面面平行与垂直小结与复习

1、平行与垂直小结与复习平行与垂直小结与复习 线面平行与垂直的关系也可以互相转化线面平行与垂直的关系也可以互相转化 两直线平行的判定两直线平行的判定 1.定义：在同一平面内没有公共点的两条直线。定义：在同一平面内没有公共点的两条直线。 2.公理公理4：ab，bc ac 3.直线和平面平行性质定理：直线和平面平行性质定理： a ，a， =b ab 4.直线和平面垂直的性质定理：直线和平面垂直的性质定理： a，b ab 5.两个平面平行的性质定理：两个平面平行的性质定理： ， =a， =b ab 6. a、b、c，a c，b c ab 直线和平面平行的判定直线和平面平行的判定 1.定义定义：a = a

2、 2.判定定理：判定定理：a，b，ab a 3.面面平行性质定理：面面平行性质定理： ，a a ，a，a a （半个定理半个定理） 4.，a a 或或a 平面和平面平行的判定平面和平面平行的判定 1.定义：定义：= 2.判定定理：判定定理： a，b，ab=A，a ，b 3.a，a 4. ， 两直线垂直判定两直线垂直判定 1.定义定义：所成角是直角。：所成角是直角。 2.如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么 它也和另一条垂直。它也和另一条垂直。 即即 ab，c a c b 3.线面垂直定义线面垂直定义:即即 a，b b a 4.三垂线定理三垂线定理

3、 即即 PA，AO a，a a PO 5.三垂线定理逆定理三垂线定理逆定理： 即即PA，a PO，a AO a 6.三个两两垂直的平面的三条交线两两垂直。三个两两垂直的平面的三条交线两两垂直。 （半个定理半个定理） 、 、 两两垂直两两垂直三条交线三条交线a、b、c两两垂直两两垂直 直线和平面垂直的判定直线和平面垂直的判定 1.定义：定义：一条直线垂直于平面内的任意直线。一条直线垂直于平面内的任意直线。 2.判定定理判定定理1： mn=O，l m，l n , m、n l 3.判定定理判定定理2：ml ，l m 4 ，l l 5面面垂直的性质定理面面垂直的性质定理 , =l，a，a l a 6

4、=l， l （半个定理半个定理） 平面和平面垂直的判定平面和平面垂直的判定 1.定义：两个相交平面成直二面角。定义：两个相交平面成直二面角。 2.判定定理：判定定理：a，a 3. ， (结论须证结论须证) 如图如图AC、BD为异面直线，为异面直线， 、 、 是三个互相是三个互相 平行的平面，平行的平面，AB分别交分别交 、 、 于于A、E、B，CD 分别交分别交 、 、 于于C、F、D，AD、CB分别交分别交 于于G、 H。求证：。求证：EHFG是平行四边形。是平行四边形。 A C G F E H BD 例例1 证明：连结证明：连结AB、CD，过，过AB、AD可确定平面可确定平面 ABD，过，

5、过BC、CD可确定平面可确定平面CBD GEBD，HFBD GEHF 过过AD、CD可确定平面可确定平面ADC 过过AB、BC可确定平面可确定平面ABC EHAC，FGAC EHFG EHFG是平行四边形是平行四边形 本题证明过程中，把一个较复杂的空间图形分散本题证明过程中，把一个较复杂的空间图形分散 成一个个简单的图形来处理成一个个简单的图形来处理,并几次将并几次将立体几何问立体几何问 题化成平面几何问题题化成平面几何问题来解决来解决,这是解决立体几何问这是解决立体几何问 题时常常采用的手段。题时常常采用的手段。 例例2 已知三棱锥已知三棱锥SABC，ASB=ASC=45， BSC=60，求

6、证：侧面，求证：侧面BSA侧面侧面CSA A B E D C S 分析分析:利用两个平面所成的二面角是利用两个平面所成的二面角是 直二面角进行证明直二面角进行证明. 证明：过证明：过B作作BDSA于于D，过，过D在平面在平面SAC内作内作 EDAC交交SC于于E，连，连BE，BDE为二面角为二面角B ASC的平面角的平面角ABEDCS ASC=ASB=45 ED=SD=BD 设设SD=a，则，则SB=SE= a 在在BSE中中 BSE= 60BE= a 在在BDE中中 BDE=90 二面角二面角BASC为直二面角为直二面角 侧面侧面BSA侧面侧面CSA 222 BEBDDE 2 B A E D

7、 C S 2 例例3、如图四棱锥、如图四棱锥SABCD，底面，底面ABCD为正方形，侧为正方形，侧 面面SAB底面底面AC,侧面侧面SAD底面底面AC,面面AEGFSC， 且分别交且分别交SB、SC、SD于于E、G、F。 求证：求证： （1）AESB，AFSD （2）AGEF D S A B FG E C O 证明：证明：面面SAB面面ABCD， 而四边形而四边形ABCD中中BCAB BC面面SAB BCAE 又又SC面面AEGF SCAE AE面面SBC AESB D 同理同理AFSD （1） S A B FG E C （2）分析：分析：CG面面AEFG，要证，要证AGEF， 只需证只需证A

8、CEF，构造线面垂直，构造线面垂直EF面面AGC ACBD，只需证，只需证BDEF 证明：在证明：在RtSAB中中 AESB，SAB=90 =SESB 同理在同理在RtSAD中中 =SFSD SESB=SFSD 即即 EFBD ACBD，ACEF， SG面面AEFG , AG是是AC在面在面AEGF射影射影 EFAG 2 SA SB SD SF SE 2 SA S A B FG E C C 变式变式1： 已知四棱锥已知四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD为矩形，为矩形， 侧棱侧棱PA 底面底面ABCD，M、N分别是分别是AB、PC的中点，的中点， （1）求证：）求证：MN AB （2）若

9、平面）若平面PDC与平面与平面ABCD成成45度角，求证：平面度角，求证：平面 MND 平面平面PDC M P A B D N H K C 变式变式2： 已知四棱锥已知四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD为矩形，为矩形， 侧棱侧棱PA 底面底面ABCD，E、F分别是分别是AB、PD的中点，的中点， 且且PA=AD （1）求证：）求证：AF 平面平面PCE （2）求证：平面）求证：平面PCD 平面平面PCE P A B D E M F 1、（、（07广东）广东）若若l、m、n是互不相同的空间直线，是互不相同的空间直线， 是不重合的平面，则下列命题中正确的是（是不重合的平面，则下列命题中正确

10、的是（ ） , A B Cn mnm Dn 、若l,l,则 、若,l,则l 、若l,则l 、若,l,n则l 练习：练习： 、 A 2 , , 07 , Aab Bbb Cbb Dab 设a、b为两条直线，、为两个平面， 下列四个命题中，正确的是（ ） 、若a、b与所成的角相等,则 、若a,则a 、若a,则a 、若a, 、天 b,则 （津） 1mn,m m, m 07 m n nn mn mnn 3、（江苏设m、n为两条直线，、 为两个平面， 给出下列四个命题： （ ） （2）,m （3）n, （4）, ） 其中正确的有（1）（4） C 4、如图，、如图，A1B1C1ABC是直三棱柱，过点是直三

11、棱柱，过点A1、 B、C1的平面和平面的平面和平面ABC的交线记作的交线记作l,试判定直线试判定直线l 与与A1C1的位置关系的位置关系,并加以证明。并加以证明。 C C1 A1 A lA1C1 证明：证明： 平面平面A1B1C1平面平面ABC A1C1平面平面ABC 平面平面A1BC与平面与平面ABC交交 于于l A1C1l E B B1 l 一、填空一、填空 1111 111111 0 1., _. 2.,2, 1,_. 3.1, ,_. 4.30, 2 , PABCPH HABC ABCDAC A CDB ABCDABC DO ABC DOABC D lPPQQ PQaQ 三棱锥的高为若

12、三个侧面两两垂直 则 为的心 在四面体中已知棱的长为其余各边 长为 则则二面角的余弦值 已知正方体的棱长为是底面 的中心 则 到平面的距离为 在的二面角中垂足为 则点 到平面_.的距离为 垂心垂心 3/3 4/2 a3 1111 11 1 1111111 5.,2 3 2,_. 6., ,1,3,2, ,_. 7. , ;2) ABCDABC DABAD CCCBDC lABAAl A BBlBAAABB BM lAMBM m n mn 在长方体中 则二面角的大小为 若二面角是直二面角 于且是直 线 上的一动点 则的最小值为 是两个不同的平面，是平面外的两条 不同的直线，给出下面几个论断： 1）;3);4)mn 以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结 论，写出正确的一个命题是_. 0 30 32 .2 .1 . :. 1 : 1 111 1111 所成的角）求异面直线 平面）求