南京航空航天大学灰色系统控制

1、南京航空航天大学灰色系统控制南京航空航天大学灰色系统控制 南京航空航天大学经济管理学院南京航空航天大学经济管理学院 精品课程建设组精品课程建设组 灰色控制是指本征性灰色系统的控制，包括一般控制系统含有灰参 数的情形以及以灰色系统方法为主构成的控制等。本章主要内容包括灰 色线性控制系统、灰色传递函数、典型环节、灰色关联控制、去余控制 和灰色预测控制等。 13. 1 控制与灰色控制 作为一种科学概念，控制就是施控装置对受控装置所施加的一种特 定作用，是一种有目的、有选择的能动作用。一个控制系统，至少要有 施控装置、受控装置和信息通道三个组成部分。仅含上述三个组成部分 的控制系统称为开环控制系统，如

2、图所示。 施控装置受控装置 输入控制信号 开环控制系统较为简单，由输入直接控制输出，其致命弱点为抗干扰性差。带 有反馈回路的控制系统称为闭环控制系统，如图所示。闭环控制系统通过输入以及 输出的回输共同作用来实现控制。 目标值 比 较 器 施控装置受控装置 扰 动 输入偏 差信号 输入控 制信号 反馈装置 输出 反 馈 信 号 闭环控制系统的突出特点是抗干扰能力强，其输出能够始终围绕预定目标摆 动。因此，闭环控制系统具有某种稳定性。 所谓灰色控制是指对本征性灰系统的控制，包括一般控制系统含有灰参数的 情形以及运用灰色系统的分析、建模、预测、决策思路构造的控制。灰色控制的思 想能够更深刻地揭示问题

3、的本质，更有利于控制目的的实现。 13.2 灰色线性控制系统 定义定义13.2.1 设 为控制向量， 为状态向量， 为输出向量，称 为灰色线性控制系统的数学模型，其中 。相应地，称 灰色状态矩阵， 为灰色控制矩阵， 为灰色输出矩阵。 有时候，为特别强调U, X, Y的时变性，即系统的动态特征，也将控制向量、状 态向量、输出向量分别记为 。 灰色线性控制系统数学模型中的第一组方程 称为状态方程，第二组方程 称为输出方程。 T s uuuU, 21 T n xxxX, 21 T m yyyY, 21 XCY UBXAX )( )()( nmsnnn GCGBGA )(,)(,)( )(A )(B)

4、(C )(),(),(tYtXtU )()()()()(tUBtXAtX )()()(tXCtY 定义定义13.2.2 对于给定的时刻 和预定精度，若存在 ，根据系统在 之间的输出 ， ，能够按所需的精度测定系统状态 ，则称系统 在内是可观测的；若对任意的 ，系统在 内可观测，则称系统可观测。 定义定义13.2.3 对于给定的精度和目标向量 若有施控装置及控制向量 ，通过控制输入可使系统输出 按要求的精度达到 目标,则称系统是可控的。 定义定义13.2.4 当对系统的初始值施加一个扰动时，若 其响应（输出）的幅值有界，则称该系统是稳定的； 其响应经过一段时间后能最终回到初始状态，则称该系统为渐

5、进稳 定的； 其响应的幅值无界，则该系统为不稳定的。 通常所说的系统稳定性，都是指渐进稳定性。 0 t),( 01 tt, 10 tt )(tY , 10 ttt )(tX , 10 tt 10,t t, 10 tt T m jjjJ, 21 )(tU)(tY o 1 o 2 o 3 定理定理13.2.1 对于系统 其中 ； ； ； 。令 则有 当 时，系统可观测； 当 时，系统可控； 系统渐进稳定的充分必要条件是状态灰阵 的灰特征根之实部 灰元的上界均小于零。 )()()( )()()()()( tXCtY tUBtXAtX nmsnnn GCGBGA )(,)(,)( T s tututu

6、tU)(,),(),()( 21 T n txtxtxtX)(,),(),()( 21 T m tytytytY)(,),(),()( 21 Tn ACACACCD)()()()()()()()( 12 Tn BABABABL)()()()()()()()( 12 nD)(rank( nL)(rank( )(A o 1 o 2 o 3 13. 3 灰色传递函数与典型环节 定义13.3.1 设n阶灰参数线性系统的数学模型为 对等式两端进行拉普拉斯变换，记 ，称 为灰色传递函数。 灰色传递函数是n阶线性灰色控制系统的响应 的拉氏变换与驱动项 的 拉氏变换之比。用一个方程表示的灰色控制系统也称为灰色

7、环节。当某一环节的传 递函数已知时，可由驱动项的拉氏变换通过关系 求出其响应的拉氏 变换，然后求逆变换即可得其响应 。驱动与响应的关系如图所示。 1 10 1 ( ) nn nn nn d xdx xu t dtdt )()(),()(sUtuLsXtxL 01 1 1 )( )( )( ssssU sX sG n n n n )(tx)(tu )()()(sUsGsX )(tx G(s) u(t) U(s) x(t) X(s) 下面我们来讨论几个典型环节的传递函数。 定义13.3.2 驱动项 与响应 具有如下关系 的环节称为灰色比例环节，其中 为环节的灰色放大系数。 命题 13.3.1 灰色

8、比例环节的传递函数为 灰色比例环节的特点是当驱动量发生阶跃变化时，响应值成比例变化。其变化关系 以及驱动与响应的关系如图所示。 )(tu)(tx )()()(tuKtx )(K )()( KsG 0 t x(t) u(t) U(s)X(s) 定义14.3.3 在单位阶跃驱动下，若响应 则称该环节为灰色惯性环节，其中T为环节的时间常数。 命题 14.3.2 灰色惯性环节的传递函数为 灰色惯性环节的特点是当驱动量发生阶跃变化时，响应要经过一定的时间方 能达到新的平衡状态。图给出了当 时灰色惯性环节响应的变化曲线和 环节框图。 )1)()( tT eKtx 1 )( )( sT K sG 1)( K

9、 1 0 T4T3T2T 0.63 0.85 0.95 0.993U(s)X(s) 定义13.3.4 驱动与响应具有如下关系 时，称该环节为灰色积分环节。 命题 13.3.3 灰色积分环节的传递函数为 对于灰色积分环节，当驱动为阶跃函数时，其响应为 ，如图所示。 dttuKtx)()()( s K sG )( )( utKtx)()( 0 t x(t) u U(s)X(s) (a)(b) u(t) 定义13.3.5 响应与驱动具有如下关系 时，称该环节为灰色微分环节。 命题13.3.4 灰色微分环节的传递函数为 灰色微分环节的特点是当驱动为阶跃函数时，响应为一振幅无穷大的脉冲。 定义13.3.

10、6 响应与驱动具有如下关系 的环节称为灰色时滞环节，其中 为灰色常数。 命题 13.3.5 灰色时滞环节的传递函数为 对于灰色时滞环节，当驱动为阶跃函数时，响应要经过一段时间之后才发生相应的 变化。 dt tdu Ktx )( )()( sKsG)()( )()(tutx s esG )( )( )( 0t0t u(t) x(t) U(s)X(s) 上面所列举的只是一些典型的基本环节，许多复杂的元件和系统可以看作某 些典型环节的组合。如灰色比例环节与灰色微分环节组合，可得灰色比例微分环 节；灰色积分环节与灰色时滞环节组合，可得灰色积分时滞环节；再进行下一层 的组合，还可得到灰色比例积分微分时滞

11、环节等等。 我们可以通过对灰色传递函数之极点的研究来讨论系统的稳定性等问题。而由 下面的定理13.3.1可知，任何一个n阶灰色线性系统，可划为一个与之等价的一阶 灰色线性系统。故可利用第13.2节的结果讨论灰色线性系统的问题。 定理理 13.3.1 对于定义13.3.1 所示的n阶灰色线性系统，存在一个与之等价的一阶灰 色线性系统。 证明证明 设n阶灰色线性系统为 令 于是有 从而n阶系统可化为一阶系统 其中， ； ； )( 0 1 1 1 tux dt xd dt xd n n n n n n 1, xx 1 2, dxdx x dtdt 2 2 3 2 , dxd x x dtdt n n

12、 n n x dt dx dt xd 1 1 1 , )( 1 3 2 2 1 1 0 tuxxxx dt dx n n n n nnn n )()()()()(tUBtXAtX T n xxxtX,)( 21 )()(tutU n n nn A 10 1 100 0 0100 0010 )( n B 0 0 0 )( 13.4 灰色传递函数矩阵 设灰色线性控制系统为 作拉普拉斯变换，得 从而 若 可逆，则进一步有 即 。 )()()( )()()()()( tXCtY tUBtXAtX )()()( )()()()()( sXCsY sUBsXAssX )()()( )()()()( sXC

13、sY sUBsXAsE )( AsE )()()( )()()()( 1 sXCsY sUBAsEsX )()()()()( 1 sUBAsECsY 定义定义13.4.1 称m行s列矩阵 为灰色线性系统的传递函数矩阵，简称灰色传递函数阵。 定义定义 13.4.2 对于n阶灰色线性系统，当与之相应的一阶系统状态灰阵 非奇异时， 称 为灰色增益阵。 若以灰色增益阵 近似地代替传递函数阵 ，则系统简化为比 例环节。 由 ，当 时，若 非奇异，又可得到 定义定义13.4.3 称 为灰色结构阵。 在灰色结构阵已知的条件下，要使输出向量 达到或接近某一预定目标 ， 可通过 来确定系统控制向量 。 我们还可

14、以利用灰色传递函数阵来讨论系统的可控性与可观测性。 )()()()( 1 BAsECsG )()()()(lim 1 0 BACsG s )(A )()()( 1 BAC )(sG )()()(sUsGsYnsm)(sG )()()( 1 sYsGsU 111 )()()()( CAsEBsG )(sY )(sJ )()( 1 sJsG )(sU 13.5 几种典型的灰色控制 一、去余控制一、去余控制 灰色系统的动态特性，主要取决于灰色传递函数阵 。因此，要实现对系统 动态特性的有效控制，可行的途径是改变和校正传递函数阵和结构阵。 定义定义13.5.1 设 为系统结构阵， 为目标结构阵，称 为

15、结构偏差阵。 由 和 得 即 )(sG )( 1 sG )( 1 * sG )()( 11 * 1 sGsG )()()( 1 sUsYsG )()( 111 * sGsG )()()( 11 * sUsYsG )()()()( 11 * sUsYsYsG 定义定义13.5.2 称 为多余项。通过反馈 的作用抵消多余项的控制称为去 余控制。 对于系统 ,经反馈 作用化为 此即 已具有预期的目标结构。 去余控制中结构偏差阵 中的元素数目，直接影响控制器的元件数目。从经济、 可靠、技术上容易实现等角度考虑问题，在保证系统具有良好的动态品质的前提下， 总希望偏差阵 中的元素尽可能地少。也就是说，在目

16、标结构阵中，应尽可能地 保留原结构矩阵中的对应元素。 去余控制的思路可用框图说明。 )( 1 sY )( 1 sY )()()( 1 sUsYsG )( 1 sY )()()()( 11 sUsYsYsG )()()( 11 sUsYsG )()()( 1 * sUsYsG 1 1 G(s) 原系统 U(s)Y(s) 虚内反馈 分离出偏差环节 对照目标结构),( 1 * sG U(s) 原系统 Y(s) 去余反馈 )(G * s 去余 控制 Y(s) )(G * s )(G * s 目标系统 U(s)Y(s) 二、灰色关联控制二、灰色关联控制 定义定义13.5.3 设 为输出向量， 为目标向量

17、。若控制向量 中元素满足 其中 为输出向量与目标向量的灰色关联度，则称系统控制为灰色关联控制。 灰色关联控制系统是对一般控制系统附加灰色关联控制器而得的。它通过灰色 关联度 确定控制向量，从而使输出向量与目标向量的关联度不超过某一预定 的范围。 灰色关联控制系统如图所示。 T m yyyY, 21 T m jjjJ, 21 T s uuuU, 21 ( ( , ); kk ufJ Ysk, 2, 1 ),(YJ ),(YJ 灰色关联度 计算器 ),( YJ fG UY 三、灰色预测控制三、灰色预测控制 前述的几种控制，都是通过判断系统行为序列是否符合预定的要求，而后进行 控制。这种事后控制明显

18、地有以下不足： （1）不能防患于未然； （2）无法做到即时控制； （3）适应性不强。 灰色预测控制是通过系统行为数据序列的提取，寻求系统发展规律，从而按照 规律预测系统未来的行为，并根据系统未来的行为趋势，确定相应的控制决策进行 预控制。这样可以做到防患于未然，控制及时，具有较强的适应能力。 灰色预测控制系统如图所示。其工作原理是：首先通过采样装置对输出向量 的行为数据进行采集、整理；再由预测装置预测，计算出以后若干步的预测值；最 后比较目标，确定控制向量 ，使未来的输出向量 尽量接近目标 。 比较器 灰色预测装置 G U Y 采样装置 Y UY J 定义定义13.5.4 设 分别为目标分量、输出分量、控制分量在 时刻的值，对于 ，令 对于控制算子 ，即 当 时，称系统为事后控制； 当 时，称系统为即时控制； 当 时，称系统为预测控制。 ), 2, 1()(),(),(mikukykj iii