工程力学题目及答案

1、2021-6-28 1 考试题型及大范围考试题型及大范围 1.1.简答题简答题 2.2.作图题：作图题：轴力图，扭矩图，剪力图，弯矩轴力图，扭矩图，剪力图，弯矩 图图 3.3.计算题计算题 列平衡方程求未知力列平衡方程求未知力 1 1）拉压正应力，拉压伸缩量）拉压正应力，拉压伸缩量 2 2）拉压，剪切，弯曲强度条件的应用）拉压，剪切，弯曲强度条件的应用 3 3）弯曲变形）弯曲变形 4 4）压杆稳定）压杆稳定 2021-6-28 2 目目 录录 第一篇第一篇 静力学静力学 第第1 1章章 静力学基础静力学基础 第第2 2章章 汇交力系汇交力系 第第3 3章章 力偶系力偶系 第第4 4章章 平面任

2、意力系平面任意力系 第第6 6章章 重心重心 2021-6-28 3 第第1 1章章 静力学基础静力学基础 认识并认识并 记住记住 了解、了解、 熟习并熟习并 加以运加以运 用用 了解，了解， 认识认识 四大类约束：柔性，光滑面，圆柱铰，固定端四大类约束：柔性，光滑面，圆柱铰，固定端 二力平衡公理：作用在刚体上的两个力，平衡的充分与二力平衡公理：作用在刚体上的两个力，平衡的充分与 必要条件：两个力的大小相等、方向相反、作用在一直必要条件：两个力的大小相等、方向相反、作用在一直 线上。线上。 力：物体间相互的机械作用。力：物体间相互的机械作用。 平衡：物体相对惯性参考系静止或作匀速直线平移。平衡

3、：物体相对惯性参考系静止或作匀速直线平移。 刚体：在力的作用下不变形的物体。刚体：在力的作用下不变形的物体。 在已知力系上加减任意平衡力系，不改变原力系对刚体在已知力系上加减任意平衡力系，不改变原力系对刚体 的作用效应。的作用效应。 两物体间互相作用的力总是同时存在，大小相等、两物体间互相作用的力总是同时存在，大小相等、 方向相反、作用在同一直线上。方向相反、作用在同一直线上。 作用于物体某一点上两个力的合力，作用于同一点，其作用于物体某一点上两个力的合力，作用于同一点，其 大小和方向由这两个力所构成的平行四边形的对角线表大小和方向由这两个力所构成的平行四边形的对角线表 示。示。 2021-6

4、-28 5 例：重为例：重为P的均质圆柱夹在重为的均质圆柱夹在重为W 的光滑均质板的光滑均质板AB 与光与光 滑的铅垂墙之间，均质板在滑的铅垂墙之间，均质板在A 端用固定铰链支座固定在铅垂端用固定铰链支座固定在铅垂 墙上，在墙上，在B 端以水平绳索端以水平绳索BE系在墙上。试画出圆柱系在墙上。试画出圆柱C 与板与板AB 组成的刚体系整体的受力图及圆柱组成的刚体系整体的受力图及圆柱C 与板与板AB 的受力图。的受力图。 2021-6-28 6 2021-6-28 7 第第2 2章章 汇交力系汇交力系 力多边形法则：力多边形法则：汇交力系可简化为一个作用于汇交点的合汇交力系可简化为一个作用于汇交点

5、的合 力，将力，将n个力矢依次首尾相连，连接第个力矢依次首尾相连，连接第1个力矢的始点到个力矢的始点到 第第n 个力矢的终点所形成的力矢为个力矢的终点所形成的力矢为n个力的合力，即合力个力的合力，即合力 力矢由力多边形的封闭边表示。力矢由力多边形的封闭边表示。 三力平衡汇交定理：三力平衡汇交定理：作用在刚体同一平面内的三个互不平作用在刚体同一平面内的三个互不平 行的力平衡，三力的作用线必须汇交于一点。行的力平衡，三力的作用线必须汇交于一点。 汇交力系的平衡几何条件汇交力系的平衡几何条件：最后一个力的终点与第一：最后一个力的终点与第一 个力的始点重合，即力的多边形是自形封闭的。个力的始点重合，即

6、力的多边形是自形封闭的。 平面汇交力系平衡的解析条件平面汇交力系平衡的解析条件：力系中各力在：力系中各力在x轴和轴和y轴上轴上 的投影之代数和均等于零。的投影之代数和均等于零。 合力矩定理合力矩定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩， 等于所有各分力对同一点的矩的代数和。等于所有各分力对同一点的矩的代数和。 合力投影定理合力投影定理：合力在任一轴上的投影等于各分力在同一：合力在任一轴上的投影等于各分力在同一 轴上投影的代数和。轴上投影的代数和。 2021-6-28 9 第第3 3章章 力矩和力偶系力矩和力偶系 性质性质1：力偶既没有合力，本身又不平衡

7、，是一个基本力学量。：力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。 性质性质2：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而 与矩心的位置无关，因此力偶对刚体的效应用力偶矩度量。与矩心的位置无关，因此力偶对刚体的效应用力偶矩度量。 性质性质3：力偶不能简化为一个力，即力偶不能用一个力等效替：力偶不能简化为一个力，即力偶不能用一个力等效替 代。因此力偶不能与一个力平衡，力偶只能与力偶平衡。代。因此力偶不能与一个力平衡，力偶只能与力偶平衡。 力使刚体产生绕点转动效应的度量称为力使刚体产生绕点转动效应的度量称为力对点之矩力对点之矩。 例如：扳手旋转螺

8、母，开门、关门。例如：扳手旋转螺母，开门、关门。 力偶力偶：作用于刚体上等值、反向、平行而不共线的两个力：作用于刚体上等值、反向、平行而不共线的两个力 组成的力系，记作（组成的力系，记作（F,F） 平面力偶系合成平面力偶系合成：结果还是一个力偶：结果还是一个力偶,其力偶矩为各力偶矩其力偶矩为各力偶矩 的代数和。的代数和。 平面力偶系平衡的充要条件平面力偶系平衡的充要条件:所有各力偶矩的代数和等于所有各力偶矩的代数和等于 零。零。 2021-6-28 11 第第4 4章章 平面任意力系平面任意力系 平面任意力系平面任意力系 平面力偶系平面力偶系 平面汇交力系平面汇交力系向一点简化向一点简化 合成

9、合成 合成合成 （主矢）（主矢） MO （主矩）（主矩） R F ()0 ()0 0 x A B MF MF F()0 ()0 ()0 A B C MF MF MF 二矩二矩式平衡方程式平衡方程三矩三矩式平衡方程式平衡方程 0 0 ()0 B x y MF F F 一矩一矩式平衡方程式平衡方程 力的平移定理力的平移定理：可以把作用在刚体上点：可以把作用在刚体上点A的力的力F平行平行 移到任一点移到任一点B，但必须同时附加一个力偶。这个力偶，但必须同时附加一个力偶。这个力偶 的力偶矩等于原来的力的力偶矩等于原来的力F对新作用点对新作用点B的矩。的矩。 RO 00平面任意力系平衡条件：FM 超静定

10、：系统中未知力数目超静定：系统中未知力数目独立的平衡方程数目。独立的平衡方程数目。 刚体系平衡的特点：刚体系平衡的特点： 物系静止物系静止 物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列3个平衡方程，整个系个平衡方程，整个系 统可列统可列3n个方程（设物系中有个方程（设物系中有n个物体）个物体） 2021-6-28 13 第第6 6章章 重重 心心 积分法；积分法； (2) 组合法；组合法； (3) 悬挂法；悬挂法； (4) 称重法。称重法。 确定重心和形心位置的具体方法：确定重心和形心位置的具体方法： 2021-6-28 14 重心坐标的一般公式重心坐标的一般公

11、式 i i c Pz z P ii c Py y P ii c P x x P 2021-6-28 15 组合法计算重心组合法计算重心 如果一个物体由几个简单形状的物体组合而成，而这些物体如果一个物体由几个简单形状的物体组合而成，而这些物体 的重心是已知的，那么整个物体的重心可由下式求出。的重心是已知的，那么整个物体的重心可由下式求出。 1 1、分割法、分割法 , iiiiii CCC iii A xA yA z xyz AAA 2 2、负面积法、负面积法 若在物体或薄板内切去一部分（例如有空穴或孔的物体），若在物体或薄板内切去一部分（例如有空穴或孔的物体）， 则这类物体的重心，仍可应用与分割

12、法相同的公式求得，只则这类物体的重心，仍可应用与分割法相同的公式求得，只 是切去部分的体积或面积应取是切去部分的体积或面积应取负负值。值。 2021-6-28 16 例题例题 解：取解：取Oxy 坐标系如图所示，将角坐标系如图所示，将角 钢分割成两个矩形，则其面积和形心为：钢分割成两个矩形，则其面积和形心为： A1=（200-20）20mm2 =3600 mm2 x1 = 10 mm y1 = 110 mm A2 = 15020mm2 =3000 mm2 x2 = 75 mm y2 = 10 mm 2021-6-28 17 由组合法，得到由组合法，得到 xC = A1 + A2 A1 x1 +

13、 A2 x2 = 39.5 mm yC = A1 + A2 A1 y1 + A2 y2 = 64.5 mm 另一种解法：另一种解法： 负面积法负面积法 将截面看成是从将截面看成是从 200mm150mm 的矩形中挖去图中的小矩形（虚线的矩形中挖去图中的小矩形（虚线 部分）而得到，从而部分）而得到，从而 A1= 200150mm2 = 30000 mm2 2021-6-28 18 x1= 75 mm, y1= 100 mm A2= -180130 = -23400 mm2 两种方法的结果相同。两种方法的结果相同。 x2= 85 mm, y2= 110 mm mm5 .39mm 234003000

14、0 85234007530000 C x故故 mm5 .64mm 2340030000 1102340010030000 C y 2021-6-28 19 例：试求图示悬臂固定端例：试求图示悬臂固定端 A 处的约束力。其中处的约束力。其中q 为均布载荷为均布载荷 集度，单位为集度，单位为kN/m ，设集中力，设集中力F = ql ，集中力偶矩，集中力偶矩M = ql 2。 解：以梁解：以梁AB 为研究对象，受力图和坐标系如图所示。建立为研究对象，受力图和坐标系如图所示。建立 平衡方程平衡方程 0: x F 0 Ax F 0: y F 20 Ay FqlF A( )0:MF A 220Mql l

15、MFl A 0 x F Ay Fql 2 A Mql 解得：解得： 2021-6-28 20 目目 录录 第二篇第二篇 材料力学材料力学 第第7 7章章 绪论绪论 第第8 8章章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩 第第9 9章章 圆轴扭转圆轴扭转 第第1010章章 弯曲内力弯曲内力 第第1111章章 弯曲应力弯曲应力 第第1212章章 弯曲变形弯曲变形 第第1313章章 应力状态分析应力状态分析 第第1414章章 复杂应力状态强度理论复杂应力状态强度理论 第第1515章章 压杆稳定问题压杆稳定问题 2021-6-28 21 第第7 7章章 材料力学的基本概念材料力学的基本概念 截面法三部曲截面法三

16、部曲 截开截开 代替代替 平衡平衡 2021-6-28 22 2021-6-28 23 2021-6-28 24 第第8 8章章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩 N F A 2021-6-28 25 2021-6-28 26 FN3 N F x 50kN 10kN 20kN 轴力图轴力图 20kN30kN40kN ABCD FN1 FN2 2021-6-28 27 看清题目，分清出约束类型看清题目，分清出约束类型 应用平衡方程求各个约束力应用平衡方程求各个约束力 根据外力和约束力情况，根据外力和约束力情况， 确定控制面确定控制面 应用截面法，求出应用截面法，求出每一控制面每一控制面 上的内力上的

17、内力数值数值 确定每确定每2个控制面之间内力变个控制面之间内力变 化，建立坐标，画出整个杆上化，建立坐标，画出整个杆上 的内力图的内力图 解题思路和方法：解题思路和方法： 画内力图画内力图 2021-6-28 28 2021-6-28 29 一条线一条线 两个规律两个规律 三个现象三个现象 四个阶段四个阶段 五个特征指标五个特征指标 e e曲线曲线 在线弹性阶段内，应力和应变成正比在线弹性阶段内，应力和应变成正比 卸载规律卸载规律 屈服现象屈服现象 颈缩现象颈缩现象 冷作硬化现象冷作硬化现象 、弹性阶段、弹性阶段、屈服阶段、屈服阶段 、强化阶段、强化阶段、局部变形阶段、局部变形阶段 s b d

18、 d y y E 材料在拉伸和压缩时的力学性能材料在拉伸和压缩时的力学性能 2021-6-28 30 例：例：图示桁架，已知两杆的横截面面积均为图示桁架，已知两杆的横截面面积均为A = 100mm2 ，许，许 用拉应力用拉应力 t=200MPa ，许用压应力，许用压应力c=150MPa 。试求载荷的最。试求载荷的最 大许用值。大许用值。 解：解：求求1 、2杆的轴力杆的轴力 以节点以节点B 为研究对象，受力图和坐标系如为研究对象，受力图和坐标系如 图。建立平衡方程图。建立平衡方程 0: x F o N2N1 cos450FF 0: y F o N1 sin450FF 解得：解得： N1 2FF

19、 N2 FF ( (拉拉) ) ( (压压) ) 2021-6-28 31 确定载荷的最大许用值确定载荷的最大许用值 1杆强度条件杆强度条件 N1t 2FFA 66 t 100 10200 10 14.14kN 22 A F 2杆强度条件杆强度条件 N2c FFA 66 c 100 10150 1015.0kNFA 所以载荷所以载荷F 的最大许用值为的最大许用值为14.14kN。 N1 2FF N2 FF ( (拉拉) ) ( (压压) ) 2021-6-28 32 拉压超静定问题拉压超静定问题 一、概念一、概念 超静定问题：超静定问题：结构或构件的结构或构件的 约束反力或内力不能由平衡约束反

20、力或内力不能由平衡 方程全部求解的问题。方程全部求解的问题。 超静定次数：超静定次数：未知力数目与未知力数目与 独立平衡方程数目之差。独立平衡方程数目之差。 F ab BCA F A B C 30 45 D 多余约束：多余约束：非维持平衡所必非维持平衡所必 需的约束。需的约束。 多余约束力：多余约束力：相应于多余约相应于多余约 束的约束反力或内力。束的约束反力或内力。 2021-6-28 33 二、超静定问题的解法二、超静定问题的解法 三三 方方 面面 的的 条条 件件 平衡方程平衡方程 变形协调变形协调 方程方程 物理方程物理方程 补充方程补充方程 不能完全求出约束力不能完全求出约束力 20

21、21-6-28 34 例：例：图示桁架，在节点图示桁架，在节点A 处作用铅垂载荷处作用铅垂载荷F = 10kN ，已知，已知1 杆用钢制成，弹性模量杆用钢制成，弹性模量E1 = 200GPa ，横截面面积，横截面面积A1 = 100mm2 ， 杆长杆长l1 = 1m ，2 杆用硬铝制成，弹性模量杆用硬铝制成，弹性模量E2 = 70GPa ，横截面面，横截面面 积积A2 = 250mm2 ，杆长，杆长l2 = 0.707m 。试求节点。试求节点A的位移。的位移。 解：解：以节点以节点A 为研究对象，建立平衡方程为研究对象，建立平衡方程 解得：解得： 0: x F 0: y F ( (拉拉) )

22、( (压压) ) o N1N2 cos450FF o N1 sin450FF N1 214.14kNFF N2 10kNFF 2021-6-28 35 3 4N1 1 196 11 14.14 101 7.07 10 m 200 10100 10 F l l E A 3 4N2 2 296 22 10 100.707 4.04 10 m 70 10250 10 F l l E A 4 A22 4.04 10 m x AAl 312 A445oo 1.404 10 m sin45tan45 y ll AAA A 计算杆计算杆1、2 的变形量的变形量 节点节点A 的水平位移的水平位移 节点节点A

23、的垂直位移的垂直位移 ( (拉拉) )( (压压) ) N1 214.14kNFF N2 10kNFF 2021-6-28 36 剪切与挤压剪切与挤压 2021-6-28 37 2021-6-28 38 2021-6-28 39 第第9 9章章 扭转扭转 I T m ax W T 9549MN m P n 2021-6-28 40 一、概念一、概念 外力特征外力特征外力偶作用在杆的横截面上。外力偶作用在杆的横截面上。 变形特征变形特征杆件的纵向线倾斜同一角度，横截面杆件的纵向线倾斜同一角度，横截面 绕杆轴线转动。绕杆轴线转动。 g g切应变切应变 j j扭转角扭转角 2021-6-28 41

24、二、传动轴的外力偶矩二、传动轴的外力偶矩 已知：输出功率为已知：输出功率为P P（kWkW）、轴的转速为）、轴的转速为n n（r/minr/min） 外力偶矩外力偶矩MeMe（kN.mkN.m）求：求： e P M9550( N m ) n 三、扭转轴的内力三、扭转轴的内力 1 1、扭矩、扭矩TT 按右手螺旋法则，按右手螺旋法则， 扭矩矢量沿截面外法线方扭矩矢量沿截面外法线方 向为正；反之为负。向为正；反之为负。 2 2、扭矩的正负规定：、扭矩的正负规定： 2021-6-28 42 3 3、扭矩图、扭矩图 扭矩图扭矩图表示扭矩沿杆件轴线变化规律的图线。表示扭矩沿杆件轴线变化规律的图线。 扭矩图

25、和受力图对齐；扭矩图和受力图对齐； 扭矩图上标明扭矩的大小、正负和单位。扭矩图上标明扭矩的大小、正负和单位。 要求：要求： 例：图所示传动轴，主动轮例：图所示传动轴，主动轮B 输入的功率输入的功率PB=10kW，若不，若不 计轴承摩擦所耗的功率，两个从动轮输出的功率分别为计轴承摩擦所耗的功率，两个从动轮输出的功率分别为PA=4kW ，PC=6kW，轴的转速，轴的转速n = 500r/min，试作轴的扭矩图。，试作轴的扭矩图。 2021-6-28 43 解：解： 计算外力偶矩计算外力偶矩 A A 4 9549954976.4N m 500 P M n B B 10 95499549191N m

26、500 P M n C C 6 95499549114.6N m 500 P M n 计算轴各段的扭矩计算轴各段的扭矩 ()0: x MF 1A 0TM 解得：解得： 1 76.4N mT 2C 0TM 2 114.6N mT 绘制扭矩图绘制扭矩图 解得：解得： ()0: x MF 2-2： 1-1： 2021-6-28 44 四、薄壁圆筒的扭转四、薄壁圆筒的扭转 r0/d d10 时，称为薄壁圆筒。时，称为薄壁圆筒。 2 0 2 T r d d 五、变形五、变形 g g G 六、剪切胡克定律六、剪切胡克定律 0 r l g g j j 2021-6-28 45 七、切应力互等定理七、切应力互

27、等定理 过一点的两相互垂直截面上，切应力成过一点的两相互垂直截面上，切应力成 对出现，其大小相等，且同时指向或同对出现，其大小相等，且同时指向或同 时背离两截面的交线。时背离两截面的交线。 八、等直圆杆扭转时横截面的应力八、等直圆杆扭转时横截面的应力 p I T p max I TR p W T T A p dAI 2 32 4 d 16 3 d W p 其中：其中： 1 1 1 1 2 2 2 2 2021-6-28 46 九、斜截面上的应力九、斜截面上的应力 2sin 2cos 十、强度条件十、强度条件 max p W T 可进行三类强度计算可进行三类强度计算 v强度校核；强度校核； v设

28、计截面；设计截面； v确定许可载荷。确定许可载荷。 2021-6-28 47 例例 由无缝钢管制成的汽车传动轴，外径由无缝钢管制成的汽车传动轴，外径 D D=89=89mmmm、内径内径d d=86.5mm=86.5mm ，材料为材料为2020号钢，号钢， 使用时的使用时的最大扭矩最大扭矩T=T=19301930N Nm m, , =70=70MPaMPa. .校校 核此轴的强度。核此轴的强度。 34343 p 0.945 0.2(1)0.2 8.9 (1 0.945 )29cm d D WD 6 max 6 p 1930 66.7 10 Pa 29 10 66.7MPa 70MPa T W

29、2021-6-28 48 十一、等直圆杆扭转时的变形十一、等直圆杆扭转时的变形 p GI Tl j j 十二、十二、 刚度条件刚度条件 max max p T GI 180 三类计算：三类计算： 1 1、刚度刚度校核；校核； 2 2、设计截面、设计截面 3 3、确定许可载荷、确定许可载荷 2021-6-28 49 例例 max p T W 某传动轴所承受的扭矩某传动轴所承受的扭矩T=200NmT=200Nm，轴的直径轴的直径d=40mmd=40mm，材材 料的料的=40MPa=40MPa，剪切弹性模量剪切弹性模量G=80GPaG=80GPa，许可单位长度转许可单位长度转 角角=1 =1 /m/

30、m。试校核轴的强度和刚度。试校核轴的强度和刚度。 4 0 18032180 = d =0.57 m p TT GIG 2021-6-28 50 第第1010章章 弯曲内力弯曲内力 2021-6-28 51 一、弯曲的概念一、弯曲的概念 弯曲特点：弯曲特点：杆件受到垂直于杆轴线方向的外杆件受到垂直于杆轴线方向的外 力（或在杆轴平面内的外力偶）作用时，杆力（或在杆轴平面内的外力偶）作用时，杆 的轴线由直线弯成曲线。的轴线由直线弯成曲线。 2021-6-28 52 梁梁以弯曲为主要变形的杆件。以弯曲为主要变形的杆件。 工程上常见梁，其截面一般至少有一个对称轴。工程上常见梁，其截面一般至少有一个对称轴

31、。 如圆形、矩形、如圆形、矩形、T T型、工字形型、工字形 轴线轴线 纵向对称面纵向对称面 F Fq qM M 挠曲线挠曲线 对称轴对称轴 对称弯曲特点：对称弯曲特点： 外载荷垂直轴线且作用于纵向对称面内。外载荷垂直轴线且作用于纵向对称面内。 梁变形后的轴线成为纵向对称面内的曲线。梁变形后的轴线成为纵向对称面内的曲线。 对称弯曲对称弯曲 二、基本概念二、基本概念 2021-6-28 53 三、常见静定梁形式三、常见静定梁形式 v简支梁简支梁 v悬臂梁悬臂梁 v外伸梁外伸梁 2021-6-28 54 四、弯曲梁的内力四、弯曲梁的内力剪力剪力F FS S和弯矩和弯矩M M 1 1、剪力和弯矩的确定

32、、剪力和弯矩的确定截面法截面法 2 2、剪力和弯矩的正负规定、剪力和弯矩的正负规定 F FS S F FS S F FS S F FS S M MM M M M M M F Fs s： 剪力对脱离体内任一点取矩，产生顺时针剪力对脱离体内任一点取矩，产生顺时针 力矩的为正，反之为负。力矩的为正，反之为负。（左上、右下为正）（左上、右下为正） M M：使脱离体下侧受拉、上侧受压为正，反之为使脱离体下侧受拉、上侧受压为正，反之为 负。负。（左顺、右逆为正）（左顺、右逆为正） 2021-6-28 55 x x F Fs s F Fq qM M x x M M 内力图要求内力图要求 受力图与剪力图、弯矩

33、受力图与剪力图、弯矩 图对齐。图对齐。 正剪力画在横轴上侧，正剪力画在横轴上侧， 正弯矩画在横轴下侧。正弯矩画在横轴下侧。 图上标图上标控制面控制面内力及内力及极极 值点值点内力。内力。 五、剪力图和弯矩图五、剪力图和弯矩图 2021-6-28 56 看清题目，分清出约束类型看清题目，分清出约束类型 应用平衡方程求各个约束力应用平衡方程求各个约束力 根据外力和约束力情况，根据外力和约束力情况， 确定控制面确定控制面 应用截面法，求出应用截面法，求出每一每一 段段上的剪力和弯矩上的剪力和弯矩方程方程 注意注意X的取值范围的取值范围 建立坐标，画出整个杆建立坐标，画出整个杆 上的剪力图和弯矩图上的

34、剪力图和弯矩图 应用截面法，求出应用截面法，求出每一控制面每一控制面 上的剪力和弯矩上的剪力和弯矩数值数值 应用应用微分关系微分关系，确定每，确定每2个控个控 制面之间剪力和弯矩变化曲线制面之间剪力和弯矩变化曲线 解题思路和方法：解题思路和方法： 画内力图精华画内力图精华 2021-6-28 57 例：图所示外伸梁上均布载荷为例：图所示外伸梁上均布载荷为q = 3kN/m，集中力偶矩，集中力偶矩 M = 3kNm。列出此梁的剪力方程和弯矩方程，并作出剪力图。列出此梁的剪力方程和弯矩方程，并作出剪力图 和弯矩图。和弯矩图。 解：解： 求支座约束力，取梁为研究对象，建立静力平衡求支座约束力，取梁为

35、研究对象，建立静力平衡 方程方程 A( )0:MF B 6160 y qMF 0: y F AB 60 yy FFq 解得：解得： A 14.5kN y F . B 3 5kN y F 2021-6-28 58 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 CA段：段： ()02x S( ) 3Fxqxx 22 1 ( )1.5 2 M xqxx ()26xAD段：段： SA ( )14.53 y FxqxFx 22 A 1 ( )(2)1.514.529 2 y M xqxFxxx ()68xDB段：段： SB ( )3.5 y FxF B ( )(8)3.528 y M xFxx A 14.5kN

36、 y F . B 3 5kN y F 2021-6-28 59 2021-6-28 60 第第1111章章 弯曲应力弯曲应力 mmaxax zz zz y MM IW 2021-6-28 61 一、平面几何性质一、平面几何性质 2021-6-28 62 圆形截面圆形截面 环形截面环形截面 矩形截面矩形截面 64 4 d III zy D dD III zy 4 4 1 64 12 3 hb I y 12 3 bh I z 12 2 bh h I W z z 32 3 d WWW zy D dD WWW zy 4 3 1 32 实心圆截面实心圆截面 32 4 d I 空心圆截面空心圆截面 D d

37、D I , 32 1 44 16 3 d W D dD W , 16 1 43 二、常用截面几何量二、常用截面几何量 2021-6-28 63 例：例：计算图示计算图示T 形截面对其形心轴形截面对其形心轴yC 的惯性矩。的惯性矩。 解：解：确定形心轴的位置，坐标系如图确定形心轴的位置，坐标系如图 截面对形心轴截面对形心轴yC的惯性矩的惯性矩 C (0.14 0.02) 0.08(0.1 0.02) 0 (0.14 0.02)(0.1 0.02) z CCC 12yyy III 32 1 0.02 0.14(0.080.0467)0.02 0.14 12 32 1 0.1 0.020.04670

38、.02 0.1 12 64 12.12 10 m 0.0467m 2021-6-28 64 F F F F FaFaFaFa 三、梁三、梁纯弯曲纯弯曲时横截面上的正应力时横截面上的正应力 纯弯曲：纯弯曲：梁段内各横截梁段内各横截 面上的剪力为零，弯矩面上的剪力为零，弯矩 为常数，则该梁段的弯为常数，则该梁段的弯 曲称为纯弯曲。曲称为纯弯曲。 F F F F l l a aa a （M M） （F Fs s） F F F F 纯弯纯弯剪弯剪弯剪弯剪弯 剪力弯曲：剪力弯曲：梁段内剪力梁段内剪力 不为零的弯曲称为剪力不为零的弯曲称为剪力 弯曲。（也称横力弯曲）弯曲。（也称横力弯曲） A A B BC

39、 C D D 2021-6-28 65 z I My 四、梁纯弯曲时横截面上的正应力四、梁纯弯曲时横截面上的正应力公式公式 z y 2021-6-28 66 五五 、最大正应力、最大正应力 最大正应力在横截面的上、下边缘点处最大正应力在横截面的上、下边缘点处 z max max I My z W M max z z y I W 弯曲截面系数弯曲截面系数 12 3 bh 6 2 bh 64 4 d 32 3 d 641 44 )(D 321 43 )(D z b h z d z Dd D z I z W 常用截面的抗弯截面系数常用截面的抗弯截面系数 2021-6-28 67 六、剪力弯曲时横截面

40、上的正应力六、剪力弯曲时横截面上的正应力 z I y)x(M 七、弯曲正应力七、弯曲正应力强度条件强度条件 强强 度度 条条 件件 三类强度计算三类强度计算 v强度校核强度校核 v设计截面设计截面 v确定许可载荷确定许可载荷 tmaxt cmaxc z max max W M ct 等直梁等直梁 2021-6-28 68 八、梁横截面上的切应力八、梁横截面上的切应力 z zs bI SF s F 所求横截面上的剪力 所求横截面上的剪力 z I 横截面对中性轴的惯性矩横截面对中性轴的惯性矩 b中性轴所穿过的横截面的宽度中性轴所穿过的横截面的宽度 z S 横截面上所求点一侧的截面对中性轴的静矩横截

41、面上所求点一侧的截面对中性轴的静矩 2021-6-28 69 九、切应力强度条件九、切应力强度条件 max smaxzmax max z FS bI 即即 smax max F A 或或 4/323/2 圆圆薄壁圆环薄壁圆环矩形矩形截面形式截面形式 2021-6-28 70 十、梁的合理设计十、梁的合理设计 梁的强度主要由正应力强度条件控制梁的强度主要由正应力强度条件控制 z max max W M 材料确定时，提高梁承载能力的主要途径：材料确定时，提高梁承载能力的主要途径： 提高截面的弯曲截面系数；提高截面的弯曲截面系数； 降低梁的最大弯矩。降低梁的最大弯矩。 1 1、选择合理截面、选择合理

42、截面 2 2、合理布置载荷及支座、合理布置载荷及支座 71 例：T 形截面铸铁梁的载荷和截面尺寸如图示。铸铁的抗 拉许用应力为 t = 30MPa，抗压许用应力为 c = 160MPa， 试校核梁的强度。 解： 求支座约束力，作弯矩图 A( )0:MF B 9 124 30 y F 0: y F AB 940 yy FF 解得： A 2.5kN y F B 10.5kN y F 72 截面性质 形心位置 C 8020 1020 120 80 52mm 802020 120 y 1 52mmy 2 88mmy 截面对中性轴的惯性矩 33 22 80 2020 120 4280 202820 12

43、0 1212 z I 4 7630000mm 73 强度校核 最大拉应力校核，B上截面和C下截面可能是最大拉应力发生位置 C下截面 B上截面 33 B1 tmaxt 12 4 1052 10 27.2MPa 7630000 10 z M y I 33 C2 tmaxt 12 2.5 1088 10 28.8MPa 7630000 10 z M y I C截面应 力分布图 B截面应 力分布图 1 52mmy 2 88mmy 74 最大压应力校核，最大压应力在B下截面 （C上截面M、y皆小，不用验证） 33 B2 cmaxc 12 4 1088 10 46.2MPa 7630000 10 z M

44、y I B截面 所以此梁的强度满足要求。 B截面应 力分布图 2021-6-28 75 第第1212章章 弯曲变形弯曲变形 1) ( ( ) M Ix x E 2 2 ( )( )d w xM x dxEI ( ) ( ) l ll M x dx EI M x dx dx dw dx w C xD EI C 2021-6-28 76 挠度挠度 转角转角逆时针转向为正逆时针转向为正 向上为正向上为正 d d w x 2 2 d( ) d z wM x xEI 积分法求挠度、转角积分法求挠度、转角 叠加法求挠度、转角叠加法求挠度、转角 变形比较法求解静不定梁变形比较法求解静不定梁 2021-6-2

45、8 77 A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A 积分法求弯曲变形积分法求弯曲变形基本方法基本方法 2 2 d( ) d wM x xEI d( )d d wM x xC xEI ( )d dM x wx xCxD EI C C、D D 为积分常数，由以下两类条件确定：为积分常数，由以下两类条件确定： 1.1.位移边界条件位移边界条件： 2.2.光滑连续条件光滑连续条件： 转角方程转角方程 挠曲轴方程挠曲轴方程 0,0 AA w 0 A w A A A A A A A w 弹簧变形弹簧变形 ALAR ww ARAL ALAR ww 202

46、1-6-28 78 例：例：图示为一悬臂梁，图示为一悬臂梁，EI=常数，在其自由端受一集中力常数，在其自由端受一集中力F 的作用，试的作用，试 求此梁的挠曲轴方程和转角方程，并确定其最大挠度和最大转角。求此梁的挠曲轴方程和转角方程，并确定其最大挠度和最大转角。 解：解：(1)(1)选取坐标系如图所示，选取坐标系如图所示， 梁的弯矩方程为梁的弯矩方程为 ( )()M xF lx 2 2 d () d w EIF lx x 2 32 ( ) 2 ( ) 62 F EIxxFlxC FFl EIw xxxCxD 挠曲轴近似微分方程挠曲轴近似微分方程 转角方程转角方程 挠曲轴方程挠曲轴方程 2021-

47、6-28 79 2 32 (0)00 2 (0)000 62 F EIFlC FFl EIwCD 在固定端在固定端A A，转角和挠度均应等于零，即，转角和挠度均应等于零，即 0,0 0,0 A A x xw 0,0CD 确定积分常数确定积分常数 2021-6-28 80 2 32 1 ( )() 2 ( )(3) 6 F xxlx EI F w xxlx EI （4)梁的挠曲轴方程和转角方程分别为梁的挠曲轴方程和转角方程分别为 23 maxmax , 23 BB FlFl ww EIEI 梁的最大挠度和最大转角均在梁的自由端截面梁的最大挠度和最大转角均在梁的自由端截面B 处处 确定最大挠度和最

48、大转角确定最大挠度和最大转角 2021-6-28 81 叠加法求弯曲变形叠加法求弯曲变形简捷方法简捷方法 叠加法叠加法：梁在若干载荷作用下的弯曲变形等于各载荷单独作用下：梁在若干载荷作用下的弯曲变形等于各载荷单独作用下 的弯曲变形之叠加。的弯曲变形之叠加。 应用前提：（应用前提：（1 1）线弹性范围内的小变形；）线弹性范围内的小变形； （2 2）内力、应力和变形与载荷成线性关系。）内力、应力和变形与载荷成线性关系。 工工 具：附录具：附录 注注 意：意： （1 1）当载荷方向与表中载荷方向相反时，则变形要变号；）当载荷方向与表中载荷方向相反时，则变形要变号； （2 2）转角函数可由挠度函数微分

49、一次得到。）转角函数可由挠度函数微分一次得到。 叠加原理：叠加原理：在小变形和线弹性范围内，由几个载荷共同作用在小变形和线弹性范围内，由几个载荷共同作用 下梁的任一截面的挠度和转角，应等于每个载荷单独作用下下梁的任一截面的挠度和转角，应等于每个载荷单独作用下 同一截面产生的挠度和转角的代数和。同一截面产生的挠度和转角的代数和。 2021-6-28 82 例：例：悬臂梁在悬臂梁在BC段作用集度为段作用集度为q 的均布载荷，设弯曲刚度的均布载荷，设弯曲刚度 EI为常数。试用叠加法求自由端为常数。试用叠加法求自由端C 的挠度和转角。的挠度和转角。 2021-6-28 83 CC1C2 ( )( )w

50、wqwq CC1C2 ( )( )qq B22 ( )( ) 2 B l wqq C1( ) q C1( ) wq 43 ( )( ) 22 826 ll qq l EIEI 4 () 8 ql EI 4 41 38 ql EI 3 () 6 ql EI B2( ) q 3 ( ) 2 6 l q EI 3 7 48 ql EI 解：解： 2021-6-28 84 (1)解除多余约束，变超静定梁为静定梁解除多余约束，变超静定梁为静定梁（画出原静不定梁画出原静不定梁 的相当系统的相当系统）；）； (2)用静定梁与超静定梁在解除约束处的变形比较，建立协用静定梁与超静定梁在解除约束处的变形比较，建立

51、协 调方程（调方程（列出相当系统的变形协调条件列出相当系统的变形协调条件）；）； (3)通过协调方程（即补充方程），求出多余的约束反力。通过协调方程（即补充方程），求出多余的约束反力。 (4)计算梁的内力、应力和变形等。计算梁的内力、应力和变形等。 用变形比较法解简单超静定梁的基本思想：用变形比较法解简单超静定梁的基本思想： 2021-6-28 85 相当系统相当系统 将多余约束用相应的多余约束力代替，得到的受力与原静不将多余约束用相应的多余约束力代替，得到的受力与原静不 定梁相同的梁，称为原静不定梁的相当系统。定梁相同的梁，称为原静不定梁的相当系统。 相当系统相当系统 2021-6-28 8

52、6 1、图示一度静不定梁，去掉、图示一度静不定梁，去掉B处可动铰链约束，得其相当系统处可动铰链约束，得其相当系统 2、相当系统的变形协调条件为、相当系统的变形协调条件为0 B w 3 4 0 38 By By BBFBq F l ql www EIEI 由叠加法由叠加法 3 8 By ql F By F 求出后，就变成了静定梁，可计算其内力、应力及变形，求出后，就变成了静定梁，可计算其内力、应力及变形， 并可校核其强度和刚度。并可校核其强度和刚度。 2021-6-28 87 建立静力平衡方程建立静力平衡方程 0: y F AB 0 yy FFql ()0: A MF BA 0 2 y l FlqlM 解得：解得： A 5 8 y ql F 2 A 8 ql