2021-2022版高中数学 第三章 不等式 3.3.1.1 二元一次不等式表示的平面区域学案 新人教A版必修5

1、2021-2022版高中数学 第三章 不等式 3.3.1.1 二元一次不等式表示的平面区域学案 新人教a版必修52021-2022版高中数学 第三章 不等式 3.3.1.1 二元一次不等式表示的平面区域学案 新人教a版必修5年级：姓名：3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域第1课时二元一次不等式表示的平面区域 学习目标1.了解二元一次不等式的概念.(数学抽象)2.会从实际情景中抽象出二元一次不等式,并判断二元一次不等式表示的平面区域.(数学抽象、直观想象、数学建模)3.会画出二元一次不等式表示的平面区域.(直观想象、逻辑推理)【必备知识自主学习】

2、导思1.类比一元一次不等式的定义,二元一次不等式的定义是什么?2.什么是二元一次不等式表示的平面区域?如何确定?1.二元一次不等式(1)定义:含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数是1的不等式.(2)解集:满足二元一次不等式的x和y的取值构成有序数对(x,y),所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式的解集.解集的几何意义:可以看成直角坐标系内的点构成的集合.二元一次不等式解集中的点构成什么样的图形?提示:构成直线一侧的平面区域.2.二元一次不等式表示的平面区域不等式表示区域ax+by+c0直线ax+by+c=0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线,边界画成虚线ax+b

3、y+c0包括边界直线,边界画成实线(1)yax+b所表示的平面区域与yax+b表示的平面区域有什么不同?如何体现这种区别?提示:前者表示的平面区域含有对应直线上的点,后者表示的平面区域不含对应直线上的点.画图时用实线表示前者,用虚线表示后者.(2)xa,yb能表示区域吗?如果能,分别表示什么区域?提示:能.xa表示直线x=a右侧的区域,yb表示直线y=b上方的区域.3.二元一次不等式表示的平面区域的确定依据和方法依据直线ax+by+c=0同一侧的所有点,把它们的坐标(x,y)代入ax+by+c所得符号都相同方法在直线ax+by+c=0的同一侧取某个特殊点(x0,y0)作为测试点,由ax0+by

4、0+c的符号可以断定ax+by+c0表示的是直线ax+by+c=0哪一侧的平面区域选测试点判断平面区域时,常常选用哪些特殊点为测试点?提示:常常选用原点、坐标轴上的点作为测试点.1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”).(1)不等式x-10表示直线x-1=0下方的区域.()(2)点(2,1)在不等式x+y-10表示直线x-y-1=0左上方的区域.()提示:(1).不等式x-10,所以点(2,1)不在不等式表示的区域内.(3).因为(0,0)不满足不等式,因此不等式表示的平面区域是直线的右下方.2.(教材二次开发:例题改编)二元一次不等式2x-3y-60表示的平面区域是()【解析】选a.画直线2x

5、-3y-6=0,把(0,0)代入,使得2x-3y-60.所以所求为x+2y-10.答案:x+2y-10【关键能力合作学习】类型一二元一次不等式表示平面区域(直观想象、数学建模)1.在不等式x+2y-10表示的平面区域内的点是() a.(1,-1)b.(0,1)c.(1,0)d.(-2,0)【解析】选b.因为不等式x+2y-10,1-2-1=-20,1+20-1=0,-2+0-1=-30表示的平面区域内.2.不等式2x-y-60表示的平面区域在直线2x-y-6=0的()a.左上方b.右上方c.左下方d.右下方【解析】选a.不等式2x-y-60表示的平面区域如图所示:根据点(0,0)在区域内,可知

6、不等式2x-y-62x.【解析】(1)画出直线x-2y+4=0,因为0-20+4=40,所以x-2y+40表示的区域为含(0,0)的一侧,因此所求为如图所示的区域,包括边界.(2)画出直线y-2x=0,因为0-21=-20(即y2x)表示的区域为不含(1,0)的一侧,因此所求为如图所示的区域,不包括边界.两点确定二元一次不等式表示平面区域第一步:直线定界.画出直线ax+by+c=0,不等式为ax+by+c0(0)时直线画虚线,不等式为ax+by+c0(0)时画成实线;第二步:特殊点定域.在平面内取一个特殊点,当c0时,常取原点(0,0).若原点(0,0)满足不等式,则原点所在的一侧即为不等式表

7、示的平面区域;若原点不满足不等式,则原点不在的一侧即为不等式表示的平面区域.当c=0时,可取(1,0)或(0,1)作为测试点.简记为:直线定界,特殊点定域.【补偿训练】1.点(a,b)在直线2x-y+3=0的右下方,则()a.2a-b+30c.2a-b+3=0d.以上都不成立【解析】选b.点(a,b)在直线2x-y+3=0的右下方,则2a-b+30.2.下列选项中与点(1,2)位于直线2x-y+1=0的同一侧的是()a.(-1,1)b.(0,1)c.(-1,0)d.(1,0)【解析】选d.因为直线2x-y+1=0,所以2-2+10,所以点(1,2)满足2x-y+10,因为-2-1+1=-20,

8、20-1+1=0,-2-0+1=-10,所以(1,0)和点(1,2)位于直线2x-y+1=0的同一侧.3.不等式4x-y0表示的平面区域是()【解析】选b.取测试点(2,0),满足4x-y0,可排除a,d.再根据直线y=4x的斜率k=41,故可排除c.4.画出不等式3x+2y+60表示的平面区域.【解析】画出满足条件的平面区域,如图所示:类型二已知平面区域求二元一次不等式(直观想象、逻辑推理、数学运算)1.图中阴影(包括直线)表示的区域满足的不等式是()a.x-y-10b.x-y+10c.x-y-10d.x-y+102.如图所示的平面区域(阴影部分)用不等式表示为.【解析】1.选a.直线对应的

9、方程为x-y-1=0,对应的区域在直线的下方,当x=0,y=0时,0-0-10,即原点在不等式x-y-10对应的区域内,则阴影(包括直线)表示的区域满足的不等式是x-y-10.2.由图知直线过点(-1,0),(0,3),由截距式可得+=1,即y-3x-3=0.用(0,0)代入验证,可得平面区域(阴影部分)用不等式表示为y-3x-30.答案:y-3x-30用不等式表示平面区域的步骤(1)利用已知平面区域边界上点的坐标求出直线方程.(2)将平面区域内的特殊点代入直线方程,判断不等号的方向.(3)结合平面区域的边界虚实写出相应的不等式.【补偿训练】1.图中的平面区域(阴影部分),用不等式表示为.【解

10、析】直线过(4,0),两点,所以直线为2x+3y-8=0,则阴影部分表示为2x+3y-80.答案:2x+3y-802.如图所示的平面区域(阴影部分)用不等式表示为.【解析】由截距式可得直线方程为+=1,即y=-x+1.因为0-0+1,且原点在阴影部分中,故阴影部分可用不等式y-x+1,即x+2y-20表示.答案:x+2y-203.写出表示下列平面区域的二元一次不等式:【解析】x+y-10;x-2y+20;x+y0.类型三二元一次不等式表示平面区域的应用(逻辑推理、数学运算、数学建模)角度1求参数的范围【典例】若点a(1,1),b(2,-1)位于直线x+y-a=0的两侧,则a的取值范围为.【思路

11、导引】将点a,b的坐标代入直线的左边,符号相反.【解析】因为点a(1,1),b(2,-1)位于直线x+y-a=0的两侧,所以(1+1-a)(2-1-a)0,即(2-a)(1-a)0,则(a-1)(a-2)0,解得1a0,即(2-a)(1-a)0,则(a-1)(a-2)0,解得a2.角度2求参数的值【典例】若点p(a,3)到直线4x-3y+1=0的距离为4,且在不等式2x+y-30表示的平面区域内,则点p的横坐标是()a.7或-3b.7c.-3d.-7或3【思路导引】先求出a的范围,利用点到直线的距离求出a.【解析】选b.把(a,3)代入2x+y-30,得2a+3-30,得a0,点p(a,3)到

12、直线4x-3y+1=0的距离为4,则=4,得a=-3或a=7,所以a=7.平面内任意两点p(x1,y1),q(x2,y2)与直线ax+by+c=0位置关系(不在直线上)的判断方法(1)p(x1,y1),q(x2,y2)在直线ax+by+c=0同侧(ax1+by1+c)(ax2+by2+c)0.(2)p(x1,y1),q(x2,y2)在直线ax+by+c=0异侧(ax1+by1+c)(ax2+by2+c)0.1.若点a(2,0),b(a,4)在直线y=3x+7的两侧,则a的取值范围是()a.a-1c.a19d.a19【解析】选a.因为点a(2,0),b(a,4)在直线y=3x+7的两侧,所以(23+7)(3a-4+7)0,即3a+30,解得a-1.2.点p(m,1)不在不等式x+y-20表示的平面区域内,则实数m的取值范围是()a.m1【解析】选c.点p(m,1)不在不等式x+y-20表示的平面区域内,则m,n满足的条件是.【解析】由题意知p在不等式5x+4y-10表示的平面区域内,则5m+4n-10.答案:5m+4n-104.点(3,4)不在不等式y3x+b表示的区域内,而点(4,4)在此区域内,则实数b的取值范围是.【解析】因为点(3,4)不在不等式y3x+b表示的区域内,而点(4,4)在此区域