机械振动基础-单自由度系统-1讲解

1、 振动力学 机械科学与工程学院 第一章第一章 单自由度系统的振动单自由度系统的振动 单自由度系统振动方程单自由度系统振动方程 无阻尼单自由度系统的自由振动无阻尼单自由度系统的自由振动 等效单自由度系统等效单自由度系统 有阻尼单自由度系统的自由振动有阻尼单自由度系统的自由振动 简谐激励下的强迫振动简谐激励下的强迫振动 基础简谐激励下的强迫振动基础简谐激励下的强迫振动 振动的隔振振动的隔振 等效线粘性阻尼等效线粘性阻尼 周期激励下的振动分析周期激励下的振动分析 瞬时激励下的振动分析瞬时激励下的振动分析 建立系统振动运动方程：找出力与运动量之间微分关系建立系统振动运动方程：找出力与运动量之间微分关系

2、 求解方程，找出系统的响应 分析响应的时频特性分析响应的时频特性 离散化建立有限自由度物理模型离散化建立有限自由度物理模型 1.1 1.1 单自由度系统振动方程单自由度系统振动方程 振动分析：振动分析： 建立振动微分方程：是振动分析的基础。建立振动微分方程：是振动分析的基础。 动静法、拉格朗日方程法、能量法等。动静法、拉格朗日方程法、能量法等。 1）质块质块-弹簧系统（最简单的振动模型）弹簧系统（最简单的振动模型） m )(tf ( )u t k ( )mu tku tf t m )(tf ( )u t ( )u t ( )ku t 静平衡位置 建立坐标系；建立坐标系； 取分离体画受力图；取分

3、离体画受力图； 牛顿第二定率建立力和运动要素牛顿第二定率建立力和运动要素 之间的关系式。之间的关系式。 1、动静法：、动静法： 单自由度无阻尼振动单自由度无阻尼振动 方程一般形式方程一般形式 +0mu tku t 无阻尼单自由度系统无阻尼单自由度系统 的自由振动方程的自由振动方程 mu tku tf t (1.1.1) (1.1.2) 若外力为零，则有：若外力为零，则有： 情况情况1 1： 以初始位置为基准以初始位置为基准， 情况情况2 2：以静平衡位置为基准：以静平衡位置为基准 ( )u t k c k c k c )( 1 ty st )( )( 111 111 tfmgkyycym tf

4、mgkyycym ( ) , st st mucukukmgf t kmg 1 ky 1 y c 1 y mg )(tf st ku cu u mg )(tf 2）质块质块-弹簧弹簧-阻尼系统阻尼系统 mu tcu tku tf t 单自由度系统振动方程一般式单自由度系统振动方程一般式 0mu tcu tku t 单自由系统的自单自由系统的自 由振动方程由振动方程 (1.1.3) (1.1.4) (1.1.5) 例例1-1 1-1 （利用动量矩平衡）（利用动量矩平衡） 如图，抗弯刚度无如图，抗弯刚度无 穷大的直杆，两端有两个集中质量。穷大的直杆，两端有两个集中质量。 AB m m3 k EI

5、lll2 ml ml9 kl2A Y 07 0428 03922 :0 22 km klml lmllkllml m A 拉格朗日方程法：拉格朗日方程法： 对单自由度系统，拉格朗日方程为：对单自由度系统，拉格朗日方程为： 对于具有定常约束系统，上式进一步简化为：对于具有定常约束系统，上式进一步简化为： 对于具有定常约束保守系统，进一步简化为：对于具有定常约束保守系统，进一步简化为： 或对具有定常约束保守系统利用机械能守恒，也可导或对具有定常约束保守系统利用机械能守恒，也可导 出运动微分方程出运动微分方程 Q dy dU dy dT y T dt d Q dy dU y T dt d 0 dy

6、dU y T dt d 0)( UT dt d （1.1.6） （1.1.7） （1.1.8） （1.1.9） 例例1-21-2： 如图：光滑水平面上质量弹簧系统。如图：光滑水平面上质量弹簧系统。 解：系统的动能和势能分别为：解：系统的动能和势能分别为： 系统的广义力为：系统的广义力为： 代入到拉格朗日方程得：代入到拉格朗日方程得： 22 2 1 , 2 1 kxUxmT m )(tx k )(tP tP x xtP x W Q )( )(tPkxxmQ dx dU x T dt d 例例1-31-3： 如图所示：圆弧形滑道上，有一均质圆柱体如图所示：圆弧形滑道上，有一均质圆柱体 作纯滚动。建

7、立其运动方程。作纯滚动。建立其运动方程。 解：因为纯滚动，所以振动解：因为纯滚动，所以振动 系统为单自由度系统，以圆柱系统为单自由度系统，以圆柱 中心绕轨道中心转过的中心绕轨道中心转过的 角度角度 为自由度。为自由度。 圆柱质心速度：圆柱质心速度： 圆柱纯滚动角速度：圆柱纯滚动角速度： 系统动能为：系统动能为： R o r W )(rRv )1( r R r v 2 2 2222222 4 3 )1( 2 1 2 1 )( 2 1 2 1 2 1 rR g W r R r g W rR g W ImvT 系统的势能为系统的势能为： 机械能守恒方法机械能守恒方法：因为系统为定常约束保守系：因为系

8、统为定常约束保守系 统，机械能守恒，故有：统，机械能守恒，故有： 即：即： 此方程是非线性的。对圆柱微幅运动此方程是非线性的。对圆柱微幅运动， ， 方程可近似线性化为：方程可近似线性化为： )cos1)(rRWU 0sin)(2 4 3 )( 2 rRWrR g W UT dt d 0sin )(3 2 rR g sin 0 )(3 2 rR g 拉格朗日方法拉格朗日方法 0 d dUT dt d 22 2 2 2 3 2 4 3 4 3 rR g W rR g W rR g W dt dT dt d sin)()cos1)(rRWrRW d d d dU 代入拉格朗日方程有：代入拉格朗日方程

9、有： （有势力场，（有势力场，Q=0)Q=0) 0sin 3 2 0sin 2 3 2 rR g rRWrR g W 1.2 无阻尼单自由度系统的自由振动无阻尼单自由度系统的自由振动 特征解特征解 初始扰动引起的自由振动初始扰动引起的自由振动 简谐振动及其特征简谐振动及其特征 弹簧阻尼器的串联并联（等效刚度）弹簧阻尼器的串联并联（等效刚度） 1.2.1 特征解特征解 无阻尼：系统在运动过程中没有任何阻尼力。无阻尼：系统在运动过程中没有任何阻尼力。 自由振动：系统振动是由初始扰动激励的，自由振动：系统振动是由初始扰动激励的， 没有任何外力作用于系统。没有任何外力作用于系统。 任何的单自由度系统都

10、可等价为特定的弹簧质量任何的单自由度系统都可等价为特定的弹簧质量 系统：系统： 系统运动的微分方程：系统运动的微分方程： m ( )u t k 00 ,uv 0m utk ut 令：令： ，则方程变为：，则方程变为： m k n 2 2 0 n utut （1.2.1b） (1.2.1a) 由方程（由方程（1.2.1）可知：其解具有下列形式：）可知：其解具有下列形式： 代入方程得：代入方程得： 振动位移不恒为零，有振动位移不恒为零，有 其解为特征根：其解为特征根： 式中：式中： （弧度（弧度/秒）秒） ( ) st u tu e 22 0 n su n js 2,1 特征方程特征方程 22 0

11、 n s （1.2.2） （1.2.3） （1.2.4） n k m 系统的系统的固有圆频率固有圆频率，简称，简称固有频率固有频率。 （1.2.5） 一对共轭复根。一对共轭复根。 系统的解为：系统的解为： 其中，系数其中，系数 由系统的初始条件：由系统的初始条件： 确定。确定。 把解改写为振幅相位形式：把解改写为振幅相位形式： 其中：其中： 分别为振幅和初相位。分别为振幅和初相位。 00 ,u u 12 ( )co ssin nn u tatat 21 , aa ( )sin n u tat 22 1 12 2 ,arctan a aaa a （1.2.6） （1.2.7） tataejaae

12、jaatu jaau uueueutu nn tjtj tjtj nn nn sincos 2 1 2 1 , 2 1 ,)( 212121 212 2121 那么，有：令： ，可以证明：因为解是实数解，因此 1.2.2 初始扰动引起的自由振动初始扰动引起的自由振动 给定初始条件给定初始条件 确定：确定： 代入初始条件到位移响应中得：代入初始条件到位移响应中得： 则位移通解（系统的响应）为则位移通解（系统的响应）为 n n n t tVttUutVutUtu sin ,cos)(,)( 00 )(),(tVtU 21 , aa 00 (0 ),(0 )uuuu 0 102 , n u aua

13、（1.2.8） （1.2.9） 0 0 ( )co ssin nn n u u tutt （1.2.10a） （1.2.10b） 另一种表达式另一种表达式： 分别为单位初位移、单位初速度引起单自由度无阻尼系统的自由振动。分别为单位初位移、单位初速度引起单自由度无阻尼系统的自由振动。 此式可表达为振幅相位形式：此式可表达为振幅相位形式： 其中，振幅：其中，振幅： 初相位：初相位： ( )sin () n u tat 2 2 0 0 n u au 0 0 arctan n u u （1.2.11） （1.2.12a） （1.2.12b） 1.2.3 简谐振动及其特征简谐振动及其特征 单自由度系统无

14、阻尼自由振动是单自由度系统无阻尼自由振动是简谐振动简谐振动。 是两种同频率的简谐运动的合运动，一种是由初始是两种同频率的简谐运动的合运动，一种是由初始 速度产生的，另一种是由初始位移产生的。两种运速度产生的，另一种是由初始位移产生的。两种运 动的相位差是动的相位差是90度。度。 确定简谐振动的三要素：频率、振幅和初相位。确定简谐振动的三要素：频率、振幅和初相位。 振动圆频率振动圆频率=系统的固有频率，与初始条件无关。系统的固有频率，与初始条件无关。 振幅和初相位依赖系统的初始条件。也就是说，取振幅和初相位依赖系统的初始条件。也就是说，取 决于初始时刻输入系统的能量。决于初始时刻输入系统的能量。

15、 ta t ututu n n n n sin sin cos)( 00 简谐振动的重要特征：简谐振动的重要特征： 简谐振动是一种周期振动简谐振动是一种周期振动 周期振动满足条件：周期振动满足条件： 即每经过固定时间间隔，振动将重复原来的过程。最小正即每经过固定时间间隔，振动将重复原来的过程。最小正 常数常数 - -振动周期。振动周期。 ()( )u tTu t T 2 2 n n m T k （1.2.14） （1.2.13） 无阻尼单自由度系统自由振动的固有周期。无阻尼单自由度系统自由振动的固有周期。 由频率公式由频率公式 可以看出：可以看出： 1）质量不变下，刚度越大或刚度不变下，质量越

16、小。）质量不变下，刚度越大或刚度不变下，质量越小。 其振动的频率越大，振动的周期越短。振动的恢复力其振动的频率越大，振动的周期越短。振动的恢复力 越大，物体越容易回到静平衡位置。越大，物体越容易回到静平衡位置。 2）反之，情况恰好相反。）反之，情况恰好相反。 n k m 1 2 n n n f T ( (赫兹）赫兹） 表示表示1 1秒内重复振动的次数。秒内重复振动的次数。 （1.2.15- 1.2.16） 固有频率的另一种形式：固有频率的另一种形式： (a)图: 简谐振动时间域内变化特征 周期:两个波峰或波谷间的水平距离T称为周期. 它 也是振动一次需要的时间; 频率:周期的倒数为频率.表示振

17、动的快慢程度,即 在1秒之内振动的次数. 振幅:波峰或波谷的高度. 初相角:初始时刻OR矢量与x轴之间的夹角. (b)表示长 度为A的矢 量OR从 角初始位 置出发,以 等角速度 在xOy平 面内做圆 周运动. 该矢量在t 时刻在y轴 上的投影 即为位移 响应在同 一时刻的 值. x y (b) 用旋转矢量表示简谐运动 旋转矢量表达的简谐振动：旋转矢量表达的简谐振动： 简谐运动的位移、速度和加速度之间的关系简谐运动的位移、速度和加速度之间的关系： 速度和加速度可分别表达为：速度和加速度可分别表达为： 速度和加速度也是简谐函数，并与位移具有相同频率；速度和加速度也是简谐函数，并与位移具有相同频率

18、； 在相位上，速度超前位移在相位上，速度超前位移90 ，加速度超前位移，加速度超前位移180。 加速度始终与位移反向：加速度始终与位移反向： 速度和加速度的幅值分别是振幅的速度和加速度的幅值分别是振幅的 22 ( )cossin() 2 ( )sinsin nnnn nnnn u tatat u tatat 2 ( )( ) n u tu t （1.2.17） （1.2.18） 2 nn 和倍。 静平衡位置静平衡位置 最大振幅最大振幅 A-A0 x 初始位置初始位置 速度为零，速度为零， 位移，加速度位移，加速度 绝对值最大，绝对值最大， 方向反向。方向反向。 速度为零，速度为零， 位移，加速

19、度位移，加速度 绝对值最大，绝对值最大， 方向反向。方向反向。 速度减小 速度增加速度减小 速度增加 速度最大 位移，加速度为零 最大振幅最大速度 简谐振动过程简谐振动过程 动能最大 势能为零 动能为零 势能最大 动能为零 势能最大 振动方向相同的简谐振动合成振动方向相同的简谐振动合成： 运用三角函数公式容易证明：运用三角函数公式容易证明： 两个同频率简谐振动的合成结果仍然为简谐振两个同频率简谐振动的合成结果仍然为简谐振 动，且频率不变。动，且频率不变。 两个不同频率的简谐振动合成结果一般为周期运两个不同频率的简谐振动合成结果一般为周期运 动，特殊情况下为非周期振动（频率比为无理动，特殊情况下

20、为非周期振动（频率比为无理 数）。数）。 0102030405060708090100 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 两个频率十分接近的简谐振动合成后会产生周期性两个频率十分接近的简谐振动合成后会产生周期性 的的拍振拍振。(振幅按着两个振动频率的差频简谐变化振幅按着两个振动频率的差频简谐变化) 2 0 2 sin 2 12 21 B T t t aa ta ttatt aa tt aa tt aa tttt aa tttt aa tt aa tt aa tatauu tautau 2 cos 2 sinsin 2 cos 2 2 sincos 22 cossin

21、2 2 sin 2 sin 22 sin 2 sin 2 sinsin 2 sinsin 2 sinsin sin,sin 21 21 2121 2121 21 21 21 21 221121 222111 振动方向相互垂直的简谐振动合成振动方向相互垂直的简谐振动合成 利用解析几何知识可以证明：同频率两个简利用解析几何知识可以证明：同频率两个简 谐振动在同一平面内沿相互垂直方向合成后谐振动在同一平面内沿相互垂直方向合成后 的运动轨迹一般为的运动轨迹一般为椭圆椭圆。 若频率不同，合成后的运动轨迹则较为复杂。若频率不同，合成后的运动轨迹则较为复杂。 当频率间存在一定的比例关系时，合成后的当频率间存

22、在一定的比例关系时，合成后的 运动轨迹呈现出稳定有规律的图像。运动轨迹呈现出稳定有规律的图像。 这些图形这些图形- -李沙育图李沙育图 22 cos,sin, /1 x taty tbt x ay b 设两个简谐振动为设两个简谐振动为 111 222 sin sin u tat utat -1 -0.5 0 0.5 1 -2 -1 0 1 2 0 20 40 60 80 100 动点独立地动点独立地 在水平方向作在水平方向作 圆频率为圆频率为1 1rad/s,rad/s, 振幅为振幅为 的振动；的振动； 在垂直方向作在垂直方向作 圆频率为圆频率为 ，振，振 幅为幅为 的振动。的振动。 （见（见

23、P11P11图图1.2.31.2.3） 李沙育图形在平面李沙育图形在平面 u1,u2u1,u2上的投影与频上的投影与频 率，相位有很大关系。率，相位有很大关系。 1 a 2 a 1 u 2 u t 1221 1,2,1.5,1.5aa -1 -0.5 0 0.5 1 -2 -1 0 1 2 0 20 40 60 80 100 1221 1,2,0,1aa 1221 1,2,/ 4,1aa 1221 1,2,/ 2,1aa -1 -0.5 0 0.5 1 -2 -1 0 1 2 0 20 40 60 80 100 1221 1,2,1aa -1 -0.5 0 0.5 1 -2 -1 0 1 2

24、0 20 40 60 80 100 -1 -0.5 0 0.5 1 -2 -1 0 1 2 0 20 40 60 80 100 -1 -0.5 0 0.5 1 -2 -1 0 1 2 0 20 40 60 80 100 1221 1,2,/ 4,1.1aa 1.2.4 弹簧和阻尼器的串联与并联弹簧和阻尼器的串联与并联 在较复杂的单自由度结构系统中，有较多的弹在较复杂的单自由度结构系统中，有较多的弹 性元件，每个弹性元件相当于一个弹簧，它们性元件，每个弹性元件相当于一个弹簧，它们 之间串联、并联和混联关系，可用一个之间串联、并联和混联关系，可用一个等效弹等效弹 簧簧来代替。来代替。 利用等效弹簧

25、刚度，使固有频率计算简化。利用等效弹簧刚度，使固有频率计算简化。 弹簧并联：弹簧并联： 两个弹簧并联：两个弹簧并联： 弹性变形相等。弹性变形相等。 kxFxkFxkF, 222111 考虑到： 由上两式求得： （1.2.20） FFFxxx 2121 , k 1 k 2 k 21 kkk 显然，弹簧并联后，等效弹簧刚度加强，即：显然，弹簧并联后，等效弹簧刚度加强，即： n个弹簧并联：个弹簧并联： 弹簧串联：弹簧串联： 两个弹簧串联：弹性力相等。两个弹簧串联：弹性力相等。 21, kkkk i kk 1 k 2 k k k 1 k 2 k xxxFFF 2121 , kFxkFxkFx/,/,/

26、 222111 联立得：联立得： 显然，弹簧串联，等效弹簧刚度减弱，即：显然，弹簧串联，等效弹簧刚度减弱，即： n个弹簧串联：个弹簧串联： 弹簧的串联、并联，不能按表面形式划分，要根据力学弹簧的串联、并联，不能按表面形式划分，要根据力学 特性的分析来判断。特性的分析来判断。 i kk 11 （1.2.23） 1 k 2 k k 21 21 21 , 111 kk kk k kkk 21, kkkk 例例2-4: 2-4: 一一卷扬机通过钢丝绳卷扬机通过钢丝绳, ,绕过定滑轮吊起一重物绕过定滑轮吊起一重物. . 已知已知: : 重物重重物重 吨吨, , 钢丝绳的弹簧刚度钢丝绳的弹簧刚度 下降速度

27、：下降速度： 求求: : 卷扬机突然刹车卷扬机突然刹车, ,钢丝绳上端突然停止时钢丝绳上端突然停止时, , 钢丝绳的最大张力钢丝绳的最大张力. . 解解: : 重物匀速下降时重物匀速下降时, , 钢丝绳中的张力钢丝绳中的张力: : 当钢丝绳上端突然停止当钢丝绳上端突然停止, , 重物重物 由于惯性继续往下运动由于惯性继续往下运动, ,开始在开始在 静平衡位置上下自由振动静平衡位置上下自由振动. . 15W cmkgk/109.5 3 min/15 mv 1 1 5TW吨 v W )(ty k 静平衡位置静平衡位置 固有频率为固有频率为: : 初始条件为初始条件为: : 振幅振幅: : 由于振动

28、引起钢丝绳中的最大张力为由于振动引起钢丝绳中的最大张力为: : 钢丝绳中最大张力为钢丝绳中最大张力为: : 1 3 5 6 .19 1015 8 .9109 .5 / smk n vyy 00 ,0 cmm yy ya nn 27.10127.0 6 .19 60/15 0 2 0 2 0 kgmkvkaT 33 2 1049.727.1109 .5 吨49.221049.22 1049.7105 .1 3 33 21 kg mkvmgTTT 讨论： 显然，振动增加了钢丝绳中的张力。显然，振动增加了钢丝绳中的张力。 当钢丝绳的刚度当钢丝绳的刚度k k和运动速度和运动速度 比较大时，最大动比较大

29、时，最大动 张力会很大，可能导致钢丝绳的损坏；张力会很大，可能导致钢丝绳的损坏； 因此，运行中应避免这种情况发生。由于最大动张力因此，运行中应避免这种情况发生。由于最大动张力 与刚度与刚度k k的平方根成正比，故对承受这种突然冲击载的平方根成正比，故对承受这种突然冲击载 荷的零件，刚度小反而安全。荷的零件，刚度小反而安全。 为此，人们在吊钩与钢丝绳间加一个圆柱螺旋弹簧，为此，人们在吊钩与钢丝绳间加一个圆柱螺旋弹簧， 这等于在钢丝绳上串联一个刚度较小的弹簧，降低系这等于在钢丝绳上串联一个刚度较小的弹簧，降低系 统的刚度。这种吊钩统的刚度。这种吊钩- -弹簧减振钩。弹簧减振钩。 0 v k 0tk

30、tJ 改写为：改写为： 0 2 tt n 1.3 等效单自由度系统等效单自由度系统 单自由度扭振系统单自由度扭振系统 G-剪切模量 I-截面极惯性矩 J-圆盘转动惯量 T-扭矩 由材料力学可知：由材料力学可知： GI Tl 扭转刚度为：扭转刚度为： l GIT k 产生单位角位 移所需的扭矩。 由对由对x轴的动平衡可得：轴的动平衡可得： （1.3.2) J kT J k x y GI (1.3.1) （1.3.4a) （1.3.4b) l Tk :1 系统的响应为：系统的响应为： 00 0 0 sincos)( tVtUttt n n n 与质量与质量- -弹簧系统的对应关系弹簧系统的对应关系

31、 ( ),tuJmkk 系统的扭振的固有频率（自振频率）系统的扭振的固有频率（自振频率） J k n （1.3.5) （1.3.6) 0t l g t 改写为：改写为： 0 2 tt n 1.3 等效单自由度系统等效单自由度系统 单摆单摆 以角度以角度 为位移为位移, 其运动其运动 微分方程为微分方程为: 0sintmgtml 当摆幅很小时当摆幅很小时, 有有 , 线性化为：线性化为： (1.3.7a) （1.3.7b) （1.3.8a) l o m 0sint l g t sin （1.3.8b) （1.3.9) l g n 系统的固有频率为系统的固有频率为: 微幅摆动下，振动周期与摆锤的质

32、量无关。微幅摆动下，振动周期与摆锤的质量无关。 摆动周期和摆长的关系：摆动周期和摆长的关系： 2 2 2 4 n n gTg l sTn1当摆动周期为当摆动周期为时，其摆长为：时，其摆长为：cml82.24 1.3 等效单自由度系统等效单自由度系统 （1.3.10) 例例1-5 已知：已知： 直升机桨叶的质量直升机桨叶的质量m， 质心与铰质心与铰 之间距离为之间距离为 。微幅摆动，测得摆。微幅摆动，测得摆 动周期动周期 。 求：桨叶绕垂直铰求：桨叶绕垂直铰O的转动惯量的转动惯量 解：取图示坐标系解：取图示坐标系 l n T o l mg C 根据绕固定铰的动量矩定理，有根据绕固定铰的动量矩定理

33、，有： tmgltJ o sin 微幅摆动有：微幅摆动有：sin 于是振动方程线性化为：于是振动方程线性化为： 0tmgltJo 固有频率和固有周期分别为：固有频率和固有周期分别为： mgl J T J mgl o n o n 2, 于是绕固定铰于是绕固定铰O的转动惯量为：的转动惯量为： 2 2 0 4 n T mgl J 根据平行移轴公式，可求出绕质心的转动惯量为根据平行移轴公式，可求出绕质心的转动惯量为 2 0 mlJJc 1.3 等效单自由度系统等效单自由度系统 简支梁横向振动简支梁横向振动 A 简化模型简化模型： 梁的质量全部集中在梁的梁的质量全部集中在梁的 中部，其等效质量为中部，其

34、等效质量为 BEI ( )u t e m 2 l 2 l P 梁的中部静挠度作为系统的静位移，根据材梁的中部静挠度作为系统的静位移，根据材 料力学中静挠度公式，有料力学中静挠度公式，有 EI Pl 48 3 梁的等效刚度为梁的等效刚度为： EI为梁的抗弯刚度 3 48 l EIP k e （1.3.11) （1.3.12) e m 取静平衡位置为系统的坐标原点取静平衡位置为系统的坐标原点，系统的系统的 振动方程为：振动方程为： ( )( )( ) ee m u tk u tPt 自由振动下，外力为零，有：自由振动下，外力为零，有： ( )( )0 ee m u tk u t 振动的固有频率为：

35、振动的固有频率为： , 48 3 lm EI m k ee e n 1.3 等效单自由度系统等效单自由度系统 （1.3.13a) （1.3.13b) （1.3.14) 例例1-61-6：如图：一等截面简支钢梁质量不计，有一物快：如图：一等截面简支钢梁质量不计，有一物快 从梁的中点上方处落下，且物块与梁接触后不分开。从梁的中点上方处落下，且物块与梁接触后不分开。 计算接触后系统自由振动的固有频率及振幅计算接触后系统自由振动的固有频率及振幅。 已知已知: : 解解: :梁中点受单位力作用梁中点受单位力作用 的挠度即为柔度系数的挠度即为柔度系数: : 因此，系统的固有频率为：因此，系统的固有频率为：

36、 ,58800,10,3 2 NmEImmhmlkgm90 A BEI )(ty h l m e kEI l1 48 3 1 3 3 1.34 390 5880048 481 s ml EI mm k e n 1.3 等效单自由度系统等效单自由度系统 重物落下与梁接触时开始振动，初始条件为：重物落下与梁接触时开始振动，初始条件为： 振幅为：振幅为： 梁中点的最大位移：梁中点的最大位移： mmm mgy st 44.81044.8 5880048 38.990 3 3 0 ghy2 0 2 22 0 0 2 2 21 5 .5 st n stst y aym gh hm m m ax 1 5 .

37、58 .4 42 3 .9 st yam m 1.3 等效单自由度系统等效单自由度系统 0 st 静平衡位置 初始位置 悬臂梁悬臂梁 简化模型简化模型： 梁的质量全部集中在自由梁的质量全部集中在自由 端，其等效质量为端，其等效质量为 。 梁自由端的静挠度作为系统的静位移，根据梁自由端的静挠度作为系统的静位移，根据 材料力学中静挠度公式，有材料力学中静挠度公式，有 EI Pl 3 3 悬臂梁的等效刚度为悬臂梁的等效刚度为： EI为梁的抗弯刚度 3 3 l EIP k e （1.3.15) （1.3.16) e m 1.3 等效单自由度系统等效单自由度系统 A EI )(ty e m 2 l P

38、等效质量等效质量 在前面的讨论中，一般假定弹性元件的质在前面的讨论中，一般假定弹性元件的质 量可忽略。这样的简化有时可以满足精度量可忽略。这样的简化有时可以满足精度 要求。要求。 但是，当弹性元件的质量占系统的总质量但是，当弹性元件的质量占系统的总质量 的一定比例时，弹性元件的质量不能忽略。的一定比例时，弹性元件的质量不能忽略。 否则计算的固有频率就偏高。否则计算的固有频率就偏高。 这时就需要把弹性元件的质量等效地集中这时就需要把弹性元件的质量等效地集中 到系统的质量上。到系统的质量上。 等效的原则是系统的总动能不变。等效的原则是系统的总动能不变。 1.3 等效单自由度系统等效单自由度系统 以

39、弹簧质量系统为例：以弹簧质量系统为例： 假定弹簧单位长度质量：假定弹簧单位长度质量： ，弹簧长：，弹簧长： ，重，重 那么，距离固定端那么，距离固定端 处的位移为：处的位移为： 整个弹簧的动能为：整个弹簧的动能为： l )()(tu l tx m )(tu k d tum tum tull l tu d l tu tu l dT eq ll s 2 2 23 2 2 0 2 2 2 2 0 2 1 3 2 1 32 1 32 1 2 1 2 1 系统的总动能：系统的总动能： lm tumtummTtumT eqeqs 222 2 1 2 1 2 1 弹簧的等效质量 3 1 mmmmm eqeq

40、 （1.3.17） 1.3 等效单自由度系统等效单自由度系统 系统的势能仍和忽略弹簧质量时相同：系统的势能仍和忽略弹簧质量时相同： 对于保守系统，机械能守恒，故有：对于保守系统，机械能守恒，故有： 对于简谐振动，对于简谐振动， 因此，最大动能和势能分别为：因此，最大动能和势能分别为： 能量守恒得：能量守恒得： tkuU 2 2 1 maxmax .UTconstUT 平衡位置 最大振幅位置 tatu n sinauau n maxmax , （1.3.18） 22 maxmax 22222 maxmax 2 1 2 1 2 1 , 2 1 2 1 kakuU amTTamumT eqrefre

41、fneqneq 222 2 1 2 1 kaam neq 结果说明，只要把弹簧质量的结果说明，只要把弹簧质量的1/3作为一个集中质量加到作为一个集中质量加到 质量块上，就可把弹簧质量对系统固有频率的影响考虑进质量块上，就可把弹簧质量对系统固有频率的影响考虑进 去。去。 近似解的精度：近似解的精度： 当当 ， 固有频率的相对误差：固有频率的相对误差： 当当 ， 固有频率的相对误差：固有频率的相对误差： 当当 ， 固有频率的相对误差：固有频率的相对误差： 等效质量的计算：把弹簧分布质量的总动能等效质量的计算：把弹簧分布质量的总动能=以等效质量以等效质量 作为集中质量的动能。作为集中质量的动能。 m

42、m2 mm 2 1 mm %5.0 %75.0 %3 , 2 1 2 1 2 2 max 2 eq eq ref n m k am ka T U 3 m m k m k eq n （1.3.18） 例例1-71-7：设有一均匀等截面简支梁，中间有一集：设有一均匀等截面简支梁，中间有一集 中质量中质量 ，若将梁本身质量考虑在内，试计，若将梁本身质量考虑在内，试计 算梁的等效质量和系统的固有频率。算梁的等效质量和系统的固有频率。 解：假定自由振动时梁解：假定自由振动时梁 的动挠度曲线形式与梁的动挠度曲线形式与梁 中间作用集中力产生的静中间作用集中力产生的静 挠度曲线形式一样，挠度曲线形式一样， 任

43、意两点动位移之比等于任意两点的静位移之任意两点动位移之比等于任意两点的静位移之 比，因此有：比，因此有： m )( )( ),(xy tu txy s )sin(), 2 ()(tat l ytu n A BEI 2/l m 2/l x ),(txy)(tu 式中：式中： 是梁左半段单位力作用下静位移挠度曲线，是梁左半段单位力作用下静位移挠度曲线， 由材料力学可知：由材料力学可知： 是是梁中间点处单位力作用下静挠度。梁中间点处单位力作用下静挠度。 因此，因此， 动挠度曲线为：动挠度曲线为： 设梁单位质量为设梁单位质量为 ，则整个梁的动能为：，则整个梁的动能为： 32 43 48 1 )(xxl

44、 EI xy s )(xy s EI ll y s 48 ) 2 ( 3 )(43)( )( ),( 22 tuxxltu xy txy s 1.3 等效单自由度系统等效单自由度系统 因此简支梁的等效质量为：因此简支梁的等效质量为： 简支梁的弹簧刚度为：简支梁的弹簧刚度为： 考虑梁的质量情况下，系统的固有频率为：考虑梁的质量情况下，系统的固有频率为： )( 2 1 )( 35 17 2 1 )( 35 17 2 1 )(43),( 2 1 2 222 2 2 22 2/ 0 2 2/ 0 1 tumtumtul tudxxxldxtxyT eq ll 35 17 mm eq 差不多是梁的总质量

45、的一半 3 481 l EI k 35 17 mm k mm k eq n (1.3.19) (1.3.20) 1.3 等效单自由度系统等效单自由度系统 例例1-8: 1-8: 一支承于无摩擦轴承中一支承于无摩擦轴承中 的等截面圆轴，两端各带有的等截面圆轴，两端各带有 转动惯量分别为转动惯量分别为 的推的推 进器。把两圆盘按相反方向进器。把两圆盘按相反方向 扭转，然后放松，求扭转振扭转，然后放松，求扭转振 动频率。动频率。 解：解： 21,J J 1 J 2 J d 1 l 2 l l 不动面 该例本来是两个自由系统。但是题中所述两个该例本来是两个自由系统。但是题中所述两个 圆盘反向扭转引起的

46、自由振动，运动位移是相圆盘反向扭转引起的自由振动，运动位移是相 对角位移。对角位移。 因此可判断在两个圆盘之间轴上存在一个不动因此可判断在两个圆盘之间轴上存在一个不动 面（该点相对角位移在振动过程中始终为零）。面（该点相对角位移在振动过程中始终为零）。 1.3 等效单自由度系统等效单自由度系统 对这样的两个自由度振动系统对这样的两个自由度振动系统 实际是可看成两个单自由度以实际是可看成两个单自由度以 相同固有频率振动。相同固有频率振动。 固有频率为：固有频率为： 2 2 1 1 J k J k n 1 J 2 J d 1 l 2 l l 不动面 1 l 2 l 1 J 2 J p GI p G

47、I p GI 1 k 2 k 2 2 1 1 , l GI k l GI k pp 扭转刚度分别为：扭转刚度分别为： 1.3 等效单自由度系统等效单自由度系统 则由两段振动频率相同得：则由两段振动频率相同得： 再由再由 ，故可求出：，故可求出： 系统的扭转振动的固有频率为：系统的扭转振动的固有频率为： 式中：式中： 2211 lJlJ lll 21 21 1 2 21 2 1 , JJ lJ l JJ lJ l eq ppp n J k JJ JJ l GI lJ GI lJ GI J k 21 21 22111 1 21 111 , JJJl GI k eq p （1.3.21) （1.3.

48、22) 1.3 等效单自由度系统等效单自由度系统 例例1-91-9：求图所示的两个结：求图所示的两个结 构系统的固有频率。其中构系统的固有频率。其中 弹簧的刚度弹簧的刚度 解：这两个结构中的悬臂梁解：这两个结构中的悬臂梁 可视为竖直方向的弹簧，可视为竖直方向的弹簧， 刚度系数为：刚度系数为： 3 2 4 l EI k EI 2 k l EI 2 k l 1 k 2 k 1 k 2 k （a） （b）3 1 3 l EI k 因此，对第一个结构系统可看成两个弹簧串联结因此，对第一个结构系统可看成两个弹簧串联结 构，第二个结构系统可看成两个弹簧并联结构。构，第二个结构系统可看成两个弹簧并联结构。

49、它们的等效弹簧刚度分别为：它们的等效弹簧刚度分别为： , 7 12 3 21 21 l EI kk kk ka 3 21 7 l EI kkkb 固有频率分别为固有频率分别为： 33 7 , 7 12 ml EI m k ml EI m k b nb a na 1.3 等效单自由度系统等效单自由度系统 1.4 有阻尼单自由度系统的自由振动有阻尼单自由度系统的自由振动 阻尼力：阻尼力： 从无阻尼自由振动的解我们知道，当系统受到从无阻尼自由振动的解我们知道，当系统受到 一个初始扰动之后，质量将永不停止地在其平一个初始扰动之后，质量将永不停止地在其平 衡位置附近做等幅振动。但实际情况是，这种衡位置附

50、近做等幅振动。但实际情况是，这种 振动不久就会停止。理论分析和实际之间的差振动不久就会停止。理论分析和实际之间的差 别的原因在于理论分析没有考虑系统阻力。别的原因在于理论分析没有考虑系统阻力。 阻力的存在将消耗系统的机械能转化为声能和阻力的存在将消耗系统的机械能转化为声能和 热能传出去。热能传出去。 在自由振动中，系统的机械能来自初始输入系在自由振动中，系统的机械能来自初始输入系 统的能量（动能和势能），随着时间的增加，统的能量（动能和势能），随着时间的增加， 能量的消耗导致系统的振幅逐渐减小而最后停能量的消耗导致系统的振幅逐渐减小而最后停 止。这种振幅衰减振动为有阻尼自由振动。止。这种振幅衰

51、减振动为有阻尼自由振动。 1.4 有阻尼单自由度系统的自由振动有阻尼单自由度系统的自由振动 阻力有多种来源，例如两种物体之间的干摩擦、阻力有多种来源，例如两种物体之间的干摩擦、 有润滑的两个面之间的摩擦力、气体和液体等介有润滑的两个面之间的摩擦力、气体和液体等介 质的阻力、电磁阻力或材料内部的摩擦阻力等。质的阻力、电磁阻力或材料内部的摩擦阻力等。 在振动中这些阻力统称为在振动中这些阻力统称为阻尼。阻尼。 黏性阻尼黏性阻尼：物体沿润滑表面滑动或在流体中低速：物体沿润滑表面滑动或在流体中低速 运动时，阻力的大小可认为与相对速度成正比，运动时，阻力的大小可认为与相对速度成正比， 方向与速度反向方向与

52、速度反向黏性阻尼。黏性阻尼。 数学表达为：数学表达为： 式中：c 为黏性阻尼系数，单位：Ns/m。 tucFd 1.4 有阻尼单自由度系统的自由振动有阻尼单自由度系统的自由振动 材料阻尼：材料阻尼：结构材料本身的内结构材料本身的内 摩擦引起的阻力。摩擦引起的阻力。 完全弹性材料内应力与应完全弹性材料内应力与应 变相位相同，在反复加卸变相位相同，在反复加卸 载过程中，没有能量损失。载过程中，没有能量损失。 而在黏弹性材料中，应变而在黏弹性材料中，应变 滞后于应力，有相位差，滞后于应力，有相位差， 在加卸载过程中形成滞后在加卸载过程中形成滞后 回线，因此要耗散能量，回线，因此要耗散能量， 成为振动

53、的阻尼。成为振动的阻尼。 黏性阻尼与速度成正比，因此黏性阻尼与速度成正比，因此 又称又称线性阻尼线性阻尼。 O A 加载 卸载 O A 加载 卸载 B C 振动方程及其解振动方程及其解： 考虑一个质量考虑一个质量-弹簧弹簧-阻尼系统。阻尼系统。 以静平衡位置为坐标原点，其运动方程为：以静平衡位置为坐标原点，其运动方程为： 由常微分方程理论，设解具有下列形式：由常微分方程理论，设解具有下列形式： 代入微分方程后，其特征方程可表示为：代入微分方程后，其特征方程可表示为： 1.4 有阻尼单自由度系统的自由振动有阻尼单自由度系统的自由振动 00 0 (0),(0) mu tcu tku t uuuu

54、( ) st u tue （1.4.2） m ( )u t kc ku cu u （1.4.1） 特征方程为：特征方程为： 解出一对特征根：解出一对特征根： 0 2 kcsms m k m c m c s 2 2,1 22 （1.4.3） （1.4.4） （1.4.5） n 引入无量刚参数阻尼比：引入无量刚参数阻尼比： cn c c m c mk c m k m c 222 系统的固有频率，系统的固有频率， mkmc nc 22 系统临界阻尼系数系统临界阻尼系数 1.4 有阻尼单自由度系统的自由振动有阻尼单自由度系统的自由振动 运动方程可改写为：运动方程可改写为： 特征方程的根可改写为：特征方

55、程的根可改写为： 显然，对于不同的阻尼比，解的性质取决于根显然，对于不同的阻尼比，解的性质取决于根 式式 是实数还是虚数。是实数还是虚数。 （1.4.1b） 2 20 nn uuu 1.4 有阻尼单自由度系统的自由振动有阻尼单自由度系统的自由振动 1 2 2,1 nn s （1.4.6） 2 1 临界阻尼系数取决于系统的刚度和质量特性。临界阻尼系数取决于系统的刚度和质量特性。 阻尼比反映了阻尼系数与临界阻尼系数之比。阻尼比反映了阻尼系数与临界阻尼系数之比。 1.4 有阻尼单自由度系统的自由振动有阻尼单自由度系统的自由振动 过阻尼情况过阻尼情况 ： 特征方程的两个根为不等的实根：特征方程的两个根

56、为不等的实根： 因此运动微分方程通解为：因此运动微分方程通解为： 1 2 2,1 nn s 22 11 12 ( ) nn tt u ta ea e （1.4.6a） （1.4.7） 1 响应曲线表明：响应曲线表明： 响应由初始位移先增加响应由初始位移先增加 到某一极值，然后逐渐衰到某一极值，然后逐渐衰 减为零。减为零。 越过静平衡位置只有一越过静平衡位置只有一 次，因此大阻尼下系统的次，因此大阻尼下系统的 运动不是振动。运动不是振动。 0000 1020 22 11 , 22 11 nn nn uuuu auau 由初始条件可确定积分常数为由初始条件可确定积分常数为 1.4 有阻尼单自由度系

57、统的自由振动有阻尼单自由度系统的自由振动 （1.4.8） 1.4有阻尼单自由度系统自由振动有阻尼单自由度系统自由振动 临界阻尼情况临界阻尼情况： 在这种情况下，特征方程的根为两个相等的在这种情况下，特征方程的根为两个相等的 实根，即：实根，即： 根据微分方程理论，根据微分方程理论， 此时有阻尼运动微分方程的通解为：此时有阻尼运动微分方程的通解为： 引入初始条件得：引入初始条件得： 临界阻尼状态下，临界阻尼状态下， 系统的运动具有系统的运动具有 衰减性，但不具衰减性，但不具 有振动性。有振动性。 1 n s 2,1 12 ( ) nt u taa t e 00 ( )1 nt n u tutu

58、te （1.4.10） （1.4.11） 欠阻尼情况欠阻尼情况： 根式根式 为虚数，为虚数， 令令 运动微分方程的通解为：运动微分方程的通解为： 1 1 2 2 2, 1 1 nn js 一对共轭复数一对共轭复数。 2 1 nd 12 ( )cossin nt dd u teatat 式中式中 由初始条件确定由初始条件确定。 21 , aa （1.4.13） 1.4 有阻尼单自由度系统的自由振动有阻尼单自由度系统的自由振动 （1.4.14） （1.4.12） 1.4 有阻尼单自由度系统的自由振动有阻尼单自由度系统的自由振动 引入初始条件得：引入初始条件得： 则：则： 00 102 , n d

59、uu aua （1.4.15） 00 000 ( )cossin nt n dd d uu u teuttU t uV t u （1.4.16） 式中式中: : 2 ( )cossin 1 sin n n t dd t d d U tett e V tt （1.4.17） 分别为单位初位移和单位初速度引起的自由振动分别为单位初位移和单位初速度引起的自由振动 1.4 有阻尼单自由度系统的自由振动有阻尼单自由度系统的自由振动 进一步改写为振幅和相位形式：进一步改写为振幅和相位形式： 式中：式中： ( )sin nt d u taet 2 2 00 0 0 00 arctan n d d n uu

60、au u uu （1.4.18） （1.4.19） a. 欠阻尼情况下响应特性欠阻尼情况下响应特性: 振幅振幅 随时间逐渐衰减，衰减的程随时间逐渐衰减，衰减的程 度依赖系统的阻尼比；度依赖系统的阻尼比； 欠阻尼下自由振动仍有周期性；欠阻尼下自由振动仍有周期性； 欠阻尼下振动的圆频率欠阻尼下振动的圆频率 比无阻比无阻 尼时圆频率要小；因此尼时圆频率要小；因此 振动的周期要比无阻尼振动的周期要比无阻尼 时的大。时的大。 nd 2 1 nt Aae 1.4 有阻尼单自由度系统的自由振动有阻尼单自由度系统的自由振动 22 11 22 n n d d T T (1.4.20) nt ae sin nt