函数展开成幂级数

1、1 9-5 函数展开成幂级数函数展开成幂级数 2 定理定理 若幂级数若幂级数 n n nx a 0 的收敛半径的收敛半径 ,0R )(xS数 则其和函则其和函 在收敛域上在收敛域上连续连续； 且在收敛区间内可且在收敛区间内可逐项求导逐项求导与与 逐项求积分逐项求积分, 运算前后收敛半径相同，运算前后收敛半径相同，即即 0 0 lim n n xx n a x 0 0 lim() n n xx n a x x 收敛域收敛域 0 ( ) n n n S xa x (,)xR R (,)xR R 0 () n n n a x 0 () n n n a x 0 0 ()d x n n n a xx 0

2、 0 ()d x n n n a xx 复习复习 3 求部分和式的极限求部分和式的极限 二、幂级数和函数的求法二、幂级数和函数的求法 求和求和 逐项求导或求积分法逐项求导或求积分法 逐项求导或求积分逐项求导或求积分 0 () n n n a x * ( )Sx 对和式积分或求导对和式积分或求导 )(xS 难难 （在收敛区间内）（在收敛区间内） n n nx a 0 4 第五节 本节内容本节内容: 一、泰勒一、泰勒 ( Taylor ) 级数级数 二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数 函数展开成幂级数 第九章 展开方法展开方法 直接展开法直接展开法 间接展开法间接展开法 5 则称函数在该区间

3、内能展开成幂级数则称函数在该区间内能展开成幂级数 给定函数给定函数 ( ),f x 如果能找到一个幂级数，使得如果能找到一个幂级数，使得 函数能展开成幂级数的定义函数能展开成幂级数的定义: 它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数 ( ),f x )(xf 0 n n n a x 例如例如: x e 23 11 1, 2!3! xxxx ln(1)x 23 , 11 23 xx xx 6 则称函数在该区间内能展开成幂级数则称函数在该区间内能展开成幂级数 给定函数给定函数 ( ),f x 如果能找到一个幂级数，使得如果能找到一个幂级数，使得 函数能展开

4、成幂级数的定义函数能展开成幂级数的定义: 它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数 ( ),f x )(xf 0 n n n a x 问题问题: 1.如果能展开如果能展开, 是什么是什么? n a 2.展开式是否唯一展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数在什么条件下才能展开成幂级数? 7 则称函数在该区间内能展开成幂级数则称函数在该区间内能展开成幂级数 给定函数给定函数 ( ),f x 如果能找到一个幂级数，使得如果能找到一个幂级数，使得 函数能展开成幂级数的定义函数能展开成幂级数的定义: 它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数它在某

5、区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数 ( ),f x )(xf 0 n n n a x 例如例如: x e 23 11 1, 2!3! xxxx x e 23 111 1( ) 2!3! n n xxxxRx n 无穷级数无穷级数 有限形式有限形式 表示函数表示函数 8 一、泰勒一、泰勒 ( Taylor ) 级数级数 )()( 0 xfxf)( 00 xxxf 2 0 0 )( !2 )( xx xf n n xx n xf )( ! )( 0 0 )( )(xRn 其中其中 )(xRn( 在在 x 与与 x0 之间之间) 称为称为拉格朗日余项拉格朗日余项 . 1 0 ) 1( )( ! )

6、 1( )( n n xx n f 则在则在 若函数若函数 0 )(xxf在 的某邻域内具有的某邻域内具有 n + 1 阶导数阶导数, 此式称为此式称为 f (x) 的的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式 , 该邻域内有该邻域内有 : 9 )( 0 xf)( 00 xxxf 2 0 0 )( !2 )( xx xf n n xx n xf )( ! )( 0 0 )( 为为f (x) 的的泰勒级数泰勒级数 . 则称则称 待解决的问题待解决的问题 : 若函数若函数的某邻域内具有的某邻域内具有任意阶任意阶导数导数, 0 )(xxf在 当当x0 = 0 时时, 泰勒级数泰勒级数 又称为又称为麦克劳林级数麦克

7、劳林级数 . 0 )( ! )0( n n n x n f ( ) 0 0 0 ( )( ) ! n n n fx x x n )(xf n n n xx n xf )( ! )( 0 0 0 )( )(xf ( ) 0 0 0 ()( )( ) ! n n n n n fx xxR x n 10 定理定理1 . 各阶导数各阶导数, )( 0 x 则则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的在该邻域内能展开成泰勒级数的充要充要 条件条件是是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足的泰勒公式中的余项满足:lim( )0. n n R x 证明证明: ( ) 0 0 0 () ( )() , ! n

8、 n n fx f xxx n )()()( 1 xRxSxf nn )(limxRn n )()(lim 1 xSxf n n ,0)( 0 xx ( ) 0 10 0 () ( )() ! k n k n k fx Sxxx k 令 )( 0 xx 设函数设函数 f (x) 在点在点 x0 的某一邻域的某一邻域 内具有内具有 11 定理定理2. 若若 f (x) 能展成能展成 x 的幂级数的幂级数, 则这种展开式是则这种展开式是 惟一惟一的的 , 且且 证证: 设设 f (x) 所展成的幂级数为所展成的幂级数为 ),(,)( 2 210 RRxxaxaxaaxf n n 则则 ;2)( 1

9、 21 n nx naxaaxf)0( 1 fa ;) 1(!2)( 2 2 n nx annaxf)0( !2 1 2 fa ;!)( )( n n anxf)0( )( ! 1 n n n fa 显然结论成立显然结论成立 . )0( 0 fa ( ) 1 (0)(0,1,2,) ! n n afn n ， 12 0 0 1( )()n n n f xa xx ）用用可可构构造造， ( ) 0 0,1,2, 1 ()() ! n n afxn n 其其中中， ( ) 0 0 0 () 3( )()lim( )0 ! n n n n n fx f xxxRx n ）， 0 ()xx )(xf

10、0 n n n a x 问题问题: 1.如果能展开如果能展开, 是什么是什么? n a 2.展开式是否唯一展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数在什么条件下才能展开成幂级数? 13 二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数 1. 直接展开法直接展开法 由泰勒级数理论可知, 展开成幂级数的步函数)(xf 第一步第一步 第三步第三步 判别在收敛区间(R, R) 内lim ( ) n n Rx 是否为 骤如下 : 展开方法展开方法 直接展开法直接展开法 利用泰勒公式利用泰勒公式 间接展开法间接展开法 利用已知其级数展开式的函数展开 利用已知其级数展开式的函数展开 0. ; ! )( 0

11、)( n xf a n n 第二步第二步 写出泰勒级数 , 并求出其收敛 半径 R ; ( ) 0 0 0 () () ! n n n fx xx n lim( )0 n n R x 若若， ( ) 0 0 0 () ( )() . ! n n n fx f xxx n 14 例例1. 将函数 x exf)(展开成 x 的幂级数. 解解: ,)( )(xn exf), 1 ,0(1)0( )( nf n 1 其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足 )(xRn e ! ) 1( n 1n x x e ! ) 1( 1 n x n 故 23 111 1, 2!3! xn exxxx n n

12、 Rlim ! 1 n ! ) 1( 1 n (,)x ( 在0与x 之间) x 2 !2 1 x 3 !3 1 x n x n! 1 故得级数 ( )(0) ! n n f a n 0 1 ! n n x n ，0 )!1( lim 1 n x n n lim( )0. n n Rx 0 1 ,(,) ! xn n exx n 15 例例2. 将xxfsin)(展开成展开成 x 的幂级数的幂级数. 解解: )( )( xf n )0( )(n f 得级数得级数: x )sin( 2 nx 其收敛半径为 ,R对任何有限数 x , 其余项满足 )(xRn ) 1(sin( 2 n ! ) 1(

13、n 1n x ! ) 1( 1 n x n 21nk ),2, 1,0(k 3 !3 1 x 5 !5 1 x 21 1 (21)! ( 1)n n n x (,)x sin x n 0 2nk ( 1) , k ,0 3521 111 3!5!(21)! ( 1)n n n xxxx ( ) 0 (0) ! n n n f x n 21 0 1 (21)! sin( 1),(,) nn n n xxx 16 常用函数的幂级数展开式（常用函数的幂级数展开式（要求牢记！要求牢记！） (3) ln(1)x 1 (1) 1x (4) x e (5) sin x (6) cos x 1 (2) 1 x

14、 23 0 1,( 1,1) n n xxxxx 23 0 1( 1),( 1,1) nn n xxxxx 2341 1 ( 1) ,( 1,1 234 n n n xxx xxx n 23 0 1 ! 1,(,) 2!3! n n n xx xxx 35 21 0 1 (21)! ( 1),(,) 3!5! nn n n xx xxx 24 2 0 1 (2 )! 1( 1),(,) 2!4! nn n n xx xx 17 2. 间接展开法间接展开法 函数函数已知展开式的新函数已知展开式的新函数 转化转化 将所给函数展开成幂级数将所给函数展开成幂级数. 2 1 1x 例例1. 将函数将函数

15、展开成展开成 x 的幂级数的幂级数. 解解: 把把 x 换成换成 2 x 2 0 ( 1)n n n x (11).x , 得得 23 0 1 1 ( 1), 1 nn n xxxx x ( 1,1)x 2 1 1x 18 2 0 3 1 ,(,) ! 1 2!3! xn n exx x n x x x exf 2 )( x exxf 25 )( ),(,)2( ! 1 0 2 xx n e n n x n n x x n xex)2( ! 1 0 525 ， 5 0 ) 2( ! 1 nn n x n ),( x ( )2xf x ln2 ( ) x f xe 0 1 ( )( ln2) ,

16、(,) ! n n f xxx n 0 (ln2) ( ),(,) ! n n n f xxx n 19 )3)(2 ( 1 )( xx xf ， xx 3 1 2 1 1 1 x 1 2 111 22 x x ， 0 ) 2 ( 2 1 n n x 3 0 2 ( 1,1)1 n n xxxxx ， ) 2 , 2( x 65 1 )( 2 xx xf 3 1 1 3 1 3 1 x x ， 0 ) 3 ( 3 1 n n x ) 3 , 3( x )1 , 1( 2 x )1 , 1( 3 x )(xf 0 ) 2 ( 2 1 n n x 0 1 () 33 n n x ( 2,2);x

17、.) 3 1 2 1 ( 0 11 n n nn x 20 例例4. 将将sin x展成展成 4 x 解解: sinsin() 44 xx sincos()cossin() 4444 xx 1 cos()sin() 442 xx 1 2 的幂级数的幂级数. 2 0 1 (2 )! ( 1)() 4 nn n n x 21 0 1 (21)! ( 1)() 4 nn n n x 23 111 1 ()()() 42!43!42 xxx ()x 21 例例5处处展展开开成成泰泰勒勒级级数数在在将将1 4 1 )( x x x xf 解解 ).1()1( )(n fx并求并求的幂级数的幂级数展开成展

18、开成 )1(3 1 4 1 xx ) 3 1 1(3 1 x n n x ) 3 1 ( 3 1 0 31 x x x x x 4 1 )1( 4 1 1 1 0 3 )1( n n n x 31 x ! )1( )( n f n 于是于是. 3 ! )1( )( n n n f 故故, 3 1 n 0 1 3 )1( n n n x n n x 3 1 )1(的系数为的系数为 22 例例6. 将将在在x = 0处展为幂级数处展为幂级数.)32ln()( 2 xxxf 解解:)1ln(2ln)1ln()( 2 3 xxxf )1ln(x )32)(1 ( 32 2 xx xx 1n n n x

19、 ) 11(x )1ln( 2 3 x n n n x n )( 2 3 ) 1( 1 1 )( 3 2 3 2 x 因此因此2ln)(xf 1n n n x n n n x n )( ) 1( 2 3 1 1 ln(1)x 1 1 ( 1) ,( 1,1 n n n xx n nn n x n )(1 1 2ln 2 3 1 )( 3 2 3 2 x 23 例例7. 将下列函数展开成将下列函数展开成 x 的幂级数的幂级数 1 ( )arctan 1 x f x x 解解: ( )fx 2 1 1x 2 0 ( 1), nn n x ( 1,1)x ( )(0)f xf 2 0 0 ( 1)d x nn n xx 21 0 ( 1) 21 n n n x n x1 时时, 此级数条件收敛此级数条件收敛, (0)