初中数学论文：例析定义型试题

1、例析定义型试题近年来在各级竞赛和中考中，涌现了大量的着意考查学生的创新意识、创新精神的定义型试题，体现了新中考、新竞赛、新特点.定义型试题即试题中给出了一个考生从未接触过的新规定，要求考生当即应用，用以考查考生接受能力和应变能力.一、 新概念的定义例1.（2005年四川实验区）如图1，四边形abcd为正方形，曲线defghij叫做“四边形abcd的渐开线”，其中、 的圆心依次按a、b、c、d循环，当渐开线延伸开时，形成了扇形s1，s2，s3，s4和一系列的扇环s5，s6， 当ab=1时，它们的面积， 那么扇环的面积s8 = _. 分析 此题内容取材于高中的解几，学生对四边形abcd的渐开线概念

2、虽较陌生，但试题的难度并不大，只要运用已有的扇形面积公式与求扇环的方法，就能得出s8 =12.例2 、(北京市竞赛题)一个自然数若能表示为两个数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”，比如16 = 52 32，故16是一个“智慧数”. 在自然数列中，从1开始起，第1990个“智慧数”是_.分析 自然数可分为奇数和偶数，解题时首先要分析奇数与偶数中哪些是“智慧数”. ，每个大于1 的奇数与每个大于4且是4 的倍数的数都是智慧数，而被4除余数为2的偶数都不是智慧数，最小智慧数为3，从5开始，智慧数是：5，7，8；9，11，12；13，15，16；17，19，20，即2个奇数，1 个4的倍数，三个一组

3、依次排列下去 .因为，即第1990个智慧数是664组最后一个，所以这个智慧数是6644=2656.例3.（江苏泰州）阅读下面材料，并解答下列各题：在形如的式子中，我们已经研究过两种情况：已知a 和b，求n，这是乘方运算；已知b和n，求a，这是开方运算；现在我们研究第三种情况：已知n和a，求b，我们把这种运算叫做对数运算.定义：如果（a 0 , a 1, n 0），则b 叫做以a 为底n的对数，记作.例如，因为，所以；因为，所以.（1）根据定义计算：_,_,_,如果，那么x = _.(2)设（a 0 , a 1, m、n均为正数），.这是对数运算的重要性质之一，进一步地，我们可以得出：_(其中m

4、 1 、m 2、 m 3 m n 均为正数，a 0 , a 1)，_（m、n均为正数，a 0 , a 1）.分析：本题是高中教材的“对数”内容，要求学生读懂“对数”这一新概念定义，并运用这一定义进行解题.（1） 4, 1 , 0 ,如果，那么x = 2 .（2）；.此类试题定义了一类新概念，考查学生阅读理解、信息迁移的能力.读懂题意是很关键的一步，搞清题意才能确定探索方向，寻找合理的解题途径.二、 新运算的定义例4.（2003年无锡市）读一读：式子“1234100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于上述式子比较长，书写也不方便，为了方便起见，我们可将“1234100”表示为这“”是求和

5、符号.例如“135799”（即从1开始的100以内的连续奇数的和）可表示为又如“132333103”可表示为，同学们，通过对以上材料的阅读，请解答以下问题：（1）2468100用求和符号可表示为_；（2）计算_.分析：此题定义了一个书本中从未介绍过的求和符号“”，其本质是将任意有穷数列中的所有数（或式）连加. 如：表示的和，即. （其中i表示数的起始位，n表示数的个数，代表该数列中的数，表示第一个数，表示最后一个数）.解：（1）由135799 =类推，2 n1表示奇数，则偶数用2 n表示，于是2468100 = ；（2）由=132333103 ，得：0381524 = 50.例5.（2005年

6、北京海淀）用“”、“”定义新运算：对于任意实数都有b = 和b = b.例如：3 2 = 3 ，3 2 = 2 ，则（20062005）（20042003）=_.解：由b = ，b = b 知，（20062005）（20042003）=20052003=2005.例6.（2005年云南）阅读下列材料并解决有关问题：我们知道 | x | = ，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式 | x 1 | | x 2 | 时，可令 x 1 = 0 和 x 2 = 0 ，分别求得 x = 1 , x = 2 （称1，2分别为 | x 1 | 与 | x 2 | 的零点值）.在实数范围

7、内，零点值x = 1和 x = 2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：（1） 当 x 1 时，原式 = （x 1）( x 2 ) = 2 x 1;（2） 当1 x 2 时，原式 =（x 1）( x 2 ) = 3；（3） 当x 2 时，原式 = （x 1）( x 2 ) = 2 x 1.综上讨论，原式 = 通过以上阅读，请你解决以下问题：（1） 分别求出 | x 2 | 和 | x 4 | 的零点值；（2） 化简代数式 | x 2 | | x 4 | .解：（1）分别令 x 2 = 0 和 x 4 = 0 ，分别求得x = 2和 x = 4 ，| x 2 | 和 | x 4 | 的零

8、点值分别为x = 2和 x = 4.（2）当 x 2时，原式 = （x 2）( x 4 ) = x 2 x 4 = 2 x 2;当2 x y b、x y 和x y 和x acab，在图中画出abc的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明. 分析 (1) 如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”.(2) 此时共有2个友好矩形，如图的bcad、abef. 易知，矩形bcad、abef的面积都等于abc面积的2倍， abc的“友好矩形”的面积相等. (3) 此时共有3个友好矩形，如图的bcde、cafg及abhk，其中的矩形abhk的周长最小 . 证明如下：易知，这三个矩形的面积相等，令其为s. 设矩形bcde、cafg及abhk的周长分别为l1，l2，l3，abc的边长bc = a，ca = b，ab = c，则l1 =+ 2a，l2 =+2b，l3 = + 2c . l1 - l2 = (+2 a ) - ( +2b) = 2( a - b)，而 ab s，a b， l1 - l20，即l1 l2 . 同理可得，l