自动控制原理 第七章 非线性系统

1、内容提要内容提要 7.1 7.1 典型非线性特性典型非线性特性 7.2 7.2 描述函数法描述函数法 * *7.3 7.3 相平面法相平面法 前面几章讨论的都是线性系统，实际上所有的实前面几章讨论的都是线性系统，实际上所有的实 际系统都不可避免地带有某种程度的非线性，只要具际系统都不可避免地带有某种程度的非线性，只要具 有一个非线性环节，就称作有一个非线性环节，就称作，因此严格的，因此严格的 说所有系统都是非线性系统。说所有系统都是非线性系统。 在控制系统中，若控制装置或元件其输入输出间的在控制系统中，若控制装置或元件其输入输出间的静静 特性曲线，不是一条直线，则称为特性曲线，不是一条直线，则

2、称为非线性特性非线性特性。如果这。如果这 些非线性特性不能采用线性化的方法来处理，称这类非些非线性特性不能采用线性化的方法来处理，称这类非 线性为线性为本质非线性本质非线性。为简化对问题的分析，通常将这些。为简化对问题的分析，通常将这些 本质非线性特性用简单的折线来代替，称为本质非线性特性用简单的折线来代替，称为典型非线性典型非线性 特性。特性。 7.1.1 典型非线性特性的种类典型非线性特性的种类 饱和特性的静特性曲线如图饱和特性的静特性曲线如图7-1所示，其数学表达式所示，其数学表达式 为：为： 式中，式中，a为线性区宽度；为线性区宽度；k为线性区斜率。饱和为线性区斜率。饱和 特性的特性的

3、是：输入信号超过某一范围后，输出不是：输入信号超过某一范围后，输出不 再随输入的变化而变化，而是保持在某一常值上。再随输入的变化而变化，而是保持在某一常值上。 饱和特性在控制系统中是普遍存在的，常见的调节饱和特性在控制系统中是普遍存在的，常见的调节 器就具有饱和特性。器就具有饱和特性。 y x k a -a 0 图图7-1 饱和特性饱和特性 M -M , ,| , M xa ykxxa M xa 其数学表达式为其数学表达式为 0,| (), (), xa yk xaxa k xaxa y x k a -a 0 图图7-2 死区特性死区特性 死区又称不灵敏区，在死区内虽有输入信号，但其输死区又称

4、不灵敏区，在死区内虽有输入信号，但其输 出为零，其静持性关系如图出为零，其静持性关系如图7-27-2所示。所示。 若引入符号函数若引入符号函数 01 01 x x signx , , a a x x asignxxk y )( 0 死区小时，可忽略；大死区小时，可忽略；大 时，需考虑。工程中，为抗时，需考虑。工程中，为抗 干扰，有时故意引入。比如干扰，有时故意引入。比如 操舵系统。操舵系统。 3 滞环特性滞环特性 滞环特性表现为正向与反向特性不是重叠在一起，而是滞环特性表现为正向与反向特性不是重叠在一起，而是 在输入在输入-输出曲线上出现闭合环路。其静特性曲线如图输出曲线上出现闭合环路。其静特

5、性曲线如图7-37-3 所示。其数学表达式为：所示。其数学表达式为： ()0 0 k xasignxy y bsignxy 这类特性，当输入信号小于间隙这类特性，当输入信号小于间隙a时，输出不变。当时，输出不变。当xa 时，输出线性变化；输入反向时，输出保持在方向发生变时，输出线性变化；输入反向时，输出保持在方向发生变 化时的输出值上，直到变化化时的输出值上，直到变化2a后，才再线性变化。后，才再线性变化。 例如：铁磁材料，齿轮的齿隙，液压传动中的间隙等。例如：铁磁材料，齿轮的齿隙，液压传动中的间隙等。 y x 图图7-3 滞环特性滞环特性 0 b -b a -a 4 4继电器特性继电器特性

6、继电器非线性特性一般可用图继电器非线性特性一般可用图7-47-4表示，不仅包含表示，不仅包含 死区死区，而且还具有，而且还具有滞环滞环特性，其数学表达式为特性，其数学表达式为： y x 图图7-4 继电器特性继电器特性 0 ama -a -ma b -b 0 0 0 0 0 0 xmaxa xaxma ax xmaxa xaxma b b bsignxy , , , , (1)若若a0，称这种特性为，称这种特性为 ，如图，如图7-5 (a)所示所示. (2)若若m=1，其静特性如图，其静特性如图7-5(b)所示，所示， 则称为则称为. (3)若若m-1，则称为，则称为， 如图如图7-5(c)所

7、示。所示。 图图7-5 三种继电器特性三种继电器特性 （a）理想继电器特性）理想继电器特性 （b）死区继电器特性（）死区继电器特性（c）滞环继电器特性）滞环继电器特性 y x0 b -b (a) y x 图图7-4 继电器特性继电器特性 0 ama -a -ma b -b y x a -a 0 -b b (b) y x a-a 0 -b b (c) 非线性系统与线性系统最本质的区别为：由非非线性系统与线性系统最本质的区别为：由非 线性微分方程描述，线性微分方程描述，故在非线，故在非线 性系统中将出现一些线性系统见不到的现象，两性系统中将出现一些线性系统见不到的现象，两 者之间有着不同的运动规律

8、。者之间有着不同的运动规律。 上述介绍的是一些典型特性。实际中的非线性还上述介绍的是一些典型特性。实际中的非线性还 有好多复杂的情况，有些是它们的组合；还有一有好多复杂的情况，有些是它们的组合；还有一 些很难用一般的函数来描述，可以称为不规则非些很难用一般的函数来描述，可以称为不规则非 线性。线性。 对于对于线性系统，其稳定性线性系统，其稳定性仅与系统的结构和参数有关，与系仅与系统的结构和参数有关，与系 统的输入信号及初始条件无关。而非线性系统却复杂的多。统的输入信号及初始条件无关。而非线性系统却复杂的多。 考虑非线性一阶系统：考虑非线性一阶系统： 2 (1)xxxx x 设设t = 0时时,

9、系统的初始状态为系统的初始状态为x0 (1) dx dt x x 0 00 ( ) 1 t t x e x t xx e 1 0 x(t) t x01 x01，t lnx0/(x0 1) 时，随时，随t增大，增大， x(t) 递增；递增；t = lnx0 /(x0 1) 时，时，x(t)为为 无穷大。当无穷大。当x0aAa时，时， 比例系数总小于比例系数总小于k k. P255表表7-1列出了常见的非线性系统的描述函数列出了常见的非线性系统的描述函数N(A)N(A)以及相应以及相应 的负倒特性曲线的负倒特性曲线 -1/N(A)-1/N(A)，供分析时参考。，供分析时参考。 ，饱和特性，死区特性

10、饱和特性，死区特性！ 7.2.3 7.2.3 组合非线性特性的描述函数组合非线性特性的描述函数 以上介绍了描述函数的基本求法，对于复杂的非线性特性，完以上介绍了描述函数的基本求法，对于复杂的非线性特性，完 全可以利用这种方法求出其描述函数，但计算也复杂得多。此时全可以利用这种方法求出其描述函数，但计算也复杂得多。此时 也可以将复杂的非线件特性分解为若干个简单非线性特性的组合，也可以将复杂的非线件特性分解为若干个简单非线性特性的组合， 即即串并联串并联，再由已知的这些简单非线性特性的描述函数求出复杂，再由已知的这些简单非线性特性的描述函数求出复杂 非线件特性的描述函数。非线件特性的描述函数。 2

11、1 2 ( )arcsin1 () Bkaaa N A AAAA 设有两个非线性环节并联，且其非线性特性都是设有两个非线性环节并联，且其非线性特性都是 ，即它们的描述函数都是，即它们的描述函数都是，如图，如图7-11所示。所示。 N1 N2 + + x(t) y12(t) y1(t) 图图7-11 两个非线性环节并联两个非线性环节并联 y11(t) 当输入为当输入为x( t)Asint时，则两个环节输出的时，则两个环节输出的基波分量基波分量分别为输分别为输 入信号乘以各自的描述函数，即入信号乘以各自的描述函数，即 21 211 212 111 NNN tANNty tANty tANty si

12、n)()( sin)( sin)( 例例7.1 下图为一个具有死区的非线性环节，求描述函数下图为一个具有死区的非线性环节，求描述函数 N(A). 具有死区的非线性特性的并联分解具有死区的非线性特性的并联分解 0 0 M k x y + + x k 0 M y 解：解：可见，该死区非线性特性可分解为一个死区继电器可见，该死区非线性特性可分解为一个死区继电器 特性和一个典型死区特性的并联，描述函数为特性和一个典型死区特性的并联，描述函数为 )(1 24 arcsin 2 )(1arcsin 2 2 1 4 )( 2 2 2 A AA kM A k k AAA k AA M AN N1N2 x y

13、N y x z 21 NNN 必须首先求出这两个非线性环节串联后必须首先求出这两个非线性环节串联后等效的非线性等效的非线性 特性特性，然后根据等效的非线性特性求出总的描述函数。，然后根据等效的非线性特性求出总的描述函数。 y z 0 2 1 k2=2 x y 10 k=2 2 2 -2-1 10 k=2 x 2 2 -1 10 k=2 x 2 2 -2 y y 10 k1=1 x z 2 例例7-2 7-2 求图求图7-127-12所示两个非线性特性串联后总的描所示两个非线性特性串联后总的描 述函数述函数N(A)N(A)。 解；这是一个死区特性和一个饱和特性相串联。解；这是一个死区特性和一个饱

14、和特性相串联。 根据各串联环节输入输出之间的关系，可以等效为根据各串联环节输入输出之间的关系，可以等效为 一个一个的非线性特性。的非线性特性。 为求得这个等效非线性特性的描述函数，为求得这个等效非线性特性的描述函数，又可将其又可将其 分解为两个具有完全相同线性区斜率分解为两个具有完全相同线性区斜率k=2和不同死区宽和不同死区宽 度死区特性的并联相减，故总的描述函数为：度死区特性的并联相减，故总的描述函数为： 2111 2222 22 2 ( )arcsin1 () 2 2 arcsin1 () 2 4212211 arcsinarcsin1 ()1 ()(1) k N A AAA k AAA

15、A AAAAAA 习题：习题： 1. 求图示求图示3个非线性环节串联后等效的非线性特性，个非线性环节串联后等效的非线性特性， 并求其描述函数，其中并求其描述函数，其中Mh。 0h M 0 M -M 0 M -M h 0 M -M 2. 图示图示2个非线性环节串联后等效的非线性特性。个非线性环节串联后等效的非线性特性。 0 M -M 0 ab 0a M 7.2.4 7.2.4 用描述函数法分析非线性系统用描述函数法分析非线性系统 前面介绍了描述函数的定义及其求法。通前面介绍了描述函数的定义及其求法。通 过描述函数，一个非线性环节就可看作一个线过描述函数，一个非线性环节就可看作一个线 性环节，而非

16、线性系统就近似成了线性系统，性环节，而非线性系统就近似成了线性系统， 于是就可进一步应用线性系统的频率法进行分于是就可进一步应用线性系统的频率法进行分 析。析。 这种方法只能用于分这种方法只能用于分 析系统的析系统的稳定性稳定性和和自振荡自振荡。 1 1 非线性系统的稳定性分析非线性系统的稳定性分析 假设非线性元件和系统满足假设非线性元件和系统满足7.2节所要求的节所要求的 描述函数法的应用条件，则非线性环节可以用描述函数法的应用条件，则非线性环节可以用 描述函数描述函数N(A)来表示，而线性部分可用传递函来表示，而线性部分可用传递函 G(s)或频率特性或频率特性G(j)表示，如图表示，如图7

17、-15所示。所示。 图图7-15 非线性系统典型结构图非线性系统典型结构图 x(t)y(t) N(A)G(s) r(t)=0 c(t) - ()()() () ()1()() 1()()0 1 () () CjNA Gj j RjNA Gj NA Gj Gj NA 由由 结结 构构 图图 可可 以以 得得 到到 线线 性性 化化 后后 的的 闭闭 环环 系系 统统 的的 频频 率率 特特 性性 为为 而而 闭闭 环环 系系 统统 特特 征征 方方 程程 为为 或或 x(t)y(t) N(A)G(s) r(t)=0 c(t) 图图7-15 非线性系统典型结构图非线性系统典型结构图 - 通过对比会

18、发现通过对比会发现:在线性系统分析中在线性系统分析中 当应用奈氏判据时，若当应用奈氏判据时，若 满足满足G(j)-1+j0，系统是临界稳定的，即系统是等幅振荡状态。，系统是临界稳定的，即系统是等幅振荡状态。 显然，式显然，式(7-29)中的中的-1/N(A)相当于线性系统中的相当于线性系统中的(-1，j0)点。点。 区别在于，线性系统的临界状态是一个区别在于，线性系统的临界状态是一个。而非线性系。而非线性系 统的临界状态是统的临界状态是-1/N(A)曲线。通常又将曲线。通常又将-1/N(A)曲线称为曲线称为负倒特负倒特 性曲线性曲线。 综上所述，利用奈氏判据，可以得到非线性系统的稳定性判综上所

19、述，利用奈氏判据，可以得到非线性系统的稳定性判 别方法：别方法： G(j)G(j)- -1 1/N(A)/N(A) 线性系统闭环特征方程线性系统闭环特征方程: 1+G(j)=0 或或 G(j)= -1 非线性系统闭环特征方程非线性系统闭环特征方程: : 1+N(A)G(j)=0 或或 G(j)= -1/N(A) 式式(7-29) (1)若若G(s)曲线不包围曲线不包围-1/N(A)曲线，如图曲线，如图7-16(a)所示，所示， 则非线性系统是稳定的。则非线性系统是稳定的。 (2)若若G(s)曲线包围曲线包围-1/N(A)曲线，如图曲线，如图7-16(b)所示，则所示，则 非线性系统是不稳定的。

20、非线性系统是不稳定的。 (3)若若G(s)曲线与曲线与-1/N(A)曲线相交，如图曲线相交，如图7-16(c)所示，所示， 则在理论上将产生等幅振荡或称为则在理论上将产生等幅振荡或称为。 0 Im G(jw) -1/N(A) Re 0Re Im G(jw) -1/N(A) Im 0 G(jw) -1/N(A) M1 M2 Re 图图7-16 非线性系统的稳定性分析非线性系统的稳定性分析 (a),(b),(c) 2 自振荡的分析与计算自振荡的分析与计算 若若G(j)曲线与曲线与-1/N(A)曲线相交，则系统将产生自振荡。曲线相交，则系统将产生自振荡。 下面从信号的角度进一步分析下面从信号的角度进

21、一步分析自振荡产生的条件自振荡产生的条件。 在图在图7-15所示非线性系统中，若产生自振荡，则意味着系统中所示非线性系统中，若产生自振荡，则意味着系统中 有一个正弦信号在流通，不妨设非线性环节的输入信号为有一个正弦信号在流通，不妨设非线性环节的输入信号为 x(t)=Asint 则非线性环节输出信号基波分量为则非线性环节输出信号基波分量为 而线性部分的输出信号为而线性部分的输出信号为 1( ) | ( )|sin( )y tN AAtN A ( ) | () ( )|sin()( )c tG jN A AtG jN A x(t)y(t) N(A)G(s) r(t)=0 c(t) 图图7-15非线

22、性系统典型结构图非线性系统典型结构图 - ( )0 ( )( ) sin |()( )|sin()( ) |()( )| 1 ()( ) r t x tc t At G jN AAtG jN A G jN A G jN A 根据系统存在自振荡的假设,故 即 所以 x(t)y(t) N(A)G(s) r(t)=0 c(t) 图图7-15 非线性系统典型结构图非线性系统典型结构图 - 0 Im G(jw) -1/N(A) Re M2 M1 自振荡也存在一个自振荡也存在一个问题，因此必须进一步研究自问题，因此必须进一步研究自 振荡的稳定性。振荡的稳定性。 若系统受到扰动偏离了原来周期运动状态，当扰动

23、消若系统受到扰动偏离了原来周期运动状态，当扰动消 失后，系统能够重新收敛于原来的等幅振荡状态，称为失后，系统能够重新收敛于原来的等幅振荡状态，称为 ，反之，称为不稳定的自振荡。，反之，称为不稳定的自振荡。 。 以上图为例，以上图为例，G (j)与与-1/N(A)曲线有两个交点，说明存曲线有两个交点，说明存 在两个自振荡点。对于在两个自振荡点。对于M1点，若受到干扰使振幅点，若受到干扰使振幅A增大，增大， 则工作点将由点则工作点将由点M1移至移至a点。由于此时点。由于此时a点不被曲线点不被曲线G(j) 包围。系统稳定，振荡衰减，振幅包围。系统稳定，振荡衰减，振幅A自动减小，工作点自动减小，工作点

24、 将沿将沿-1/N(A)曲线回到曲线回到M1点。反之亦然，所以点。反之亦然，所以M1点是稳点是稳 定的自振荡。同样的方法可以分析点定的自振荡。同样的方法可以分析点M2是不稳定的振荡是不稳定的振荡 点。点。 0 Im G(jw) -1/N(A) a d b c Re M2 M1 按照下述准则来判断自振荡的稳定性是极为简便的：按照下述准则来判断自振荡的稳定性是极为简便的： 在复平面上自振荡点附近。当按幅值在复平面上自振荡点附近。当按幅值A增大的方向增大的方向 沿沿-l/N(A)曲线移动时，若系统从不稳定区进入稳定区，曲线移动时，若系统从不稳定区进入稳定区， 则该交点代表的是稳定的自振荡；则该交点代

25、表的是稳定的自振荡；反之，若沿反之，若沿-l/N(A)曲曲 线振幅线振幅A增大的方向是从稳定区进入不稳定区，则该交增大的方向是从稳定区进入不稳定区，则该交 点代表的是不稳定的自振荡。点代表的是不稳定的自振荡。 0 Im G(jw) -1/N(A) a d b c Re M2 M1 值得注意的是，由前面推导自振荡产生的条件可知， 对于稳定的自振荡，计算所得到的是图7-15中 非线性环节的输入信号x(t)Asint的振幅和频率，而不 是系统的输出信号c(t)。两者差一。两者差一“ ”。 x(t)y(t) N（A）G(s) r(t)=0 c(t) 图图7-15 非线性系统典型结构图非线性系统典型结构

26、图 - 对于稳定的自振荡，振幅和频率是确定的，并可测量得对于稳定的自振荡，振幅和频率是确定的，并可测量得 到。计算时，振幅可由到。计算时，振幅可由曲线的自变量曲线的自变量的大小的大小 来确定，而振荡频率由来确定，而振荡频率由曲线的自变量曲线的自变量来确定。来确定。 对于不稳定的自振荡，由于实际系统不可避免地存对于不稳定的自振荡，由于实际系统不可避免地存 在扰动，因此这种自振荡是不可能持续的，仅是理论上在扰动，因此这种自振荡是不可能持续的，仅是理论上 的临界周期运动，在实际系统中是测量不到的。的临界周期运动，在实际系统中是测量不到的。 例例7.37.3 具有理想继电器特性非线性系统如图具有理想继

27、电器特性非线性系统如图7-177-17所示，所示， 试确定其自振荡的幅值和频率。试确定其自振荡的幅值和频率。 解：理想继电器特性的描述函数为解：理想继电器特性的描述函数为 0 1 -1 10 (1)(2)s ss c(t) _ r(t) 4 () M NA A 2 4242 44 ( ) 1 ( )4 01/( )0, 1/( )1/( ) ( ) 103010(2) () (1)(2)54(54) M N A AA A N A AN AA N AN A G s G jj jjj 当当时时，- -当当时时 ，因因此此- -曲曲线线 就就是是整整个个负负实实轴轴。又又由由线线性性部部分分的的传传

28、函函 可可得得 0 Im G(j) -1/N(A) Re -1 2 () ()-1/( ) Im()02/s () Re()1.66 1 1.66 ( )4 G j b G jN A G j G j G j A N A 由由上上式式可可以以画画出出曲曲线线，如如图图 7 7- -1 15 5（ ）所所示示。由由图图知知，两两曲曲线线 有有一一个个交交点点，且且对对应应于于该该点点的的自自 振振荡荡是是稳稳定定的的。求求与与 的的交交点点，令令得得（r ra ad d ） 将将其其代代入入的的实实部部得得 所所以以 0 Im G(j) -1/N(A) Re -1 由此求得：由此求得：A=2.1，

29、=1.414rad/s 2 4242 103010(2) () (1)(2)54(54) G jj jjj (M) (h)01 3 r(t) c(t) 2 ( 1 )(0.5 1 )sss _ 例例7-4 7-4 设控制系统的结构图如图设控制系统的结构图如图7-18(a)所示，图中死区所示，图中死区 继电器特性的参数为继电器特性的参数为a=1,b=3. (1)计算自振荡的振幅和频率计算自振荡的振幅和频率. (2)为消除自振荡，继电器特性参数应如何调整为消除自振荡，继电器特性参数应如何调整. 解解：(1) 死区继电器特性的负倒描述函数为死区继电器特性的负倒描述函数为 2 1 1 ( ) 1 12 1 A A N A A 2 1 4 A h A M AN )( 当当A