第一章 二体问题

1、第一章 航天器运动 主讲教师：杏建军 2021年7月1日 2 授课内容 v 绪论 v 二体相对运动方程 v 二体相对运动方程的求解 3 1.1 课程的主要研究内容课程的主要研究内容 主要研究内容主要研究内容：人造物体（航天器）在空间（距离地面100 km以上）自然力和人为控制力作用下运动的一门学科。 课程名称：航天器动力学基础与应用课程名称：航天器动力学基础与应用 主要包括天体引 力和大气阻力 航天器的运动航天器的运动：包括质心运动和姿态运动，相应的课程 为航天器质心动力学和航天器姿态动力学。 航天器质心运动和姿态运动是解耦的，因此可以分开研航天器质心运动和姿态运动是解耦的，因此可以分开研 究

2、和控制究和控制。为什么？ 4 1.1 课程的主要研究内容课程的主要研究内容 课程主要研究内容：课程主要研究内容： 1、航天器运动数学建模（、航天器运动数学建模（物理规律的研究物理规律的研究） 2、数学模型的求解（、数学模型的求解（微分方程的求解微分方程的求解） 3、数学模型解算条件的提供（、数学模型解算条件的提供（微分方程解算条件的提供微分方程解算条件的提供） 4、航天器运动规律的应用（、航天器运动规律的应用（具体的工程实践具体的工程实践） 物理规律的研究：物理规律的研究：牛顿定理和万有引力定理牛顿定理和万有引力定理 非线性微分方程的求解非线性微分方程的求解： 数学模型解算条件的提供数学模型解

3、算条件的提供：初始轨道的测量和最优控制：初始轨道的测量和最优控制 航天器运动规律的应用航天器运动规律的应用：各种航天任务的轨道设计：各种航天任务的轨道设计 ( , , , )ftrr r u 5 1.2 课程的作用课程的作用 航天器质心运动规律的研究是一切航天任务的开始的基础航天器质心运动规律的研究是一切航天任务的开始的基础 任何航天任务的设计都要满足其基本的运动规律（例如：任何航天任务的设计都要满足其基本的运动规律（例如： 在万有引力作用下，航天器作圆锥曲线运动在万有引力作用下，航天器作圆锥曲线运动） 讨论问题：有没有可能设计任意飞行的航天器？讨论问题：有没有可能设计任意飞行的航天器？ 6

4、1.2 课程的作用课程的作用 航天器相对运动实例航天器相对运动实例 7 1.2 课程的作用课程的作用 对于人造地球卫星来说，航天器轨道高度是任务设计的对于人造地球卫星来说，航天器轨道高度是任务设计的关关 键参数键参数。 为什么？ 轨道高度决定了：轨道高度决定了： 发射成本发射成本 效载荷规模。如雷达、光学相机、通信卫星发射机效载荷规模。如雷达、光学相机、通信卫星发射机 对地球的覆盖范围。对地球的覆盖范围。 对热点地区的覆盖特性对热点地区的覆盖特性 决定了一些有特殊用途的轨道决定了一些有特殊用途的轨道 8 1.2 课程的作用课程的作用 对于深空探测器，航天器轨道设计决定了整个任务过程对于深空探测

5、器，航天器轨道设计决定了整个任务过程 卡西尼号是17国参与的土星 探测任务，历时过6年8个月、 32亿千米。 卡西尼号的诡异飞行轨迹卡西尼号的诡异飞行轨迹 为什么这样设计？直接飞行 只需12.5亿千米 行星助力飞行，节省燃料。如 果直接飞往土星，需要70吨推 进剂，卡西尼号总重6.4吨 9 1.2 课程的作用课程的作用 亚星三号卫星亚星三号卫星 亚星三号是美国休斯公司 为香港亚洲卫星公司制作的 通信卫星，于1997年12月由 质子火箭发射进入地球静止 轨道，但由于火箭故障，进 入了轨道倾角为51的无用 轨道，发射失败，香港卫星 公司向保险公司索赔2亿美金。 一个航天史上的故事由此开始一个航天史

6、上的故事由此开始 10 1.3 学科发展史学科发展史 从严格意义上来说，航天器动力学开始于上世纪从严格意义上来说，航天器动力学开始于上世纪50年代前苏年代前苏 联发射第一颗人造地球卫星，但它的起源非常久远。联发射第一颗人造地球卫星，但它的起源非常久远。 古典天文学古典天文学 中国是世界上天文学起步最早，发展最快的国家之一。中国是世界上天文学起步最早，发展最快的国家之一。 早在尧舜时代就设置了天文官。早在尧舜时代就设置了天文官。 1. 古希腊也是古典天文学什么发达的国家，取得了辉煌的古希腊也是古典天文学什么发达的国家，取得了辉煌的 成就，并对欧洲各国的文化影响很大。主要成果包括：成就，并对欧洲各

7、国的文化影响很大。主要成果包括： 确定地球的形状和大小；日月的远近和大小；日心说等。确定地球的形状和大小；日月的远近和大小；日心说等。 11 1.3 学科发展史学科发展史 古典天文学的社会需求古典天文学的社会需求 制定历法的需要，知道农业生产。如我们常说的制定历法的需要，知道农业生产。如我们常说的24节气节气 预测天灾人祸，旦夕祸福。（在古代，占星术和天文学预测天灾人祸，旦夕祸福。（在古代，占星术和天文学 是没有明显的区别的）是没有明显的区别的） 古典天文学研究方法古典天文学研究方法 没有理论指导，没有先进的观测手段没有理论指导，没有先进的观测手段 兴趣，长期不懈的观测，积极思考兴趣，长期不懈

8、的观测，积极思考 12 1.3 学科发展史学科发展史 天体力学：应用天体力学：应用力学规律力学规律研究天体的运动和形状研究天体的运动和形状 天体力学以天体力学以数学数学为主要研究手段（微积分），以牛顿为主要研究手段（微积分），以牛顿万万 有引力定律有引力定律为基础。为基础。 天体力学的发展天体力学的发展 奠基期奠基期（从古典天文学到十九世纪后期），标志性成果：（从古典天文学到十九世纪后期），标志性成果： 开普勒提出三大定理；牛顿创立微积分，发现万有引力开普勒提出三大定理；牛顿创立微积分，发现万有引力 定理；欧拉、达朗贝尔、拉格朗日、拉普拉斯创立分析定理；欧拉、达朗贝尔、拉格朗日、拉普拉斯创立分

9、析 力学，建立了天体力学的力学基础，提出了摄动理论的力学，建立了天体力学的力学基础，提出了摄动理论的 分析方法；海王星的发现（理论的实际应用）。分析方法；海王星的发现（理论的实际应用）。 13 1.3 学科发展史学科发展史 天体力学的发展天体力学的发展 发展期发展期（从十九世纪后期到二十世纪（从十九世纪后期到二十世纪50年代）。研究对年代）。研究对 象新增加了太阳系的小天体。研究方法新增了定性方法象新增加了太阳系的小天体。研究方法新增了定性方法 和数值方法，定性方法由庞加莱和李雅普洛夫创建，数和数值方法，定性方法由庞加莱和李雅普洛夫创建，数 值方法最早追溯到高斯（最小二乘定轨）。值方法最早追溯

10、到高斯（最小二乘定轨）。 新时期新时期（二十世纪（二十世纪50年代以后，航天器动力学出现）。年代以后，航天器动力学出现）。 研究对象新增了人造物体，物体运动的预报精度与观测研究对象新增了人造物体，物体运动的预报精度与观测 精度大大提高，相应的摄动分析方法、定性方法和数值精度大大提高，相应的摄动分析方法、定性方法和数值 方法也有了相应的发展。方法也有了相应的发展。 14 1.3 学科发展史学科发展史 航天器动力学航天器动力学 二十世纪二十世纪50年代以后，随着人造天体的发射，航天器动年代以后，随着人造天体的发射，航天器动 力学出现。力学出现。 与天体力学相比，研究对象发生了变化（人造物体）。与天

11、体力学相比，研究对象发生了变化（人造物体）。 与自然天体相比，人造物体的受力物体增加了人为控制力，与自然天体相比，人造物体的受力物体增加了人为控制力， 运动形式更为复杂；物体的预报精度与观测精度大大提高。运动形式更为复杂；物体的预报精度与观测精度大大提高。 研究的基本方法没有变化：以微积分为数学基础，以摄研究的基本方法没有变化：以微积分为数学基础，以摄 动分析方法、定性分析方法和数值方法为手段。动分析方法、定性分析方法和数值方法为手段。 15 1.4 教程和参考书教程和参考书 1、航天器轨道动力学，、航天器轨道动力学，赵钧赵钧编著，哈工大出版社，编著，哈工大出版社，2011 2、航天器轨道动力

12、学与控制，、航天器轨道动力学与控制，杨嘉摨杨嘉摨主编，宇航出版社，主编，宇航出版社， 1995（注：国内航天器领域经典专著）（注：国内航天器领域经典专著） 3、Fundamentals of Astrodynamics and Applications(Second Edition)，Vallado，D.V. Microcosm Press, 2001 （注：国外（注：国外 经典教材）经典教材） 4、An introduction to the mathematics and methods of astrodynamics, Richard H. B. AIAA, 1999 （注：（注：MI

13、T教材）教材） 16 1.5 考核方式和成绩评定考核方式和成绩评定 考核方式考核方式考核内容考核内容成绩比例（成绩比例（%） 平时到课率、课堂回平时到课率、课堂回 答问题及研讨答问题及研讨 基础知识，学习主动性基础知识，学习主动性2020 课后作业课后作业 综合应用知识解决具体综合应用知识解决具体 工程问题的能力工程问题的能力 1010 文献阅读与专题报告文献阅读与专题报告 自主学习，分析问题和自主学习，分析问题和 主动交流的能力主动交流的能力 2020 期末闭卷理论考试期末闭卷理论考试 学生掌握基本概念及基学生掌握基本概念及基 本理论的程度本理论的程度 5050 17 授课内容 v 绪论 v

14、 二体相对运动方程 v 二体相对运动方程的求解 18 牛顿第二定理牛顿第二定理：Force = Mass Acceleration 2 1211 1 22 Gm md m rrdt 2 rrr 2.1 万有引力定律和牛顿第二定律万有引力定律和牛顿第二定律 2 1212 2 22 Gm md m rrdt 2 rrr 万有引力定理万有引力定理：任意两个质点有通过连线方向上的力相 互吸引。该引力大小与它们质量的乘积成正比，与它们 距离的平方成反比。 m1 m2 r1 r2 19 2 1211 1 22 Gm md m rrdt 2 rrr 2.2 二体系统线动量守恒定理二体系统线动量守恒定理 2

15、1212 2 22 Gm md m rrdt 2 rrr 2 1 12 2 2 0 dmm dt rr 1 12 2 12 mm mm cm rr r 2 2 0 d dt cm r 内力不改变系统的质心内力不改变系统的质心 20 2 1211 1 22 Gm md m rrdt 2 rrr 2.3 二体相对运动方程二体相对运动方程 2 1212 2 22 Gm md m rrdt 2 rrr 2 1212 22 () ()()G mmd rrdt 21 rrrr 2 12 223 () = G mmd dtrrr rr r 21 2.3 二体相对运动方程二体相对运动方程 12 1 12212

16、 2 0 Gm m m am amm r 12 aa 另一种推导思路另一种推导思路 质点质点m1与质点与质点m2所受的相互引力大小相等，方向相反所受的相互引力大小相等，方向相反 212 23 1 ()mG mm mrrr 2122 r aaaar 222 2 222 ddd dtdtdt 1 21 rrr aa 22 2.4 讨论讨论1：m1相对系统质心的相对运动方程相对系统质心的相对运动方程 推导质点推导质点m1相对系统质心的相对系统质心的 相对运动方程相对运动方程 2 12 223 () = G mmd dtrrr rr r质点质点m2相对相对m1的相对运动方程的相对运动方程 m1 m2

17、r1 r2 rcm cm 32 2 223 12 () Gmd dtmmr rr 23 1.4 讨论问题讨论问题2 如果在地球附近发射一颗人造地球卫星，其相对地心的如果在地球附近发射一颗人造地球卫星，其相对地心的 相对运动方程是什么？相对运动方程是什么？ 如果向月球发射一个月球探测器，其相对地月质心的相如果向月球发射一个月球探测器，其相对地月质心的相 对运动方程是什么？对运动方程是什么？ 如果向月球发射一个月球探测器，其相对地球质心的相如果向月球发射一个月球探测器，其相对地球质心的相 对运动方程是什么？对运动方程是什么？ 24 2.5 二体相对运动方程的标量表示二体相对运动方程的标量表示 矢量

18、形式的非线性微分方程矢量形式的非线性微分方程 2 12 223 () = G mmd dtrrr rr r 为了在实际中应用，需要转换为标量形式为了在实际中应用，需要转换为标量形式 yz xyz x riii 2 23 2 23 2 23 = = = d x x dtr d y y dtr d z z dtr 直角坐标的基矢量不直角坐标的基矢量不 随时间变化随时间变化 25 2.6 讨论讨论3： 二体相对运动方程的极坐标形式二体相对运动方程的极坐标形式 极坐标的基矢量是随时间变化极坐标的基矢量是随时间变化 x i y i r i i 2 2 2 2 20 d rr dtr dd rr dtdt

19、 26 2.7 课后作业课后作业 通过复习或者自学理论力学中拉格朗日方程的有关内容，通过复习或者自学理论力学中拉格朗日方程的有关内容， 应用拉格朗日方程推导讨论问题应用拉格朗日方程推导讨论问题1、3。下节课随机抽点。下节课随机抽点 学生上台上述，并请所有学生提交推导过程作业。学生上台上述，并请所有学生提交推导过程作业。 作业关键点：作业关键点： 拉格朗日函数拉格朗日函数 = 系统动能系统动能-系统的势能；系统的势能； 拉格朗日方程；拉格朗日方程； 1. 广义坐标。广义坐标。 阅读：阅读：An introduction to the mathematics and methods of astr

20、odynamicsp97-p99；p110。 27 授课内容 v 绪论 v 二体相对运动方程 v 二体相对运动方程的求解 28 3.1 近似方法近似方法 非线性微分方程非线性微分方程 2 23 = d dtr r r 微分方程解决的基本方法：解析法和数值法微分方程解决的基本方法：解析法和数值法 解析法：求出非线性微分方程的解析解。解析法：求出非线性微分方程的解析解。 hg 算例：自由落体运动算例：自由落体运动 29 3.1 近似的方法近似的方法 基本原理：泰勒级数展开基本原理：泰勒级数展开 数值积分法：通过数值积分的方法求解数值积分法：通过数值积分的方法求解 (,)yfxy 1 (1)( )y

21、 iy iKh h步长步长 1 ( ),( ) (,) xiyi Kfxy 经典方法：龙格库塔方法经典方法：龙格库塔方法 30 3.1 近似的方法近似的方法 龙哥库塔方法龙哥库塔方法Matlab函数：函数：ode45 t,y=ode45(orbit,tspan,y0,options) function dy = orbit(t,y,flag,mu) %函数说明输入输出函数说明输入输出 dy =zeros(6,1); r = sqrt(y(1)2 + y(3)2 + y(5)2); dy(1) = y(2); dy(2) = -mu/r3*y(1); dy(3) = y(4); dy(4) =

22、-mu/r3*y(3); dy(5) = y(6); dy(6) = -mu/r3*y(5); end 2 23 2 23 2 23 = = = d x x dtr d y y dtr d z z dtr 31 3.1 近似的方法近似的方法 function robit_computer mu = 3.986004418e+14; %地球引力常数 tspan = 0:60:86400; options = odeset(AbsTol,1e-15,RelTol,1e- 12,NormControl,on); x0 = -5292392.072;-4862.201380;3111662.355;

23、- 4136.781314; 3101114.660;-4147.028008; T,Y = ode45(orbit,tspan,x0,options,mu); plot3(Y(:,1),Y(:,3),Y(:,5) 32 -1 -0.5 0 0.5 1 x 10 7 -5 0 5 x 10 6 -5 0 5 x 10 6 33 3.1 近似的方法近似的方法 近似级数展开方法近似级数展开方法 22 0 00 2 ()( )( ) ( )()() 2 ! ttd r tdr t r tr ttt d td t An introduction to the mathematics and metho

24、ds of astrodynamicsp110-p114有二体问题的近似级数展开详细 推导和高效迭代算法，请大家自学并完成问题3-5。 34 3.2 二体问题的解析解二体问题的解析解 二体运动方程二体运动方程 2 23 = d dtr r r 角动量矢量常数角动量矢量常数 2 23 = d dtr r rrr () =0 dd dtdt vrv r const hrv 35 3.2 二体问题的解析解二体问题的解析解 开普勒第二定理开普勒第二定理二体问题角动量是常数二体问题角动量是常数 角动量在极坐标下的表示角动量在极坐标下的表示 ddd rrrr dtdtdt r rr ir viii 2 d

25、 r dt z hrvi 面积化率面积化率 2 1 2 dAd r dtdt 36 3.2 二体问题的解析解二体问题的解析解 偏心率矢量常数偏心率矢量常数 2 23 = d dtr r hrh 2 z h r r ii dd dtdt r i i 拉格朗日矢量拉格朗日矢量 ()dd dtdt r ivh const r vhre e 偏心率矢量偏心率矢量 e 37 3.2 二体问题的解析解二体问题的解析解 开普勒第一定理开普勒第一定理 r e rvh rr r ()abc 矢量运算公式矢量运算公式 2 hr r e rvh rrv hr r cosrefe r其中其中f是是e与与r两个矢量的夹

26、角，定义为两个矢量的夹角，定义为 真近点角真近点角 38 3.2 二体问题的解析解二体问题的解析解 2 cosrefhr 2 / 1cos1cos hp r efef 圆锥曲线方程，当圆锥曲线方程，当e在（在（0，1）之间时为椭圆，即开）之间时为椭圆，即开 普勒第一定理普勒第一定理 f= 0为近地点，为近地点，f = 180为远地点为远地点 11 pa pp rr ee 2 2(1) pa rrapae 39 3.2 二体问题的解析解二体问题的解析解 开普勒第三定理开普勒第三定理 2 (1) 1cos1cos pae r efef 椭圆的面积椭圆的面积 2 22 0 11 22 dAr dAr

27、 d 40 3.2 二体问题的解析解二体问题的解析解 行星（人造地球卫星）扫过一圈的时间定义为行星行星（人造地球卫星）扫过一圈的时间定义为行星 的运动周期的运动周期T 222 (1)1 222 paeaeh T 行星的运动周期行星的运动周期 3 2 a T 定义椭圆上的平均运动定义椭圆上的平均运动n 3 2 n Ta 开普勒第三定理开普勒第三定理 3 2 a const T 这个定理是 正确的吗？ 41 3.2 二体问题的解析解二体问题的解析解 能力积分常数能力积分常数 11 r evhr 2 2 222 2 12 1 12 1 12 1 r r h vh r e evhvhrvh hvhvrv h 1 222 2 22 1 hvv ea rr 42 3.2 二体问题的解析解二体问题的解析解 能量积分常数能量积分常数 1 22 2 22 vv a rra 动能 势能 动能动能+势能势能=常数常数 在中心引力作用系统能力守恒在中心引力作用系统能力守恒 此公式又成为此公式又成为活力公式活力公式（vis-viva equations）,是航天是航天 动力学里面非常重要的一个恒等式。动力学里面非常重要的一个恒等式。 43 3.2 二体问题的解析解二体问题的解析解 活力公式的应用，航天器