傅里叶变换的性质

1、1 傅氏变换的性质 2 这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质, 为了叙述方便起见, 假定在这些性质中, 凡是需要求傅氏变换的函数都满足傅氏 积分定理中的条件, 在证明这些性质时, 不再重述这些条件. 3 1.线性性质线性性质 这个性质的作用是很显然的, 它表明了函数线 性组合的傅氏变换等于各函数傅氏变换的线 性组合. 它的证明只需根据定义就可推出. 同样, 傅氏逆变换亦具有类似的线性性质, 即 F -1aF1(w)+bF2(w)=af1(t)+b f2(t) (1.14) 设F1(w)=F f1(t), F2(w)=F f2(t), a,b是常数, 则 F af1(t)+bf2(t)=aF1(w)

2、+bF2(w) (1.13) 4 2. 位移性质位移性质 ).()()(151 0 0 tfettf tj FF w 5 3.微分性质微分性质 推论 F f(n)(t)=(jw)nF f(t).(1.18) 如果f(t)在(-, +)上连续或只有有限个可去 间断点, 且当且当|t|+ 时时, f(t)0, 则 F f (t)=jwF f(t).(1.17) 6 同样, 我们还能得到象函数的导数公式, 设 F f(t)=F(w), 则 )(j)()( d d , ).(j)( d d tftF ttfF nn n n F F - - w w w w 有一般地 d j( )( ) d n nn n

3、 Ft f tw w F 7 4. 积分性质积分性质 0 1 1 19 , ( )( )d ( )d ( ).( .) j d ( )d( ), d j( )d ( ) t t t t tg tf tt f ttf t f ttf t t f ttf t w w - - - - 如果当时 则 证 因为 FF FF 8 ( )( ), : ( )2(), ()2( ) : 1 ()(0) | : ()() f tF F tfFtf f atFa aa ftF w ww w w - - 若则还成立 对称性质 相似性质 翻转性质 F FF F F 9 性质小结: 若F f(t)=F(w), F g(

4、t)=G(w) )()(: | 1 )0()(: )(2)(: )( 1 d)(: )()(: )()( e)()(: )()()()(: 0 j 0 0 0 w w w w w ww ww w wbwaba w w - - - - - - Ftf a F a aatf ftF F j ttf Fjtf Fetf Fttf GFtgtf t tj t 翻转 相似 对称 积分 导数 位移 线性 10 乘积定理乘积定理 若F(w)=F f(t), G(w)=F g(t), 则 j j j 1 ( ) ( )d( ) ( )d(1.20) 2 ( ) ( )d 1 ( )( )edd 2 1 ( )

5、( )edd 2 1 ( )ed( )d 2 1 ( ) ( )d 2 t t t f t g ttFG f t g tt f tGt f tGt f tt G FG w w w www ww ww ww www - - - - - - - - 证 11 能量积分能量积分 若F(w)=F f(t), 则有 )21. 1 ()( 2 1 d)( 2 2 - - ww dFttf 这一等式又称为帕塞瓦尔(Parserval)等式 12 实际上实际上, 只要记住下面四个傅里叶变换只要记住下面四个傅里叶变换, 则所则所 有的傅里叶变换都无须从公式直接推导而从有的傅里叶变换都无须从公式直接推导而从 傅里

6、叶变换的性质就可导出傅里叶变换的性质就可导出. b w b b b wb w w 4 2 2 ee j 1 )( )( j 1 )( 1)( - - - t t etu tu t 13 由位移性质可知： 0 0 0 0 0 0 0 0 -t 1 2e 21 tj tj tj tj et t Fetf eFttf w w w w ww w ww w - - - - - ) )( )( )()( )( （ 可得 由 ）可得（ 由 ） 14 练习1 tt tt t t tgtg tgttgtf Gtutg ttutf 22 22 2 1 2 1 2 2 1 1 2 jj jj e)( j e)( j

7、 j ee )(sin)()( j )(e)()( sine)()( - - - - - - 则 解：令 ，求的傅里叶变换。 w w 15 - - - - - - - )2j(1 1 )2j(1 1 j2 1 )( )2j(1 1 )2(e)( )2j(1 1 )2(e)( e)( j2 1 e)( j2 1 )( 2j 2j 2j2j ww w w w w w F Gtg Gtg tgtgtf t t tt 则 16 42 2 222 2 22 625 2j5 2 4)5( )2j5(2 j25 2 4)j1 ( 2 )2jj1j)(2j1 ( )2j(1)2j(1 2 j )2j(1 1

8、)2j(1 1 j2 1 )( ww ww ww ww www ww ww ww w - - - - - - - - - - F 17 练习2： ttf t tt t t 0 0 0 00 0 0 2 1 2 2 21 1 w ww ww w ww w w cosee)( )(e )(e )( )( jj j j - - - 解： 求F(w)=(w+w0)+(w-w0)的傅里叶逆变 换。 18 练习3: 求f(t)=cos t sin t的傅里叶变换。 )2()2( j2 )( )2(2e )2(2e),(21 ee j4 1 eeee j4 1 sincos 2j 2j 2j2j jjjj

9、- - - - - - - ww w w ww F tt t t tt tttt 19 卷积卷积定理定理 20 - -d)()( 21 tff 称为函数f1(t)与f2(t)的卷积卷积, 记为f1(t)*f2(t) - -d)()()()( 2121 tfftftf 若已知函数f1(t), f2(t), 则积分 21 在积分 中, 令ut-, 则t-u, du-d, 则 - -d)()( 21 tff )()()()(tftftftf 1221 即. 22 f1(t)*f2(t)*f3(t)=f1(t)*f2(t)*f3(t) 23 f1(t)*f2(t)+f3(t)=f1(t)*f2(t)+

10、f1(t)*f3(t) 24 例1 若 - 0e 00 )( 01 00 )( 21 t t tf t t tf t 求f1(t)*f2(t) f1() 1 O O f2(t-) 1 t 1 25 由卷积的定义有 ttt t t t t tfftftf - - - - - e1) 1(ee deede1 d)()()()( 00 )( 2121 tO 1-e-t 1 26 【卷积定理】假定f1(t), f2(t)都满足傅氏积分 定理中的条件, 如 f1(t) F1(w) f2(t) F2(w) 则 f1(t) * f2(t) F1(w)F2(w) 以及 )()( 2 1 )()( 2121 ww FFtftf 27 例2 若f(t)=cosw0t u(t), 求F f(t) )()( 2 j )( )j( 1 )( )j( 1 2 1 )( 2 ee )()( )( j 1 )( 00 22 0 0 0 0 0 jj 00 wwww ww w ww ww ww ww w w w ww - - - - - F tutf tu