系统运动的稳定性

1、5.1 内部稳定性与外部稳定性内部稳定性与外部稳定性 5.2 李雅普诺夫稳定性的定义李雅普诺夫稳定性的定义 5.3 李雅普诺夫第二法的主要定理李雅普诺夫第二法的主要定理 5.4 构造李雅普诺夫函数的规则化方法构造李雅普诺夫函数的规则化方法 5.5 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析 5.6 Matlab问题问题 本章小结本章小结 第五章 系统运动的稳定性 本本 章章 简简 介介 q本章讨论李雅普诺夫稳定性分析。 主要介绍 内部稳定性和李雅普诺夫稳定性的定义以及 分析系统状态稳定性的李雅普诺夫理论和方法; 着重讨论 李雅普诺夫第二法及其在非线性系统的应用、 李雅普诺夫函数的构造。 李雅普诺

2、夫 俄国数学家李雅普诺夫1892 年博士论文运动稳定性的 一般问题中创立的稳定性 理论被引入到控制中。 其人： 1857年6月6日生于俄国； 1876年，李雅普诺夫考入圣彼得堡 大学数学系； 1880年大学毕业后留校； 1892年获博士学位并成为教授； 1901年被选为科学院院士； 主要贡献： 创立了特征函数法； 常微分方程运动稳定性理论 5.1 内部稳定性与外部稳定性 （P213） q一个自动控制系统要能正常工作，必须首先是一个稳 定的系统。 例如，电机自动调速系统中保持电机转速为一定 的能力以及火箭飞行中保持航向为一定的能力等。 具有稳定性的系统称为稳定系统。 q稳定性的定义为： 当系统受

3、到外界干扰后，显然它的平衡被破坏， 但在外扰去掉以后，它仍有能力自动地在平衡态 下继续工作。 如果一个系统不具有上述特性，则称为不稳定 系统 实际上 ，控制系统的稳定性，通常有两种定义方式： q 外部稳定性：是指系统在零初始条件下通过其外部 状态，即由系统的输入和输出两者关系所定义的外 部稳定性。 （书P213 定义5.1） 定义：称一个系统的外部稳定（BIBO）是指对 任何一个有界输入u(t)，即满足条件： 的任意输入u(t)，对应的输出y(t)均为有界，即有 经典控制理论讨论的有界输入有界输出稳定 (BIBO)即为外部稳定性 。 在经典控制理论中，许多稳定性判据如劳斯- 赫尔维茨判据和奈奎

4、斯特判据等，都给出了 既实用又方便的判别系统稳定性的方法。 10 ( ) ,)u ttt ),)( 02 ttty q 内部稳定性：是关于动力学系统的内部状态变化所 呈现稳定性，即系统的内部状态稳定性。（书P216 定义5.2） 设n维连续时间线性时变自治系统 定义：称连续时间线性时变系统在时刻t0为内部 稳定，是指由时刻t0任意非零初始状态引起的零输 入响应xou(t)对tt0,+)有界，并满足渐近属性， 即： 线性系统的输入输出稳定性取决于其特征方程 的根，与初始条件和扰动都无关，而非线性系 统则不然。 lim( )0 ou t xt ),)()( 000 ttxtxxtA x 结论5.4

5、：设n维连续时间线性时变自治系统 本节讨论的李雅普诺夫意义下的稳定性即为内 部稳定性。 ),)()( 000 ttxtxxtA x 系统在t0时刻内部稳定的充分必要条件为：状态转 移矩阵(t, t0)对所有tt0,+为有界，并满足： 0),(lim 0 tt t 结论5.5：对n维连续时间线性时不变自治系统 0)0( 0 txxAx x 内部稳定的充分必要条件为 或矩阵A所有特征值均具有负实部，即： Rei(A)0和任意初始时刻 t0， 都对应存在一个实数(,t0)0， 使得对于任意位于平衡态xe的球 域S(xe,)的初始状态x0， 2. 李雅普诺夫意义下的稳定性 ( P221) 当从此初始状

6、态x0出发的状态方程的解x都位于球 域S(xe,)内，则称系统的平衡态xe是李雅普诺夫意 义下稳定的。 定义定义：李亚普诺夫意义下的稳定 称自治系统 ),)(),( 000 ttxtxtxf x 的孤立平衡状态Xe=0在时刻t0为李亚普诺夫意义下稳 定，如果对任给一个实数0，都对应存在另一位赖于 和t0的实数(,t0)0，使得满足不等式X0-Xe(,t0)的 任一初始状态x0出发的受扰运动(t;x0,t0)都满足不等式： (t；x0,t0)-Xe 0 tt q上述定义说明，对应于平衡态xe的每一个球域S(xe,), 一定存在一个有限的球域S(xe,)，使得t0时刻从 S(xe,)出发的系统状态

7、轨线总不离开S(xe,), 则系统在初始时刻t0的平衡态xe为在李雅普诺夫意 义下稳定的。 q对于李雅普诺夫稳定性，还有如下说明： 李雅普诺夫稳定性针对平衡状态而言，反映的是 平衡状态邻域的局部稳定性，即小范围稳定性。 系统做等幅振荡时，在平面上描出一条封闭曲线， 只要不超过S(xe,)，就是李雅普诺夫稳定的，而 经典控制理论则认为不稳定。 q对于定常系统来说，上述定义中的实数(,t0)与初始 时刻t0必定无关，故其稳定性与一致稳定性两者等价。 但对于时变系统来说，则这两者的意义很可能不 同。 q定义5-3(李雅普诺夫渐近稳定性) 若状态方程 x=f(x,t) 所描述的系统在初始时刻t0的平

8、衡态xe是李雅普诺夫意义下稳 定的，且系统状态最终趋近于 系统的平衡态xe，即 Limt x(t)=xe x2 x1 x(0) 则称平衡态xe是李雅普诺夫意义下渐近稳定的。 若(,t0)与初始时刻t0无关，则称平衡态xe是李雅 普诺夫意义下一致渐近稳定的。 图5-2 3. 渐近稳定性 （P222） 定义定义：李亚普诺夫渐进稳定 称自治系统 ),)(),( 000 ttxtxtxf x 的孤立平衡状态Xe=0在时刻t0为渐进稳定，如果： ) Xe=0在时刻t0为李亚普诺夫意义下稳定； ）对实数(,t0)0和任给实数0，都存在实数 T(,t0)0使得满足不等式X0-Xe(,t0)的任一初始状 态x

9、0出发的受扰运动(t；x0,t0)满足不等式： (t；x0,t0)-Xe ),( 00 tTtt q对于线性定常系统来说，上述定义中的实数(,t0) 可与初始时刻t0无关，故其渐近稳定性与一致渐近 稳定性等价。 但对于时变系统来说不同。 q对于李雅普诺夫渐近稳定性，还有如下说明： 经典控制理论的BIBO稳定性，就是李雅普诺夫意 义下的渐近稳定。 稳定和渐近稳定，两者有很大的不同。 对于稳定而言，只要求状态轨迹永远不会跑出 球域S(xe,)，至于在球域内如何变化不作任何 规定。 而对渐近稳定，不仅要求状态的运动轨迹不能 跑出球域，而且还要求最终收效或无限趋近平 衡状态xe。 v大范围渐近稳定性

10、（全局渐进稳定） 对于n维状态空间中的所有状态，如果由这些状态 出发的状态轨线都具有渐近稳定性，那么平衡态xe称 为李雅普诺夫意义下大范围渐近稳定的。 换句话说，若状态方程在任意初始状态下的解， 当t无限增长时都趋于平衡态，则该平衡态为大范 围渐近稳定的。 显然，大范围渐近稳定性的必要条件是系统在整 个状态空间中只有一个平衡态。 对于线性系统，如果其平衡态是渐近稳定的， 则一定是大范围渐近稳定的。 但对于非线性系统则不然，渐近稳定性是一个 局部性的概念，而非全局性的概念。 4. 不稳定性 q定义5-4 若状态方程 x=f(x,t) 描述的系统在初始时刻t0, 对于某个给定实数0和任意一 个实数

11、0, x2 x1 x(0) 总存在一个位于平衡态xe的邻域S(xe,)的初始状 态x0， 使得从x0出发的状态方程的解x(t)将脱离球域 S(xe,)，则称系统的平衡态xe是李雅普诺夫意义 下不稳定的。 图5-3 定义定义：不稳定称自治系统 ),)(),( 000 ttxtxtxf x 的孤立平衡状态Xe=0在时刻t0为不稳定，如果不管取 实数0为多么大，都不存在对应一个实数(,t0)0， 使得满足不等式X0-Xe(,t0)的任一初始状态x0出发的 受扰运动(t；x0,t0)满足不等式： (t；x0,t0)-Xe 0 tt q李雅普诺夫第二法它是在用能量观点分析稳定性的 基础上建立起来的。 若

12、系统平衡态渐近稳定，则系统经激励后，其 储存的能量将随着时间推移而衰减。当趋于平 衡态时，其能量达到最小值。 反之，若平衡态不稳定，则系统将不断地从外 界吸收能量，其储存的能量将越来越大。 基于这样的观点，只要能找出一个能合理描述动 态系统的n维状态的某种形式的能量正性函数，通 过考察该函数随时间推移是否衰减，就可判断系 统平衡态的稳定性。 5.3 李雅普诺夫第二法 （1） 实函数的正定性 q实函数正定性问题亦称为函数定号性问题。 它主要讨论该函数的值在什么条件下恒为正,什 么条件下恒为负的。 下面先给出n维向量x的标量实函数V(x)的正定性 定义。 q定义5-5 设xRn，是Rn中包含原点的

13、一个区域，若 实函数V(x)对任意n维非零向量x都有V(x)0；当 且仅当x=0时，才有V(x)=0， 则称函数V(x)为区域上的正定函数。 1. 数学预备知识 q定义5-6 设xRn，是Rn中包含原点的一个区域， 若实函数V(x)对任意n维非零向量x，都有 V(x)0，Pt0时不恒为零，那么 该系统在原点处的平衡态是一致渐近稳定的， 否则将仅是一致稳定而非一致渐近稳定。 此时，随着|x|,有V(x,t)，则该系统在原 点处的一致渐近稳定平衡态是大范围一致渐近 稳定的。 v 定理5-4中要求选择的李雅普诺夫函数的导数为负定函数， 这给寻找适宜的李雅普诺夫函数带来一定困难。下面给出一 个补充定理

14、，以减弱判别条件。 q例例5-5 试确定例5-4的系统的平衡态稳定性。 解解： 前面已经定义例5-4的系统的李雅普诺夫函数。 该函数及其导数分别为 由于V(x)是负半定函数,由定理5-5的1)可知，系 统为一致稳定的。 0222)( )( 2 22211 2 2 2 1 xxxxxxV xxxV 212 21 xxx xx q对例5-5，选取李雅普诺夫函数为 则 是负定的，系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。 2 2 2 1 2 21 2)( 2 1 ),(xxxxtVx )(),( 2 2 2 1 xxtVx 结论结论5.13 小范围渐近稳定性定理 对连续时间非线性 时变自治系统，若可构造对

15、x和t具有连续一阶偏导数 的一个标量函数V(x,t)，V(0,t)=0，以及围绕状态空间 原点的一个吸引区，使对所有非零状态x和所有 tt0,)满足如下条件： 1)V(x,t)为正定且有界； dttxdVtxV/ ),(),( 2) 为负定且有界； 则系统原点平衡状态x=0在域内为一致渐近稳定。 结论结论5.14小范围渐近稳定性定理 对连续时间非线性 时不变自治系统，若可构造对x具有连续一阶偏导数 的一个标量函数V(x)，V(0)=0，以及围绕状态空间原 点的一个吸引区，使对所有非零状态x满足如下 条件： 1)V(x)为正定； dtxdVxV/ )()( 2） 为负定 则系统原点平衡状态x=0

16、在域内为渐近稳定 结论结论5.15 小范围渐近稳定性定理对连续时间非线性 时不变自治系统，若可构造对x具有连续一阶偏导数的 一个标量函数V(x)，V(0)=0，以及围绕状态空间原点 的一个吸引区，使对所有非零状态x满足如下条 件： 1)V(x)为正定； 3）对任意非零x0， 0)0 ,;( 0 xtV 则原点平衡状态x=0在域内为渐近稳定 dtxdVxV/ )()( 2） 为负半定 q定理定理5-6 设系统的状态方程为 x=f(x,t) 其中xe=0为其平衡态。 （P231 结论5.17） 若存在一个有连续一阶偏导数的正定函数V(x,t)， V(0,t)=0，满足下述条件: 若V(x,t)为负

17、半定的， 则该系统在原点处的平衡态是李雅普诺夫意义下的 稳定性。 (2)李雅普诺夫意义下的稳定性定理 例例5-6 试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳 定性。 为李雅普诺夫函数,那么沿任意轨迹x(t)，V(x)的全导数 12 21 0 xx kkxx 解解： 显然，原点(0,0)是给定系统的唯一平衡态,如果我 们选择正定函数 2 2 2 1 )(kxxxV 02222)( 21212211 xkxxkxxxxxxV 由于V(x)非正定,由定理5-5的1)可知，系统为一 致稳定的。 由于V(x)对任意的x0恒为零，因此由定理5-5中 2)可知，该系统是李雅普诺夫意义下的稳定，但 非渐近稳定。

18、 q定理定理5-7 设系统的状态方程为x=f(x,t)，其中xe=0为 其平衡态。若存在一个有连续一阶偏导数的正定函 数V(x,t)，V(0,t)=0，满足下述条件: （P232 结论5.19） 1) V(x,t)为正定的，则该系统在原点处的平衡态是 不稳定的; 2) 若V(x,t)为非负定的，且对任意的t0和任意的 x(t0)0，V(x,t)在tt0时不恒为零，那么该平衡态 xe亦是不稳定的 (3) 不稳定性定理 例例5-7 试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳 定性。 解：解： 显然，原点(0,0)是给定系统的唯一平衡态，如果 我们选择李雅普诺夫函数为 2 2 2 1 )(xxxV 则

19、 由于V(x)正定，因此由定理5-7可知，系统的该平衡态 为不稳定的。 212 211 xxx xxx 02222)( 2 2 2 12211 xxxxxxxV q下面将前面讨论的李雅普诺夫稳定性的判定方法 作一小结 V(x) V(x)结论 正定(0)负定(0) 负半定(0)且不恒为0 (对任意非零的初始状态的解) 该平衡态渐近稳定 正定(0) 负半定(0)且恒为0 (对某一非零的初始状态的解) 该平衡态稳定 但非渐近稳定 正定(0)正定(0)该平衡态不稳定 正定(0) 正半定(0)且不恒为0 (对任意非零的初始状态的解) 该平衡态不稳定 5.4 构造李雅普诺夫函数的规则化方法 q对于非线性系

20、统，李雅普诺夫第二法虽然可应用于 非线性系统的稳定性判定，但其只是一个充分条件, 并没有给出建立李雅普诺夫函数的一般方法。 而只能针对具体的非线性系统进行具体分析。 针对各类非线性系统的特性，分门别类地构造适 宜的Lyapunov函数。如, 通过特殊函数来构造李雅普诺夫函数的克拉索 夫斯基法(也叫雅克比矩阵法) 针对特殊函数的变量梯度构造Lyapunov函数的 变量梯度法(也叫舒尔茨-吉布生法) 针对特殊非线性系统进行线性近似处理的阿依 捷尔曼法(也叫线性近似法)、鲁立叶法等。 1.克拉索夫斯基法 q设非线性定常连续系统的状态方程为 对该系统有如下假设: 1) 所讨论的平衡态xe=0; 2)

21、f(x)对状态变量x是连续可微的，即存在雅可 比矩阵 )()(xfxt 对上述非线性系统，有如下判别渐近稳定性的 克拉索夫斯基定理。 nnn n T xxfxxf xxfxxf x xf xF )()( )()( )( )( 1 111 为负定的矩阵函数，且 为该系统的一个李雅普诺夫函数。 更进一步，当|x|时，有|f(x)|，则该平衡 态是大范围渐近稳定的。 11 22 01 27 xx xx ( )( ) ( ) TT Vxx xfx f x q在应用克拉索夫斯基定理时，还应注意下面几点。 克拉索夫斯基定理只是渐近稳定的一个充分条件， 不是必要条件。 如对于渐近稳定的线性定常连续系统 q定

22、理定理5-8 非线性定常连续系统的平衡态xe=0为渐近稳 定的充分条件为 （P237 结论5.20） )()()( xFxFxF T 不是负定矩阵，故由克拉索夫斯基定理判别不出该 系统为渐近稳定的。 可见，该定理仅是一个充分条件判别定理。 141 10 )()()( xFxFxF T 若V(x)=fT(x)f(x)正定，为Lyapunov函数，则说明只 有当x=0时，才有V(x)=0，即原点是唯一的平衡态。 因此，只有原点是系统的唯一平衡态，才能用克 拉索夫斯基定理判别渐近稳定性，并且由该定理 判别出的渐近稳定的平衡态一定是大范围渐近稳 定的。 由克拉索夫斯基定理可知，系统的平衡态xe=0是渐

23、 近稳定的条件是FT(x)+F(x)为负定矩阵函数。 由于 q将克拉索夫斯基定理推广到线性定常连续系统可知: 对称矩阵对称矩阵A+AT负定，则系统的原点是大范围渐近稳负定，则系统的原点是大范围渐近稳 定的。定的。 （P237 结论5.21） 例例5-8 试确定如下非线性系统的平衡态的稳定性: 解解 由于f(x)连续可导且 可取作李雅普诺夫函数，因此，有 2 1222 2 62 60,3680 226 x x 3 221 21 3 )( xxx xx xf x 0)()3()()( 23 221 2 21 xxxxxxfxf 由塞尔维斯特准则有 故矩阵函数 负定，所以由克拉索夫斯基定理可 知，平

24、衡态xe=0是渐近稳定的。 2 2 311 13 )( )( x x xf xF T 2 2 622 26 )()()( x xFxFxF T )( xF 5.5 线性系统的稳定性判据 q设线性定常连续系统的状态方程为 x=Ax， x(0)=x0 状态空间原点即xe=0为系统的一个平衡态。 特征值判据是:（P238） 1. 若系统矩阵A的所有特征值均具有负实部，则系 统的平衡态xe为渐近稳定。 2. 若系统矩阵A的特征值中至少有一个具有正实部， 则系统的平衡态xe不稳定。 3. 若系统矩阵A除有实部为零的特征值外，其余特 征值都具有负实部，则系统的平衡态xe为李雅普 诺夫意义下的稳定，且零实部

25、特征值只能为A的 最小多项式的单根。 q李雅普诺夫判据 定理定理5-9 线性定常连续系统 （P239 结论5.24） x=Ax 的平衡态xe=0为渐近稳定的充要条件充要条件为: 对给定的任意正定矩阵Q ，李雅普诺夫方程 PA+ATP=-Q 存在唯一的正定矩阵解P，并且正定函数V(x)=xTPx 即为系统的一个李雅普诺夫函数。 v运用此方法判定系统的渐近稳定性时，最方便的是 选取Q为单位矩阵，即Q=I。于是，矩阵P的元素可 按如下李雅普诺夫代数方程: PA+ATP=-I 求解，然后根据P的正定性来判定系统的稳定性。 例例5-9 确定如下状态方程描述的系统的平衡态稳定性。 2 1 2 1 11 10 x x x x 解解: 设选取的李雅普诺夫函数为 V(x)=xTPx 由定理5-7可知，上式中的正定矩阵P满足李雅普 诺夫方程 PA+ATP=-I 于是，令对称矩阵P为 2212 1211 pp pp P 将P代入李雅普诺夫方程，可得 10 01 11 10 11 10 2212 1211 2212 1211 pp pp pp pp 展开后得,有: 10 01 22 2 2212221211 22121112 pppp