动量与角动量2

1、1 一、一、质心质心(center of mass) n i i n i ii c m rm r 1 1 代表质点系代表质点系质量质量 分布的平均位置分布的平均位置， 加权平均加权平均. 定义：质心位矢定义：质心位矢 x z y O m2 r2 m1 r1 c rc mi ri rN mN 讨论一个质点系统的讨论一个质点系统的 运动时，常引入质量运动时，常引入质量 中心的概念。中心的概念。 3.4 质心运动定理质心运动定理 2 质量连续分布的物体质量连续分布的物体 dmr M r c 1 zdm M z ydm M y xdm M x c c c 1 , 1 , 1 dvdm dsdm dld

2、m , , 直角坐标系中各分量的表达式直角坐标系中各分量的表达式 n i i n i ii c n i i n i ii c n i i n i ii c m zm z m ym y m xm x 1 1 1 1 1 1 , 3 区别于重心区别于重心( (重力合力的作用点重力合力的作用点).). 均匀场中较小物体均匀场中较小物体, ,两者重合两者重合. . 对物体系统对物体系统, ,不一定在物体上不一定在物体上. .例如圆环的质心在例如圆环的质心在 圆环的轴心上。圆环的轴心上。 具有可加性具有可加性. . 计算时可分计算时可分解解. 对称的均质物体对称的均质物体,即为其几何中心即为其几何中心.

3、 物体物体( (平均意义上平均意义上) )的的质量分布中心质量分布中心, ,与物体质量分与物体质量分 布有关布有关, ,与参考系无关与参考系无关. . 二二. .讨论讨论: : 4 例例1、如图所示为水分子的结构，、如图所示为水分子的结构， 假设它是等腰三角形，高为假设它是等腰三角形，高为h。氢。氢 原子质量为原子质量为mH，氧原子质量为，氧原子质量为mO。 计算质心位置。计算质心位置。 x O y h mHmH mO 解：如图选取坐标系。根据解：如图选取坐标系。根据 质心定义，有：质心定义，有： 0 0 2 iiHH c OH i m xmxmx x mm m 2 ii O c OH i m

4、 y m h y mm m 5 例例3.9 半圆质心半圆质心. 一段均匀铁丝弯成半径为一段均匀铁丝弯成半径为R的半的半 圆形，求此半圆形铁丝的质心。圆形，求此半圆形铁丝的质心。 注意：质心不注意：质心不 在铁丝上。在铁丝上。 解：选如图坐标系，取长为解：选如图坐标系，取长为dl 的铁丝，质量为的铁丝，质量为dm，以，以表示表示 线密度，线密度，dm= dl.由对称性知由对称性知质质 心应在心应在y轴。轴。 RddlRy m ydl y c sin 2 0 2 11 R m RdR m y c sin RyRm c 2 6 例例2.2.求腰长为求腰长为a的等腰直角三角形均匀薄板的质心位的等腰直角

5、三角形均匀薄板的质心位 置。置。 解解: :建立如图的坐标系，显然由对称性建立如图的坐标系，显然由对称性, ,yc=0. .在离原在离原 点点x处取宽为处取宽为dx的窄条，其质量为的窄条，其质量为dm, , xdxydxdSdm 22 a xdx dxx dm xdm x a a C 3 2 2 2 2 2 0 2 2 0 2 质心坐标为质心坐标为 7 三、三、 质心运动定理质心运动定理 由前知由前知, ,若将质点系的位矢对时间求导，可得出若将质点系的位矢对时间求导，可得出 系统质心运动的速度为系统质心运动的速度为 m rm m rm r i ii n i i n i ii c 1 1 m d

6、t rd m dt rd v i i i c c 由此得由此得 i iic vmvm 质点系总动量质点系总动量 c vmp 即，质点系的总动量即，质点系的总动量 等于它的总质量与质等于它的总质量与质 心运动速度的乘积。心运动速度的乘积。 8 则有则有 c c am dt vd m t p F d d 质心运动定理：质心运动定理：作用在系统上的合外力等于系统质心作用在系统上的合外力等于系统质心 动量的时间变化率。动量的时间变化率。 c vmp 也可称为质心的动量。其变化率为也可称为质心的动量。其变化率为 c c am dt vd m t p d d 9 质心运动定理表明：一个质点系内各质点由于内

7、力质心运动定理表明：一个质点系内各质点由于内力 与外力的作用，运动情况可能很复杂，但系统内一与外力的作用，运动情况可能很复杂，但系统内一 点点质心的运动只由系统所受的合外力决定质心的运动只由系统所受的合外力决定. 系统的动量守恒定律：当系统所受的合外力为零时系统的动量守恒定律：当系统所受的合外力为零时, 总动量保持不变总动量保持不变,其质心速度保持不变其质心速度保持不变. 讨论：讨论： 质心的运动可代表物体的平动规律质心的运动可代表物体的平动规律.(“质点质点”模型模型) 系统内力系统内力不改变系统总动量，不改变系统总动量，不影响质心运动不影响质心运动. . 10 11 例例3.103.10

8、一质量一质量m1=50kg的人站在一条质量的人站在一条质量m2=200kg, ,长长 度度l = 4m的船头上。开始时船静止的船头上。开始时船静止, ,求当人从船头走到船求当人从船头走到船 尾时船移动的距离尾时船移动的距离d = =？( (水的阻力忽略不记水的阻力忽略不记) ) d x CbCb 0 y x1 x1 x2 x2 d 解一解一: :取人和船取人和船 为系统为系统, ,该系统该系统 在在水平方向不受水平方向不受 外力外力, ,因而水平因而水平 方向的质心速度方向的质心速度 不变不变, ,即即质心始质心始 终静止不动终静止不动. . 当人在船左端时当人在船左端时, ,人和船人和船 系

9、统的质心坐标为系统的质心坐标为 21 2211 mm xmxm xc 当人在船右端时当人在船右端时, ,人和船系人和船系 统的质心坐标为统的质心坐标为 21 2211 mm xmxm x c 12 21 2211 mm xmxm xc 21 2211 mm xmxm x c 由于由于 22112211 xmxmxmxm所以所以 即即: : )()( 111222 xxmxxm)( 12 dlmdm (m)8 . 04 20050 50 21 1 l mm m d 当人从船头走到船尾时船移动的距离当人从船头走到船尾时船移动的距离 d x CbCb 0 y x1 x1 x2 x2 d 13 解二解

10、二: :取人和船为系统取人和船为系统, ,该系统在水平方向不受外力该系统在水平方向不受外力, , 因而因而水平方向的动量守恒水平方向的动量守恒. .以以VX 和和vx分别表示船和人分别表示船和人 对河岸的速度对河岸的速度,而人对船的速度为而人对船的速度为v x,有有 10 xX mMV 2 XXx V XX mM m V t X tVX 0 d t X t mM m 0 d 得得 负号表示人、船速度方向相反负号表示人、船速度方向相反. . l Mm m 结果同前结果同前. . 30)( xXX VmMV 40)( XX mVmM 14 有质量为有质量为2m2m的炮弹，从地面斜抛出去，它的的炮弹

11、，从地面斜抛出去，它的 落地点为落地点为x xc c 。如果它在飞行到最高点处爆炸成质量相。如果它在飞行到最高点处爆炸成质量相 等的两碎片。其中一碎片铅直自由下落，另一碎片水等的两碎片。其中一碎片铅直自由下落，另一碎片水 平抛出，它们同时落地。问第二块碎片落在何处。平抛出，它们同时落地。问第二块碎片落在何处。 解解: :在爆炸的前后，质心在爆炸的前后，质心 始终只受重力的作用，始终只受重力的作用， 因此，质心的轨迹为一因此，质心的轨迹为一 抛物线，它的落地点为抛物线，它的落地点为 xc 。 21 2211 mm xmxm xc mmm 21 xcx2 x1x O y 2 21 xx xc 15

12、 g vxx xc 2sin 2 2 021 g v x c xx 2sin 2 3 1 2 2 2 0 水平方向不受外力作用水平方向不受外力作用,质心位置不变质心位置不变,仍应和未爆炸前仍应和未爆炸前 一样一样,为水平射程的坐标为水平射程的坐标, g v Xxc 2sin 2 0 第一部分在最高点自由第一部分在最高点自由 下落下落,着地点应为水平着地点应为水平 射程的一半射程的一半, g v Xx 2 2sin 2/ 2 0 1 xcx2 x1x O y 16 例例3.123.12：水平桌面上铺一张纸，纸上放一个均匀球，球的质量：水平桌面上铺一张纸，纸上放一个均匀球，球的质量 M=0.5 k

13、g, , 将纸向右拉时会有将纸向右拉时会有f=0.1N 的摩擦力作用在球上。求：的摩擦力作用在球上。求： 该球的球心加速度该球的球心加速度ac以及在从静止开始的以及在从静止开始的2s内球心相对桌面移动的内球心相对桌面移动的 距离。距离。 解：分析球受力方向和质心运动方向如图解：分析球受力方向和质心运动方向如图 c aMf )/(2 . 0 5 . 0 1 . 0 2 sm M f ac 22 2 1 2 1 t M F tas cc 注意：摩擦力的方向和球心位移的方向都沿拉动纸的方向。注意：摩擦力的方向和球心位移的方向都沿拉动纸的方向。 对球运用质心运动定理对球运用质心运动定理: : 该球的球

14、心加速度为该球的球心加速度为 从静止开始的从静止开始的2s2s内球心相对桌面移动的距离内球心相对桌面移动的距离 )m(4 . 022 . 0 2 1 2 x y o C f c a 17 例例3.13 再解教材再解教材P76 题题2.22 直升机旋翼受力。直升机旋翼受力。 由于旋翼质量分布均匀。由于旋翼质量分布均匀。 所以其质心应在距离旋所以其质心应在距离旋 轴轴L/2处。处。 质心加速度质心加速度2/ 22 Lrac 由质心运动定理可得根部对旋翼的拉力为由质心运动定理可得根部对旋翼的拉力为 2/ 2 LmmaF c 此力为翼片所受重力的倍数为此力为翼片所受重力的倍数为gLmgF2/ 2 代入

15、数据得代入数据得5342/ 2 gLmgF 18 例例3.14 质量分别为质量分别为m1和和m2，速度分别为，速度分别为v1和和v2的两的两 质点碰撞后合为一体，求碰撞后两者的共同速度质点碰撞后合为一体，求碰撞后两者的共同速度v。 在质心参考系中观察，二者的运动如何？在质心参考系中观察，二者的运动如何？ 解：如图，两质点碰撞前解：如图，两质点碰撞前 质心速度为质心速度为 21 2211 mm vmvm dt rd v c c 碰撞瞬间无外力作用，此质心速度保持不变。碰撞后碰撞瞬间无外力作用，此质心速度保持不变。碰撞后 两者合为一体，其质心速度即为其共同速度，所以有两者合为一体，其质心速度即为其

16、共同速度，所以有 21 2211 mm vmvm vv c 这一结果与用动量守恒这一结果与用动量守恒 定律得出的结果相同。定律得出的结果相同。 19 由速度合成定律，由速度合成定律， 质心对惯相对质心惯 vvv 在质心参考系中观察，碰撞前两者速度在质心参考系中观察，碰撞前两者速度 )()( 21 21 2 21 21 2 11 rr dt d mm m vv mm m vvv c )()( 12 21 1 12 21 1 22 rr dt d mm m vv mm m vvv c 即，两者速度方向相反，沿两者连线运动。显然有即，两者速度方向相反，沿两者连线运动。显然有 0 2211 vmvm

17、即，碰撞后两者合并到质心上，速度为零。这说明，即，碰撞后两者合并到质心上，速度为零。这说明， 质心参考系是零动量参考系。质心参考系是零动量参考系。 20 FrM 定义定义 sinFrM dF 为力对定点为力对定点o 的力矩的力矩 一、力对定点的力矩一、力对定点的力矩(moment of force) 大小：大小： 中学就熟知的：中学就熟知的： 力矩等于力乘力矩等于力乘 力臂力臂 方向：垂直方向：垂直 组成的平面组成的平面.右手螺旋法则右手螺旋法则. Fr , 3.5 3.5 质点的角动量定理质点的角动量定理 22 TMLM 量纲：量纲：NmSI单位：单位： M O r F 21 补充：矢量的矢

18、积（叉积、外积）补充：矢量的矢积（叉积、外积） 大小：平行四边形面积大小：平行四边形面积 ) 0( sin ABBAC 0 BA BA B A / 0 0 若若则则 方向方向： 右手螺旋前进右手螺旋前进. C A B 是一个矢量是一个矢量 A B CBA A B c 22 prL 1.1.定义定义: : 大小大小: : sinrpL 方向方向: :右手螺旋法则右手螺旋法则 描述运动的重要物理量描述运动的重要物理量, ,又称又称动量矩动量矩; ; 单位单位:kg:kgm m2 2/s/s 二二. .质点的角动量质点的角动量(angular momentum) 2.2.讨论讨论: : 23 mvr

19、prL pdprLsin 对确定参考点而言；对确定参考点而言； 微观领域微观领域角动量量子化角动量量子化. . P101P101例例3.15 3.15 近似圆轨道近似圆轨道. .地地 球对太阳中心球对太阳中心: : )/(107 . 2 2 sin 240 smkg mvrL 2 ) 1( h llL 24 例例 按经典原子理论，认为氢原子中的电子在圆形轨按经典原子理论，认为氢原子中的电子在圆形轨 道上绕核运动。电子与氢原子核之间的静电力道上绕核运动。电子与氢原子核之间的静电力 为为 ，其中，其中e为电子或氢原子核的电荷量，为电子或氢原子核的电荷量，r 为轨道半径，为轨道半径，k为常数。因为电

20、子的角动量具有量子为常数。因为电子的角动量具有量子 化的特征，所以电子绕核运动的角动量只能等于化的特征，所以电子绕核运动的角动量只能等于 的整数（的整数（n）倍，常数）倍，常数h叫做普朗克常量，问电子运叫做普朗克常量，问电子运 动容许的轨道半径等于多少？动容许的轨道半径等于多少？ 2 2 r e kF 2 h 解解 : 设电子的质量为设电子的质量为m，绕原子核运动的圆轨道半，绕原子核运动的圆轨道半 径为径为r ，速度为，速度为v，那么电子的向心加速度，那么电子的向心加速度 2 n v a r 由于作用在电子上的向心力就是原子核对电子的静由于作用在电子上的向心力就是原子核对电子的静 电引力，由牛

21、顿第二定律电引力，由牛顿第二定律 25 r v mma r e kF n 2 2 2 由于电子绕核运动时，角动量具有量子化的特征，由于电子绕核运动时，角动量具有量子化的特征， 即即 2 h nmvrL., 321 n 由以上两式，得由以上两式，得 22 22 4kme hn r 由上式可知，电子绕核运动容许的轨道半径与由上式可知，电子绕核运动容许的轨道半径与n平平 方成正比。即只有半径等于一些特定值的轨道才是方成正比。即只有半径等于一些特定值的轨道才是 容许的，轨道半径的量值是不连续容许的，轨道半径的量值是不连续(量子化量子化)的。的。 26 三质点的角动量定理三质点的角动量定理 dL rFM

22、 dt 即即: :质点对某点的角动量的时间变化率等于所受合质点对某点的角动量的时间变化率等于所受合 外力对同一点的力矩外力对同一点的力矩. . 讨论讨论: :M、L须相对同一参考点；须相对同一参考点； 积分形式：积分形式： 12 2 1 LLdtM t t )(pr dt d dt Ld dt pd rp dt rd MFrpv 冲量矩冲量矩 27 守恒条件：守恒条件： 则则0L Lrp 常矢量 0 FrM 3.6 角动量守恒定律角动量守恒定律 如果对于某一固定点，质点所受的合外力矩为零，如果对于某一固定点，质点所受的合外力矩为零， 则此质点对该固定点的角动量保持不变则此质点对该固定点的角动量

23、保持不变。这叫做质点这叫做质点 的角动量守恒定律。的角动量守恒定律。 讨论讨论: : 自然界普遍规律之一（宏观、微观）；自然界普遍规律之一（宏观、微观）； 在有心力场中的运动，必有角动量守恒；在有心力场中的运动，必有角动量守恒； （行星绕太阳、人造卫星运动等）（行星绕太阳、人造卫星运动等） 对确定参考点而言。对确定参考点而言。 28 例例3.17 直线运动的直线运动的 角动量角动量 证明：一个质点运动时，证明：一个质点运动时， 如果不受外力的作用，则它对于任一固定点的角动量矢如果不受外力的作用，则它对于任一固定点的角动量矢 量保持不变。量保持不变。 解：根据牛顿第一定律，不受解：根据牛顿第一定

24、律，不受 外力作用时，质点将作匀速直外力作用时，质点将作匀速直 线运动，如图。直线轨迹上的线运动，如图。直线轨迹上的 任意任意P点对固定点点对固定点O的角动量为的角动量为 vmrL 该角动量的方向垂直于和所决定的平面，也就是固定该角动量的方向垂直于和所决定的平面，也就是固定 点点O与轨迹直线所决定的平面。质点作直线运动时，与轨迹直线所决定的平面。质点作直线运动时， 该角动量的方向是不变的。角动量的大小该角动量的方向是不变的。角动量的大小 mvrrmvL sin 是固定点到直线轨迹的垂直距离，只有一个值。是固定点到直线轨迹的垂直距离，只有一个值。 r 29 0M sinrmL L 常矢量常矢量

25、m L v r r 例例 3.183.18 证明关于行星运动的证明关于行星运动的开普勒第二定律开普勒第二定律: :即行星即行星 对太阳的径矢在单位时间内扫过的面积相等对太阳的径矢在单位时间内扫过的面积相等 。 30 sinmvrL s t rr m t sin 2 1 2 lim 0 sin lim 0 r t r m t dt dS m t S m t 22 lim 0 掠面速度掠面速度 m L t S 2 d d 角动量守恒意味着掠面速度相等角动量守恒意味着掠面速度相等. m L v r r 31 例例 3.19 3.19 粒子散射粒子散射 对对粒子和重原子核系统，在散射过程中粒子和重原子

26、核系统，在散射过程中粒子受粒子受 到核的库仑力的作用，力的方向总沿着两者的连线，到核的库仑力的作用，力的方向总沿着两者的连线， 对原点的力矩为零。角动量守恒给出：对原点的力矩为零。角动量守恒给出： dt d mvrmvrmvrbmv 22 0 为得到另一个为得到另一个随时间变化的关系，沿方向对随时间变化的关系，沿方向对粒子应粒子应 用牛顿第二定律，有用牛顿第二定律，有 32 sin 2 sin 2 2 r kZe FF dt dv m y y 从上两式中消去从上两式中消去r2，得，得 dt d bmv kZe dt dvy sin 2 0 2 积分，入射时积分，入射时vy=0,远离时，远离时，

27、sinsin 0 vvvy 且且 0 0 2 sin 0 sin 20 d bmv kZe dv v y 33 积分可得积分可得 )cos1 ( 2 sin 0 2 0 bmv kZe v 可进一步简化为可进一步简化为 2 2 0 22 cot kZe bmv 1911年卢瑟福根据上式分析了年卢瑟福根据上式分析了粒子散射粒子散射实验结果，实验结果， 建立起原子的有核模型。建立起原子的有核模型。 34 如图所示，将一个质量为如图所示，将一个质量为m的小球的小球 系在轻绳的一端，绳穿过一竖直系在轻绳的一端，绳穿过一竖直 的管子，一手执绳，先使小球以的管子，一手执绳，先使小球以 速度速度v1在水平面

28、内沿半径为在水平面内沿半径为r1的圆的圆 周运动，然后向下拉绳，使小球周运动，然后向下拉绳，使小球 的半径减小为的半径减小为r2,实验发现，这时实验发现，这时 小球的速度增大为小球的速度增大为v2。实验得到。实验得到 的规律是的规律是 例：例： 1122 rvrv 上式两边乘小球质量上式两边乘小球质量m，得，得 1122 rmvrmv 由此可见，尽管小球在绕由此可见，尽管小球在绕O点转动时的动量时刻在变点转动时的动量时刻在变 化，而其角动量却是恒定的。因此，在研究物体的转化，而其角动量却是恒定的。因此，在研究物体的转 动时，角动量将代替动量而起重要的作用。动时，角动量将代替动量而起重要的作用。

29、 F 1 r 2 r O m 1 v 2 v 35 例例3. 我国第一颗人造卫星绕地球我国第一颗人造卫星绕地球 沿椭圆轨道运动，地球的中心沿椭圆轨道运动，地球的中心O 为该椭圆的一个焦点。已知地球为该椭圆的一个焦点。已知地球 的平均半径的平均半径 km，人造，人造 卫星距地面最近距离卫星距地面最近距离 km， 最远距离最远距离 km。若人造。若人造 卫星在近地点卫星在近地点A1的速度的速度 kms，求人造卫星在，求人造卫星在 远地点远地点A2的速度。的速度。 6378 R 439 1 l 2384 2 l 1 8.10v 解解: 人造卫星在运动中受地球的引力（有心力）人造卫星在运动中受地球的引力（有心力） 作用，此力对地心不产生力矩，人造卫星对地心作用，此力对地心不产生力矩，人造卫星对地心 的角动量守恒。故的角动量守恒。故 2211 lRmvlRmv 解得解得 36 对点：张力力矩大小为（）方向为（）；对点：张力力矩大小为（）方向为（）； 重力力矩大小为（）方向为（）；重力力矩大小为（）方向为（）； 合力矩大小为（）方向为（）合力矩大小为（）方向为