(一)线性代数期中试题(解答)

1、班 级 学 号 姓 名 密封装订线 密封装订线 密封装订线西南交通大学20152016学年第(一)学期（半期）考试试卷课程代码 2100024 课程名称 线性代数 考试时间 120分钟 题号一二三四五六七八九十总成绩得分阅卷教师签字 考生注意1请在密封线左边填写清楚班级、学号、姓名；2所有题目的答案写在题后答题纸上指定位置处。一选择题：（每小题2分，共计18分）1下列矩阵中是行最简形矩阵的是（ c ）（a）； （b）； （c）； （d）2下列矩阵中不是初等矩阵的是（ d ）（a）；（b）；（c）；（d）3下列方程组中是线性方程组的是（ b ）（a）;（b）;（c）;（d）4下面哪个命题与“阶方

2、阵可逆”不是等价命题（ c ）（a）; （b）等于有限个初等阵的乘积；（c）有无穷多解； （d）5设,均为阶可逆方阵，则下列选项中正确的是（ d ）（a）；（b）可逆；（c）；（d）6已知，线性无关，则下列向量组中也线性无关的是（ d ）（a）； （b）；（c）； （d）7下列集合是的子空间有（ c ）（1） （2）（3） （4）.（a） 1个 （b） 2个 （c） 3个 （d） 4个8下列向量组，构成的标准正交基有（ c ）（1）；（2）;（3）;（4）.（a） 1个 （b） 2个 （c） 3个 （d） 4个9均为阶矩阵，且，则（1）若可逆，则可逆； （2）若可逆，则可逆；（3）若可逆，则可

3、逆； （4）一定可逆上述命题中，正确的命题共用（ d ）（a） 1个 （b） 2个 （c） 3个 （d） 4个二填空题：（每空2分，共计16分）10已知，求： 11设4元非齐次线性方程组有解，其中，且秩，则的通解为： 12若向量组线性相关，则的取值为 13已知，则14 已知，则 15已知，存在可逆阵使得，则 16已知行向量 ，则 17 已知，则到的数量投影 1 ；和向量投影 三判断下列命题是否正确，并说明理由（每题5分，共10分）18若向量组中任意两个向量线性无关，则整个向量组线性无关解 此命题错误.例如，向量组中任意两个向量线性无关，但是整个向量组线性相关.19若方阵的行列式为零，则中必有两

4、列元素对应成比例解 此命题错误.例如，行列式，该行列式中没有任何两列元素对应成比例.四计算题：（22分）20计算行列式（4分）解 21.计算阶行列式 （4分）解：22设、均为3阶矩阵，是3阶单位矩阵，已知， 求矩阵（8分）解：因为， 所以，23问为何值时线性方程组有解？并求出其通解（8分）解 对增广矩阵进行初等行变换从而，当的时候该线性方程组有解，此时由于因此，可取为该方程组的特解，为该方程组导出的齐次线性方程组的基础解系,从而该线性方程组的通解可表示为五解释题：（6分）24设（如下图所示），矩阵.问方程组是否有解. 解 由图示可知线性无关，又线性相关，因此，可由线性表示，即线性方程组有解.六

5、证明题：（14分）25.（8分）设向量组内的一个基，.（i） 证明向量组为的一个基；（ii）当为何值时，存在非向量在基与基下的坐标相同，并求所有的.证 （1） 因为 因为；又因为内的一个基；所以，所以，向量组为的一个基；（2）所以，可以得到因此，当时，不合题意舍去；故 当，而时，符合题意，其中， 。26.（8分）设是维实向量，且线性无关.已知是线性方程组 的非零解向量，试判断向量组的线性相关性.证明： 设有一组数，使得（）由于是题设方程组的解，所以有 即 用 左乘（）式两端，并利用 得 因 ，所以 ，故 ，代入（）式，得 又 线性无关，故 因此，向量组 线性无关。七应用题：（10分）27供应市场的硝酸是由三个依次进行的化学反应首先，氮气与氢气反应生成氨气, 接着，氨气与氧气反应生成二氧化氮和水, 最后，二氧化氮与水反应，生成硝酸和一氧化氮. （1） 配平这三个化学反应方程式.解 令,;,则由元素守恒可得；;整理得;解这三个方程组可得，令，则，；,令，则;，令，则从而这三个化学反应配平