建筑力学12静定结构位移计算

1、1 建筑力学 第第12章章 静定结构的位移计算静定结构的位移计算 教师：邹定祺教师：邹定祺 2 内容：虚功原理 结构的位移计算 线性变形体的三个互等定理 重点：结构位移计算的图乘法 3 12.1 结构的位移与位移计算的目的 12.1.1 杆系结构的位移的概念 线位移，角位移 . F DA CB . D C . A . A . A . A F . A . A B . A Ay . A B . AAx . A 、A 是截面相对于变形前的位移称为绝对位移 . DC=DA+ CB 为C、D两点的相对线位移 AB=A +B 为A、B两点的相对角位移 绝对位移和相对位移统称为广义位移。 4 结构的温度改变

2、、材料收缩、制造误差、 支座位移和装配误差等都能引起结构产生位移。 12.1.2 计算结构位移的目的 （1）验算结构的刚度。 （2）为超静定结构的计算提供基础。 12.1.3 线弹性结构的概念 线弹性结构,需满足下列条件： （1）应力和应变服从胡克定律。 （2）结构的位移是微小位移。 （3）所有的约束为理想约束。 5 12.2 变形体的虚功原理 12.2.1 虚功的概念 实功外力在其自身引起的位移上作的功外力在其自身引起的位移上作的功: W=F F F F F 广义力包括集中力、集中力偶等,都用F表示。 广义位移包括线位移、角位移等,都用表示。 W=M 可以表示 M 为：W=F 6 当静力当静

3、力F FP1 P1加载时，即： 加载时，即： F FP1P1由由0 0增加至增加至F FP1P1 1111 由由0 0增加至增加至 1111 力力F Fp1p1在位移在位移1111上作的上作的实功实功为为: : 11111 2 1 Pe FW 7 虚功虚功引用实功的计算方式，力在别的因素引起引用实功的计算方式，力在别的因素引起 的位移上所做的功称为虚功。的位移上所做的功称为虚功。 . F1 F1 . 11 11 . . . 12 . 力状态力状态 位移状态位移状态 11F1引起的位移，引起的位移， 12其它因素（如温度变化）引起的位移其它因素（如温度变化）引起的位移 那么，那么，We12=F1

4、12 称之为虚功称之为虚功 “虚虚”是因为做功的力是因为做功的力F1与相应的位移与相应的位移12无关无关。 8 12.2.2 实功及虚功原理 1、实功 F1 y F1 1 We 0 1 当结构变形处在线弹性范围内时，力逐渐 由0F1，同时，位移也由01 那么力做的功为 We=F11/2 实功 F1为广义力，1为广义位移。 9 线弹性结构在外力的作用下会产生变形、内 力、及位移，外力作了功，外力作的功转化为结 构内部的变形能；变形能又可以看成是内力作的 功。几种内力作的功可以分别计算后叠加，根据 能量守恒定律，变形能Wi=外力的功We 。 2、虚功原理（方程） . F1 11 F1 F2 . 1

5、 1 2 . . 11 12 22 . 力状态(相对F1) 位移状态(相对F1) 10 力的状态下力F1在位移状态下的虚位移12 上作的虚功 ，应等于力的状态下(F1)产生的内 力在虚位移的相应变形上所作虚功的总和，即： We12=Wi12 We12力的状态下外力F1在位移状态下12作的 外力虚功； Wi12力的状态中变形体的内力在位移状态的 相应变形上所作的内力虚功的总和(虚变形能)。 写成普遍形式，有虚功方程： We=Wi 11 3、弹性杆系结构的虚功方程 . . F1 Mi F2 q . . . 力的状态 位移状态 力作的总虚功： We=FiFi+ Mii+qiqidx 整个结构内力作的

6、虚功： Wi=FNdu+ Md+ FQds 虚功方程： We=Wi 两种应用：1、求未知力:力状态已知,位移状态虚设； 2、求位移:位移状态已知，力状态虚设。 12 12.3 结构位移计算的一般公式 虚单位荷载 . . K FK=1 . B B FR2 . . K . +t1 +t2 C1 . . K B FR1 . . . . . A C2 . . . FRA . . 已知实际位移状态 虚单位荷载作用下的虚力状态 FRA,FR1,FR2虚反力，FN,FQ,M单位虚力作用下的虚内力 虚力系在实际位移状态下所作的外力虚功为 We=FKK+FR1C1+FR2C2=FKK+FRiCi 内力虚功:Wi

7、=LFNds+LFQds+LMkds 13 由虚功原理 We=Wi 有： FKK+FRiCi=LFNds+ LFQds+ LMkds 得K=LFNds+ LFQds+LMkds-FRiCi （12-14) 单位荷载法： 欲求结构上某一性质的位移，只需在该处施加与位欲求结构上某一性质的位移，只需在该处施加与位 移移相对应相对应的虚单位荷载。的虚单位荷载。 *一点某方向线位移在该点加沿该方向的虚单位集中荷载 *两点间的相对线位移在两点加一对反向共线的虚单位集中力 *一截面的角位移在该截面加虚单位集中力偶 *两截面的相对角位移在两截面上加一对反向的单位集中力偶 *某一杆件的角位移在杆的两端垂直于杆件

8、方向施加一个由大 小相等、方向相反的集中力所构成的虚单位力偶，此集中力的 大小等于杆件长度的倒数。 14 12.4 荷载作用下结构位移计算 )1612( 1 dx GA FFK dx EA FF dx EI MM dx GA KF dxd EA dxF dxdu EI Mdx dxd dFduFdM QQ NN Q N QN 代入，可得 微段剪切变形 微段轴向变形 微段弯曲变形 对线弹性结构： 写为下，则位移计算式可以如果结构仅在荷载作用 15 12.4.1 桁架的位移计算 桁架的每一根杆只有轴力，没有弯矩和剪力，故， 桁架的位移计算公式为： 【例12-1】求图示桁架D点的竖向位移DV，图中括

9、号 内的数值表示杆件的截面积(cm2)，设E=21000kN/cm2. )1712( l EA FF dx EA FF dx EA FF NNNNNN A B C D X=1 A C 100kN D B 2m 2m2m (10) (10) (20) (20) (10) 【解】欲求D点竖向位移，在D点加一竖向单位里，用节点法 分别求出实际状态下和单位里状态下各杆轴力，列表计算： 由此可得 DV= FNFNL/(EA)=2415/20000=0.115cm () 16 杆件杆件 L L (cm)(cm) A (cm2) FN FN (kN) FNFNL L/A/A (kN/cm)kN/cm) AC

10、28320-0.707-70.71707.5 BC28320-0.707-70.71707.5 AD200100.550.0500 BD200100.550.0500 CD2001010.00 2415.0 12.4 梁及刚架的位移计算 一般情况下，细长杆件中弯矩、轴力、剪力、曲率 （曲杆）分别对位移影响的比大略为 M: N: Q: r =（150050) :1 : 3 : 2 所以轴力、剪力、曲率对位移的影响较小，可忽略 去不计。故，梁和刚架的位移计算公式为 17 )1812( dx EI MM 【例12-2】求图示悬臂梁端点C的竖向位移。 【解】（1）列出实际状态和许拟状态的内力方程 实际

11、状态：CB段（0 xl/2) FN=0 ,M=0 ,FQ=0 BA段（l/2 x l) FN=0 ,M=-q(x-l/2)2/2 ,FQ=q(x-l/2) 许拟状态：CB段 FN=0 ,M=0 ,FQ=0 BA段 FN=0 ,M=-x ,FQ=1 (2) 将两个状态的内力方程代入（12-16），K=1.2，得 18 A B C X=1 l/2l/2l/2l/2 A B C q xx （实际状态）（虚拟状态） )( 20 3 384 7 34 2/2/ GA ql EI ql dx GA FFk dx EI MM l l l l QQ CV (3) 讨论。现在计算剪切变形和弯曲变形的比值。 19

12、 。也较小，可以忽略不计轴向变形对位移的影响 移的影响。，可忽略剪切变形对位杆时故，一般，当杆为细长 。时，当当时，例中当 ）得代入（，矩形截面设 ， 5 1 %32. 7 5 1 %83. 1 10 1 12 1 3 8 23. 823. 8 19-12, 12 1 8 3 )1912(23. 8 384 7 20 3 20 3 384 7 2 2 3 24 3 34 l h l h l h l h GAl EI bhIbhA E G GAl EI EI ql GA ql GA ql EI ql M F M F M F M F FM QQ Q Q Q 【例12-3】求图示刚架C点的竖向位移C

13、V。截面IA均为常数。 【解】分别伸各杆的坐标如图所示，写出 两中状态各杆的弯矩方程： CB段 M=-x ,M=-qx2/2 （上侧受拉） BA段 M=l （左侧受拉）,M=ql2/2(左侧受拉) 因此有 20 A BC X=1 l l l l q A B C x x x x 实际状态 虚拟状态 )( 8 5 22 )( 4 00 22 EI ql dx EI ql ldx EI qx x dx EI MM ll CV 21 12.5 计算梁和刚架位移的图乘法图乘法 当结构的各杆符合下列条件时，可以用图乘法代替 积分运算，简化计算工作： （1）杆件为直线。 （2）EI为常数。 （3）两个弯矩图

14、中至少有一个是直线图形。 方法是：用一个弯矩图形（不一定是直线图形）的面积 ，乘以该面积形心C位置所对应的另一直线图形上 的竖坐标yc。则 正负号规定，两图形在杆件同侧则乘积取正号，异侧取 负号。 EI y dx EI MM c 式中Mpdx=d , xd= xc , tan xc= yc 22 图乘法原理图乘法原理: d P MM s EI 1 d P MMs EI 1 tand P xMx EI tan d P xMx EI tan1 BDcBDc AxAy EIEI d 23 注意点： （1）必须符合前述的前提条件。 （2）竖坐标yc只能取至直线图形。 （3）当图形的面积或形心位置不便确

15、定时，可 以将它分解为几个简单的图形，将它们分别与 另一图形相乘，然后把所得结果叠加。 图乘法的步骤图乘法的步骤: : (1).(1).设虚拟状态；设虚拟状态； P M M(2).(2).画画图图； ； (3).(3).图乘求位移图乘求位移 24 下面介绍几个规则图形的面积A和形心位置 . 25 . 26 当图形的面积和形心不便确定时，可以将其当图形的面积和形心不便确定时，可以将其 分解成几个简单的图形，分解成几个简单的图形， 分别与另一图形相分别与另一图形相 应的纵坐标相乘。应的纵坐标相乘。 图形的分解图形的分解 梯梯- -梯同侧组合：梯同侧组合： 1122 11 1112121 ()()

16、233233 CCC AyA yA y EIEI laedlbed EI A1 A2 . 27 同侧组合：同侧组合： 1122 11 1111 ()( -b) (d( -d) 223 CCC AyAyA y EIEI lbd el ae EI . 28 1122 11 1121121 ()() 233233 CCC AyAyA y EIEI ladelbed EI 异侧组合 . 29 由区段叠加法作的弯矩图由区段叠加法作的弯矩图 ，其弯矩图可，其弯矩图可 以看成一个梯形和一个规则抛物线图形以看成一个梯形和一个规则抛物线图形 的叠加的叠加 。 . 30 曲曲- -折组合折组合 112233 1

17、ccc AyA yA y EI 31 阶梯形截面杆阶梯形截面杆 112233 1 12 23 3 ccc AyA yA y EIE IE I 【例12-5】求图示刚架A点的竖向位移Ay ，并勾绘刚架的变 形曲线。 作M、M图，以M图作面积，而M图上取竖标yc,则有 计算结果的负号表示与单位荷载1的方向相反，即向下。 勾变形曲线，可根据实际弯矩图，来判定弯矩后的凸凹方向， 变形曲线向实际弯矩图的一侧凸。例如，DK向右凸，KC向左 凸，CB向上凸，AB向右凸。32 A BC D EI EI 2EI L L/2L F FL/2 FL/2 FL/4 FL/2 FL F 1 l l l F 反弯点 M图

18、 M图弯形曲线 )( 1642 3 2 1 22 1 3 EI FlFll l EI Flll EIEI yc Ay K C B D A 【例12-6】求图示外伸梁C点的竖向位移Cy.梁的EI为常数。 【解】作出M、M图。 BC段的M图是标准的二次抛物线， AB段的M图较复杂，但可分解为 一个三角形和一个标准的二次抛 物线图形。由图乘法得 33 A B C q ll/2 ql2/8 ql2/8 1 2 3 ql2/8 A C 1 y1=3l/8 y2=l/3 y3=l/4 ll/2 B )( 128 4 1 83 2 382 1 8 3 283 11 4 222 EI ql l qll l q

19、lllql EI Cy 【例12-7】一组合结构，链杆CD、BD刚度为E1A1，受弯杆AC 刚度为E2I2，在结点D有集中荷载F作用，求D点竖向位移。 【解】计算组合结构的位移时，链杆只有轴力影响，受弯杆只 计算弯矩影响。分别求出FNF、M及FN、M。得 34 A B C D F E1A1 E1A1 E2I2 a a a F +F Fa -2F -2 +1 a 1 )( 3 4221 3 2 2 12221 22 3 11 2 2 22112211 IE Fa AE Fa aFa aFa IEAE aFFa IE y AE lFF cNN Dy 35 12.6 线性变形体的三个互等定理 在以后超静定结构计算中将引用这些定理 12