高中数学 第三章 导数及其应用 3.1.3 导数的几何意义课后提升训练（含解析）1-1

1、学必求其心得，业必贵于专精导数的几何意义（30分钟60分）一、选择题（每小题5分,共40分)1.(2017天津高二检测）已知曲线f（x）=12x2+2x的一条切线斜率是4,则切点的横坐标为（）a。2b。-1c。1d。2【解析】选d。y=f(x+x)f(x)=12（x+x）2+2(x+x）12x2-2x=xx+12（x）2+2x,所以yx=x+12x+2，所以f （x）=limx0yx=x+2.设切点坐标为(x0，y0），则f （x0）=x0+2。由已知x0+2=4，所以x0=2。2.y=-1x在点12,-2处的切线方程是（）a.y=x2b。y=x12c.y=4x-4d.y=4x-2【解析】选c

2、.先求y=-1x的导数，因为y=-1x+x+1x=xx(x+x)，所以yx=1x(x+x)，所以limx0yx=limx01x(x+x)=1x2,即y=1x2,所以y=1x在点12,-2处的切线斜率k=y|x=12=4,所以切线方程为y+2=4x-12，即y=4x4.3.(2017泰安高二检测)曲线y=13x3-2在点-1,-73处切线的倾斜角为(）a。30b.45c.135d。60【解析】选b.y=13(1+x)313(-1）3=xx2+13（x）3，yx=1x+13（x)2，limx0yx=limx01-x+13(x)2=1，所以曲线y=13x32在点-1,-73处切线的斜率是1，倾斜角为

3、45。4.设f（x）为可导函数且满足limx0f(1)-f(1-2x)2x=-1,则过曲线y=f(x)上点(1,f(1）处的切线斜率为（）a.2b.-1c。1d。2【解析】选b.limx0f(1)-f(1-2x)2x=limx0f(1-2x)-f(1)-2x=lim-2x0f1+(-2x)-f(1)-2x=f (1）=-1。5。设曲线y=ax2在点（1,a）处的切线与直线2x-y6=0平行,则a的值为(）a.1b.12c.12d。1【解析】选a。因为y=limx0a(1+x)2-a12x=limx0(2a+ax)=2a。所以2a=2,a=1。6。函数f（x)=x-x31的图象在点(1，1)处的

4、切线与直线4x+ay+3=0垂直，则a=（)a。8b。8c.2d。-2【解析】选b.由导函数的定义可得函数f（x）的导数为f（x)=1-3x2,所以f(1)=2,所以在点(1，1)处的切线的斜率为2，所以直线4x+ay+3=0的斜率为12，所以4a=12，所以a=-8。7.(2017贵阳高二检测）已知函数y=f(x）的图象如图，f（xa)与f(xb)的大小关系是（）a。0f(xa）f(xb）b.f（xa)f（xb）0c。f（xa)=f(xb)d.f（xa)f(xb)0【解析】选b。f（xa）和f(xb)分别表示函数图象在点a,b处的切线斜率，故f(xa）f(xb）0.【补偿训练】已知y=f（x

5、)的图象如图所示,则f（xa)与f（xb)的大小关系是()a.f(xa）f（xb）b。f（xa）=f(xb)c.f(xa)kb，根据导数的几何意义有：f（xa)f（xb).8。已知函数f（x)=x2+2bx的图象在点a（0，f（0）)处的切线l与直线x+y+3=0垂直,若数列1f(n)的前n项和为sn，则s2 017的值为（）a。2 0192 018b.2 0172 018c.2 0202 019d.2 0182 019【解题指南】由条件利用函数在某一点的导数的几何意义求得b的值，根据f(n）的解析式,用裂项法求得数列1f(n)的前n项和为sn的值,可得s2 017的值。【解析】选b.由题意可

6、得a(0，0)，函数f(x)=x2+2bx的图象在点a(0，0)处的切线l的斜率k=limx0(x)2+2bxx=2b，再根据l与直线x+y+3=0垂直，可得2b（1）=-1，所以b=12。因为f(n)=n2+2bn=n2+n=n(n+1),所以1f(n)=1n1n+1，故数列1f(n)的前n项和为sn=1-12+12-13+13-14+1n-1n+1=11n+1,所以s2 017=112 018=2 0172 018.二、填空题（每小题5分,共10分）9.设p为曲线c:y=x2+2x+3上的点，且曲线c在点p处的切线倾斜角的范围为0,4，则点p横坐标的取值范围为.【解析】因为f(x)=lim

7、x0(x+x)2+2(x+x)+3-(x2+2x+3)x=limx0(2x+2)x+(x)2x=limx0(x+2x+2）=2x+2。所以可设p点横坐标为x0，则曲线c在p点处的切线斜率为2x0+2.由已知得02x0+21，所以-1x012,所以点p横坐标的取值范围为-1,-12。答案:-1,-1210。(2017兴义高二检测）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f(x),f（0）0,对于任意实数x，有f(x)0,则f(1)f(0)的最小值为。【解题指南】由导数的定义，先求出f（0)的值，从而求出f(1)f(0)的表达式,再利用“对于任意实数x，有f（x）0”这一条件,借助不等式的知

8、识即可求解。【解析】由导数的定义，得f（0)=limx0f(x)-f(0)x=limx0a(x)2+b(x)+c-cx=limx0a(x)+b=b.又因为对于任意实数x,有f(x)0,则=b2-4ac0,a0,所以acb24，所以c0。所以f(1)f(0)=a+b+cbb+2acb2bb=2。答案:2三、解答题11.（10分)已知直线l1为曲线y=x2+x-2在(1,0）处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1l2.（1）求直线l2的方程.(2)求由直线l1,l2和x轴围成的三角形的面积.【解析】(1）y=limx0(x+x)2+(x+x)-2-x2-x+2x=limx02xx+(x)2+x

9、x=limx0（2x+x+1)=2x+1。yx=1=21+1=3，所以直线l1的方程为y=3(x1)，即y=3x3.设直线l2过曲线y=x2+x-2上的点b(b，b2+b2),则l2的方程为y=（2b+1）xb22.因为l1l2,则有2b+1=13,b=-23.所以直线l2的方程为y=13x-229。(2)解方程组y=3x-3,y=-13x-229,得x=16,y=-52.所以直线l1和l2的交点坐标为16,-52。l1，l2与x轴交点的坐标分别为（1，0)，-223,0.所以所求三角形的面积s=12253-52=12512.【能力挑战题】试求过点m（1,1)且与曲线y=x3+1相切的直线方程

10、.【解析】yx=(x+x)3+1-x3-1x=3x(x)2+3x2x+(x)3x=3xx+3x2+（x）2.limx0yx=3x2,因此y=3x2，设过(1，1)点的切线与y=x3+1相切于点p(x0,x03+1),据导数的几何意义，函数在点p处的切线的斜率为k=3x02,过（1,1）点的切线的斜率k=x03+1-1x0-1,所以3x02=x03x0-1，解得x0=0或x0=32，所以k=0或k=274，因此y=x3+1过点m（1,1)的切线方程有两个,分别为y1=274（x1）和y=1,即27x4y-23=0或y=1.【误区警示】本题易错将点（1,1）当成了曲线y=x3+1上的点.因此在求过

11、某点的切线时，一定要先判断点是否在曲线上,再据不同情况求解.【补偿训练】设函数f(x）=x3+ax2-9x1（a0)。若曲线y=f(x）的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行,求a的值.【解析】设曲线y=f(x)与斜率最小的切线相切于点（x0,y0）,因为y=f(x0+x)f（x0)=(x0+x）3+a（x0+x)29(x0+x)1（x03+ax029x0-1)=（3x02+2ax0-9）x+(3x0+a)(x）2+(x)3,所以yx=3x02+2ax0-9+（3x0+a）x+（x)2。当x无限趋近于零时,yx无限趋近于3x02+2ax0-9.即f（x0）=3x02+2ax09。所以f(x0)=3x0+a32-9