空气动力学-第5章

1、5.1 5.1 边界层近似及其特征边界层近似及其特征 5.2 5.2 平面不可压缩流体层流边界层方程平面不可压缩流体层流边界层方程 5.3 5.3 平板层流边界层的数值解平板层流边界层的数值解 5.4 5.4 边界层动量积分方程边界层动量积分方程 5.5 5.5 边界层的分离现象与速度分布特征边界层的分离现象与速度分布特征 1 1、边界层概念的提出、边界层概念的提出 我们我们已知道，流动已知道，流动ReRe数（数（O.ReynoldsO.Reynolds，18831883年，英国流体年，英国流体 力学家）是用以表征流体质点的惯性力与粘性力对比关系的。根力学家）是用以表征流体质点的惯性力与粘性力

2、对比关系的。根 据量级分析，作用于流体上的惯性力和粘性力可表示为据量级分析，作用于流体上的惯性力和粘性力可表示为: : 惯性力：惯性力： 粘性力：粘性力： 惯性力惯性力/ /粘性力：粘性力： 因此，在高因此，在高ReRe数下，流体运动的惯性力远远大于粘性力。数下，流体运动的惯性力远远大于粘性力。 这样研究忽略粘性力的流动问题是有实际意义的。这样研究忽略粘性力的流动问题是有实际意义的。 223 VL t V L dt dV mFJ VLA dy dV F Re 22 LV VL VL F FJ 理想流体力学在早期较成功地解决了与粘性关系不大的一系理想流体力学在早期较成功地解决了与粘性关系不大的一

3、系 列流动问题，诸如绕流物体的升力、波动等问题，但对绕流物体列流动问题，诸如绕流物体的升力、波动等问题，但对绕流物体 阻力、涡的扩散等问题，理想流体力学的解与实际相差甚远，且阻力、涡的扩散等问题，理想流体力学的解与实际相差甚远，且 甚至得出完全相反的结论，圆柱绕流无阻力的甚至得出完全相反的结论，圆柱绕流无阻力的DAlembert疑题就疑题就 是一个典型的例子。（是一个典型的例子。（ DAlembert，法国力学家，法国力学家，1717-1783） 那么，如何考虑流体的粘性，怎样解决扰流物体的阻力问题，这在那么，如何考虑流体的粘性，怎样解决扰流物体的阻力问题，这在 当时确实是一个阻碍流体力学发展

4、的难题，直到当时确实是一个阻碍流体力学发展的难题，直到1904年国际流体力年国际流体力 学大师德国学者学大师德国学者 L.Prandtl 通过大量实验发现：通过大量实验发现：虽然整体流动的虽然整体流动的Re 数很大，但在靠近物面的薄层流体内，流场的特征与理想流动相差数很大，但在靠近物面的薄层流体内，流场的特征与理想流动相差 甚远，沿着法向存在很大的速度梯度，粘性力无法忽略甚远，沿着法向存在很大的速度梯度，粘性力无法忽略。Prandtl 把这一物面近区粘性力起重要作用的薄层称为把这一物面近区粘性力起重要作用的薄层称为边界层边界层（Boundary layer）。）。 PrandtlPrandtl

5、边界层概念的提出，为人们如何计入粘性的作用边界层概念的提出，为人们如何计入粘性的作用 开辟了划时代的途径，开辟了划时代的途径，既挽救了理想流理论又挽救了粘流理论既挽救了理想流理论又挽救了粘流理论 ，因此称其为近代流体力学的奠基人。，因此称其为近代流体力学的奠基人。 对整个流场提出的基本分区是：对整个流场提出的基本分区是： （1 1）整个流动区域可分成理想流体的流动区域（势流或）整个流动区域可分成理想流体的流动区域（势流或 位流区位流区）和粘性流体的流动区域（）和粘性流体的流动区域（粘流区粘流区）。）。 （2 2）在远离物体的理想流体流动区域，可忽略粘性的影）在远离物体的理想流体流动区域，可忽略

6、粘性的影 响，按响，按位势流位势流理论处理。理论处理。 （3 3）在靠近物面的薄层内粘性力的作用不能忽略，该薄）在靠近物面的薄层内粘性力的作用不能忽略，该薄 层称为边界层。层称为边界层。边界层内粘性力与惯性力同量级边界层内粘性力与惯性力同量级，流体质点作，流体质点作 有旋有旋运动。运动。 位流区位流区 粘流区粘流区 （2 2）边界层的有涡性）边界层的有涡性 粘性流体运动总伴随涡量的产生、扩散、衰减。粘性流体运动总伴随涡量的产生、扩散、衰减。边界层就是涡层边界层就是涡层，当，当 流体绕过物面时，无滑移边界条件相当于使物面成为具有一定强度的连续流体绕过物面时，无滑移边界条件相当于使物面成为具有一定

7、强度的连续 分布的涡源。以二维流动为例说明之。此时，物面上的涡源强度为：分布的涡源。以二维流动为例说明之。此时，物面上的涡源强度为： o z y u y u x v 2、边界层的特征、边界层的特征 （1）边界层厚度定义）边界层厚度定义 严格而言，边界层区与主流区之间无明显界线，通常以速度达到主严格而言，边界层区与主流区之间无明显界线，通常以速度达到主 流区速度的流区速度的 0.99U 作为边界层的外缘。由边界层外缘到物面的垂直距离作为边界层的外缘。由边界层外缘到物面的垂直距离 称为边界层名义厚度，用称为边界层名义厚度，用表示。表示。 位流区位流区 粘流区粘流区 （3）边界层厚度的量级估计边界层

8、厚度的量级估计 根据根据边界层内粘性力与惯性力同量级边界层内粘性力与惯性力同量级的条件，可估算边界层的厚的条件，可估算边界层的厚 度。以平板绕流为例说明。设来流的速度为度。以平板绕流为例说明。设来流的速度为U，在，在 x x 方向的长度为方向的长度为 L L ，边界层厚度为，边界层厚度为 。 惯性力：惯性力： 粘性力：粘性力： 由此可见由此可见在高在高Re数下，边界层的厚度远小于被绕流物体的特征长度数下，边界层的厚度远小于被绕流物体的特征长度。 22 UL t U L dt dV mFJ 2 L U A dy dV F Re 1 22 L L U ULFF J 而在而在 的范围内，以外流的理想

9、速度的范围内，以外流的理想速度 流动的理想流量是：流动的理想流量是： 其中，其中， 为边界层外缘速度。为边界层外缘速度。 （4）边界层各种厚度定义）边界层各种厚度定义 （a）边界层位移厚度）边界层位移厚度 假设某点假设某点P处的边界层厚度是处的边界层厚度是 ， 实际流体通过的质量流量为实际流体通过的质量流量为: e u dyuu eeee 0 e u dyu 0 e u u 上述两部份流量之差是：上述两部份流量之差是： dyuue e )( 0 此处此处 u 是边界层中距物面为是边界层中距物面为 y 处的流速。处的流速。 这部分主流区增加的流体厚度是由边界层流体排挤入主流区造成这部分主流区增加

10、的流体厚度是由边界层流体排挤入主流区造成 的，称为的，称为排移厚度或位移厚度，排移厚度或位移厚度，作理想流场模型的外形修正时，作理想流场模型的外形修正时， 应该加上这一位移厚度。应该加上这一位移厚度。 0 1 dyuuu eeee 0 1 1dy u u ee 这是设想各点均以外流速度流动时比实际流量多出来的值这是设想各点均以外流速度流动时比实际流量多出来的值, ,这些这些 多出来的流量必然要在主流中占据一定厚度多出来的流量必然要在主流中占据一定厚度 ，其流量写，其流量写 为为 ，从而，从而 1 1 eeu （b）边界层动量损失厚度）边界层动量损失厚度 在边界层内，实际流体通过的动量为：在边界

11、层内，实际流体通过的动量为： 0 udyue 0 2 2 dyuuuuu eee 0 2 1dy u u u u eee 上述两项之差表示粘性存在而损失的动量，这部分动量损失全部上述两项之差表示粘性存在而损失的动量，这部分动量损失全部 用理想的外流速度用理想的外流速度 ue 流动时折算的流动时折算的动量损失厚度动量损失厚度2为：为： 在边界层内，在边界层内，在质量流量不变的条件下在质量流量不变的条件下，以理想流速度，以理想流速度 ue 通过通过 的动量为：的动量为： 0 2 dyu （c c）边界层能量损失厚度）边界层能量损失厚度 边界层内实际流体通过的动能为：边界层内实际流体通过的动能为：

12、在边界层在边界层内内，在质量流量不变的条件下在质量流量不变的条件下，以理想流速度，以理想流速度 u ue e 通过的通过的 动能为：动能为： 0 2 2 1 udyu e 0 2 2 1 udyu 上述两项之差表示粘性存在而损失的动能，这部分动能损失全部上述两项之差表示粘性存在而损失的动能，这部分动能损失全部 用理想的外流速度用理想的外流速度 ue 流动时折算的流动时折算的动能损失厚度动能损失厚度 3为为: 0 32 3 2 2 1 2 1 dyuuuuu eeee 0 2 2 3 1dy u u u u eee 对于不可压缩流体而言对于不可压缩流体而言，上述各种厚度的计算公式变为，上述各种厚

13、度的计算公式变为: 0 1 1dy u u e 0 2 1dy u u u u ee 0 2 2 3 1dy u u u u ee （5 5）几点说明）几点说明 （a a）实际流动中，边界层流动与理想流动是渐近过渡的，边界层的外边）实际流动中，边界层流动与理想流动是渐近过渡的，边界层的外边 界线实际上是不存在的，因此边界层的外边界线不是流线，而是被界线实际上是不存在的，因此边界层的外边界线不是流线，而是被 流体所通过的，允许流体穿过边界层边界线流动。流体所通过的，允许流体穿过边界层边界线流动。相对于物面而言相对于物面而言 ，流线是向外偏的，相对于边界层边界来说流线是向内偏的，流线是向外偏的，相

14、对于边界层边界来说流线是向内偏的。 此外在许多情况下对于此外在许多情况下对于u ue e 和 和 U U 往往不加以严格区别 往往不加以严格区别 （b b）边界层各种厚度的定义式，既适用于层流，也适用于湍流。）边界层各种厚度的定义式，既适用于层流，也适用于湍流。 （c c）边界层各种厚度的大小与边界层内流速分布有关。但各厚度的大小）边界层各种厚度的大小与边界层内流速分布有关。但各厚度的大小 依次是依次是: : 1 1 2 2 U ue u 边界层 位流区 1. 1. 边界层流动图画边界层流动图画 粘性流体流经任一物体（例如机翼与机身）的问题，归结粘性流体流经任一物体（例如机翼与机身）的问题，归

15、结 为在相应的边界条件下解为在相应的边界条件下解N NS S方程的问题。由于方程的问题。由于N NS S方程太复方程太复 杂，对很多实际问题不能不作一些杂，对很多实际问题不能不作一些近似简化假设近似简化假设，为此考察空，为此考察空 气流过翼型的物理图画：气流过翼型的物理图画： 流动分为流动分为三个区域三个区域：1. 1. 边界层：边界层：N NS S化简为边界层方程化简为边界层方程 2. 2. 尾迹区：尾迹区：N NS S方程方程 3. 3. 位流区：理想流位流区：理想流EulerEuler方程方程 2. 2. 平壁面上边界层方程平壁面上边界层方程 对于二维不可压缩流动，连续方程和对于二维不可

16、压缩流动，连续方程和N-SN-S方程为：方程为： 通过通过量级比较量级比较进行简化，可得到边界层近似方程。进行简化，可得到边界层近似方程。 选取选取长度尺度长度尺度L L，速度尺度，速度尺度u ue e，时间尺度，时间尺度t=L/ut=L/ue e，边边界层近似假界层近似假 定在边界层内满足下列关系：定在边界层内满足下列关系： 0 y v x u 2 2 2 2 1 y u x u x p f y u v x u u t u x 2 2 2 2 1 y v x v y p f y v v x v u t v y L ue （1 1）法向尺度远小于纵向尺度，纵向导数远小于横向导数法向尺度远小于纵

17、向尺度，纵向导数远小于横向导数 （2 2）法向速度远远小于纵向速度法向速度远远小于纵向速度 （3 3）压强与外流速度的平方成正比压强与外流速度的平方成正比 将这些量级关系式代入到将这些量级关系式代入到N-SN-S方程中，得到方程中，得到 yxyLx L L , 1 , 1 , Re 1 Re 1 , / , e e e e u v u LuLt vuvu t L u 2 e up N-SN-S方程组各项方程组各项量级比较量级比较: : L u L u L u y v x u eee 1 0 22 2222 2 2 2 2 1 eeeee e ee x u L u L u L uu u LL u

18、 L u y u x u x p f y u v x u u t u 1 32 2 2 2 2 2 2 2 2 2 L u L u L u L u L u y v x v y p f y v v x v u t v eeeee y 两项为同一量级两项为同一量级 边界层内边界层内粘性力与惯性力同量粘性力与惯性力同量 级级不可忽略，故不可忽略，故的量级为的量级为: : 2 2 e 2 , L u L uu ee 即： 考虑到考虑到 的量级为的量级为2 2，因，因 此右端的最大量级为此右端的最大量级为 右括号中第一项比第二项低右括号中第一项比第二项低2 个量级可略。个量级可略。 在高在高 ReRe

19、数情况下数情况下较小可以忽略，同时忽略质量力，较小可以忽略，同时忽略质量力，PrandtlPrandtl 边界层方程变为：边界层方程变为： 0 y v x u 2 2 1 y u x p y u v x u u t u 0 y p )( 0 0 0 Uuuy vuy e 或 边界条件：边界条件： 第三式说明，第三式说明，在高在高Re数情况下较薄的边界层内，压力沿法向不变。数情况下较薄的边界层内，压力沿法向不变。 也就是，也就是，p 与与 y 无关，仅是无关，仅是 x 和和 t 的函数的函数。即：。即： ),(txpp e 对于曲率不大的弯曲物面，上述边界层方程也近似成立。对于曲率不大的弯曲物面

20、，上述边界层方程也近似成立。当然当然 如果曲率过大，则沿法向压强保持不变的条件就很难满足了。如果曲率过大，则沿法向压强保持不变的条件就很难满足了。 综上所述，边界层基本特性可归纳为：综上所述，边界层基本特性可归纳为： ),( , 0 , Re 1 , Re 1 txpp y p Lu v L e e 5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程 第一步，第一步，求位流解求位流解。 这时，略去边界层与尾迹，利用第三章求解理想流体对物体这时，略去边界层与尾迹，利用第三章求解理想流体对物体 绕流问题的方法，求得物体表面的速度分布（求解时可预先对表绕流问题的方法，求得物体表面的速度分布（求解时可预先对表 面

21、作动量厚度的修正）。由于边界层较薄，求得的速度分布可视面作动量厚度的修正）。由于边界层较薄，求得的速度分布可视 为边界层外边界上的切向速度分布。即在任一坐标为边界层外边界上的切向速度分布。即在任一坐标 x x 处：处： 时时 ，沿边界层外边界，伯努利方程成立：，沿边界层外边界，伯努利方程成立： x u u x p e e 1 3. 3. 定常层流边界层问题解法概述定常层流边界层问题解法概述 y ， )(xuu e 常数 2 2 1 e up 因此，边界层内的压强分布通过位流解得到了，即（因此，边界层内的压强分布通过位流解得到了，即（ ）是一）是一 个已知函数个已知函数。 dxdp (或非定常时

22、有欧拉方程成立) 第二步，第二步，考察边界层方程与边界条件考察边界层方程与边界条件 0 1 2 2 y v x u y u dx dp y u v x u u , 0, 0, 0vuy 0)(, n n e y u xuuy， 物面：物面： 边界层外缘：边界层外缘： 由于由于 是已知函数，所以这两个方程式中只有两个未知数是已知函数，所以这两个方程式中只有两个未知数 dxdp ),(),(yxvyxu 故问题是可解的。求解的边界条件是：故问题是可解的。求解的边界条件是： 5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程 x uu y u ee y 0 2 2 第三步，第三步，解法思路解法思路。 我们的问题

23、就是在上述边界条件之下，求解边界层方我们的问题就是在上述边界条件之下，求解边界层方 程组。后面的程组。后面的布拉休斯解布拉休斯解就是一个求解的范例。就是一个求解的范例。 假设已经解出了边界层内速度分布：假设已经解出了边界层内速度分布： ),(yxuu 那么，物体表面的摩擦应力那么，物体表面的摩擦应力 可自下式求出（层可自下式求出（层 流）：流）： 有了表面摩擦应力分布有了表面摩擦应力分布 之后，再通过积分就不难求之后，再通过积分就不难求 出物体所受的总的摩擦阻力了。出物体所受的总的摩擦阻力了。 )( 0 x 0 0 )( y y u x )( 0 x 5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程 1

24、908年，年，Prandtl的学生的学生Blasius利用边界层速度分布的相似利用边界层速度分布的相似 性求解了平板层流边界层方程。性求解了平板层流边界层方程。对于零压强梯度、定常、不可压对于零压强梯度、定常、不可压 缩流体平板层流绕流，边界层方程为缩流体平板层流绕流，边界层方程为： 相应的边界条件为：相应的边界条件为： 由于上述方程为非线性偏微分方程，求解很难，布拉休斯引由于上述方程为非线性偏微分方程，求解很难，布拉休斯引 入流函数（由连续方程）入流函数（由连续方程） 以简化方程：以简化方程： 0 y v x u 2 2 y u y u v x u u Uuyvuy ; 0 0 0 ),(y

25、x v x u y ; 流函数的量纲等于速度长度，那么流函数表为无量纲的流函数的量纲等于速度长度，那么流函数表为无量纲的 的函数的函数 f() 时，应该在时，应该在 f() 之前将速度长度的量纲显之前将速度长度的量纲显 示出来，示出来， Blasius假设假设速度用层外的速度用层外的U（即ue） ，长度用，长度用的量的量 纲。纲。根据量级比较，边界层厚度的量级为根据量级比较，边界层厚度的量级为: 这样这样未知函数未知函数 u, v 就从两个减少为一个就从两个减少为一个 。自变量本来自变量本来 是两个是两个x,y , ,如果引用一个无如果引用一个无量纲量纲的变数的变数=y/, ,则则自变量也可自

26、变量也可 以减为一个以减为一个，从而，从而的表达可作相应改变的表达可作相应改变。 U x xU xx x Re x U y y )()( fxUf U x U 式中式中 是是 的待定函数。的待定函数。 )(f 故流函数表为：故流函数表为： x U fU y u )( )( 2 )( 2 )( f x Uf x U x y U x fU x u )( )( fU x U fxU yy u xU x f x f xUfxU xx v )()( )( 2 1 ff x U )( 2 2 2 f x U x U f x U U y u 从而，从而，可将可将 u、v 及其相关导数化为函数及其相关导数化为

27、函数 f 关于关于 的导数：的导数： 代入边界层微分方程，化简后变为：代入边界层微分方程，化简后变为： 边界条件变为：边界条件变为： 方程被简化成了常微分方程，但仍然是非线性的求解还是很难，方程被简化成了常微分方程，但仍然是非线性的求解还是很难， 只好只好设它的解为一个级数设它的解为一个级数。Blasius 假设：假设： 其中，其中， 为待定系数。为待定系数。 1.0 , ; 0, 0, 0fff n n n AAA AAf ! 3! 2 )( 3 3 2 2 10 n AAAA, 210 用用 0 0 处边界条件，立刻可以确定：处边界条件，立刻可以确定：A A0 0 = A = A1 1=

28、0= 0 0 2 fff 23 32 ( ) 2!3! n n AAA f n 2 23 ( ) (2)! n n A fAA n 22 5 34 ( ) 2!(3)! n n AA fAA n 将以上诸式代入微分方程将以上诸式代入微分方程 得：得： 0 2 fff 223 532 34 2 2!2!3! AAA AA 0 ! 3! 2 5 2 4 32 AA AA 5.3、平板层流边界层的数值解 从而：从而： 23 3425236 22242 2!3! AAAAA AA 246 ! 4 7342 4 AAAA 021511 ! 5 84352 5 AAAAA 因为上式对任何因为上式对任何 值

29、均须满足，故各系数必须分别等于零，即值均须满足，故各系数必须分别等于零，即 2 , 0, 0 2 2 543 A AAA ., 4 11 2 11 , 0, 0 3 252876 AAAAAA 如此继续做下去，所有诸不等于零之系数如此继续做下去，所有诸不等于零之系数 A 均可以均可以 A2 来表示。而来表示。而 A2 则是一个待定常数。令则是一个待定常数。令 aA 2 5.3、平板层流边界层的数值解 整理后，得：整理后，得： 0 23 1 23 )!23(2 1 )( n n n n n n aC f 11, 1, 1 210 CCC .,137,817, 3,27897,375 543 CC

30、C 则待求级数可表为一个所有系数都含则待求级数可表为一个所有系数都含 A2 a 的无穷级数：的无穷级数： 就是我们要求的解就是我们要求的解，但其中尚有一常数但其中尚有一常数 待定。此常数可待定。此常数可 用用: )(fa 1)(lim f 的边界条件来确定，布拉休斯用数值方法定得：的边界条件来确定，布拉休斯用数值方法定得： 从而所求的解完全确定。从而所求的解完全确定。 332. 0a 5.3、平板层流边界层的数值解 由所确定的级数解确定了流函数，也就确定了速度分布，从由所确定的级数解确定了流函数，也就确定了速度分布，从 而就确定了与此相关的其他量，如边界层厚度、剪应力、摩阻系而就确定了与此相关

31、的其他量，如边界层厚度、剪应力、摩阻系 数等。数等。 数值结果表明尽管各个位置处的速度数值结果表明尽管各个位置处的速度 型是不同的，但若以型是不同的，但若以 作为自变量，则作为自变量，则 速度型是一样的。我们称这样的速度分布速度型是一样的。我们称这样的速度分布 是是相似相似的，这个解也被称为的，这个解也被称为相似解相似解。 当当 = 5.0 时，时，u /U =0.9916，已经，已经 十分接近于十分接近于1，从而可将此，从而可将此 对应的对应的 y 坐标确定为边界层厚度坐标确定为边界层厚度 。 5.3、平板层流边界层的数值解 1 2 3 4 5 6 7 8 0 00.20.40.60.81.

32、01.2 )( f U u x U y 由上解确定的速度分布曲线如图所示，由上解确定的速度分布曲线如图所示， 可见实验值与数值解（实线）很符合。可见实验值与数值解（实线）很符合。 由此由此 （1）边界层厚度）边界层厚度 （ ） （2）边界层位移厚度边界层位移厚度 （3）边界层动量损失厚度边界层动量损失厚度 0 . 5,9916. 0/ Uu x x Re 5 x x df U x dy U u Re 7208. 111 00 1 x x dff U x dy U u U u Re 664. 011 00 2 11 83 得：由：, x U y （4）壁面切应力）壁面切应力 （5）壁面摩擦阻力系

33、数壁面摩擦阻力系数 （6）平均壁面摩擦总阻力系数平均壁面摩擦总阻力系数 郭永怀（郭永怀（1953年）对平板前缘点的修正，得到年）对平板前缘点的修正，得到 适用范围：适用范围： 65 103103Re L xy U x U fU y u Re 1 332. 0)( 2 0 0 0 x f U C Re 1 664. 0 5 . 0 2 0 L f L fF LCdxC L C Re 1 328. 1)(2 1 0 L L F C Re 10. 4 Re 328. 1 今在边界层内任取一控制体，控制体长度为今在边界层内任取一控制体，控制体长度为dx，控制面为，控制面为 Aab、Abc、Acd、Ad

34、a。现对控制体应用动量方程，可知由。现对控制体应用动量方程，可知由A Aab ab面流 面流 入控制体的质量流量为：入控制体的质量流量为： 由由Acd面流出控制体的质量流量为：面流出控制体的质量流量为： )( 0 x ab udym dxudy x mm x abcd )( 0 边界层动量积分关系式是由边界层动量积分关系式是由Karman 1921年导出的，年导出的，对近似对近似 求解边界层特性具有重要作用。对层流和湍流边界层都适用。求解边界层特性具有重要作用。对层流和湍流边界层都适用。 0 1. 边界层动量积分方程边界层动量积分方程 根据根据质量守恒定律质量守恒定律，通过，通过Abc流入控制

35、体的质量流量为：流入控制体的质量流量为： 由由Aab面流入控制体的动量流量为：面流入控制体的动量流量为： 由由Acd面流出控制体的动量流量为：面流出控制体的动量流量为： 通过通过Abc流入控制体的动量流量在流入控制体的动量流量在x方向的分量为：方向的分量为： dxudy x mmm x abcdbc )( 0 )( 0 2 x ab dyuK dxdyu x KK x abcd )( 0 2 dxudy x uK x ebc )( 0 0 0 p dx dx dp p 在在Aab面上的作用力为（以下均指面上的作用力为（以下均指 x x 方向分量）：方向分量）： 在在A Acd cd面上的作用力

36、为： 面上的作用力为： 在在A Abc bc面上的力为： 面上的力为： 在在A Aad ad面上的切应力为： 面上的切应力为： )(xpFab )(ddx dx dp pFcd d dx dx dp pFbc 2 dxFad 0 对控制体建立对控制体建立x方向的动量方程为：方向的动量方程为： 整理后，得：整理后，得： 由于上积分只是由于上积分只是 x 的函数，右端可得：的函数，右端可得： dxudy x uKdxdyu x K dxd dx dx dp pddx dx dp pp x eab x ab )( 0 )( 0 2 0 2 )( )( 0 2 )( 0 0 )( xx e dyu x

37、 udy x ux dx dp dx d dx )2.(. )( 0 )( 0 )( 0 x e x e x e udy dx du dyuu dx d udy dx d u 上式右边第一项可写为：上式右边第一项可写为： 左边第一项由伯努利方程可得：左边第一项由伯努利方程可得： 将（将（2）、（）、（3）代回（）代回（1）式得：）式得： )3.(.)( )( 0 )( 0 x e e x e e dyu dx du dy dx du ux dx dp )( 0 )( 0 2 )( 0 )( 0 0 x e e xx e x e dyu dx du dyu dx d udy dx du dyuu

38、 dx d ) 1.(.)( )( 0 2 )( 0 0 xx e dyu dx d udy dx d ux dx dp 整理可得：整理可得： 或：或： 或：或： 这就是这就是边界层动量积分方程边界层动量积分方程。是一阶常微分方程，。是一阶常微分方程，既适用于层流既适用于层流 也适用于湍流边界层也适用于湍流边界层。该方程含三个未知数。该方程含三个未知数 0 0、1 1和和2 2 ，因，因 此需寻找两个补充关系才能求解。此需寻找两个补充关系才能求解。 dx du u dx d u e ee )2( 12 2 2 0 )( 0 )( 0 2 0 1)1 ( x e e e x ee e dy u

39、u dx du udy u u u u u dx d dx du uu dx d e ee12 2 0 如果写成无量纲形式，有：如果写成无量纲形式，有： 其中其中 对于零压强梯度的平板边界层流动，有：对于零压强梯度的平板边界层流动，有： 从而：从而： 因为动量积分方程是个常微分方程，求解边界层时相对简单，因为动量积分方程是个常微分方程，求解边界层时相对简单， 只要知道只要知道剪应力剪应力0 0 与 与1 1、2 2 之间（或与速度 之间（或与速度 u u 分布之间）分布之间） 的相关关系，的相关关系，即可求解即可求解。 0 0 . dx dp dx du constu e e )2( 2 22

40、 dx du u H dx d C e e f 2 2 0 dx d ue 称为形状因子为当地摩擦系数， 2 1 2 2 1 0 H e f u C 动量积分方程也可通过直接积分边界层微分方程获得动量积分方程也可通过直接积分边界层微分方程获得 对于二维定常不可压缩流体边界层方程为（不计彻体力）：对于二维定常不可压缩流体边界层方程为（不计彻体力）： 0 y v x u 连续： 2 2 y u x u u y u v x u u e e 动量： 用用 ue 乘以连续方程（注意乘以连续方程（注意 ue=ue(x)）：）： 并利用连续方程把动量方程改写并利用连续方程把动量方程改写: x u u y v

41、u x uu eee y u yx u u y uv x uu e e , 1 5.4、边界层动量积分方程 两式相减，得到：两式相减，得到： 积分上式，有：积分上式，有： yx u uuuvvu y uuuu x e eee 1 )()()( 0000 1 )()()(dy y dyuu x u dyuvvu y dyuuuu x e e ee 0 整理后，得到：整理后，得到： 这与这与Karman方程完全一样。方程完全一样。 0 12 2 x u uu x e ee 确定系数的条件为：确定系数的条件为： 上述边界条件中除了璧面剪应力确定的条件适合于层流边界层之外上述边界条件中除了璧面剪应力确

42、定的条件适合于层流边界层之外 ，其余条件既适合与层流边界层也适合于湍流边界层。，其余条件既适合与层流边界层也适合于湍流边界层。 . 4 4 3 3 2 210 aaaaa u u e ,.3 , 2 , 1, 0, 0, 0, 0 3 3 2 2 0 n y u uuy y uuu y u y u vuy n n e ee 如前所述，动量积分方程含有三个未知数：位移厚度如前所述，动量积分方程含有三个未知数：位移厚度*、动量动量 厚度厚度*和壁面切应力和壁面切应力0 , 因此，必须寻求补充关系才能求解。因此，必须寻求补充关系才能求解。 对于对于层流边界层层流边界层而言由于三个未知量都取决于边界层

43、的速度分而言由于三个未知量都取决于边界层的速度分 布，因此布，因此只要给定速度分布，就可以求解只要给定速度分布，就可以求解。显然，该方法的精度取。显然，该方法的精度取 决于边界层内速度分布的合理性。对于决于边界层内速度分布的合理性。对于层流边界层层流边界层，通常假定速度，通常假定速度 分布为：分布为： 2. 利用动量积分关系式解边界层问题的利用动量积分关系式解边界层问题的保尔豪森方法保尔豪森方法 以平板层流边界层为例，假设速度型如下：以平板层流边界层为例，假设速度型如下： 式中待定系数由下述边界条件确定。四个系数只需四个条件。式中待定系数由下述边界条件确定。四个系数只需四个条件。 物面条件为：

44、物面条件为： 3 3 2 210 )()( y A y A y AA u u e )C(0, 00 2 2 e u y u uy平板时以及时， 边界层边界处的条件为：边界层边界处的条件为： 0, y u uuy e 以及时， 由这四个条件，定得四个系数为：由这四个条件，定得四个系数为： 2/1, 0, 2/3, 0 3210 AAAA 5.4、边界层动量积分方程 于是，速度分布成为：于是，速度分布成为： 3 2 1 2 3 yy u u e 由牛顿粘性定律：由牛顿粘性定律： 0 0 y y u e u 2 3 0 下面求解积分关系式。对于平板边界层，有下面求解积分关系式。对于平板边界层，有 ,

45、 积分关系积分关系 式为比较简单的形式：式为比较简单的形式： 2 2 0 dx d ue 5.4、边界层动量积分方程 0 x ue 将速度分布将速度分布 代入动量厚度表达可得：代入动量厚度表达可得： 3 2 1 2 3 yy u u e )280/39( 2 将上述关系代入动量积分关系式可得：将上述关系代入动量积分关系式可得： dx u d e 140 13 边界条件为：边界条件为：x = 0 时，时，= =0 0 ，积分上式，得平板边界层的厚度积分上式，得平板边界层的厚度 沿板长的变化规律是：沿板长的变化规律是： 4.64 Rex x 这个结果与勃拉休斯数值解结果这个结果与勃拉休斯数值解结果

46、(常数为常数为5.0)相差不大。相差不大。 5.4、边界层动量积分方程 作用在宽度为作用在宽度为 b（垂直于纸面的尺寸）、长度为（垂直于纸面的尺寸）、长度为 l 的单面平板的单面平板 上的摩擦力为：上的摩擦力为： 将将 及及 代入上式积分得：代入上式积分得： 单面平板的摩阻系数为单面平板的摩阻系数为： 上述结果与勃拉休斯数值解结果上述结果与勃拉休斯数值解结果(常数为常数为1.328)相差也不大相差也不大 5.4、边界层动量积分方程 e u 2 3 0 4.64 Rex x 0 l fw Xb dx 0 F 2 1.296 2Re f l V XS F 2 1 2 1.296 Re f f l

47、X C VS F C F 对于对于层流有压力梯度层流有压力梯度情况，多了一个情况，多了一个 的边界条件，的边界条件， 由于假设压力梯度已知或外流速度已知，用上述同样的方法可以解得由于假设压力梯度已知或外流速度已知，用上述同样的方法可以解得 边界层的速度分布和剪应力等，可知结果都与压力梯度有关。边界层的速度分布和剪应力等，可知结果都与压力梯度有关。 对于对于平板湍流边界层平板湍流边界层情况，由于无压强梯度，动量积分方程仍然是：情况，由于无压强梯度，动量积分方程仍然是： 但对湍流而言但对湍流而言0 0 不能直接用璧面附近的速度梯度表达，而不能直接用璧面附近的速度梯度表达，而2 2与与u u 和和

48、有关，因此有三个未知数，还需找两个补充关系，一个是速度分布有关，因此有三个未知数，还需找两个补充关系，一个是速度分布 关系，一个是湍流剪应力关系，根据实验结果：关系，一个是湍流剪应力关系，根据实验结果： 代入代入2 2 的定义式和上述动量积分方程即可解得平板湍流边界层的 的定义式和上述动量积分方程即可解得平板湍流边界层的、 当地摩擦阻力系数当地摩擦阻力系数 C Cf f 、摩擦阻力、摩擦阻力 X Xf f 和摩阻系数和摩阻系数 C CF F 等。 等。 x u u x p y u e e y 1 0 2 2 2 2 0 dx d ue 4 1 7 1 )(0225. 0 )( 2 0 U U

49、y u u e 力符合规律：平板湍流边界层摩擦阻 足七分之一幂规律：湍流边界层速度分布满 5.4、边界层动量积分方程 1 1、边界层分离现象、边界层分离现象 边界层中的流体质点受边界层中的流体质点受惯性力、粘性力和压力惯性力、粘性力和压力的作用。其中的作用。其中 惯性力与粘性力的相对大小决定了粘性影响的相对区域大小，惯性力与粘性力的相对大小决定了粘性影响的相对区域大小， 或边界层厚度的大小；或边界层厚度的大小； 粘性力的作用始终是阻滞流体质点运动，使流体质点减速，失粘性力的作用始终是阻滞流体质点运动，使流体质点减速，失 去动能；去动能； 压力的作用取决于绕流物体的形状和流道形状，顺压梯度有助压

50、力的作用取决于绕流物体的形状和流道形状，顺压梯度有助 于流体加速前进，而逆压梯度阻碍流体运动。于流体加速前进，而逆压梯度阻碍流体运动。 在分离点附近和分离区，由于边界层厚度大大增加，边界在分离点附近和分离区，由于边界层厚度大大增加，边界 层假设不再成立。层假设不再成立。 以圆柱绕流为例，正如上一章已经指出的，边界层内流体以圆柱绕流为例，正如上一章已经指出的，边界层内流体 质点要克服粘性力做功而消耗机械能，在逆压区内流体不能无质点要克服粘性力做功而消耗机械能，在逆压区内流体不能无 损失的减速到达损失的减速到达D点，而是在某处使速度降为零，从而造成流点，而是在某处使速度降为零，从而造成流 动从璧面

51、分离。在分离点下游的区域，受逆压梯度的作用而发动从璧面分离。在分离点下游的区域，受逆压梯度的作用而发 生倒流。生倒流。分离点定义为紧邻壁面顺流区与倒流区的分界点。分离点定义为紧邻壁面顺流区与倒流区的分界点。 仅有粘性的阻滞作用而无逆压梯度，不会发生边界层的分仅有粘性的阻滞作用而无逆压梯度，不会发生边界层的分 离，因为无反推力使边界层流体进入到外流区。这说明，零压离，因为无反推力使边界层流体进入到外流区。这说明，零压 梯度和顺压梯度的流动不可能发生边界层分离。梯度和顺压梯度的流动不可能发生边界层分离。 5.6 1.边界层的分离现象 边界层分离的边界层分离的必要条件必要条件是：是：存在逆压梯度和粘

52、性剪切层。存在逆压梯度和粘性剪切层。 顺压梯度时边界层变薄，不分离顺压梯度时边界层变薄，不分离 无压强梯度时边界层虽然变厚，无压强梯度时边界层虽然变厚， 但不分离但不分离 5.6 1.边界层的分离现象 只有逆压梯度而无粘性的剪切作用，同样也不会发生分离现只有逆压梯度而无粘性的剪切作用，同样也不会发生分离现 象，因为无阻滞作用，运动流体不可能消耗动能而滞止下来。象，因为无阻滞作用，运动流体不可能消耗动能而滞止下来。 有逆压无剪切：不分离有逆压无剪切：不分离 有逆压有剪切：可能分离有逆压有剪切：可能分离 在粘性剪切力和逆压梯度的同时作用下才可能发生分离。在粘性剪切力和逆压梯度的同时作用下才可能发生

53、分离。 相同逆压梯度下湍流边界层（下）抵相同逆压梯度下湍流边界层（下）抵 抗分离的能力强于层流边界层抗分离的能力强于层流边界层 （上）（上） 5.6 1.边界层的分离现象 逆压梯度时边界层增厚可能分离逆压梯度时边界层增厚可能分离 只有在粘性剪切力和逆压梯度的同时作用下才可能发生分离。只有在粘性剪切力和逆压梯度的同时作用下才可能发生分离。 同一扩压段中层流边界层与湍流边界层流态的对比同一扩压段中层流边界层与湍流边界层流态的对比 层流边界层在一定逆压下分离层流边界层在一定逆压下分离 湍流边界层能够抵抗一定的逆压梯度湍流边界层能够抵抗一定的逆压梯度 而不分离而不分离 (较大逆压下仍然会分离较大逆压下

54、仍然会分离) 5.6 1.边界层的分离现象 现在我们可以理解，麻的高尔夫球之所以比光的高尔夫球打得更远的现在我们可以理解，麻的高尔夫球之所以比光的高尔夫球打得更远的 物理原因物理原因在于：麻面使层流边界层很快转捩成为湍流边界层，湍流的在于：麻面使层流边界层很快转捩成为湍流边界层，湍流的 横向输运特性使其具有较饱满的速度型和抵抗逆压梯度的能力，因此横向输运特性使其具有较饱满的速度型和抵抗逆压梯度的能力，因此 麻面高尔夫球具有较小的分离尾迹和流动阻力。麻面高尔夫球具有较小的分离尾迹和流动阻力。 5.6 1.边界层的分离现象 气流绕翼型的流动与边界层分离现象：气流绕翼型的流动与边界层分离现象： 一定

55、迎角下，上翼面最大速度点即最小压强点后的减速增压区将一定迎角下，上翼面最大速度点即最小压强点后的减速增压区将 出现分离，一方面改变了绕流的形状，使升力大为降低；另一方面边出现分离，一方面改变了绕流的形状，使升力大为降低；另一方面边 界层的分离造成了减速增压过程不可能像理想流一样进行，机械能有界层的分离造成了减速增压过程不可能像理想流一样进行，机械能有 损失，实验表明分离区的压强接近分离点的压强，从而造成了较大的损失，实验表明分离区的压强接近分离点的压强，从而造成了较大的 压差阻力，同时还存在粘性摩擦阻力。压差阻力，同时还存在粘性摩擦阻力。 翼型小攻角时不分离流谱翼型小攻角时不分离流谱 翼型大攻

56、角时分离流谱翼型大攻角时分离流谱 5.6 1.边界层的分离现象 2 2、在不同压力梯度区边界层的速度分布特征、在不同压力梯度区边界层的速度分布特征 根据边界层方程，根据边界层方程，在壁面上在壁面上 压力梯度对边界层内流动的速度分布将产生一定的影响。压力梯度对边界层内流动的速度分布将产生一定的影响。 对于对于顺压梯度顺压梯度的情况，有的情况，有 对于对于逆压梯度逆压梯度的情况，有的情况，有 x p y u 1 2 2 0, 0, 0 2 2 x u y u x p e 0, 0, 0 2 2 x u y u x p e x uu ee 对于对于零压梯度零压梯度的情况，有的情况，有 由此可见，由此

57、可见，随着压力梯度的变号，边界层速度分布的曲率将改随着压力梯度的变号，边界层速度分布的曲率将改 变符号。变符号。粘性流体绕过粘性流体绕过如图的曲线璧面时，速度将经历从加速达到如图的曲线璧面时，速度将经历从加速达到 最大然后减速的过程，对应的压强也会从顺压变化为逆压，从而边最大然后减速的过程，对应的压强也会从顺压变化为逆压，从而边 界层内速度分布的曲率也将随之改变。界层内速度分布的曲率也将随之改变。 0, 0, 0 2 2 x u y u x p e 对于对于顺压梯度区顺压梯度区，压力沿程减小，速度沿程增加。在，压力沿程减小，速度沿程增加。在壁面壁面 处处，u u 关于关于 y y 是凸曲线：是

58、凸曲线： 另一方面，在边界层的另一方面，在边界层的外边界外边界上，有上，有 由此说明，在顺压梯度区，边界层内的速度沿由此说明，在顺压梯度区，边界层内的速度沿y y方向是单调方向是单调 增加的，分布曲线无拐点，是一条向增加的，分布曲线无拐点，是一条向外凸外凸的光滑曲线，流动是的光滑曲线，流动是 稳定的。稳定的。 0,0 0 2 2 0 yy y u y u 00, 0 2 2 yy y u y u 随着速度沿程增加，压力沿程减小，在随着速度沿程增加，压力沿程减小，在壁面某处壁面某处速度达到最大，速度达到最大， 压强达最小，此后流动将逆压而行。在压强达最小，此后流动将逆压而行。在最小压强点最小压强点有：有： 说明说明物面是