高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入单元质量评估 2-2

1、学必求其心得，业必贵于专精第三章 数系的扩充与复数的引入单元质量评估（120分钟150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1。已知a是实数，是纯虚数,则a等于（)a。1b。1c。d。【解析】选a。=是纯虚数,则a-1=0，a+10，解得a=1。【补偿训练】复数a2b2+(a+b)i(a，br)为纯虚数的充要条件是（)a。a=bb。a0，且a=b【解析】选d。由已知复数为纯虚数得即所以a0且a=b.【误区警示】求一个复数是纯虚数的条件.避免出现只限制实部等于0，而忽视虚部不等于0的条件的错误。2.(2016山东高考）若复数z

2、满足2z+=3-2i,其中i为虚数单位,则z=（)a。1+2ib。12ic.-1+2id.-12i【解题指南】利用共轭复数的性质解题.【解析】选b.设z=a+bi(a,br),则2z+=3a+bi=32i，所以a=1,b=-2,所以z=12i.3.复数|z=1，且z1,则是（）a.实数b。纯虚数c。非纯虚数d。复数【解析】选b.设z=x+yi(x,yr),由z1，知y0,因为z|=1，所以x2+y2=1,所以=i，因为y0,所以该数为纯虚数。4。（2016全国卷）设（1+2i)（a+i)的实部与虚部相等，其中a为实数,则a=（）a.-3b.2c。2d.3【解析】选a.因为(1+2i）(a+i）

3、=a-2+(1+2a）i,其实部与虚部相等，即a2=1+2a，解得a=-3.5。设zc，若z2为纯虚数,则z在复平面上的对应点落在（）a。实轴上b.虚轴上c。直线y=x（x0)上d.以上都不对【解析】选c.设z=x+yi(x,yr），则z2=(x+yi）2=x2-y2+2xyi.因为z2为纯虚数,所以所以y=x(x0）。6.复数（i是虚数单位)的共轭复数是(）a。ib.+ic.id.-+i【解析】选b。=i，所以其共轭复数为+i.7.(2017全国丙卷）设复数z满足（1+i）z=2i,则|z=()a.b。c.d。2【解析】选c.由题意知:z=i+1，则|z|=。8。如图,在复平面内,复数z1和

4、z2对应的点分别是a和b,则=()a.+ib.+ic.id.-i【解析】选c.由题图知，z1=-2-i,z2=i，所以=-i。9.复数1+在复平面上对应的点的坐标是（）a.（1,1）b.(-1,1）c.(-1,-1)d。(1，1）【解析】选d.1+=1i,所以对应的点的坐标为（1,1）。10.如果一个复数与它的模的和为5+i,那么这个复数是（)a.b.ic。+id。+2i【解析】选c.设z=x+yi(x,yr），因为z+z=5+i，所以x+yi+=5+i,所以解得所以z=+i.【补偿训练】若z|=2，且|z+i=|z-1,则复数z=_.【解析】设z=a+bi（a,br）,则解得或答案：(1i)

5、或（1-i）11.（2017济宁高二检测）在复平面内，复数=+i对应的向量为,复数2对应的向量为，则向量对应的复数是（)a。1b.1c。id.i【解题指南】先求出对应的复数2，再由=,求对应的复数.【解析】选d.2=-i.因为=-，故对应的复数为-=i。【补偿训练】在复平面内，复数z=1i对应的向量为，复数z2对应的向量为，那么向量对应的复数为（）a.1-ib.1+ic。1+id。-1i【解析】选d。复数z=1i对应的向量为，复数z2=-2i对应的向量为，则向量对应的复数为:-2i(1-i)=1i。12.设z1,z2为复数，则下列四个结论中正确的是（)a。若+0,则b.|z1z2|=c.+=0

6、z1=z2=0d。z1是纯虚数或零【解析】选d.举例说明:若z1=4+i,z2=2-2i，则=15+8i，=-8i,+0，但与都是虚数，不能比较大小,故a错误；因为z1-z22不一定等于(z1-z2)2,故z1-z2|与不一定相等，故b错误;若z1=2+i，z2=12i，则=3+4i，=-3-4i，+=0,但z1=z2=0不成立，故c错误；设z1=a+bi(a，br),则=a-bi，故z1-=2bi，当b=0时，是零,当b0时，是纯虚数,故d正确。【补偿训练】对任意复数z=x+yi（x,yr),i为虚数单位，则下列结论正确的是(）a。|z-=2yb.z2=x2+y2c.|z-|2xd。|z|x

7、|+y【解析】选d。因为=xyi,所以z=2yi，所以|z-=2|y|,所以a错,易知c也不正确.因为z2=(x+yi）2=(x2y2)+2xyi，所以b错，因为|z=|x|+|y|,故d正确。二、填空题（本大题共4个小题,每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上)13。已知复数z=1+i,则z=_。【解析】z=1-i=1-i=-2i.答案:2i14。(2017银川高二检测)如果x-1+yi与i-3x是共轭复数(x，y是实数)，则x+y=_。【解析】由题意得x1=3x，y=-1，解得x=，y=-1，所以x+y=-。答案:15。在复数范围内解方程|z|2+（z+）i=(i为虚数单位)，则z=

8、_。【解析】原方程化简为|z|2+(z+）i=1i,设z=x+yi（x,yr)，代入上述方程得x2+y2+2xi=1i，所以x2+y2=1且2x=-1，解得x=-且y=，所以原方程的解是z=-i。答案：-i16。已知i是虚数单位，是复数z的共轭复数,若复数z满足(z-i）（1i）=4,则在复平面内对应的点位于第_象限。【解析】由已知得，z-i=2+2i,所以z=2+3i,则z的共轭复数为=23i,对应的点为（2，-3），位于第四象限.答案：四【补偿训练】在复平面内，复数z满足=,则z对应点的坐标是_。【解析】因为|+i=2，则=1i，z=1+i，所以复数z的对应点的坐标是(1，1）.答案：（1

9、，1）三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17。（10分)已知复数z1=a2-3+(a+5)i，z2=a-1+（a2+2a-1)i（ar）分别对应向量，(o为原点)，若向量对应的复数为纯虚数，求a的值。【解析】对应的复数为z2z1，则z2-z1=a-1+（a2+2a1)ia23+（a+5)i=（aa2+2)+（a2+a6)i。因为z2z1是纯虚数，所以解得a=-1。18。(12分）已知z1=1，z2=1,z1+z2|=，求|z1-z2|.【解析】在坐标系内以原点o为起点作出z1,z2对应的向量,，如图，则向量对应z1+z2,对应z1z2。由题

10、意知|=1，=1,|=，可得oz1z=120,所以z2oz1=60。所以在z2oz1中，|=1,即|z1-z2=1。【一题多解】设z1=a+bi,z2=c+di(a，b，c,dr)，由题设知a2+b2=1,c2+d2=1,(a+c)2+（b+d）2=3.所以2(ac+bd）=1。因为z1z22=（a-c）2+(bd）2=a2+b2+c2+d2-2（ac+bd）=1+1-1=1，所以z1-z2=1。19。（12分）已知复数z1，z2满足10+5=2z1z2,且z1+2z2为纯虚数，求证:3z1z2为实数.【解题指南】对10+5=2z1z2配方,得到（3z1-z2）2+(z1+2z2)2=0,z1

11、+2z2为纯虚数，纯虚数的平方为实数,则3z1-z2为实数.【证明】由10+5=2z1z2,得10-2z1z2+5=0即(3z1z2）2+（z1+2z2)2=0,那么（3z1z2)2=（z1+2z2）2=(z1+2z2)i2由于z1+2z2为纯虚数,可设z1+2z2=bi(br且b0）,所以（3z1z2)2=b2，从而3z1-z2=b,故3z1z2为实数.20.（12分)已知z为复数，z+2i为实数,且（1-2i)z为纯虚数，其中i是虚数单位.(1)求复数z.（2）若复数满足-=1,求的最小值.【解题指南】(1）求复数z时采用待定系数法，首先设z=a+bi（a,br），代入已知条件得到关于a,

12、b的方程,从而解得a，b，得到复数z.(2）采用待定系数法得到复数实虚部的关系式，进而结合两点间距离公式得到的最小值【解析】（1）设z=a+bi（a,br)，则z+2i=a+（b+2）i，因为z+2i为实数，所以有b+2=0,(1-2i）z=(1-2i）（a+bi）=a+2b+（b2a）i，因为（12i)z为纯虚数，所以a+2b=0，b2a0,由解得a=4,b=2。故z=4-2i.(2）因为z=42i,则=4+2i,设=x+yi（x,yr),因为|-=1,即（x4）2+(y-2）2=1又|=，故的最小值即为原点到圆(x4）2+（y-2)2=1上的点距离的最小值，因为原点到点（4,2)的距离为=

13、2，又因为圆的半径r=1，原点在圆外,所以的最小值即为21.21。(12分）已知关于x的方程x2（6+i）x+9+ai=0(ar)有实数根b。（1)求实数a，b的值.(2)若复数z满足|-a-bi2|z=0,求当z为何值时,z有最小值？并求出|z|的最小值.【解析】(1）因为b是方程x2(6+i)x+9+ai=0（ar)的实根,所以(b2-6b+9)+(a-b)i=0，故解得a=b=3.(2）设z=m+ni（m,nr）,由|-3-3i|=2z|，得(m3)2+（n+3）2=4（m2+n2),即（m+1）2+（n1）2=8，所以z点的轨迹是以o1（1，1)为圆心，以2为半径的圆.如图,当z点在直

14、线oo1上时，z有最大值或最小值.因为|oo1=,半径r=2,所以当z=1i时，|z有最小值，且|zmin=.【补偿训练】已知复数z=12i（i为虚数单位）.(1)把复数z的共轭复数记作,若z1=4+3i，求复数z1。(2）已知z是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根,求实数p,q的值.【解析】(1)由题意得=1+2i,所以z1=2i。（2)由题意知2(12i）2+p（1-2i)+q=0，化简得(-6+p+q）+(82p）i=0，则有6+p+q=0，-82p=0，解得p=4,q=10。22.（12分）设复数z1=(a24sin2)+(1+2cos)i,ar,(0，)，z2在复平面内对应的点在第一象限，且=-3+4i，（1)求z2及|z2.（2）若z1=z2,求与a的值.【解析】(1)设z2=m+ni（m，nr）,则=（m+ni)2=m2-n2+2mni=3+4i,即解得或所以z2=1+2i，或z2=