测量不确定度与数据处理

1、实验测量不确定度与数据处理 大学物理实验 主要内容 1-1实验测量的基本知识 1-2实验测量不确定度的评定 1-3有效数字及其运算 1-4实验测量数据的处理 1-1测量的基本知识 一、物理测量的基本概念 运用各种物理仪器和物理方法把待测未知量与已知标准 单位同类量作比较，即待测量是该计量单位的多少倍。 大多数的测量结果不但有数值而且有单位。 816光大证券乌龙指事件 程序把买入24个成分股，写成了买入24组180ETF成分股，结 果生成巨量订单。 2002年11月，一名经纪人看错了爱尔兰低价航空公司Ryanair 的股票价格的货币单位，把先令和欧元弄混，结果该股票在伦 敦市场的报价上涨了61%

2、，从404.5先令上升到653.7先令。 1.直接测量与间接测量 p凡是可以直接用计量仪器和测量量进行比较，便可获得测 量结果的，该测量属于直接测量。 如：米尺测长度、温度计测温度. p凡是通过与被测量有函数关系的其他量，才得到被测量量 值的测量，称为间接测量。 如：电功率. 直接测量与间接测量是相对的。 直接测量是测量的基础。 2.等精度测量和不等精度测量 p由同一观察者用同一仪器、同一方法、同一环境测量n次 ，所得测量值为x1、x2.xn，则把这样在同一种条件下的 重复测量称为等精度测量。 p在不同条件（观察者、仪器、方法、环境）下的重复测量 称为不等精度测量。 3.重复测量和单次测量 p

3、在等精度的条件下对待测量进行多次直接测量，每一次 测量是测量全过程的重新调节，称为重复测量。 p只对测量量进行一次测量，称为单次测量。 1. 测量结果的准确度要求不高，允许粗略地估计误差的大小。 2. 测量误差远小于仪器误差。 3. 受条件的限制，如在动态测量中，无法对待测量做重复测量。 4.测量的精密度、准确度、精确度 p精密度 p准确度 p精确度 精密、不准确准确、不精密 精确不精确 5.仪器的准确度等级与仪器的公差 p选择测量仪器应考虑：准确度等级、测量范围、实际 测量量对精度的要求等。 p仪器的精密度：仪器的最小读数。最小读数的数值越 小，仪器的精密度越高，误差越小。 p测量结果的精密

4、度和准确度与测量仪器的精确度等级 密切相关。 p仪器的公差：仪 l游标卡尺：出厂公差就是该游标卡尺类精密度。 l指针式电表：仪 = Am% l数字式仪表：仪 = K%V + ND 二、测量结果分析的基本概念 n 1i 1 i x n x 随机变量的算术平均数，等于“试验结 果的各个可能值与其相应的频率f(x=xi) 乘积之和”。由于频率f(x=xi)要试验后 才能确定，因而算术平均数也必须到试 验后才能求出，而且各次试验后，所得 到算术平均数也不一定相同，具有随机 性。 ii fxx n 1i 1. 多次等精度测量结果的估算 （1） 算术平均值与数学期望 零件重 x 公斤 99100101 件

5、数 m255025 频率 f25/10050/10025/100 公斤100 100 25 101 100 50 100 100 25 99x p 数学期望 dxxxfxE)()( i i i pxE(x) 1 x是连续的 在大量试验下，频率f(x=xi)稳定于概率p(x=xi),而随机变量x的算术平 均值也一定稳定于“随机变量x的各个可能值与其相应概率p(x=xi)乘 积的总和”，这个“总和”是一个常数，它是算术平均值的稳定值 ，称为随机变量x的数学期望。 p 算术平均值与数学期望 数学期望E(x)与算术平均值有紧密联系，都是反映随机变量x 的“平均特征”这一统计特征，但它们又有质的差别，

6、E(x) 是一个客观存在的理论值，而算术平均值是一个试验值，具 有随机性。 其中，1 1i i p 概率 概率密度函数 11 1 2 1 2 n V n xx n i i n i i x p测量列的标准偏差： p测量列平均值的标准偏差： nnn xx x n i i x 1 1 2 （2）测量列及测量列平均值的标准偏差 u概率密度函数： 2 1 exp 2 1 ) x ( f(x) u正态分布曲线： x f(x) 概率含量68.3% 概率含量99.7% x x x 3 x 3 特点： 单峰性 对称性 有界性 抵偿性 （3）正态分布 1-2 实验测量不确定度的评定 1、定义： 测量值测量不确定度

7、 用测量的算术平均值来表示 pux测量结果 n xxx x n 21 由于测量误差的存在而对测量值不能肯定的程度，称为不确定度， 它是与测量结果相联系的一个参数。 一、不确定度的定义与物理意义 2、分类 A类评定 B类评定 3、物理意义：更科学地表示了测量结果的可靠性 pux测量结果 表示真值在量值uxux ,之中，显然，量 值范围越窄，则测量不确定度越小，用测量值表 示真值的可靠性就越高 11 1 2 1 2 n V n xx n i i n i i x nnn xx x n i i x 1 1 2 2. 求测量列平均值的标准偏差 1.用贝塞尔公式求标准偏差 二、直接测量标准不确定度的A类评

8、定 当测量次数足够多时，测量值分布满足正态分布 x x 置信概率68.3% x f(x) 为达到同样的置信概率，应把测量偏差范围扩大， 乘上一个 因子，即： x x xvp t xvp t xvp t 但实验测量中，次数有限所以测量值不满足正态分布， 而是遵循 分布。 三种概率下的不同自由度v的tvp值(v=n-1) 0.99 0.95 0.68 765432 vt p 0.99 0.95 0.68 191498 vt p n ttu x vpxvpA 所以直接测量量不确定度A类评定为： 三、直接测量标准不确定度的B类评定 C ku pB 仪 注意：对于不同的置信概率p，具有不同的A类不确定度

9、。 直接测量量不确定度B类评定为： 置信概率p与置信因子kp的关系表 p0.500 0.683 0.900 0.950 0.955 0.990 0.997 kp0.67511.651.9622.583 仪器名称米尺游标卡尺千分尺物理天平秒表 误差分布正态分布均匀分布正态分布正态分布正态分布 C33333 误差分布与置信系数C的关系 3 仪 B u 1）不确定度是正态分布或近似高斯分布 P = 68.3% 3 仪 B u 2）均匀分布 P = 68.3% 3）三角形分布 6 仪 B u P = 68.3% 四、 总不确定度的合成 22 BA uuu uxx 测量结果: P = 68.3% 注意：

10、A、B类不确定度的合成时，两者概率需一致。 v测量不确定度用一位或二位数表示均可。如果作为间接测 量的一个中间结果（中间过程）不确定度最好用二位；首 位逢一、二可用两位；对不保留数字一律“只进不舍”， 如ux=0.32，取0.4。 v测量值末位与不确定度末位相对齐来确定。对保留数字 末位采用“4舍6入，5凑偶”规则。 五、直接测量结果不确定度书写表示注意事项 如：测量结果平均值为2.1445 cm，其标准不确定度计 算为0.0124 cm，则测量结果为：2.1440.013 cm v不确定度单位应与测量值单位保持一致。 相对不确定度：没有单位，用百分数表示，它更能反 映测量的准确程度 所取位数

11、 0-10% 10%-100%取二位 定义：表示不确定度ux在整个测量值 中所占百分比， 用符号“E”来表示: x %100 x u E x v不确定度的其它表示: 首位逢1和2：取2位有效数字 首位其它数字：取1位有效数字 例： 用量程025mm，最小分度值为0.01mm，最大允差为 0.004mm的螺旋测量微器测量钢丝的直径6次，数据如下 ：D(mm):3.953,3.953,3.950,3.954,3.952,3.953, 求直径的 A,B类不确定度，并完整表示不确定度测量结果。 解：(1) 求A类不确定度 mmDD n D i i n i i 9525. 3 6 11 6 11 测量次

12、数为6次，查表得t0.683=1.11， mm nn DD ttu n i i pxpA 0007. 0 30 1050. 9 11. 1 1 6 1 2 mmuB0014. 0 3 004. 0 3 仪 mmuuU BA 0016. 00014. 00007. 0 2222 测量结果的不确定度表示: )68. 0(0016. 09525. 3pmmUDD D 相对不确定度: %05. 0%100 9525. 3 0016. 0 %100 D U ED 螺旋测量微器的误差为正态分布，C=3 (2) 求B类不确定度 (3) 不确定度的合成 六、间接测量量不确定度的估算 不确定度传递公式:表示间接

13、测量值与各直接测量值之间的关系式 n xxxxfN, 321 n x n xxxN U x f U x f U x f U x f U 321 321 n x n xxx N U x f U x f U x f U x f N U lnlnlnln 321 321 1.常用函数不确定度的算术合成 p 绝对不确定度传递公式： p 相对不确定度传递公式： 例如： N=A+B N=AB 2.常用函数不确定度的几何合成 p 绝对不确定度传递公式: 22 2 2 1 21 n x n xxN U x f U x f U x f U p 相对不确定度传递公式: 22 2 2 1 lnlnln 21 n x

14、 n xx N U x f U x f U x f N U 算术合成的不确定度传递公式简单 但得到的是可能的最大偏差 例如： N=A+B N=AB 不确定度传递公式应按下列步骤进行： （1）对函数求全微分（乘除时或先对函数取自 然对数，再求全微分）； （2）合并同一变量的系数； （3）将微分号改为不确定度符号，求各项的绝 对值之和（算术合成），或求各项的平方再 开方（几何合成）。 3.运算顺序的选择 v函数为和与差关系-先计算绝对不确定度，后计算相 对不确定度 v函数为积与商关系-先计算相对不确定度，后计算绝 对不确定度 v函数为先和差后积商关系-先计算相对不确定度，后 计算绝对不确定度 v函

15、数为先积商后和差关系-先计算绝对不确定度，后 计算相对不确定度 1-3 有效数字及其运算 一、有效数字 定义：测量数据中所有可靠数字加上一位可疑数字统称为有效 数字。 有效数字的最后一位是估读的，为可疑数字。虽然可疑数字不是 准确的，是误差所在的位，但仍反映了被测量大小的信息，所以还 是有意义的。 估读位前的几位数字都为可靠数字。 实验过程中记录应记几位数字？ 实验后，处理实验数据时数据运算后要保留几位数字？ 1.有效数字的认定 1）在测量数据中1、2、9九个数字，每个数字都为有 效数字。 2）“0”是特殊数字，其认定应注意以下几种情况： v数字间的“0”为有效数字 v数字后的“0”为有效数字

16、 v数字前的“0”不是有效数字，表示数量级大小 注意：在测量时，数据不能任意多写或少写，即便是“0”也一样。 3）有效数字的位数计算，从第一位不是“0”的数字至 最后一位。 4）在十进制单位中，有效数字的位数与十进制单位的变 化无关。 5）有效数字的位数多少，在一定程度上反映测量结果的 准确度。 有效数字位数越多相对误差越小，准确度越大 有效数字位数越少相对误差越大，准确度越小 2.科学记数法标准式 v为计算的方便，对较大或较小的数值，常用10n的 形式来书写（n为正整数）， 。 (1)加减法则：加减运算所得结果的最后一位，保留到 所有参加运算的数中末位数数量级最大的那一位为止。 例： 217

17、-14.8=结果： 202 71.32-0.8+6.3+271= 结果：348 二、有效数字的运算法则 202.2 347.82 (2)乘除法则：积和商的位数与参与运算诸项中有效数 字位数最少的那一项相同。 31.522.1=66.192结果： 66 3 .10170 30. 11965. 0 2598 7996.5=5193.53 102 . 5 结果： 4 1002.1 结果: 03.582537. 628. 9 28. 9 034336.582537. 628. 9 可多加一位有效数字由 ， v特殊情况： (3)综合运算计算法则：从左到右，按先“乘、除”后 “加、减”进行，加、减按加减法

18、则，乘除按乘除法则。 44 103863.20103 863.20 0002. 0 0632. 6 863.20 0136. 50138. 5 0632. 6 (4)平均值的有效数字：计算重复测量4次以上的数据 平均值时，有效数字可多取一位 (5)无理数运算的有效数字：取无理数的位数比参与运 算中有效数字位数最少的那一位多一位（其中，常数不参 与有效数字的运算）。 20566. 3142. 3 3 4 3 4 4 3 4 ,66. 3, 3 4 33 3 ）（ 位取为常数，此时因为若 RV RRV (6)乘方、开方的法则：乘方、开方运算中，最后结果 的有效数字位数与自变量的有效数字位数相同。

19、(7)函数运算的有效数字选取法则：通过改变函 数值末位的一个单位，由函数值的变化来决定函数 的有效数字位数 通常“小于5则舍”，“大于5则入”，“等于5则凑偶 ”即前一位为奇数则进（奇进），以成偶数；若前一位 为偶数则舍（偶舍）。 例：4 . 035. 0 351. 2 4 . 045. 0 二、数值的修约规则尾数的舍入法则 注意：2.51取一位有效数字，因为5后有一位1， 满足大于5法则，则进 习题 P30 2.下列数值改用有效数字的标准式来表示。 （1）光速=（299792458100）米/秒 解：（2.99792460.0000010）108 米/秒 或 （2.9979250.00000

20、1）108 米/秒 （3）比热C=(0.0017300.0005)卡/克度 解：（1.70.5）10-3 卡/克度 3.下列各数值正确的有效数字 （1）8.4670.2 解：8.50.2 （3）0.0026540.0008 解：0.00270.0008 （4）6523.5870.3 解：6523.60.3 5.假设下列各数值的最后一位都是估计（可疑）的， 请以有效数字表示其正确答案。 （1）1.7321.74=3.01368 解：3.01 （2）10.220.08320.41=0.34862464 解：0.35 （3） 解：2103 （5）（17.34-17.13）14.28=2.9988 解

21、：3.0 4 .20419 .30 034. 6038. 6 0421. 8 y 6.计算正式结果及其不确定度的表示式（算术合成和几何合成）。 N=A+2B+C-5D, 设： A=(38.2060.001)cm, B=(13.24870.0001)cm C=(161.250.01)cm, D=(1.32420.0001)cm 解：(1） 不确定度的算术合成： 这里因为这里因为161.25161.25的末尾数数量的末尾数数量 级最大，所以最终结果保留到级最大，所以最终结果保留到 百分位，后面小于五舍去。百分位，后面小于五舍去。 对不确定度项对不确定度项结果结果只进不只进不 舍舍，数位与测量值对齐

22、，数位与测量值对齐。 cm U N 02. 0 0117. 0 0005. 001. 00002. 0001. 0 0001. 0501. 00001. 02001. 0 cm N 33.219 3324.219 6210. 625.1614974.26206.38 3242. 1525.1612487.132206.38 cmUNN02.033.219 (2） 不确定度的几何合成： cm UUUUU DCBAN 02. 0 100129. 1 1025101104101 )0001. 05()01. 0()0001. 02()001. 0( )5()()2()( 4 8486 2222 22

23、22 cmUNN02. 033.219 8.两分量（10.200.04）厘米和（3.010.03）厘米，用算 术合成和几何合成两种方法，相加对其不确定度该如何表示？相 乘时其不确定度又该如何表示？ 解：令A=10.200.04cm，B=3.010.03cm， 当两式相加时，令N=A+B，则 N=10.20+3.01=13.21cm (1)算术合成法：UN=0.04+0.03=0.07cm, NUN=13.210.07cm (2)几何合成法： cmUN05. 00025. 00009. 00016. 0)03. 0()04. 0( 22 NUN=13.210.05cm 当两式相乘加时，令N=AB

24、，则 N=10.203.01=30.7cm2 (1)算术合成法：UN=|BUA|+|AUB| =0.1204+0.306=0.5cm2, NUN=30.70.5cm2 (2)几何合成法： 011. 000012. 0) 01. 3 03. 0 () 20.10 04. 0 ()()( 2222 B U A U N U BAN UN=30.700.011=0.4cm2 NUN=30.70.4cm2 10.写出下列函数的不确定度表示式，分别用不确定度的算术合 成和几何合成两种方法表示（用最合适的方法从不确定度或相对 不确定度中选择一种） (1)N=x+y-2z 解：算术合成法： 几何合成法： zy

25、x zyxN UUU U z f U y f U x f U 2 2 22 222 )2( )()()( zyx zyxN UUU U z f U y f U x f U (2)Q=k(A2+B2)/2, 其中k为常数 解：算术合成法： 几何合成法：令 2 22 BA BA BAQ BUAUk BUAUk U B f U A f U 22 ,BEAP 22 22 22 22 22 2 2 2 2 BA BA EPEPQ BUAUk BUAU k UU k U k U k U 解：测量列平均值： 平均值标准误差： 测量次数为10次，在置信概率为68.3%时,t因子 则A类不确定度值为： )(34

26、. 3 10 1 10 1 mmdd i i )(009. 0 910 )34. 3( 10 1 2 mm d i i )(01. 0 683. 0 mmtU A 06. 1 683. 0 t 11.用量程为125mm的游标卡尺测量一钢珠直径10次，已知仪 器最小分度值为0.02mm,仪器的最大允差仪=0.02mm,测量 数据如下，求测量列的平均值、平均值标准误差、测量列的A、 B类及合成标准不确定度。 次数次数12345678910 d(m m) 3.3 2 3.3 4 3.3 6 3.3 0 3.3 4 3.3 8 3.3 0 3.3 2 3.3 4 3.3 6 游标卡尺的误差为均匀分布，

27、则B类不确定度值为： 因此合成不确定度为： 结果不确定度表示： 相对不确定度为： 其置信概率为68.3% )(012. 0 3 02. 0 3 mmU B 仪 )(02. 0 22 mmUUU BA )(02. 034. 3mmUdd %6 . 0%100 34. 3 02. 0 %100 d U E 1-4实验测量数据的处理 一、列表法 二、作图法 三、逐差法 四、测量数据的直线拟合 五、计算机实验数据处理 一、列表法 将一组有关的实验数据和计算过程的中间数据依一 定的形式和顺序列成表格。 注意： 1.根据具体物理问题，列出表格的主题名称，设计 条理清楚的栏目、行列的表格，以便记录原始数据。

28、 2.表格栏目的设计要注意数据间的联系及计算顺序， 利于记录和检查。 3.物理量名称（或符号）、单位组成一个项目，写 在表格首栏，自定义符号应交代其代表的物理意义。 二、作图法 在坐标纸上用图形描述物理量之间关系的一种方法， 是处理实验数据的一种重要方法，也是实验方法研究 问题的一种重要手段。 1.作用及优点： （1）直观形象地表示出物理量的变化规律，便于寻 找实验规律和总结经验公式。 （2）帮助发现实验中个别的测量错误，并通过所绘 图线对系统误差进行分析。 （3）若图形是依据许多测量数据描出的光滑曲线， 该图线便有多次测量取平均值的作用。 （4）应用内插法、外推法可以从图形上得出没有直 接测

29、量或在一定条件下无法直接测量的某些数值。 （5）通过图形可以方便地得到许多有用的参量，如 最大值、最小值、直接斜率和截距等。 2.作图的要求： （1）作图一定要用坐标纸。如直角坐标纸、单对 数坐标纸、双对数坐标纸和、极坐标纸等。 （2）画出坐标轴的方向，标明其所代表的物理量 及单位。通常横轴为自变量，纵轴为因变量。 （3）坐标纸的大小及坐标轴的比例要适当，使数 据中可靠的数字在图中仍为可靠，数据中可疑的一 位，在图中仍为估读的一位。 （4）为避免图线编于图纸的一角，坐标轴的标值 不一定从“0”开始。 （5）数据点的标出：同一张坐标纸上几条曲线上 的数据点应分别用不同的标记，以示区别。 （6）描绘图线，可放弃偏离太远的个别点，使实 验点均匀地分布在所绘直线的两侧。 （7）标明图名称。若用物理量的符号表示图名， 应按y-x轴顺序书写。 （8）注明作者及日期并将做好的图纸贴在实验报 告上。 3.图解：根据已作好的图线，可以用解析的方法