最新湘教版35相似三角形的应用讲解

1、相似三形的应用相似三形的应用 湘教版数学九年级上册湘教版数学九年级上册 本节内容本节内容 3.53.5 如图，如图，A A，B B两点分别位于一个池塘的两端，两点分别位于一个池塘的两端， 小张想测量出小张想测量出A A，B B间的距离，但由于受条件限间的距离，但由于受条件限 制无法直接测量，你能帮他想出一个可行的测制无法直接测量，你能帮他想出一个可行的测 量办法吗？量办法吗？ 动脑筋动脑筋 我们可以这样做：我们可以这样做： 如图，在池塘外取一点如图，在池塘外取一点C，使它可以直接看到，使它可以直接看到A，B 两点，连接并延长两点，连接并延长AC，BC，在，在AC的延长线上取一点的延长线上取一点

2、D， 在在BC 的延长线上取一点的延长线上取一点E，使，使 （k为正整为正整 数），测量出数），测量出DE的长度后，就可以由相似三角形的有关的长度后，就可以由相似三角形的有关 知识求出知识求出A，B两点间的距离了两点间的距离了 ACBC k DCEC 如图，如果如图，如果 =2，且测得，且测得DE的长的长50m，则，则A，B两两 点间的距离为多少点间的距离为多少？ 做一做做一做 ACBC DCEC DCE.ABC AB DE 2. DE=50m, AB=2DE=100m. . ACBC DCEC =2，ACB =DCE， 解解： 举举 例例 例例1 在用步枪瞄准靶心时，要使眼睛（在用步枪瞄准靶

3、心时，要使眼睛（O）、）、 准星（准星（A）、靶）、靶 心点（心点（B）在同一条直线上）在同一条直线上.在射击时，李明由于有轻微的抖动，在射击时，李明由于有轻微的抖动， 致使准星致使准星A偏离到偏离到 ，如图所示，如图所示: A 已知已知OA=0.2m，OB=50m， =0.0005m，求李明射击到，求李明射击到 的点的点 偏离靶心点偏离靶心点B的长度的长度 （近似地认为（近似地认为 ）. BB BB AA AA B 解解： ， BB AA OAAOBB. . OAAA OBBB OA=0.2m，OB=50m， =0.0005m， AA = 0.125m. BB 答：李明射击到的点答：李明射击

4、到的点 偏离靶心点偏离靶心点B的长度的长度 为为0.125m. B BB 如图如图:如何估算河的宽度？你有什么方法？如何估算河的宽度？你有什么方法？ 探究探究 方法一方法一:如图,我们可以在河对岸选定一个目标作为点A, 再在河岸的这一边选点B和C,使ABBC,然后,再选点E,使 ECBC,用视线确定BC和AE的交点D. 解解: : ADB = EDC ADB = EDC ABC =ECD =90 ABC =ECD =900. 0. ABD ABD ECD ECD ABABEC=BDEC=BDCDCD 即即 AB:50 =120:60 AB:50 =120:60 解得解得AB=100AB=100

5、（米）（米） 两岸间的大致距离为两岸间的大致距离为100100米。米。 A A B B C C D D E E 此时如果测得BD=120米,DC=60米,EC=50米,求两岸间 的大致距离AB. 方法二：方法二：我们还可以在河对岸选定一目标点我们还可以在河对岸选定一目标点A，再在河的，再在河的 一边选点一边选点D和和 E，使，使DEAD，然后，再在河岸的这一边，然后，再在河岸的这一边 选点选点B，作，作BCDE，与视线，与视线EA相交于点相交于点C。 此时如果测得此时如果测得DE120米，米，BC60米，米，BD50米，求米，求 两岸间的大致距离两岸间的大致距离AB B C A D E ,/

6、DEBC解 ABCADE , DE BC AD AB , 120 60 50 AB AB 即 .50AB解得 两岸间的大致距离为两岸间的大致距离为5050米。米。 测距的方法测距的方法 测量不能到达两点间的距离测量不能到达两点间的距离,常常构造构造 相似三角形相似三角形求解。求解。 结论结论 练习练习 1.如图，某路口栏杆的短臂长为如图，某路口栏杆的短臂长为1m，长臂长为，长臂长为6m. 当短当短 臂端点下降臂端点下降0.5m时，长臂端点升高多少米？时，长臂端点升高多少米？ O A B A B 由图可知由图可知 解解： RtOAB Rt . OAAB = OBAB . 0.5 6 =3(m)

7、1 ABOB AB OA , OB A 2.如图是跷跷板示意图，横板AB绕中点O上下转动， 立柱 OC与地面垂直，设B点的最大高度为h1.若将横板AB换成 横板AB，且AB=2AB ，O仍为AB的中点，设B点的最大 高度为h2 ，则下列结论正确的是 （） A.h2=2h1B.h2=1.5h1 C.h2=h1D.h2= h1 1 2 如图所示：如图所示： O为为AB的中点，的中点，OCAD，BDAD， OCBD， AOCABD， BD=2OC,即即 h1=2OC， 同理，当将横板同理，当将横板AB换成横板换成横板AB，且，且AB=2AB，O 仍为仍为AB的中点，设的中点，设B点的最大高度为点的最

8、大高度为h2，则，则h2=2OC， h1=h2 故应选择故应选择C. 解解: D 观察观察 在阳光下，在同一时刻，物体的高度与物体在阳光下，在同一时刻，物体的高度与物体 的影长存在某种关系：物体的高度越高，物体的的影长存在某种关系：物体的高度越高，物体的 影长就越长影长就越长 同一时刻，同一时刻，在平行光线的照射下，不同在平行光线的照射下，不同 物体的物高与影长成比例物体的物高与影长成比例 长影 长影 长物 长物 即 2 1 2 1 胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为 “世界古代七大奇观之一世界古代七大奇观之一”。塔的个斜面正对东南西。塔的

9、个斜面正对东南西 北四个方向，塔基呈正方形，每边长约多米北四个方向，塔基呈正方形，每边长约多米。据据 考证，为建成大金字塔，共动用了万人花了年考证，为建成大金字塔，共动用了万人花了年 时间时间. .原高米，但由于经过几千年的风吹原高米，但由于经过几千年的风吹 雨打雨打, ,顶端被风化吹蚀顶端被风化吹蚀. .所以高度有所降低所以高度有所降低 。 埃及著名的考古专家穆罕穆德决埃及著名的考古专家穆罕穆德决 定重新测量胡夫金字塔的高度定重新测量胡夫金字塔的高度. .在一个在一个 烈日高照烈日高照的上午的上午. .他和儿子小穆罕穆德他和儿子小穆罕穆德 来到了金字塔脚下来到了金字塔脚下, ,他想考一考年仅

10、他想考一考年仅1414 岁的小穆罕穆德岁的小穆罕穆德. . 给你一条给你一条1 1米高的米高的 木杆木杆, ,一把皮尺一把皮尺, , 你能利用所学知你能利用所学知 识来测出塔高吗识来测出塔高吗? ? 1米木杆米木杆 皮尺皮尺 A C B D E 给你一条给你一条1 1米高的米高的 木杆木杆, ,一把皮尺一把皮尺. . 你能利用所学知你能利用所学知 识来测出塔高吗识来测出塔高吗? ? 1米木杆米木杆 皮尺皮尺 还可以有其他方法测量吗？还可以有其他方法测量吗？ 例例2 2 古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法 ：如图所示，为了测量金字塔的高度：如

11、图所示，为了测量金字塔的高度OBOB，先竖一根已知长，先竖一根已知长 度的木棒度的木棒OBOB，比较棒子的影长，比较棒子的影长ABAB与金字塔的影长与金字塔的影长 ABAB，即可近似算出金字塔的高度，即可近似算出金字塔的高度OBOB如果如果O B O B 1 1， ABAB2 2，ABAB274274，求金字塔的高度，求金字塔的高度OB.OB. O O A(B) AB 举举 例例 如图所示，为了测量金字塔的高度如图所示，为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的，先竖一根已知长度的 木棒木棒OB，比较棒子的影长，比较棒子的影长AB与金字塔影长与金字塔影长AB，即可近似算出，即可近似算出 金字

12、塔的高度金字塔的高度OB如果如果OB1，AB2，AB274，求金字塔的，求金字塔的 高度高度OB. 答答:该金字塔高度该金字塔高度OB为为137米米 解解:太阳光是平行光线，太阳光是平行光线， OABOAB 又又 ABOABO90. OABOAB， OB OBAB AB， 137 2 1274 BA BOAB （米）（米）OB O O A(B) AB A C B D E 给你给你, ,一把皮尺一把皮尺, , 一面平面镜一面平面镜. .你能你能 利用所学知识来利用所学知识来 测出塔高吗测出塔高吗? ? 皮尺皮尺平面镜平面镜 AF E B O OB EF = OA AF ABOAEF OB = O

13、A EF AF 平面镜平面镜 物物1高高 ：物：物2高高 = 影影1长长 ：影：影2长长 测高的方法测高的方法 测量不能到达顶部的物体的高度，测量不能到达顶部的物体的高度， 通常用通常用“在同一时刻物高与影长成正比在同一时刻物高与影长成正比 例例”的原理解决。的原理解决。 结论结论 变式变式1.1.某同学想利用树影测量树高某同学想利用树影测量树高. .他在某一时刻测得小他在某一时刻测得小 树高为树高为1.51.5米时，其影长为米时，其影长为1.21.2米，当他测量教学楼旁的一米，当他测量教学楼旁的一 棵大树影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上棵大树影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子

14、在墙上 . .经测量，地面部分影长为经测量，地面部分影长为6.46.4米，墙上影长为米，墙上影长为1.41.4米，那米，那 么这棵大树高多少米么这棵大树高多少米? ? E D 6.4 1.2 ？ 1.5 1.4 A B c 解：作解：作DEAB于于E 得：得： AE=8 AB=8+1.4=9.4米米 1.5 1.26.4 AE 注意：物体的影长不等于地上的部分加上墙上的部分注意：物体的影长不等于地上的部分加上墙上的部分 1.2 1.5 甲 拓展拓展: : 已知教学楼甲高为已知教学楼甲高为1212米，在距教学楼米，在距教学楼9 9米的米的 东面有一建筑物乙，此时教学楼会影响乙的采光东面有一建筑物

15、乙，此时教学楼会影响乙的采光 吗？吗？ 乙 6 12 12 9.6 D E 3.6 1.如图，小红同学用自制的直角三角形纸板如图，小红同学用自制的直角三角形纸板DEF 量树的高度量树的高度 AB，她调整自己的位置，设法使斜，她调整自己的位置，设法使斜 边边DF保持水平，并且边保持水平，并且边 DE与点与点B在同一直线上在同一直线上. 已知纸板的两条直角边已知纸板的两条直角边DE=80cm， EF=40cm， 测得测得AC=1.5m，CD=8m，求树高，求树高AB. 由图可知由图可知 解解： DCB. . EFDE = BCDC . 0.4 8 4(m) 0.8 EF DC BC DE 答答:

16、:树高树高AB为为5.5m. AB=BC+AC=4+1.5=5.5(m). RtRtDEF 练习练习 2. 实际问题实际问题数学问题数学问题 30米米 60厘米厘米 12厘米厘米 ？ 1. 相似三角形的应用主要有两个方面：相似三角形的应用主要有两个方面： （1 1） 测高测高 测量不能到达两点间的距离测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解。常构造相似三角形求解。 （不能直接使用皮尺或刻度尺量的）（不能直接使用皮尺或刻度尺量的） （不能直接测量的两点间的距离）（不能直接测量的两点间的距离） 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“ 在同一时刻物高与影长成比例在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决。的原理解决。 （2 2） 测