2017-2018学年高中数学 第二章 平面向量第1课时 数乘向量教学案

1、学必求其心得，业必贵于专精第1课时数 乘 向 量核心必知1数乘向量(1）定义:一般地，实数与向量a的积是一个向量,记作a。它的长度和方向分别为：长度：|a|a；方向:当0时,a与a的方向相同； 当0时,a与a的方向相反; 当0时，a0，方向任意（2）几何意义:a的几何意义就是将表示向量a的有向线段在原方向（0)或反方向（0)上伸长(|1）或压缩(|0,2a与a的方向相同，且|2a|2|a|;(2）正确,20，50，2a与5a的方向相反，又，|2a|5a|；(3）正确，因为|a|a|a，且a与a反向，a与a同向;（4）错误,（ba）baab,ab与（ba)是相等向量，而不是相反向量理解数乘向量要

2、抓住两点：一是大小，二是方向设,r，a0若0,则a与a的方向相同;若0，则a，a至少有一个为0；当0时，。练一练1如图，已知向量a,b，c，求作向量3a2bc.解：法一：在平面内任取一点a，作3a，2b,c,连接ad,则3a2bc即为所求（如图所示)法二:在平面内任取一点a,作3a，2b，连接bc，则3a2b，再作c，连接cd，则3a2bc即为所求(如图所示)法三：在平面内任取一点a，作3a,2b,以ab，ac为邻边作abdc，连接ad，则3a2b，再作c,连接ae(如图）则3a2bc即为所求讲一讲2(1）的运算结果是(）a2abb2bacba dab（2)若abc,则3(a2b）2（3bc）

3、2（ab）_（用b，c）表示尝试解答（1)（a4b4a2b)(3a6b）a2b2ba.故选b（2)abc3(a2b）2(3bc)2（ab）3a6b6b2c2a2ba2b2cbc2b2c3bc。答案(1)b（2）3bc1向量的线性运算是指向量的加法、减法和数乘向量的运算其运算法则在形式上类同实数加、减法与乘法满足的运算法则,但它们的具体含义是不同的，不过由于它们在形式上类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形手段在向量的线性运算中都可以使用2若需要结合几何图形进行向量的线性运算,则要注意使用三角形法则或平行四边形法则,并正确利用数乘向量的几何意义，把未知向量转化为与已知向量有直接关

4、系的向量来求解练一练2. 如图，oadb中,向量b,，试用a,b表示.讲一讲3设e1,e2是两个不共线向量,已知2e18e2，e13e2，2e1e2。（1）求证:a、b、d三点共线；(2）若3e1ke2，且b、d、f三点共线，求k的值 尝试解答 （1)由已知得(2e1e2）（e13e2)e14e2，2e18e2，,又有公共点b。a、b、d三点共线(2)由（1）可知3e1ke2，且b、d、f三点共线，得，即3e1ke2e14e2得解得k12。1向量共线的判定定理的主要作用是判断两个向量是否共线，进而可解决诸点是否共线问题2利用向量证明三点共线时,一般是把“共线”问题转化为“向量关系ab”，通过向

5、量关系得到“三点共线”的结论3利用向量共线的性质定理,并结合向量的线性运算，可由向量共线(或三点共线）求相关的参数的值练一练3 3如图，在abc中，d为bc的中点，m为ad的中点，,判断b、m、n三点是否共线解：d为bc的中点，b、m、n三点共线如图所示，在abo中，,ad与bc相交于点m，设b。试用a和b表示向量。 巧思既然能用a、b表示，那么不妨设manb，利用向量共线定理建立方程,用方程的思想方法求解即（m1)anbt（ab）,(m1)anbtatb.消去t得，m12n，即m2n1.anbt1(ab)，消去t1得,4mn1.由得m,n，omab.1设a是非零向量，是非零实数，下列结论正确

6、的是（）aa与a的方向相反b|aa|ca与2a的方向相同 d|a|a解析:选c对于a，的正反未定，a与a的方向可能相同，也可能相反,a不正确；对于b，a|a，的值未定，有可能|aa|,如时，|a0，a与2a的方向相同,c正确；对于d，|a|a是一个实数，而|a是一个向量，二者不能相等，d不正确2已知向量a，b，且7a2b,则一定共线的三点是()aa、b、d ba、b、ccb、c、d da、c、d又有公共点bd,ab有公共点b，a、b、d三点共线3. 如图，向量的终点在同一直线上,且p，r，则下列等式中成立的是()arpq brp2qcrpq drq2p4若向量a3i4j，b5i4j，则（ab)

7、3（ab）(2ba)_解析:(ab)3(ab)(2ba）（31）a（122）bab(3i4j)(5i4j）（115)i（4）j16ij。答案: 16ij5在abc中，d在线段bc上，n，则_.m，n，故.答案： 6已知向量a2e13e2，b2e13e2,其中e1，e2不共线，向量c2e19e2，问是否存在非零实数，使dab与c共线？解：dab（2e13e2)(2e13e2）（22)e1(33)e2，要使d与c共线，则应存在实数k，使dkc，即（22)e1（33）e22ke19ke2，2.故存在非零实数，只要2就能使d与c共线一、选择题1已知向量a,b不共线,ckab（kr）,dab。如果cd，

8、那么（）ak1且c与d同向bk1且c与d反向ck1且c与d同向dk1且c与d反向解析:选dcd,cd，即kab（ab）ab。又a,b不共线，cd，c与d反向2已知o、a、m、b为平面上四点，且（1），（1，2)，则（)a点m在线段ab上b点b在线段am上c点a在线段bm上 do、a、m、b四点共线（1，2)，点m在线段ab的延长线上，即点b在线段am上3已知a、b、c三点共线，o是这条直线外的一点，满足,则的值为()ab c。 d.4. 四边形abcd中,m、n分别为ad、bc的中点，则(）二、填空题5点c在线段ab上,且,则_.解析：，点c为线段ab的5等分点，答案：6若2（cb3x)b0，

9、其中a、b、c为已知向量,则未知向量x_解析：由已知可得xabc0，xabc。答案：abc7已知abc和点m满足0.若存在实数m使得成立，则m_.答案：38d、e、f分别为abc的边bc、ca、ab上的中点，且a，b，给出下列命题：其中所有正确命题的序号为_解析：d、e、f分别是bc、ca、ab的中点（ab)(ab）（ab)0。故正确答案:三、解答题9设两个非零向量e1，e2不共线,已知e13e2，2e1e2，若a、b、d三点共线,试求k的值解:2e1e2（e13e2）e14e2若a、b、d三点共线,则，从而存在唯一实数，使,即2e1ke2（e14e2）整理得(2）e1(k4）e2e1、e2不共线即k的值为8时，a、b、