高中数学 第三章 函数的应用 3.1.2 用二分法求方程的近似解课后提升训练

1、学必求其心得，业必贵于专精用二分法求方程的近似解(45分钟70分）一、选择题(每小题5分，共40分)1。下列函数能用二分法求零点的是（）a。f（x)=x2b.f（x)=-x2+1c。f（x)=ln(x+2）2d.f(x)=1|2x-3|【解析】选c.因为函数f(x)=ln(x+2）2的零点为x=-1，函数在x=-1两侧的函数值符号异号，此函数能用二分法求零点.【补偿训练】（2017故城高一检测）已知函数y=f（x）的图象如图,其中可以用二分法求解的零点的个数为（)a.1个b.2个c。3个d。4个【解析】选c.因为函数y=f(x）与x轴有4个交点，其中一个交点，左右两边函数值符号相同不能用二分法

2、求解，所以可以用二分法求解的零点的个数为3个.2.（2017广州高一检测）用二分法求函数f(x)=2x-3的零点时,初始区间可选为（)a.(-1，0）b。（0,1）c。(1，2)d.(2,3)【解析】选c。因为f（-1）=213=-520，所以f(1)f(2）0，所以f(x)的零点x0(1，2）.3.在用二分法求函数f（x)的零点近似值时,第一次所取的区间是2，4，则第三次所取的区间可能是（）a。1，4b.2,1c.-2,52d。-12,1【解析】选d。因为第一次所取的区间是2，4，所以第二次所取的区间可能是-2，1，1，4,所以第三次所取的区间可能是-2,-12,-12,1，1,52,52,

3、4。故选d.4。（2017济宁高一检测)若函数f（x）=x3-x-1在区间1,1.5内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算列表如下x11。51。251.3751.312 5f(x）10。8750。296 90。224 60.051 51那么方程x3x-1=0的一个近似根(精确度为0.1）为（）a.1。3b.1。3125c。1。4375d.1。25【解析】选b。由于f（1。375）0,f(1。3125）0，且1。3751.31250.1。【误区警示】解答本题易出现选a的错误，导致出现这种错误的原因是对精确度的概念理解不清所致,精确度为0.1并不是让近似根保留1位小数，而是区间的右端点减去左端点的

4、值的绝对值小于0.1.5。(2017石家庄高一检测)用二分法求方程f（x)=0在区间(1,2)内的唯一实数解x0时,经计算得f(1)=3,f（2)=5，f32=9,则下列结论正确的是（)a.x01,32b。x0=32c.x032,2d.x01,32或x032,2【解析】选c.因为f（2)f320，所以x032,2.6。用二分法求方程f（x)=0在区间a，b内的根,二分次数n+1（）a。只与函数f（x)有关b。只与根的分离区间的长度以及精确度有关c。与根的分离区间长度、精确度以及函数f(x）都有关d.只与精确度有关【解析】选c。根据二分法的定义可判断c正确。7。(2017长沙高一检测)若函数f（

5、x)的零点与g(x)=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0。25,则f（x）可以是（）a。f（x)=4x1b.f(x）=（x-1）2c。f（x）=ex-1d。f(x)=lnx-12【解析】选a.因为g14=2-320,所以g14g120,所以g(x)=4x+2x2的零点x014,12.a中，函数f(x）=4x1的零点为14，则0x01414,所以x0-1414,满足题意.b中，f(x)=（x-1)2的零点为1，则-34x0112，|x0-112,不满足题意.c中f(x)=ex-1的零点为0，1414，不满足题意。d中，f（x)=lnx-12的零点为32,则54x0321，所以x0-321,

6、不满足题意。8.用二分法求函数的零点,经过若干次运算后函数的零点在区间（a,b）内，当ab（为精确度）时,函数零点近似值x0=a+b2与真实零点的误差最大不超过（）a。4b。2c。d.2【解析】选b.真实零点离近似值x0最远即靠近a或b,而ba+b2=a+b2-a=b-a22，因此误差最大不超过2。二、填空题（每小题5分，共10分)9.(2017晋江高一检测)若函数f(x)=x3+x22x-2的一个零点(正数）附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：f（1)=2f（1.5）=0。625f(1.25)-0。984f(1.375）0.260f(1.437 5)0。162f（1。406 25)0

7、。054那么方程x3+x2-2x2=0的一个近似解(精确度0.1)为_.【解析】由于精确度是0。1，而|1.4375-1。375=0.06250。1，故可得方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解为1.4375.答案:1.4375(答案不唯一）【延伸探究】用二分法求函数零点应注意的两个问题（1）求函数的近似零点时,所要求的精确度不同，得到的结果也不相同.（2)求函数零点的近似值时，由于所选取的起始区间不同，最后得到的结果可以不同,但它们都是符合所给定的精确度的.10。(2017日照高一检测)在用二分法求方程x3-2x1=0的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1，2)内，则下一步可判定该根所

8、在的区间为_。【解析】区间（1,2）的中点为x0=32,令f(x)=x32x1,f32=27840,f(2)=84-10，则根所在的下一个区间为32,2.答案：32,2【补偿训练】(2017南京高一检测）函数f(x）=x2+ax+b有零点，但不能用二分法求出,则a,b的关系是_.【解析】因为函数f(x)=x2+ax+b有零点，但不能用二分法求出,所以函数的零点为不变号零点，即二次函数f(x)=x2+ax+b与x轴只有一个交点，所以=a24b=0,所以a2=4b.答案:a2=4b三、解答题（每小题10分,共20分）11.证明方程6-3x=2x在区间1,2内有唯一一个实数解，并求出这个实数解。（精

9、确度为0。1)【解析】设函数f(x）=2x+3x6，因为f（1)=-10，又因为f(x)是增函数，所以函数f（x)=2x+3x-6在区间1，2内有唯一的零点,则方程63x=2x在区间1,2内有唯一一个实数解，设该解为x0，则x01，2，取x1=1.5，f(1。5）1.330，f(1)f(1.5）0，f(1）f(1。25)0,所以x0（1，1.25)，取x3=1。125,f（1。125)0.4440,f（1。125）f(1.25）0，所以x0(1.125,1。25),取x4=1.1875,f(1.1875)-0。160,所以f（1。1875)f(1。25)0,所以x0(1。1875，1。25）,

10、因为|1。25-1。1875=0。06250.1，所以1。1875可作为这个方程的实数解。12.用二分法求函数y=f(x）=x33的一个正零点(精确度0。1）。【解析】由于f（1)=20，因此可取区间1，2作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，如表：端点或中点坐标端点或中点的函数值取区间a0=1,b0=2f（1）=20（1，2)x1=1+22=1.5f（1.5)=0。3750（1,1.5)x2=1+1.52=1.25f（1。25）-1。046 90(1。25，1。5）x3=1.25+1.52=1.375f（1.375）-0。400 40（1.375，1.5)x4=1.375+1.52=1.43

11、7 5f（1。437 5)0.029 50（1。437 5，1。5)从表中可知1.51。4375|=0。06250。1,所以函数y=x3-3精确度为0.1的正零点可取为1.5.【能力挑战题】（1）方程2x36x2+3=0有几个解?如果有解，全部解的和为多少?（精确度为0。01）(2）探究方程2x36x2+5=0，2x3-6x2+8=0的全部解的和，你由此可以得出什么结论？【解析】(1)设函数f（x）=2x36x2+3，因为f（-1)=50，f（0)=30,f(1）= -10,f（2)=50,f(3）=30且函数f(x)=2x36x2+3的图象是连续的曲线,所以方程2x3-6x2+3=0有三个实

12、数解。因为f（-1)f(0）0,所以在区间（-1,0）内有一个解x0.取区间(1，0）的中点x1=0.5，用计算器可算得f(-0。5）=1.250。因为f(1)f(0。5)0,所以x0（1,-0。5).再取(1，-0。5)的中点x2=0。75，用计算器可算得f(-0.75)0。因为f(0.75）f(-0。5）0,所以x0（0.75,-0。5）.同理，可得x0(-0.75，-0。625）,x0（-0.6875，-0.625）,x0（0。65625，0。625),x0(-0。65625,0。640625)，x0(0。6484375，0.640625),x0(0.64453125,0。640625）.由于|(-0。640625)(0。64453125)0。01,此时区间(-0.64453125，0.640625）的两个端点精确到0.01的近似值都是0.64，所以方程2x3-6x2+3=0在区间(1，0)且精确到0.01的近似解约为-0。64。同理可求得方程2x3-6x2+3=0在区间(0，1)和(2,3)内且精确到0.01的近似解分别为0.83，2。81。所以，方程2x3-6x2+3=0的三个解的和为0。6