（2)设不过原点o且斜率为的直线l与椭圆e交于不同的两点a,b,线段ab的中点为m，直线om与椭圆e交于c，d,证明：|ma|mb|=|mc|md|。【解题指南】（1)利用点在椭圆上，列出方程,解出b的值，从而得到椭圆的标准方程。(2)利用椭圆的几何性质,数形结合，利用根与系数的关系,进行计算。【解析】（1）由已知,a=2b，又椭圆=1（ab0）过点p,故=1,解得b2=1,所以椭圆的方程为+y2=1.(2）设直线l的方程为y=x+m，a，b,由方程组得x2+2mx+2m2-2=0，方程的判别式为=4,由0,即2m20,解