关于积分对称性论文

1、2014届毕业生毕业论文题 目： 积分区域对称性相关问题的研究 院系名称： 理学院 专业班级： 基础数学F1002学生姓名： 刘鹏 学 号： 201046800106指导教师： 张应奇 教师职称： 副教授 2014年 5 月 08 日摘 要积分是高等数学中的重点也是难点部分，构成了数学的基础。由于积分的应用十分广泛，在物理，工程，化学等方面都有体现，所以积分的计算显得尤为重要。大自然的美丽有很多是因为对称性而体现出来的，数学把对称性赋予了灵魂，积分区域对称性的应用使得相关数学问题的解决有了更加灵活的方法和技巧，并且结合被积函数的奇偶性对积分的运算起到了事半功倍的效果。本文总结了对称区间在定积分

2、、多重积分、曲线与曲面积分中的一些定理,并且通过经典例题对定理进行巩固。我们运用这些定理可以很大程度地简化积分的运算，对于解决实际中遇到的问题也是有很大的帮助。关键词： 对称区间 积分 特殊函数.Title Research on the issues related to the symmetry of integral areaAbstract Integration is the key and difficult part in higher mathematics, constitutes a mathematical foundation. Because the integral

3、 is widely used in physics, chemistry, engineering, and other aspects, so the integral calculation is very important. The beauty of nature is a lot because of symmetry and reflected the mathematical symmetry, to give the soul, application of symmetry of regions that solve mathematical problems with

4、the methods and skills of more flexible, and the combination of parity of the integrand of integral calculation has played a multiplier effect.This paper summarizes the symmetric interval in the definite integral, multiple integral, curvilinear integral and surface integral of some theorem, and the

5、classic example of theorem to consolidate. We use these theorems can greatly simplify the integral operation, also has the very big help to solve the problems in practice.Key words: Symmetric interval Integral Special function目录1 引言42 定积分的对称性42.1 对称区间、定积分的定义42.2 对称区间的推广73 重积分的对称性73.1 二重积分的对称性73.2 三重

6、积分的对称性124 曲线积分的对称性134.1 第一型曲线积分的对称性134.2第二型曲线积分的对称性155 曲面积分的对称性175.1 第一型曲面积分的对称性175.2 第二型曲面积分的对称性19总结21参考文献22致谢231 引言对称性的引入对数学产生了很大的影响，我们在数学中会把对称性所隐藏的美给完全展现出来。如誉为最美方程的心形曲线；以及扇叶形的三叶形曲线，四叶玫瑰线，以及关于对称的笛卡尔曲线等，当然还有曲面和空间图形如双叶双曲面，马鞍面麦克斯韦方程，笛沙格定理等则是把对称性用于积分中，进行了美妙的融合，所以我们要把对称的方便直观的特点融入积分计算中。积分是数学分析的重要基础，因此，对

7、学生来讲要想学好积分学，就要从根本上理解其定义和几何意义。但由于积分的内容丰富，结构严密，无懈可击，作为进入大学阶段学习微积分的基础，会感到抽象难以理解，在解题时就会造成缺乏思路，无从下手。为了使大家更好的掌握积分的概念，能够运用各种解题技巧和方法来处理遇到的问题，提高分析问题解决问题的能力，本文介绍了对称性在定积分，重积分，曲线积分及曲面积分计算过程中的几个结论及其应用，并通过实例讨论了利用积分区域的对称性在被积函数的奇偶性情况下来如何简化计算的。2 定积分的对称性2.1 对称区间、定积分的定义定义2.1.1（对称区间的定义） 设在平面中有区域为,如果存在点 ,那么我们称区域是关于直线对称，

8、对称点与是关于直线的对称点.如果存在点 ，那么我们称区域是关于直线对称，称点与是关于的对称（如果取,那么对于区域关于,轴对称） 定义2.1.2（奇偶函数的定义) 设对于任意 如果 定义2.1.3（定积分的定义) 一般地，设闭区间有个点我们把闭区间平均分成个小区间，我们设每个小区间的长度为（），然后在个小区间上任取一点，再求和：如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分。记为：定理1 对于积分区间在上的定积分，有：证明：设为奇函数，则=，故： 在中令，则，所以：原式如果为偶函数，则=，故： 在中令，则，所以：原式例题1 设，。 则有_ 解：对于积分，由于

9、函数是满足奇函数定义且积分区域为，那么由定理1可知 。对于，由于被积分函数是偶函数，为奇函数，且积分区域为 所以分开来求： 对于，由于为奇函数，而为偶函数，用上个方法：2.2 对称区间的推广 如果连续函数的积分区域并不是一般的关于原点对称而是关于直线对称，或者说被积函数关于对称时，为了简便运算，我们归纳如下： (1) 若的关于直线对称，即，则 (2) 若的关于对称，即，则，若满足，则(3) 若函数与的关于直线对称，即，则.同样若是关于点对称，即，则例题2 求（）解 设，因为， 由以上总结可知3 重积分的对称性3.1 二重积分的对称性 3.1.1 二重积分的定义 定义3.1 设是在有界闭区域D上

10、的有界函数. 那么我们将闭区域D任意分成n个小闭区域 其中表示第i个小闭区域，也表示它的面积，在每个上任取一点, 作乘积并做和如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时, 这和式的极限存在, 则称此极限为函数在闭区域D上的二重积分, 记为 即 定理 2 设积分区域是关于坐标轴轴对称，那么： 其中为轴右侧区域： 设积分区域是关于坐标轴轴对称，那么： 其中是轴上侧区域： 设积分区域区域是关于坐标轴轴和轴均对称，且被积函数关于变量和均为偶函数，那么： 其中为在第一象限内的部分： 设积分区域是关于坐标原点对称，那么： 其中积分区域，设积分区域关于直线是对称的, 那么 证明：由于函数是积分区域上的关于的

11、奇函数，所以有，又因为积分区域关于对称，可以假设为。 则有： 同理，被积函数是积分区域上的关于的偶函数有， 则有 ：证明方式与相同，只是换成了关于的函数。 ：被积函数关于变量和均为偶函数，且积分区域区域关于轴和轴均对称，故设为 ：证明可以用立体几何的知识来证明，由于二重积分的几何意义是被积函数相当于高被积区域相当于底围成的体积，但函数有正负而体积没有正负，所以要注意怎么抵消。同样，以上几个也可以用这种方法帮助理解。例题3区域由直线所围成的区域。解：如图所示，关于轴对称，并且，被积分函数是关于轴的偶函数，由上述定理2中结论可知： 例题4设：；：； 则下列四个选项中错误的是_ 解：对于选项具备定理

12、2中 积分区域区域关于轴和轴均对称，且被积函数关于变量和均为偶函数的条件，则有：故成立。对于中被积分函数对或是奇函，数积分区域区域关于轴和轴均对称，由定理2中的故。 对于因为关于变量为奇函数，故。而在中，由定理2中积分区域关于=是对称的，则=。故本题选。 例题5设在区间上连续，且，试证明证： 设积分区域，显然区域是关于直线对称，由于满足定理2中的条件，所以， 3.1.2 对称区域的扩展 与定积分相同的是，积分区域并不会像我们想象的那么简单，积分区域有可能没有关于原点对称，所以，我们要用平移思想，把积分区域平移到坐标原点。这里，我们再引进一种特殊的方法，用物理上重心这里称之为质心的方法，其实究其

13、之根本仍是对称区间爱的应用。定理3 设积分区域为，为积分区域的质心，则 例题6 求，其中积分区域D由构成的。解：由于区域的D是圆，所以其质心是圆心 则3.2 三重积分的对称性 3.2.1 三重积分的定义定义3.2.1设函数是空间闭区域上的有界函数,将任意地分划成个小区域 其中表示第个小区域,也表示它的体积.在每个小区域上任取一点, 作乘积 ，作和式 以记这个小区域直径的最大者,若极限 存在,则称此极限值为函数在区域上的三重积分,记作,即 其中叫体积元素定理4 设空间有界闭区域，与关于坐标面对称，函数在上连续，那么：如果与关于坐标面对称，函数在上连续，那么 如果与关于坐标面对称，函数在上连续，那

14、么如果空间区域具有空间轮换例题7计算三重积分，其中积分区域为。解 ,利用定理4中如果与关于坐标面对称，函数在上连续，那么是相应于的奇函数，于是,利用定理4中如果空间区域具有空间轮换所以，从而有4 曲线积分的对称性4.1 第一型曲线积分的对称性 定义4.1.1 （对弧长的积分）设函数在面内的一条光滑曲线弧上有界，通过分割、近似、求和、取极限得到和的极限就是对弧长的曲线积分，即 定义4.1.2 （对坐标曲线的积分）设为面上从点到点的一条有向光滑曲线弧，函数在上有界，通过分割、近似、求和、取极限得到和的极限就是对坐标的曲线积分，即 定理5：设平面内光滑曲线,且与关于坐标轴轴是对称的，函数在上连续，设

15、为位于轴右侧的弧段，则 设平面内光滑曲线,且与关于坐标轴轴对称，函数在上连续，设为位于轴右侧的弧段，则 设平面内光滑曲线,且与关于直线对称，函数在上连续，设为位于直线上半部分弧段，则 定理6 若平面积分曲线关于具有轮换对称性，则： 若空间积分曲线关于具有轮换对称性，则： 若关于直线对称令曲线位于直线的上半部分区域则：例题8 设为椭圆4.2第二型曲线积分的对称性 定义4.2 若存在矢量函数与曲线上一点(x,y,z)处切线的单位矢量(且的方向指定的方向一致)的点乘积在上的第一类曲线积分存在，那么我们把该积分值称为沿曲线从A到B的第二型曲线积分。（只给出矢量定义，普通定义与第一型一样只是小分段有正负

16、，即有方向）定理7 如果存在光滑（可以是分段的）的平面曲线是关于坐标轴轴对称，且在轴的上半部分与在下半部分的方向相反，则 如果存在光滑（可以是分段的）的平面曲线关于坐标轴轴对称，且在的区域与在的区域的矢量方向是相反的，那么如果存在光滑（可以是分段的）的平面曲线是平面上关于直线对称的，任意,有，且，在轴投影方向相反，则（）若=-,则（）若=,则=如果存在光滑（可以是分段的）的平面曲线是平面上关于对称的，任意,有，且，在轴投影方向相同，则（）若=-,则 （）若=,则=例题9 计算，其中是以为顶点的光滑线段正向边界线.解 利用定理7，将其展开对于前一个积分，由于曲线关于轴对称，且方向是相反，被积函数

17、是关于的偶函数，所以积分为0；对于后一个积分，由于曲线关于轴对称，且方向相反，被积函数是关于的偶函数，所以积分也为0.因此例题10 求=,其中是曲线上从到的一段光滑的弧。解：= 因为弧AB关于对称，且投影方向相同，所以利用定理7中如果若=-,则，若=,则= 所以有= 所以=0，即5 曲面积分的对称性5.1 第一型曲面积分的对称性 定义5.1 设函数是定义在光滑曲面上的有界函数将曲面分为若干个小块()，其面积分别记为，在小块曲面上任意取一点，如果极限存在，那么我们称极限值为函数在曲面上对面积的曲面积分(或称第一类曲面积分)记为即 = 定理8 i如果积分曲面关于坐标平面对称，为上的连续函数，可以分

18、成对称的两部分，为位于上部的曲面，则ii如果积分曲面关于坐标平面对称，被积函数为上的连续函数，可以分成对称的两部分，为位于上部的曲面，则iii如果积分曲面关于坐标平面对称，被积函数为上的连续函数，可以分成对称的两部分，为位于上部的曲面，则如果积分曲面可以分成对称的两部分，且关于原点对称，则 如果积分曲面关于自变量具有轮换对称性，即满足 例题11计算曲面积分，是闭曲面.解 自变量具有轮换对称性，那么依据定理8中可知例题12.计算曲面积分,积分曲面解： 令， 则 由于关于原点对称，满足定理8中并且=为关于自变量的偶函数= =5.2 第二型曲面积分的对称性 定义5.2设为空间中光滑的有向曲面, 其上

19、任一点处的单位法向量为 又设其中函数在上有界, 。 则上的第一类曲面积分称为函数在有向曲面上的第二类曲面积分.（只给出矢量定义，普通定义与第一型一样只是曲面有方向）定理9 设光滑曲面是关于平面对称，设在部分曲面取定为上侧，在部分曲面取定下侧，则设光滑曲面关于坐标平面对称，设在部分曲面取定为上侧，在部分曲面取定下侧，则设光滑曲面关于坐标平面对称，设在部分曲面取定为上侧，在部分曲面取定下侧，则若积分曲面关于具有轮换对称性，则 .例题13计算，其中为曲面平面和所围成空间图形的表面外侧。解：设，如右图 ：，取定下侧 ：，取定上侧由于被积函数是的偶函数，关于平面对称，又在平面上的投影域面积为零，由定理9

20、所以有： 形同方法，因是的偶函数，关于平面对称，又在平面上的投影域面积为零，所以有： 设 1，2在坐标平面上的投影区域为，所以有： 从而。例题14计算，积分曲面为球面所成的外侧。解： 由于积分曲面关于具有轮换对称性关于,具有轮换对称性根据定理9 所以光滑的曲面关于坐标平面对称，在部分曲面取定为上侧，在部分曲面取定下侧，的方程为，它在平面上的投影域为圆域，因此，若用表示前半球面的外侧则有： =对于在后半球面上的曲面积分，由于的方程为：而外侧即后外侧，故关于后半球面外侧（记为）的曲面积分为：=因此 总结 对称性的引入给我们学习定积分有很大的帮助，特别是理解几何意义。由于水平有限时间仓促，没有对广义

21、积分进行分析，广义积分也有类似的定理，需要的同学可以下面再行再研究。有些定理没有给证明，但证明的方法在一些课本中都有，在此不做累述，还请见谅。 定积分的学习光有这些还是不够的，所以同学们应该夯实基础后，再结合被积函数奇偶性和被积区间的对称性对所学知识加以巩固。参考文献1 华东师范大学数学系编. 数学分析（上、下册）M.第四版. 北京： 高等教育出版社，2010.72 郝勇、李学志、陶有德.数学分析选讲M. 北京：国防工业出版社，2010.73 徐利治、王兴华. 数学分析的方法及例题选解 M（修订版）. 北京高等教育出版社，19884 李庆春、高述春. 数学分析的内容与方法M. 青岛：青岛海洋大学出版社，19975 美Finney、Weir、Stewart. T