第二章 静电场中的导体和电介质：习题课

1、解：解：(1) 111 1 SSDSdD S 1 D r1 r2 + + + + - - - - S1 S2 S1 S2 1 D 2 D 1 E 2 E AB d1d2 0 2221 2 SDSDSdD S 21 DD 例例1、一平行板电容器，其极板面积为、一平行板电容器，其极板面积为S，间距为，间距为d， 中间有两层厚度各为中间有两层厚度各为d1和和d2，相对电容率分别为，相对电容率分别为 r1和和 r2的电介质层（且的电介质层（且d1d2= d）。两极板上自由电荷面）。两极板上自由电荷面 密度分别为密度分别为 ，求：，求： (1)两介质层中的电位移和电场强度；两介质层中的电位移和电场强度；

2、 (2)极板间的电势差；极板间的电势差； (3)电容电容 r1 r2 + + + + - - - - S1 S2 S1 S2 1 D 2 D 1 E 2 E AB d1d2 得得由由 , 222111 EDED 011 1 1 r D E 022 2 2 r D E 1 2 1 2 2 1 r r E E 且有且有 21 1 1 2 0 1 )2( dd d d BA l dEl dEUU 2211 dEdE )( 2 2 1 1 dd )( 2 2 1 1 0rr d d BA UU q C 2 2 1 1 0 rr dd S (3) 2112 021 dd S rr rr 0 2112 2

3、1 C dd d rr rr dSC/ 00 q = S 例例2、一球形电容器，内球壳半径为、一球形电容器，内球壳半径为R1，外球壳半，外球壳半 径为径为R2，两球壳间充满了相对电容率为，两球壳间充满了相对电容率为 r的各向同的各向同 性均匀电介质，设两球壳间电势差为性均匀电介质，设两球壳间电势差为U12，求，求(1)电电 容器的电容；容器的电容；(2)电容器储存的能量。电容器储存的能量。 R1 R2 O D 解解(1)设内、外球壳带电分别为设内、外球壳带电分别为q和和q由球对称性和由球对称性和 介质中的高斯定理介质中的高斯定理 )()(SS DdSdSD 2 4 rD )( 21 RrR D

4、 0 0 2 4 r q )( 1 Rr )( 2 Rr q q r S 0 q 0 )( , 21 RrR )( , 1 Rr )( , 2 Rr r E )( 21 RrR 0 0 r r e r q 2 0 4 )( 1 Rr )( 2 Rr 2 1 12 R R l dEU 2 1 2 0 4 R R r r drq 210 12 4 )( RR RRq r 12 210 12 4 RR RR U q C r (2) 2 12 2 1 CUW 12 2 12210 2 RR URR r 例例3、讨论平板电容器两极板间为真空和充满电介质、讨论平板电容器两极板间为真空和充满电介质 时的电位

5、移和场强：时的电位移和场强：(1)电势差不变；电势差不变；(2)电量不变。电量不变。 解：解：(1)电势差不变电势差不变:UAB= UAUB dd AB EdEdll dEU 00 d U E AB , 0 01 d U ED AB d U ED AB 2 可见，若可见，若UAB不变，则不变，则E1=E2=E，D1D2，Q1E2，D1=D2=D， UABUAB 解：解：在两极板间分别作在两极板间分别作 三个圆柱形高斯面三个圆柱形高斯面 由对称性可知两板间由对称性可知两板间 D 垂直于极板且均匀垂直于极板且均匀 Q Q d l r 1 d 2 d A BBAD指指向向由由 D 3 S 3 S 3

6、 S 1 S 1 S 1 S 2 S 2 S 2 S 例例4、一平行板电容器极板面积为、一平行板电容器极板面积为S，间距为，间距为d， 其中平行放置一层厚度为其中平行放置一层厚度为l的电介质，其相对电容的电介质，其相对电容 率为率为 r，介质两边都是相对电容率为介质两边都是相对电容率为1的空气。已的空气。已 知电容器两极板接在电势差为知电容器两极板接在电势差为U的恒压电源的两的恒压电源的两 端，并忽略平行板电容器的边缘效应。求两极板端，并忽略平行板电容器的边缘效应。求两极板 间的电位移间的电位移D和场强和场强E的分布，并求出极板上的电的分布，并求出极板上的电 量量Q和电容和电容C。 1 S 2

7、 22 S D dSDS 2 S 3 S 3 33 S D dSDS S Q DDD 321 1 12 000 DQ EE S S QD E rrr 000 3 3 Q Q d l r 1 d 2 d A B D 3 S 3 S 3 S 1 S 1 S 1 S 2 S 2 S 2 S 1 11 S D dSDS B A l dEU d ld ld d d dlEdlEdlE 1 1 1 1 23 0 1 22311 dElEdE lEldE 31 )( l S Q ld S Q r 00 )( r r d l S Qd )1( 1 0 U Q C r r r r o d l C d d l S

8、 1 1 1 1 0 d S C 0 0 d S CCdl r , : 0 时时当当特特例例 S Q DDD 321 d d l U r r 1 1 0 0 1 21 D EE d d l U r r 1 1 CUQ d d l SU r r 1 1 0 r D E 0 3 3 rr ED 1 0 1 例例5、一平行板电容器，两极板间的距离、一平行板电容器，两极板间的距离d 5.00mm，板面积，板面积100cm2，以，以300V电源使之充电。电源使之充电。 (1)两板间设为真空，求此电容器的电容，板上电两板间设为真空，求此电容器的电容，板上电 荷面密度及两板间场强。荷面密度及两板间场强。 (

9、2)该电容器充电后，从电源拆下，保持其电量不该电容器充电后，从电源拆下，保持其电量不 变，今在两板间插入厚变，今在两板间插入厚5.00mm的玻璃片的玻璃片(相对电容率相对电容率 为为5.00)。求电容以及两板间场强与两板间电势差。求电容以及两板间场强与两板间电势差。 (3)该电容器充电后，仍与电源相接，保持其电压该电容器充电后，仍与电源相接，保持其电压 不变，今在两板间插入上述玻璃片。求电容以及两板不变，今在两板间插入上述玻璃片。求电容以及两板 间场强与两板上的电荷。间场强与两板上的电荷。 解解: (1) E0=U0/d=300/(510 3)=6104 (V/m) 0 =D0= 0E0=5.

10、3110 7 (C/m2) C0= 0S/d = 1.7710 11 (F) E =U/d = U0/( rd) =E0/ r = (6104)/5=1.2104 (V/m) U = q/C = q/( rC0 ) = U0/ r = 300/5 = 60(V) (3) C= C = 8.8510 11 (F) E= U0/d = E0 = 6104 (V/m) q = C U0= 8.8510 11300 = 2.6610 8 (C) (2) C = rC0= 51.7710 11 =8.8510 11 (F) =q/S = 2.6610 8/0.01= 2.6610 6 (C/m2) =D

11、 = E0= r 0E0 = r 0= 2.6610 6 (C/m2)或或 例例6、如图，在与电源连接的平行板电容器中，、如图，在与电源连接的平行板电容器中， 填入两种不同的均匀的电介质，则两种电介质中填入两种不同的均匀的电介质，则两种电介质中 的场强的场强相等相等，电位移，电位移不相等不相等。(填相等或不相等填相等或不相等) 1r 2r :解解 , 21 d U EE 两极板与电源连接，两者两极板与电源连接，两者 电势差电势差U恒定恒定 , 1011 ED r , 2022 ED r 12rr 且且 21 DD 解解: 由由 ，V=Ed , q = CV可见，接入电源后可见，接入电源后, d S C 0 V 不变，若不变，若 d 增大