解直角三角形

1、 解直角三角形解直角三角形 在直角三角形中在直角三角形中,除直角外除直角外,由已知由已知两两元素元素 求其余未知元素的过程叫解直角三角形求其余未知元素的过程叫解直角三角形. 1.解直角三角形解直角三角形 (1)三边之间的关系三边之间的关系:a2b2c2（勾股定理）；（勾股定理）； 2.解直角三角形的依据解直角三角形的依据 (2)两锐角之间的关系两锐角之间的关系: A B 90； (3)边角之间的关系边角之间的关系: a b c tanA a b sinA a c cosA b c (必有一边必有一边) 例例1 1 如图如图: :在在RtRtABCABC中中,B=90,B=90,AC=200,s

2、inA=0.6.,AC=200,sinA=0.6. 求求:BC:BC的长的长. . 【解析【解析】在在RtRtABCABC中中, , 老师期望老师期望: : 请你求出请你求出cosA,tanA,sinC,cosCcosA,tanA,sinC,cosC和和tanCtanC的的 值值. .你敢应战吗你敢应战吗? ? 200200 A A C C B B , 6 . 0 200 BC AC BC Asin .1206 . 0200BC 例 题 怎样思考怎样思考？ 1010 A A B B C C 1.1.如图如图: :在在RtRtABCABC中中,C=90,C=90,AC=10, cosA,AC=1

3、0, cosA= = 求求:AB,sinB:AB,sinB. . 1012 cos. 13 AC A ABAB 【解析】 . 6 65 12 1310 AB . 13 12 6 65 10 sin AB AC B 老师期望老师期望: :注意到这里注意到这里cosA=sinBcosA=sinB, ,其中有其中有 没有什么内在的关系没有什么内在的关系? ? 跟踪训练 12 13 2.2.如图如图, ,在在RtRtABCABC中中, ,锐角锐角A A的对边和邻边同时扩大的对边和邻边同时扩大100100 倍倍,sinA,sinA的值（的值（ ） A.A.扩大扩大100100倍倍 B.B.缩小缩小100

4、100倍倍 C.C.不变不变 D.D.不能确定不能确定 3.3.已知已知A,BA,B为锐角为锐角 (1)(1)若若A=B,A=B,则则sinA_sinBsinA_sinB; ; (2)(2)若若sinA=sinBsinA=sinB, ,则则A_B.A_B. A A B B C C C C = = = = 2 1 a2 a ABAB BCBC 2 3 a2 a3 ABAB ACAC 3 3 a3 a ACAC BCBC 如下图所示如下图所示, ,假设假设BCBCa,a,则则ABAB ,AC,AC a a3 3 2a2a 3030 6060 A A B B C C a a 2a2a a a3 3

5、sin30sin30 cos30cos30 tan30tan30 6060角的三角函数角的三角函数 值分别是多少值分别是多少? ?你是你是 怎样得到的怎样得到的? ? 4545角的三角函数角的三角函数 值分别是多少值分别是多少? ?你是你是 怎样得到的怎样得到的? ? A B C a a3 3 a 2a 60 30 A B C 45 45 a a a2 2 a sin60sin60 = = cos60cos60= = tan60tan60 = = sin45sin45 = = cos45cos45 = = tan45tan45 = = 2 3 a2 a3 ABAB BCBC 2 1 a2 a

6、ABAB ACAC 3 a a3 ACAC BCBC 2 2 a2 a ABAB BCBC 2 2 a2 a ABAB ACAC a 1 a BCBC ACAC sinsincoscostantan 3030 4545 6060 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 1 3 3 3 3 3 1 三角函数值三角函数值 三角函数三角函数 角角 你会填吗？你会填吗？想一想：想一想： 填表填表: :已知一个角的三角函数值已知一个角的三角函数值, ,求这个角的度数求这个角的度数( (逆向逆向 思维思维) ) A=A=A=A=A=A= A=A=A=A=

7、A=A= A=A=A=A=A=A= 2 1 sinA 2 1 cosA 3 3 tanA 2 3 sinA 2 2 cosA 3tanA 2 2 sinA 2 3 cosA 1tanA 3030 6060 3030 6060 4545 6060 4545 3030 4545 操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度，操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度， 小明站在离旗杆底部小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视米远处，目测旗杆的顶部，视 线与水平线的夹角为线与水平线的夹角为30度，并已知目高为度，并已知目高为1.65米然米然 后他很快就算出旗杆的高度后他很快就算出旗杆的高度了

8、。了。 1.65米米 10米米 ? 你知道吗你知道吗 A B C D E 30 解解:tan30 = = BC AC 3 3 AC= BC= 105.77 3 3 3 3 AD=AC+CD=1.65+5.77 =7.42(米) 即旗杆高度约为7.42米 A B C 例例2. 如图示，如图示，ABC中，中，A=30， AB=8 cm，AC= 6 cm. 3 )30 8 6 3 求求ABC的面积的面积S及及A到到BC边的距离边的距离d. 解：作解：作BHAC于于H(H为垂足为垂足)，则：，则： BH=ABSin30=4， H 2 312 2 cm BHAC S 在在RtBCH中：中： A B C

9、)30 8 6 3 34300CosABAH cm BC S d CHBHBC AHACCH 7 21122 72 32 22 例例3.海中有一个小岛海中有一个小岛A，它的周围，它的周围8海里范围内有暗礁，海里范围内有暗礁， 渔船跟踪鱼群由西向东航行，在渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛点测得小岛A在北偏在北偏 东东60方向上，航行方向上，航行12海里到达海里到达D点，这时测得小岛点，这时测得小岛A 在北偏东在北偏东30方向上，如果渔船不改变航线继续向东方向上，如果渔船不改变航线继续向东 航行，有没有触礁的危险？航行，有没有触礁的危险？ B A A D F 60 12 30 分析：分析：

10、渔船继续向东航行是否安全，取决于小岛A到BD航 线的距离是否大于8海里 解：解： BF AF 3 60 30 B A DF 在RtABF中 设AF=x海里 tan300= BF=x 在RtADF中 tan600= DF AF DF= x 3 3 BF- DF=BD x3 x 3 3 =12 x=6 3 6 3 8 没有危险 答：渔船继续向东航行，没有危险。答：渔船继续向东航行，没有危险。 在视线与水平线所成的在视线与水平线所成的 角中，视线在水平线上角中，视线在水平线上 方的叫做仰角方的叫做仰角. . 视线在水平线下视线在水平线下 方的叫俯角方的叫俯角. . A B C D 仰角仰角水平水平

11、线线 俯角俯角 例例4.4.热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的 仰角为仰角为3030，看这栋高楼底部的俯角为，看这栋高楼底部的俯角为6060，热气球与高楼，热气球与高楼 的水平距离为的水平距离为120m120m，这栋高楼有多高（结果精确到，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m0.1m） 【解析【解析】RtRtABCABC中，中，=30=30， AD=120AD=120，所以利用解直角三，所以利用解直角三 角形的知识求出角形的知识求出BDBD；类似地；类似地 可以求出可以求出CDCD，进而求出，进而求出BCBC 【解析【解析】如图，如图， =

12、30 = 30,= 60,= 60， ADAD120120 AD CD tan, AD BD atan 30tan120atanADBD 3 12040 3 3 60tan120tanADCD 1203120 3 3120340CDBDBC 160 3277.1 答：这栋楼高约为答：这栋楼高约为277.1m277.1m A A B B C C D D 练习练习1：如图所示，某船以每小时：如图所示，某船以每小时36海里的速度海里的速度 向正东航行，在向正东航行，在A点测得某岛点测得某岛C在北偏东在北偏东60方方 向上，航行半小时后到向上，航行半小时后到B点，测得该岛在北偏东点，测得该岛在北偏东

13、30方向上，已知该岛周围方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁海里内有暗礁 （1）试说明）试说明B点是点是 否在暗礁区域外否在暗礁区域外 （2）若继续向东）若继续向东 航行，有无触礁危航行，有无触礁危 险？请说明理由险？请说明理由 北北 东东 A B C D 解：（解：（1）AB=360.5=18， ADB=60，DBC=30， ACB=30又又CAB=30， BC=AB=1816， B点在暗礁区域外点在暗礁区域外 （2）过）过C点作点作CHAF，垂足为，垂足为H，在，在RtCBH中，中， BCH=30， 令令BH=x，则，则CH=x，在，在RtACH中，中，CAH=30， AH=CH， 18x=-x，x=9，CH=916， 船继续向东航行有触礁的危险船继续向东航行有触礁的危险 答：答：B点在暗礁区域外，船继续向东航行有触礁的危点在暗礁区域外，船继续向东航行有触礁的危 险险 练习练习2: 从从20米高的甲楼顶米高的甲楼顶 A 处望乙楼处望乙楼 顶顶C处的仰角为处的仰角为30，望乙楼底，望乙楼底D处的处的 俯角为俯角为45，求乙楼的高度。（精确到，求乙楼的高度。（精确到 0.1 米）米） A C 水平线水平线 D B 甲甲 乙乙 20m 30 45 在直角三角形中在直角三角形中,除直角外除直角外,由已知由已知两两元素元素 求其余未知