2018年高考数学 立体几何中的向量方法教学案 理

1、学必求其心得，业必贵于专精专题44 立体几何中的向量方法1.理解直线的方向向量及平面的法向量;2。能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系;3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理4。能用向量方法解决直线与直线，直线与平面,平面与平面的夹角的计算问题;5.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用 1直线的方向向量与平面的法向量的确定（1）直线的方向向量:l是空间一直线，a，b是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面内两不共线向量，n为平面的法向量，则求法向量的方程组为2用向量

2、证明空间中的平行关系(1）设直线l1和l2的方向向量分别为1和2，则l1l2（或l1与l2重合)12v12。(2）设直线l的方向向量为,与平面共面的两个不共线向量1和2，则l或l存在两个实数x，y，使x1y2（3）设直线l的方向向量为,平面的法向量为u,则l或luu0（4)设平面和的法向量分别为u1，u2，则u1u2u1u2.3用向量证明空间中的垂直关系（1)设直线l1和l2的方向向量分别为1和2,则l1l212120(2)设直线l的方向向量为，平面的法向量为u，则luvu（3)设平面和的法向量分别为u1和u2，则u1u2u1u204空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l1,l2的方向向量分

3、别为m1，m2，则l1与l2所成的角满足cos _|cosm1,m2|(2)设直线l的方向向量和平面的法向量分别为m，n，则直线l与平面所成角满足sin cosm，n|(3）求二面角的大小（)如图，ab，cd是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小_()如图，n1,n2 分别是二面角l的两个半平面,的法向量，则二面角的大小满足|cos |cosn1，n2|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角（或其补角)5点面距的求法如图,设ab为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，则b到平面的距离d高频考点一利用空间向量证明平行问题【例1】 如图所示,平面pad平面abcd，abcd为正方形

4、，pad是直角三角形,且paad2，e，f，g分别是线段pa，pd，cd的中点求证:pb平面efg。证明平面pad平面abcd，且abcd为正方形，ab，ap，ad两两垂直以a为坐标原点，建立如右图所示的空间直角坐标系axyz，则a（0，0，0），b（2，0,0)，c（2，2，0），d(0，2，0)，p（0，0,2),e（0，0,1），f(0,1，1),g(1，2，0）法一（0，1，0)，(1，2，1)，设平面efg的法向量为n（x，y，z)，则即令z1,则n(1,0，1)为平面efg的一个法向量，（2,0，2），n0，n，pb面efg，pb平面efg.规律方法（1)恰当建立坐标系，准确表示各

5、点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键（2）证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面,或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行,然后说明直线在平面外即可这样就把几何的证明问题转化为向量运算【变式探究】 如图，平面pac平面abc，abc是以ac为斜边的等腰直角三角形，e，f，o分别为pa，pb，ac的中点，ac16，papc10。设g是oc的中点,证明：fg平面boe；证明如图，连接op，papc,o是ac的中点，poac，又面pac面abc，po面abc，abc是以ac为斜边的直角三角形,boa

6、c。所以点o为坐标原点，分别以ob，oc，op所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系oxyz，则o（0，0,0)，a（0，8，0)，b(8，0,0)，c（0，8，0)，p(0，0，6），e（0,4，3），f(4,0，3)由题意,得g(0,4，0)因为(8，0，0），(0，4，3)，设n(x,y,z）为面boe的法向量，则n0,n0，令z4，得y3.所以平面boe的一个法向量n（0，3，4）由(4,4,3),得n0。又直线fg不在平面boe内，所以fg平面boe。高频考点二利用空间向量证明垂直问题【例2】如图，在三棱锥pabc中，abac，d为bc的中点,po平面abc，垂足o落在线段a

7、d上已知bc8,po4,ao3，od2. （1)证明:apbc；（2)若点m是线段ap上一点，且am3.试证明平面amc平面bmc.证明(1）如图所示，以o为坐标原点，以射线op为z轴的正半轴建立空间直角坐标系oxyz。则o(0，0，0）,a（0,3，0)，b（4，2，0），c(4,2，0)，p(0,0，4)于是（0，3，4），(8，0，0),（0，3，4)(8,0，0）0，所以，即apbc。(2）由(1）知ap|5，又|am|3，且点m在线段ap上，又（4,5,0)，则（0，3，4)0,即apbm，又根据(1）的结论知apbc，ap平面bmc,于是am平面bmc.又am平面amc,故平面am

8、c平面bcm.规律方法（1）利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算其中灵活建系是解题的关键(2)其一证明线线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可当然也可证直线的方向向量与平面法向量平行其三证明面面垂直:证明两平面的法向量互相垂直；利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可【变式探究】如图，四棱柱abcda1b1c1d1的底面abcd是正方形，o为底面中心，a1o平面abcd，abaa1。证明：a1c平面bb1d1d。证明

9、由题设易知oa,ob，oa1两两垂直，以o为原点建立空间直角坐标系，如图abaa1，oaoboa11，a(1，0，0）,b（0，1,0），c（1，0，0），d(0,1,0)，a1（0，0,1）由，易得b1(1，1，1）(1,0，1），（0，2，0)，（1，0,1)，0,0，a1cbd，a1cbb1，又bdbb1b，a1c平面bb1d1d。高频考点三利用空间向量解决探索性问题【例3】 在四棱锥pabcd中，pd底面abcd,底面abcd为正方形，pddc,e，f分别是ab,pb的中点(1）求证：efcd；（2)在平面pad内是否存在一点g,使gf平面pcb.若存在,求出点g坐标;若不存在，试说明

10、理由（1）证明如图，以da，dc，dp所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系，设ada，则d（0，0，0)，a(a，0，0），b(a,a，0），c(0，a，0），e，p(0，0，a），f.，(0，a，0）0，,即efcd。规律方法对于“是否存在”型问题的探索方式有两种:（1）根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，然后再加以证明,得出结论；（2）假设所求的点或线存在，并设定参数表达已知条件,根据题目进行求解，若能求出参数的值且符合已知限定的范围，则存在这样的点或线,否则不存在本题是设出点g的坐标，借助向量运算，判定关于p点的方程是否有解【变式探究】如图所示,四棱锥

11、pabcd的底面是边长为1的正方形，pacd，pa1，pd，e为pd上一点，pe2ed。(1）求证：pa平面abcd；(2)在侧棱pc上是否存在一点f，使得bf平面aec？若存在,指出f点的位置，并证明；若不存在，说明理由（1）证明paad1，pd，pa2ad2pd2，即paad.又pacd，adcdd，pa平面abcd。（2)解以a为原点,ab,ad，ap所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系则a（0，0,0)，b（1，0，0）,c（1,1，0),p（0，0，1)，e,(1，1，0)，。设平面aec的法向量为n(x,y，z)，则即令y1,则n（1，1，2)假设侧棱pc上存在一点f，且(

12、01)，使得bf平面aec，则n0.又（0，1,0）（，)（，1，），n120，存在点f,使得bf平面aec，且f为pc的中点。高频考点四求异面直线所成的角【例4】 如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是矩形，pa底面abcd，e是pc的中点已知ab2，ad2，pa2。求： (1）pcd的面积（2)异面直线bc与ae所成的角的大小解（1）因为pa底面abcd,所以pacd。又adcd，所以cd平面pad,从而cdpd。因为pd2，cd2，所以pcd的面积为222。(2)法一如图1，取pb中点f,连接ef，af,则efbc，从而aef(或其补角）是异面直线bc与ae所成的角在aef中,由于e

13、f,af，aepc2.则aef是等腰直角三角形，所以aef.因此，异面直线bc与ae所成的角的大小是.法二如图2,建立空间直角坐标系，则b（2，0，0),c(2，2，0），e（1，1)，(1，1），(0，2,0)设与的夹角为，则cos ，所以.由此可知，异面直线bc与ae所成的角的大小是.规律方法本题可从两个不同角度求异面直线所成的角，一是几何法：作-证算；二是向量法:把角的求解转化为向量运算,应注意体会两种方法的特点，“转化是求异面直线所成角的关键，一般地,异面直线ac，bd的夹角的余弦值为cos .【变式探究】 如右图所示正方体abcdabcd，已知点h在abcd的对角线bd上，hda60

14、。求dh与cc所成的角的大小解如图所示,以d为原点，da为单位长度建立空间直角坐标系dxyz，则(1，0，0)，（0，0，1）设(m,m，1）(m0)，由已知，,60由| cos,可得2m，解得m， cos，,45,即dh与cc所成的角为45.高频考点五利用空间向量求直线与平面所成的角【例5】 （2014北京卷）如图，正方形amde的边长为2，b,c分别为am,md的中点在五棱锥pabcde中，f为棱pe的中点，平面abf与棱pd，pc分别交于点g，h. （1）求证：abfg；(2)若pa底面abcde，且paae.求直线bc与平面abf所成角的大小，并求线段ph的长(1)证明在正方形amde

15、 中，因为b是am的中点，所以abde。又因为ab平面pde，所以ab平面pde。因为ab平面abf，且平面abf平面pdefg,所以abfg.（2）解因为pa底面abcde，所以paab，paae.如图建立空间直角坐标系axyz，则a(0,0,0)，b(1，0，0),c(2,1，0)，p(0，0，2)，f(0，1，1），（1，1，0)设点h的坐标为（u，v,w)因为点h在棱pc上，所以可设（01)，即(u，v，w2）（2,1，2），所以u2，v，w22.因为n是平面abf的法向量，所以n0，即(0，1，1)（2，22)0.解得，所以点h的坐标为.所以ph2.规律方法利用向量求线面角的方法:（

16、1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角（或其补角)；(2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角【变式探究】 （2014福建卷）在平面四边形abcd中，abbdcd1,abbd，cdbd，将abd沿bd折起，使得平面abd平面bcd，如图 （1)求证：abcd；（2）若m为ad中点，求直线ad与平面mbc所成角的正弦值（1）证明平面abd平面bcd,平面abd平面bcdbd,ab平面abd,abbd,ab平面bcd.又cd平面bcd，abcd。（2)解过点b在平面bcd内作bebd,如图由(1）

17、知ab平面bcd,be平面bcd，bd平面bcd,abbe,abbd.以b为坐标原点，分别以，,的方向为x轴，y 轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系依题意，得b(0,0，0），c（1，1，0），d（0,1，0）,a（0，0，1），m，则(1,1,0），(0，1，1）设平面mbc的法向量为n(x0，y0，z0），则即取z01,得平面mbc的一个法向量为n（1，1，1）设直线ad与平面mbc所成角为,则 sin | cosn,即直线ad与平面mbc所成角的正弦值为。高频考点六利用空间向量求二面角【例6】 （2014广东卷）如图,四边形abcd为正方形，pd平面abcd，dpc30,afpc于点f,

18、fecd，交pd于点e。（1）证明:cf平面adf；(2）求二面角dafe的余弦值 （2）解如图所示，建立空间直角坐标系，点d为坐标原点,设dc1。由于dpc30，pdcd，所以pc2,pd。由于cffd，fecd，所以 df，de，ef.从而d,a，c，f,e五点的坐标分别为d（0，0，0）,a(0,0，1），c(0,1,0),f,e.计算得，(0，0)设平面aef的法向量为n1（x1，y1，z1),则n1，n1，因此取x14，则n1（4，0，)为平面aef的一个法向量由于cf平面adf，故平面adf的一个法向量n2(,1，0）由图可见所求二面角的余弦值为 cos .规律方法求二面角最常用的

19、方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角【变式探究】 （2014辽宁卷)如图,abc和bcd所在平面互相垂直，且abbcbd2，abcdbc120，e，f分别为ac,dc的中点 （1）求证：efbc；(2)求二面角ebfc的正弦值 （1）证明由题意，以b为坐标原点，在平面dbc内过b作垂直bc的直线为x轴，bc所在直线为y轴，在平面abc内过b作垂直bc的直线为z轴,建立如图所示空间直角坐标系易得b（0，0，0)，a(0，1，），d(，1，0），c(0，2，0)因而e，f。所以，（0，2，0)，

20、因此0.从而,所以efbc.（2）解平面bfc的一个法向量为n1(0,0，1)设平面bef的法向量n2（x，y，z），又，.由得其中一个n2(1,1)设二面角ebfc大小为，且由题意知为锐角,则 cos | cos，又，n(0,180），n60，直线bc与平面pac所成的角为906030.6如图,正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，e，f分别是棱bc，dd1上的点，如果b1e平面abf，则ce与df的和的值为_答案17。在正方体abcda1b1c1d1中,p为正方形a1b1c1d1四边上的动点，o为底面正方形abcd的中心，m，n分别为ab，bc的中点，点q为平面abcd内一点,线段d1

21、q与op互相平分，则满足的实数有_个答案2解析建立如图的空间直角坐标系，设正方体的边长为2，则p(x，y,2)，o(1，1，0），op的中点坐标为，又知d1（0,0，2），q（x1,y1，0)，而q在mn上,xqyq3，xy1，即点p坐标满足xy1.有2个符合题意的点p，即对应有2个。8如图,在四棱锥sabcd中,sa平面abcd，底面abcd为直角梯形，adbc，bad90，且ab4，sa3。e，f分别为线段bc，sb上的一点(端点除外)，满足,当实数的值为_时,afe为直角答案解析因为sa平面abcd,bad90,故可建立如图所示的空间直角坐标系axyz.ab4，sa3，b(0,4,0),

22、s(0,0，3)设bcm，则c(m,4，0)，。(）(）(0，4，3），f(0，)同理可得e(，4,0)，（,，)(0，,)，要使afe为直角，即0，则00，169，解得。9.如图，四棱锥pabcd的底面为正方形，侧棱pa底面abcd,且paad2，e,f，h分别是线段pa，pd，ab的中点求证：(1)pb平面efh;（2）pd平面ahf.证明建立如图所示的空间直角坐标系axyz。a（0,0,0），b(2，0，0），c（2,2,0），d（0，2,0），p（0,0，2)，e(0,0,1），f(0，1,1），h(1,0,0)(1）（2,0,2),（1，0，1)，2，pbeh.pb平面efh,且eh平面efh，pb平面efh.10。如图，四边形abcd为正方形,pd平面abcd,pdqa，qaabpd。证明:平面pqc平面dcq.证明如图，以d为坐标原点，线段da的长为单位长，射线da、dp、dc分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系dxyz.依题意有q(1，1,0），c(0,0，1），p（0，2,0），则(1,1，0），(0，0，1)，(1，1,0）0，0.即pqdq，pqd