第三章(31) 时域分析

1、控制系统的分析方法 分析控制系统分析控制系统 第一步第一步 建立模型建立模型 第二步第二步 分析控制性能分析控制性能 分析方法包括分析方法包括 时域分析法时域分析法 频域分析法频域分析法 根轨迹法根轨迹法 第三章第三章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 时域分析法时域分析法 引言引言 一阶系统时域分析一阶系统时域分析 二阶系统时域分析二阶系统时域分析 高阶系统的时域分析高阶系统的时域分析 稳定性分析稳定性分析 稳态误差计算稳态误差计算 第三章第三章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法 3.1 3.1 引言引言 分析控制系统的分析控制系统的第一步是建立模型第一步是建立模型，数学模型

2、一旦建立，数学模型一旦建立，第二步第二步 分析控分析控 制性能制性能，分析有多种方法，主要有，分析有多种方法，主要有时域分析法时域分析法，频域分析法频域分析法，根轨迹法根轨迹法 等。每种方法，各有千秋。均有他们的适用范围和对象。本章先讨论时等。每种方法，各有千秋。均有他们的适用范围和对象。本章先讨论时 域法。域法。 实际上，控制系统的输入信号常常是不知的，而是随机的。很难用解析实际上，控制系统的输入信号常常是不知的，而是随机的。很难用解析 的方法表示。只有在一些特殊的情况下是预先知道的，可以用解析的方的方法表示。只有在一些特殊的情况下是预先知道的，可以用解析的方 法或者曲线表示。法或者曲线表示

3、。 在分析和设计控制系统时，对各种控制系统性能得有评判、比较的依据。在分析和设计控制系统时，对各种控制系统性能得有评判、比较的依据。 这个依据也许可以通过对这些系统加上各种输入信号，比较它们对特定这个依据也许可以通过对这些系统加上各种输入信号，比较它们对特定 的输入信号的响应来建立。的输入信号的响应来建立。 许多设计准则就建立在这些信号的基础上，或者建立在系统对初始条件许多设计准则就建立在这些信号的基础上，或者建立在系统对初始条件 变化（无任何试验信号）的基础上，因为系统对典型试验信号的响应特变化（无任何试验信号）的基础上，因为系统对典型试验信号的响应特 性，与系统对实际输入信号的响应特性之间

4、，存在着一定的关系；所以性，与系统对实际输入信号的响应特性之间，存在着一定的关系；所以 采用采用试验信号试验信号来评价系统性能是合理的。来评价系统性能是合理的。 3.1.1 典型试验信号典型试验信号 Typical test signals (1) 实际系统的输入信号不可知性实际系统的输入信号不可知性 (2) 典型试验信号的响应与系统的实际响应，存在某种关系典型试验信号的响应与系统的实际响应，存在某种关系 (3) 电压试验信号是时间的简单函数，便于分析。电压试验信号是时间的简单函数，便于分析。 突然受到恒定输入作用或突然的扰动。如果控制系统的输入量是随时间逐步变化的突然受到恒定输入作用或突然的

5、扰动。如果控制系统的输入量是随时间逐步变化的 函数，则斜坡时间函数是比较合适的。函数，则斜坡时间函数是比较合适的。 （单位）阶跃函数（单位）阶跃函数（Step function） 0,)( 1tt室温调节系统和水位调节系统室温调节系统和水位调节系统 （单位）斜坡函数（单位）斜坡函数（Ramp function） 速度速度 0,tt （单位）加速度函数（单位）加速度函数（Acceleration function）抛物线）抛物线 0, 2 1 2 tt （单位）脉冲函数（单位）脉冲函数（Impulse function） 0,)(tt 正弦函数（正弦函数（Simusoidal function）

6、Asinut ，当输入作用具有周期性变化时。，当输入作用具有周期性变化时。 通常运用阶跃函数作为典型输入作用信号，这样可在一个统一的基础上对各种通常运用阶跃函数作为典型输入作用信号，这样可在一个统一的基础上对各种 控制系统的特性进行比较和研究。控制系统的特性进行比较和研究。 （1）单位阶跃作用）单位阶跃作用1(t) 其数学描述为：其数学描述为： 其拉氏变换式为：其拉氏变换式为：L1(t)=1/s 0, 0 ( )1( ) 1,0 t r tt t (2)单位斜坡作用单位斜坡作用t1(t) 其数学描述为其数学描述为 其拉氏变换式为其拉氏变换式其拉氏变换式为其拉氏变换式 为：为：Lt 1 (t)=

7、1/s2 (3)单位脉冲作用单位脉冲作用(t) 其数学描述为其数学描述为 其拉氏变换式为：其拉氏变换式为： L(t)=1 ,0 ( )( ) 0,0 t r tt t 0 0 1)( dtt t r(t)r(t) 0 0 0, 0 ( )1( ) ,0 t r ttt t t (4)单位加速度作用单位加速度作用 t2 /2 其数学描述为其数学描述为 其拉氏变换式为：其拉氏变换式为： L(t)=1/s3 LAsin0t = A0/(s2+ 02)其拉氏变换式为其拉氏变换式为 (5)正弦作用正弦作用Asin0t 。 2 2 0, 0 ( )/2 /2,0 t r tt tt r(t) 3.1.2

8、动态过程和稳态过程动态过程和稳态过程 瞬时响应和稳态响应瞬时响应和稳态响应 在典型输入信号作用下，任何一个控制系统的时间响应。在典型输入信号作用下，任何一个控制系统的时间响应。 1 瞬态响应瞬态响应 指系统从初始状态到最终状态的响应过程。由于实际控制指系统从初始状态到最终状态的响应过程。由于实际控制 系统具有惯性、摩擦、阻尼等原因。系统具有惯性、摩擦、阻尼等原因。 2 稳态响应稳态响应 是指当是指当t趋近于无穷大时，系统的输出状态，表征系统输入趋近于无穷大时，系统的输出状态，表征系统输入 量最终复现输入量的程度。量最终复现输入量的程度。 3.1.3 绝对稳定性，相对稳定性和稳态误差绝对稳定性，

9、相对稳定性和稳态误差 在设计控制系统时，我们能够根据元件的性能，估算出系统的动态特性。在设计控制系统时，我们能够根据元件的性能，估算出系统的动态特性。 控制系统动态特性中，最重要的是绝对稳定性，即系统是稳定的，还是控制系统动态特性中，最重要的是绝对稳定性，即系统是稳定的，还是 不稳定的。如果控制系统没有受到任何扰动，或输入信号的作用，系统不稳定的。如果控制系统没有受到任何扰动，或输入信号的作用，系统 的输出量保持在某一状态上，控制系统便处于平衡状态。如果线性定常的输出量保持在某一状态上，控制系统便处于平衡状态。如果线性定常 控制系统受到扰动量的作用后，输出量最终又返回到它的平衡状态，那控制系统

10、受到扰动量的作用后，输出量最终又返回到它的平衡状态，那 么，这种系统是稳定的。如果线性定常控制系统受到扰动量作用后，输么，这种系统是稳定的。如果线性定常控制系统受到扰动量作用后，输 出量显现为持续的振荡过程或输出量无限制的偏离其平衡状态，那么系出量显现为持续的振荡过程或输出量无限制的偏离其平衡状态，那么系 统便是不稳定的。统便是不稳定的。 图3-1稳定性分析示意图 系统不稳定产生的后果系统不稳定产生的后果 实际上，物理系统输出量只能增加到一定的范围，此实际上，物理系统输出量只能增加到一定的范围，此 后或者受到机械止动装置的限制，或者使系统遭到破后或者受到机械止动装置的限制，或者使系统遭到破 坏

11、，也可能当输出量超过一定数值后，系统变成非线坏，也可能当输出量超过一定数值后，系统变成非线 性的，而使线性微分方程不再适用。性的，而使线性微分方程不再适用。 稳态误差：如果在稳态稳态误差：如果在稳态 时，系统的输出量与输时，系统的输出量与输 入量不能完全吻合，就入量不能完全吻合，就 认为系统有稳态误差。认为系统有稳态误差。 这个误差表示系统的准这个误差表示系统的准 确度。确度。 稳态特性：稳态特性： 稳态误差稳态误差 是系统控制精度或抗扰是系统控制精度或抗扰 动能力的一种度量。动能力的一种度量。 相对稳定性：因为物理控相对稳定性：因为物理控 制系统包含有一些贮能元制系统包含有一些贮能元 件，所

12、以当输入量作用于件，所以当输入量作用于 系统时，系统的输出量不系统时，系统的输出量不 能立即跟随输入量的变化，能立即跟随输入量的变化， 而是在系统达到稳态之前，而是在系统达到稳态之前， 表现为瞬态响应过程。对表现为瞬态响应过程。对 于实际控制系统，在达到于实际控制系统，在达到 稳态以前，它的瞬态响应，稳态以前，它的瞬态响应， 常常表现为常常表现为阻尼振荡过阻尼振荡过 程程。称动态过程。称动态过程。 在分析控制系统时，在分析控制系统时， 我们既要研究系统我们既要研究系统 的瞬态响应，如达的瞬态响应，如达 到新的稳定状态所到新的稳定状态所 需的时间，同时也需的时间，同时也 要研究系统的稳态要研究系

13、统的稳态 特性，以确定对输特性，以确定对输 入信号跟踪的误差入信号跟踪的误差 大小。大小。 动态性能指标：动态性能指标： 在许多实际情况中，控制在许多实际情况中，控制 系统所需要的性能指标，常系统所需要的性能指标，常 以时域量值的形式给出。通以时域量值的形式给出。通 常，控制系统的性能指标，常，控制系统的性能指标， 系统在初使条件为零（静止系统在初使条件为零（静止 状态，输出量和输入量的各状态，输出量和输入量的各 阶导数为阶导数为0 0），对（单位），对（单位） 阶跃输入信号的瞬态响应。阶跃输入信号的瞬态响应。 实际控制系统的瞬态响应，实际控制系统的瞬态响应， 在达到稳态以前，常常表现在达到稳

14、态以前，常常表现 为阻尼振荡过程，为了说明为阻尼振荡过程，为了说明 控制系统对单位阶跃输入信控制系统对单位阶跃输入信 号的瞬态响应特性，通常采号的瞬态响应特性，通常采 用下列一些性能指标。用下列一些性能指标。 动态性能指标动态性能指标 0 t Mp超调量 允许误差 1 0.9 0.5 0.1 tr tp ts 图3-2表示性能指标td,tr,tp,Mp和ts的单位阶跃响应曲线 td h(t) 0.02或0.05 )(h )(h )(h )(h 延迟时间延迟时间 ： 响应曲线第一 次达到稳态值 的一半所需的 时间。 上升时间上升时间 响应曲线从稳 态值的10%上 升到90%，所 需的时间。上 升

15、时间越短， 响应速度越快 d t : r t 峰值时间峰值时间 ：响应曲线达到过调量的 第一个峰值所需要的时间。 p t 动态性能指标 0 t Mp超调量 允许误差 1 0.9 0.5 0.1 tr tp ts 图3-2表示性能指标td,tr,tp,Mp和ts的单位阶跃响应曲线 td h(t) 0.02或0.05 )(h )(h )(h )(h 调节调节时间时间 ： 响应曲线达到并永 远保持在一个允 许误差范围内， 所需的最短时间。 用稳态值的百分 数（通常取5% 或2%） 超调量超调量 ：指响应的最大偏 离量h(tp)与终值 之差的百分比 d t s t % %100 )( )()( % h

16、 hth p r t 或 p t 评价系统的响应速度； s t同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。 %N 评价系统的阻尼程度。 振荡次数振荡次数N 0 tts内,曲线穿越h(t)次数的一半 3.2 一阶系统的时域分析一阶系统的时域分析用一阶微分方程描述的控制系统 称为一阶系统。图3-3（a）所示 的RC电路，其微分方程为 i(t) + r(t) c(t) + （a） 电路图 R C )(trU dt du RC c c )()()(trtCtCT 其中C(t)为电路输出电压，r(t)为电路输 入电压，T=RC为时间常数。 当初使条件为零时，其传递函数为 1 1 )( )( )( TSsR

17、sC s R(s) C(s) （b）方块图 I(s) R(s) C(s) （c）等效方块图 这种系统实际上是一个非周期性的惯性环节。 下面分别就不同的典型输入信号，分析该系统的 时域响应。 3.2.1 一阶系统单位阶跃响应 因为单位阶跃函数的拉氏变换为 S sR 1 )( ，则系统的输出由下式可知为 1 111 1 1 )()()( TSSSTS sRssC 对上式取拉氏反变换，得 1 1 )( )( )( TSsR sC s T t etc 1)( 0t 图3-4指数响应曲线 1 0 63.2% 86.5% 95% 98.2% 99.3% T 2T3T 4T 5T 0.632 t c(t)=

18、1-ec(t) 注*：R(s)的极点形成系统响 应的稳态分量。 传递函数的极点是产生系统响 应的瞬态分量。这一个结论不仅 适用于一阶线性定常系统，而且 也适用于高阶线性定常系统。 响应曲线在 0t时的斜率为 ，如果系统输出响应的速度恒为 T 1 ，则只要tT时，输出c(t)就 能达到其终值。 T 1 T 1 由于c(t)的终值为1，因而系统阶跃输入时的稳态误差为零。 动态性能指标： Ttd69. 0 Ttr20. 2 误差带）%5(3Tts 不存在和 p t 图3-4指数响应曲线 1 0 63.2% 86.5% 95% 98.2% 99.3% T 2T3T 4T 5T 0.632 t c(t)

19、=1-ec(t) 3.2.2 一阶系统的单位脉冲响应一阶系统的单位脉冲响应 当输入信号为理想单位脉冲函数时，R(s)1，输出量的拉氏 变换与系统的传递函数相同，即 1 1 )( TS sC这时相同的输出称为脉冲响应记作g(t)，因为 )()( 1 sGLtg ,其表达式为 0 1 )( te T tc T t 3.2.3 一阶系统的单位斜坡响应一阶系统的单位斜坡响应 2 S 1 R(s) TS T S T SSTS sRssC 1 11 1 1 )()()( 2 22 当 对上式求拉氏反变换，得：t T t T TeTteTttc 11 )1 ()( 因为 )1 ()()()( 1t T eT

20、tctrte r(t) c(t) r(t) c(t) t 0 图3-5 一阶系统的斜坡响应 所以一阶系统跟踪单位斜坡信号的稳态误差为 Ttee t ss )(lim 上式表明：一阶系统能跟踪斜坡输入信 号。稳态时，输入和输出信号的变化率完 全相同 1)(,1)( t tctr 由于系统存在惯性， )(tc 从 0上升到1时，对应的输出信号在数值上要 滞后于输入信号一个常量T，这就是稳态误差产生 的原因。 减少时间常数T不仅可以加快瞬态响应的速度，还可减少系统 跟踪斜坡信号的稳态误差。 3.2.4 一阶系统的单位加速度响应一阶系统的单位加速度响应 2 2 1 )(ttr 3 1 )( S sR

21、T S T S T S T S T S D S C S B S A STS sRssC 1 1 1 1 ) 1 1 ()()()( 22 23233 )0()1 ( 2 1 )( 1 22 teTTtttc t T )1 ()()()( 1 2 t T eTTttctrte 上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。 因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。 表3-1一阶系统对典型输入信号的响应 输入信号 时域 输入信号 频域 输出响应传递函数 1 1(t) t 0 tTeTt T t 0)1 ( 2 1 22 teTTtt T t 01 te T t )0( 1 te T T t

22、 )(t S 1 2 1 S 3 1 S 2 2 1 t 1 1 TS 微 分 微 分 等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输 入信号响应的导数；入信号响应的导数； 系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应 的积分；积分常数由零初始条件确定。的积分；积分常数由零初始条件确定。 3.3 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析 二阶系统：凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统。 3.3.1 二阶系统的数学模型二阶系统的数学模型 R(s) （-） ) 1(sTs k m

23、 C(s) 二阶系统的开环传递函数简化为： ) 1( )( STS K sG m 相应的闭环传递函数 2 ( )( ) ( ) ( )1( ) m C sG sK s R sG sT SSK 2 22 2 1 2 mn nn mm K T K S SS TT 为了使研究的结果具有普遍意义，可将上式表示为如下标准形式 2 2 2 2)( )( )( nn n SsR sC s m n T K 2 m n T K m n T 1 2 KTm2 1 n 自然频率（或无阻尼振荡频率） 阻尼比（相对阻尼系数） 二阶系统的标准形式，相应的方块图如图3-8所示 S(S+2n) n2 R(s) C(s) 图3

24、-8 标准形式的二阶系统方块图 _ 2 2 2 2)( )( )( nn n SsR sC s n 自然频率（或无阻尼振荡频率） 阻尼比（相对阻尼系数） 二阶系统的动态特性，可以用和 n 加以描述,二阶系统的特征方程： 02 2 2 nnS S 1 2 2, 1 nn S q此时此时s1,s2为为 一对共轭复一对共轭复 根，且位于根，且位于 复平面的左复平面的左 半部。半部。 01特征根分析 （欠阻尼） 2 1,2 1 nn sj 特征根分析特征根分析 （临界阻尼）临界阻尼） q此时此时s1,s2为为 一对相等的一对相等的 负实根。负实根。 s1=s2=- n 2 1,2 1 nnn s 1

25、特征根分析特征根分析 （过阻尼）（过阻尼） q此时此时s1,s2 为两个负为两个负 实根，且实根，且 位于复平位于复平 面的负实面的负实 轴上。轴上。 2 1,2 1 nn s 1 特征根分析特征根分析 （零阻尼）（零阻尼） q此时此时s1,s2为为 一对纯虚根，一对纯虚根， 位于虚轴上。位于虚轴上。 qS1,2= j n 2 1,2 1 nnn sj 0 特征根分析特征根分析 （负阻尼）（负阻尼） q此时此时s1,s2为为 一对实部为一对实部为 正的共轭复正的共轭复 根，位于复根，位于复 平面的右半平面的右半 部。部。 2 1,2 1 nn sj 10 特征根分析特征根分析 （负阻尼）（负阻

26、尼） q此时此时s1,s2为为 两个正实根，两个正实根， 且位于复平且位于复平 面的正实轴面的正实轴 上。上。 2 1,2 1 nn s 1 3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应 阻尼比是实际阻尼系数与临界阻尼系数 的比值 0 ，两个正实部的特征根，位于右半S平面，发散 10，闭环极点为共扼复根，位于左半S平面，欠阻尼系统 1，为两个相等的根 1 0，虚轴上，瞬态响应 变为等幅振荡 ，两个不相等的根 图 3-9二 阶 系 统 极 点 分 布 左 半 平 面 0 01 =1 两 个 相 等 根 jn =0 d=n jn =0 j 右 半 平 面 1 两 个 不 等 根 0 (

27、1)(1)欠欠阻尼阻尼 (10)二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应 2 2, 1 1 nn jS 令令 n 衰减系数 d j 2 1 nd 阻尼振荡频率 S sR 1 )( 2 2 2 2)( )( )( nn n SsR sC s SSS sRssC nn n 1 2 )()()( 2 2 2 2 2 2 2 )()( 1 dn n dn n SS S S 2 2 2 2 )()( 1 dn n dn n SS S S 22 11 d n n d d n d 1 2 1 对上式取拉氏反变换，得单位阶跃响应为 sin 1 cos1)( 2 tteth dd t n 0)sin( 1

28、1 1 2 tte d t n 稳态分量 瞬态分量： arccos 1 2 arctg 稳态分量为1，表明该系统在单位阶跃函数作用下，不存在稳态位置误差， 瞬态分量为阻尼正弦振荡项，其振荡频率为 d 阻尼振荡频率 包络线 2 11 t n e 决定收敛速度 0时，0sin1)(ttth n 这是一条平均值为1的正、余弦形式等幅振荡，其振荡频率为 n 故称为无阻尼振荡频率。 由系统本身的 结构参数确定 (2)临界阻尼( 1 ) S sRttr 1 )(,)( 1)( nn n n n SSSSS sC 1 )( 11 )( )( 22 2 临界阻尼情况下的二阶系统的单位阶跃响应称为临界阻尼响应

29、0)1 (11)( tteeteth n tt n t nnn 当 1时，二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的无超调单调上升过程， 二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应 (3)过阻尼( ) 1 1 2 2, 1 nn S SSS SSSSS sC nn nn )1()1( 1 )( )( 22 2 21 2 ) 1() 1( 2 3 2 21 nn A S A S A 1 1 A )1( 1 2 2 n S A )1(12 1 22 3 A 0 )1(12 1 )1(12 1 1)( )1( 22 )1( 22 22 teeth tt nn j S1 S2 衰减快 慢 基本上由S1决定

30、 图3-10二阶系统的实极点 0 024681012 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 z0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 z2 1.5 n C( t) 0200400600800100012001400 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 表示了二阶系统在不同值瞬态响应曲线 3.3.3 二阶系统阶跃响应的性能指标 欠阻尼情况 在控制工程中，除了那些不 容许产生振荡响应的系统外， 通常都希望控制系统具有适 度的阻尼、快速的响应速度 和较短的调节时间。 二阶系统一般

31、取 7 . 0,8 . 04 . 0 其它的动态性能指标，有的可用 n 和 精确表示，如 %, pr tt ,有的很难用 n 和准确表示如 sd tt , ,可采用近似算法。 在式0,)sin( 1 1 1)( 2 tteth d t n d t 令 arccos 1 ,5 . 0)( 2 arctgth d 2 2 1 )arccos1sin(2 ln 1 dn dn t t ，在较大的 值范围内，近似有 n d t 2 2 . 06 . 01 10 时，亦可用 n d t 7 . 01 中 r t 1)( r th ，求得 0)sin( 1 1 2 rd t te n rdt d r t

32、一定，即 一定， r t n ,响应速度越快 )(峰值时间 p t 对原始方程式 0,)sin( 1 1 1)( 2 tteth d t n 求导，并令其为零，求得 0)cos()sin( tete d t dd t n nn 2 1 )( ttg d 2 1 tg ,2 , 0 pdt ,根据峰值时间定义，应取 p t d d n d p Tt 2 1 1 2 p t距离越远）（闭环极点离负实轴的一定时， n 为二阶系统振荡周期 d T 的计算，超调量% 超调量在峰值时间发生，故)( p th即为最大输出 )sin( 1 1 1)( 2 pd t p teth pn 2 1 1)( eth

33、p 2 1sin)sin( %100%100 )( )()( % 2 1 e h hth p 1 2 1 0%100% 4 . 0%4 .25% 0 . 1 时， 0% 当 8 . 04 . 0 时 %4 .25%5 . 1% 过渡过程时间（调节时间） S t的计算 正确表达调节时间ts 的关系式比较困难。在初 步设计时，常采用下列近似公式计算 当阻尼比 0.9 取5误差带时 ts=3/n 取2误差带时 ts=4/n 振荡次数N的计算 N ts/Td= ts/2tp 取5误差带时 ts=3/n 有 取2误差带时 ts=4/n 2 12 N 2 15 . 1 N 若已知考虑到 %100% 2 1

34、 e 则N与的关系为： p N ln 2 p N ln 5 . 1 取2误差带时 取5误差带时 q阻尼系数阻尼系数 是二阶系统的一个重要参数，用它可以间是二阶系统的一个重要参数，用它可以间 接地判断一个二阶系统的瞬态品质。在接地判断一个二阶系统的瞬态品质。在 的情况下的情况下, , 瞬态特性为单调变化曲线，无超调和振荡，但瞬态特性为单调变化曲线，无超调和振荡，但 长。长。 z 1z s t 总结总结 q在欠阻尼在欠阻尼 情况下工作时，若情况下工作时，若 过小，则超过小，则超 调量大，振荡次数多，调节时间长，瞬态控制品质差。调量大，振荡次数多，调节时间长，瞬态控制品质差。 )10(zz q 越大

35、，（当越大，（当 一定时）一定时） n nn s t zz ), 3 ( 4 或 s tz q为了限制超调量，并使为了限制超调量，并使 较小，较小， 一般取一般取0.40.40.80.8， 则超调量在则超调量在25%25%1.5%1.5%之间。之间。 s tz p 先根据先根据的要求求出的要求求出，z再根据对再根据对 s t等指标的要求确定等指标的要求确定 n 3.3.4 二阶系统举例二阶系统举例 q设位置随动系统，其结构图如图所示，当给定输入设位置随动系统，其结构图如图所示，当给定输入 为单位阶跃时，试计算放大器增益为单位阶跃时，试计算放大器增益KA200，1500， 13.5时，输出位置响

36、应特性的性能指标：峰值时间时，输出位置响应特性的性能指标：峰值时间 tp，调节时间，调节时间ts和超调量和超调量，并分析比较之。，并分析比较之。 )5 .34( 5 ss K A RC 输入：单位阶跃输入：单位阶跃 )(1)(ttr s sR 1 )( 系统的闭环传递函数：系统的闭环传递函数： 2 5 ( ) 34.55 A A K s ssK 系统的闭环传递函数：系统的闭环传递函数： 与标准的二阶系统传递函数对照得：与标准的二阶系统传递函数对照得： 34.5 0.545 2 n 2 0.12 1 p d n t 峰值时间：秒 2 1 13%e 超调量： 3.0 0.17 s n t 调节时间

37、：秒 6 .311000 n 1 rad s 2 5 ( ) 34.55 A A K s ssK 系统的闭环传递函数：系统的闭环传递函数： 与标准的二阶系统传递函数对照得：与标准的二阶系统传递函数对照得： 6 .867500 n 34.5 0.2 2 n 2 0.037 84.85 1 p n t 峰值时间：秒 2 1 52.7%e 超调量： 3.0 0.17 s n t 调节时间：秒 1 rad s 2 5 ( ) 34.55 A A K s ssK 系统的闭环传递函数：系统的闭环传递函数： 与标准的二阶系统传递函数对照得：与标准的二阶系统传递函数对照得： 21. 85 .67 n 34.5

38、 2.1 2 n ? p t峰值时间：峰值时间： 0 超调量：超调量： 1 (6.451.7)1.44 s n t 调节时间：秒 无无 1 rad s 2 5 ( ) 34.55 A A K s ssK 系统在单位阶跃作用下的响应曲线系统在单位阶跃作用下的响应曲线 c(t)c(t) 1 1 0 0 t t K KA A=1500=1500 K KA A=200=200 K KA A=13.5=13.5 小结 j 0 j 0 j 0 j 0 j 0 3.3.5 3.3.5 二阶系统的单位冲激响应二阶系统的单位冲激响应 22 2 2 nn n ss sC z 1 ,sRttr 通过将二阶系统的单位

39、阶跃响应对时间求导，得出其通过将二阶系统的单位阶跃响应对时间求导，得出其 在各种情况下的单位冲激响应。在各种情况下的单位冲激响应。 欠阻尼欠阻尼10z时的单位冲激响应：时的单位冲激响应： 0 1sin 1 2 2 t tetctg n t n n z z z 无阻尼无阻尼0z时的单位冲激响应：时的单位冲激响应： 0 sint ttctg nn 临界阻尼临界阻尼1z时的单位冲激响应：时的单位冲激响应： 0 2 t tetctg t n n 过阻尼过阻尼1z时的单位冲激响应：时的单位冲激响应： 0 12 11 2 22 t eetctg tt n nn zzzz z 3.3.6 3.3.6 二阶系

40、统的单位斜坡响应二阶系统的单位斜坡响应 2 1 , s sRttr 222 2 1 2sss sC nn n z 1. 欠阻尼欠阻尼10z时的单位斜坡响应：时的单位斜坡响应： 22 2 2 2 12 22 1 nn n nn ss s ss sC z zz z z 进行反拉氏变换：进行反拉氏变换： z z 2 1 arctan2 z z z z z z z 2sin 2 sin 1 12 cos 22 2 2 t e t ttettc d d t n d n d n t n n n n n n n ssss sC 2 1 2 1 22 0 2 1 22 t etttc t n nn n z 3

41、. 过阻尼过阻尼1z时的单位斜坡响应：时的单位斜坡响应： 0 12 1212 12 12122 1 2 22 1 2 22 2 2 t e ettc t n t n n n n zz zz z zzz z zzz z 2. 临界阻尼临界阻尼时的单位斜坡响应：时的单位斜坡响应：1z 二阶系统的单位斜坡响应由稳态分量和瞬态分量组成。二阶系统的单位斜坡响应由稳态分量和瞬态分量组成。 瞬态分量为：瞬态分量为： 0lim tcc t t 输入信号与输出信号之差为：输入信号与输出信号之差为： tctctctrtctrte t n ts z2 n t tee z2 lim 说明二阶系统的单位斜坡响应与输入信

42、号之间存在误差。说明二阶系统的单位斜坡响应与输入信号之间存在误差。 n s ttc z2 其中，稳态分量为：其中，稳态分量为： 小结小结 q典型输入作用及其之间的关系典型输入作用及其之间的关系 q瞬态过程和稳态过程瞬态过程和稳态过程 q瞬态过程的性能指标（动态性能指标）瞬态过程的性能指标（动态性能指标） q一阶系统的单位阶跃响应、单位斜坡响应、阶系统的单位阶跃响应、单位斜坡响应、 单位冲激响应单位冲激响应 q典型二阶系统的单位阶跃响应典型二阶系统的单位阶跃响应无阻尼、欠无阻尼、欠 阻尼、临界阻尼和过阻尼系统阻尼、临界阻尼和过阻尼系统 q典型二阶系统的动态性能指标典型二阶系统的动态性能指标 q二阶系统的动态性能指标基于以下两个条件：二阶系统的动态性能指标基于以下两个条件： 第一，是根据系统对单位阶跃输入的响应给第一，是根据系统对单位阶跃输入的响应给 出的出的. . 第二，初始条件为零。第二，初始条件为零。 定义：用高阶微分方程描述的系统称为高阶系统。 设高阶系统闭环传递函数的一般形式为设高阶系统闭环传递函数的一般形式为 )453(, )( )( 1 1 1 | 1 1