高中数学 第二章 平面向量 2. 向量的线性运算 2..5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算示范教案 新人教B版必修4

1、学必求其心得，业必贵于专精2.1。5向量共线的条件与轴上向量坐标运算示范教案教学分析本小节涉及到解析几何一些基础知识：向量的共线(平行）、向量共线的条件、轴、向量在轴上的坐标及加法运算、数轴以及如何用位置向量确定轴上点的位置、基本公式等这些知识看似简单，但极为重要这一节的学习，可为不同层次的学生搭建学习数学的基础平台尤其是定理的前提条件：向量a是非零向量共线向量定理的应用主要用于证明点共线或平行等几何性质,且与后续的知识有着紧密的联系向量的平行是用向量的基线平行定义的，并规定零向量可以与任意一个向量平行从这里可以看出引入向量基线的作用,引入基线，主要是逻辑上的考虑,我们把向量平行建立在直线平行

2、的基础上这样，向量与几何紧密相连，又可避开直接用方向来定义向量的平行平行向量基本定理是由向量平行的定义直接推知，没有作形式化的证明，教学时没有必要补充证明轴上向量的坐标及其运算，完全可启发学生自己导出一定要让学生区分轴与数轴这两个不同的概念理解轴上向量与其实数(坐标）的一一对应关系书中没有提及轴上向量的减法运算,它应包含在加法运算之中轴上向量的基本公式，在数学2中已学习过，这里用向量再重新推导,目的是提高学生对这些基本公式的理解和记忆,提高学生对这些公式的理性认识三维目标1通过探究向量共线的条件，理解向量平行(共线）概念和平行向量基本定理，会证明几何中简单的平行问题2理解轴和轴上向量的概念，理

3、解轴上向量的坐标建立轴上向量与实数的一一对应关系3通过轴上向量的探究，能用向量的观点理解数轴，用轴上向量运算证明解析几何基本公式，并能用向量确定直线上点的位置重点难点教学重点：平面向量基本定理，轴上向量的坐标及其运算教学难点：对向量共线条件的理解运用课时安排1课时导入新课思路1。（直接引入）在学习向量概念时，我们已给出向量共线的概念，即：如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或互相平行(图1）那么向量平行会有什么条件呢？由此展开新课图1思路2。(问题引入)前面我们一起探究了向量加减法运算、向量的数乘运算以及它们的运算律，更重要的是探究了它们的几何意义那么向量2a与向量3a的位置关系怎样

4、？由此进入向量平行的探究推进新课向量共线的条件活动：教师引导学生探究，由向量平行和数乘向量的定义可以直接推知，可得平行向量基本定理：如果ab，则ab；反之,如果ab，且b0,则一定存在唯一一个实数，使ab.如图2,如果a2b，则ab；如果c2b，则cb；图2如果db，d的长度是b的长度的一半，并且方向相反，则db。给定一个非零向量a，与a同方向且长度等于1的向量，叫做向量a的单位向量如果a的单位向量记作a0（图3)，由数乘向量的定义可知图3aaa0或a0.由于零向量的方向不定，在处理平行问题时,零向量与任何一个向量平行正因为如此,关于向量共线的条件,教师要点拨学生做进一步深层探究，让学生思考，

5、若去掉a0这一条件，上述条件成立吗？其目的是通过0与任意向量的平行来加深对向量共线的等价条件的认识在判断两个非零向量是否共线时，只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可，与这两个向量的长度无关在没有指明非零向量的情况下，共线向量可能有以下几种情况：(1）有一个为零向量；(2)两个都为零向量；（3)同向且模相等;（4)同向且模不等；（5）反向且模相等；(6）反向且模不等应注意，这里说向量平行，包含向量基线重合的情形，与两条直线平行的概念有点不同事实上，在高等数学中，重合直线是平行直线的特殊情形也就是说:直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点;而向量的平行既包含没有交点的情况，又包含两个向量

6、在同一条直线上的情形讨论结果：（1）略（2)略轴上向量的坐标及其运算活动：教师与学生一起探究轴上向量这个概念，让学生一定区分开它与数轴的概念的不同这里说的轴是指规定了方向和长度单位的直线与数轴不同的是这里没有规定原点，仅是方向和长度单位如图4。图4已知轴l.取单位向量e，使e的方向与l同方向根据向量平行的条件，对轴上任意向量a，一定存在唯一实数x，使axe.反过来，任意给定一个实数x，我们总能作一个向量axe,使它的长度等于这个实数x的绝对值，方向与实数的符号一致给定单位向量e，能生成与它平行的所有向量的集合xexr这里的单位向量e叫做轴l的基向量,x叫做a在l上的坐标(或数量)x的绝对值等于

7、a的长，当a与e同方向时，x是正数；当a与e反方向时，x是负数例如,3e，2e，则在l上的坐标是3,在l上的坐标是2。于是,在一条轴上，实数与这条轴上的向量建立起一一对应关系至此，我们就可用数值来表示向量这一点特别重要,我们在解析几何初步中已经指出，如果点的位置不能用数值来表示，要使用现代的计算机技术研究图形的性质是不可能的这里，我们奠定了向量的数量化基础，以后我们还要把平面向量、空间向量都数量化、代数化这样，我们就可以用计算器、计算机等现代计算技术进行向量运算了有了以上轴上向量的概念，教师引导学生自然地进行一些公式的推导与运算设ax1e，bx2e，于是：如果ab，则x1x2;反之，如果x1x

8、2,则ab；另外,ab(x1x2）e.这就是说,轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等；轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和设e是轴l上的一个基向量(图5）。的坐标又常用ab表示,这时abe。显然bae，ab是ba绝对值相同，符号相反，即abba0。设e是l上的一单位向量(图5），在l上任取三点a,b,c，则图5，abebceace,（abbc)eace。因为e0，所以abbcac.公式在解析几何初步一章中已经得到，尽管形式非常简单,但极为重要我们已经看到它是我们研究解析几何、三角的基础这里我们应用向量计算精确方便地得到了这个公式有了轴上向量的概念，我们可以用向量的观点,重新认识一下我们

9、在初中学习过的数轴在轴x上选一定点o作为原点，就成为我们学过的数轴（图6)图6设e是轴x的基向量，向量a平行于x轴，以原点o为始点作a,则点p的位置被向量a所唯一确定，由平行向量基本定理知道,存在唯一的实数x，使xe。数值x是点p的位置向量在x轴上的坐标，也就是点p在数轴x上的坐标;反之亦然如图7,如果点p的坐标为3，则点p的位置向量的坐标也为3。图7在数轴x上,已知点a的坐标为x1，点b的坐标为x2(图7），于是由公式,得abaooboaobx2x1。即abx2x1.这就是说，轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标根据公式，又可以得到数轴上两点的距离公式|ab|x2x1|由于数轴是中

10、学阶段第一个数形结合的工具，也是中学阶段最重要的数学概念之一，在这里引导学生重新对以上公式进行推导,提高了学生对这些基本公式的理解和记忆，提高了学生对这些公式的理性认识讨论结果：(1)（2)(3）略思路1例1如图8，mn是abc的中位线,求证：mnbc，且mnbc.图8证明：因为m，n分别是ab,ac边上的中点，所以,（）.所以mnbc，mnbc。点评:解完本例后，让学生总结领悟用向量证明平面几何问题的思想方法.变式训练1已知o、a、b是平面上的三个点，直线ab上有一点c，满足20，则等于(）a2 b2c. d答案：a2。如图9，a，b,c是平面内三个点，且a与b不重合，p是平面内任意一点，若

11、点c在直线ab上，求证:存在实数,使得（1） .图9证明:如图9,因为向量与向量共线,根据向量共线定理,可知。即（）,，(1） .点评：本例给出了判断三点共线的一个方法。例2已知a3e，b2e。试问向量a与b是否平行？并求a|b。解：由b2e,得eb，代入a3e，得ab.因此，a与b平行，且a|b.3已知数轴上三点a，b，c的坐标分别是4，2，6，求,，的坐标和长度(图10）图10解：ab(2)46，|66；bc6(2）4，|44;ca4(6)10，|10|10。1先让学生回顾本节学习的数学知识和方法:向量平行的条件、轴上向量、确定轴上点的位置、基本公式等体会本节学习中用到的思想方法特别是用新

12、学向量知识重新认识过去所学内容，是真正的温故知新，是对原知识的再提高,而不是把新知识与过去知识割裂开来，对学生理性思维的提高具有重大意义2向量及其运算与数及其运算可以类比，这种类比是我们提高思想性的有效手段，在今后的学习中应予以充分的重视,类比是我们学习中伟大的引路人课本本节练习a组2,3,4。1本教案的设计流程符合新课程理念，充分抓住本节教学中的学生探究、猜想、推证等活动,引导学生画出草图帮助理解题意和解决问题由学生探究向量平行的特例,得到向量平行的条件向量共线定理用来判断两个向量是否共线然后对所探究的结果进行运用拓展认识了轴上向量与数轴的不同,重新推导了几个公式2向量具有的几何形式和代数形

13、式的双重身份在本节中得以充分体现，因而成为中学数学知识网络的一个交汇点，由此可看出在中学数学教材中的地位的重要，也成为近几年各地高考命题的重点和热点，教师要引导学生对平面向量中有关知识要点进行归纳整理3本节内容和方法具有丰富的内涵，不同层次的学生在这里都能有不同的提高同时，本内容又是加强学生自主学习、合作学习的最佳平台，应充分利用好本节的教育功能绽放出更为深层的智慧火花一、新课标下教师的角色定位1教师应努力成为数学探究课题的创造者，有比较开阔的数学视野，了解与中学数学知识有关的扩展知识和内在的数学思想，认真思考其中的一些问题,加深对数学的理解,提高数学能力,为指导学生进行数学探究做好充分的准备

14、，并积累指导学生进行数学探究的资源2教师要成为学生进行数学探究的组织者、指导者、合作者教师应该为学生提供较为丰富的数学探究课题的案例和背景材料，引导和帮助而不是代替学生发现和提出探究课题，特别应该鼓励和帮助学生独立地发现和提出问题，指导学生和帮助学生养成查阅相关的参考书籍和资料、在计算机网络上查找和引证资料的习惯在学生需要的时候，教师应该成为学生平等的合作者,教师要有勇气和学生一起进行探究3教师应该根据学生的差异，进行有针对性的指导，鼓励学生创新的同时,允许一部分学生可以在模仿的基础上发挥自己的想象力和创造力，正面鼓励学生的探索精神，肯定学生的创造性劳动，同时也指出存在的问题和不足二、备用习题

15、1设两非零向量e1、e2不共线，且ke1e2与e1ke2共线，则k的值为()a1 b1 c1 d02对判断向量a2e与b2e是否共线？有如下解法：解：a2e，b2e，ba。a与b共线请根据本节所学的共线知识给以评析如果解法有误，请给出正确解法3如图11，已知任意两个非零向量a、b，试作ab，a2b，a3b。你能判断a、b、c三点之间的位置关系吗?为什么?图114根据下列各个小题中的条件，分别判断四边形abcd的形状,并给出证明：（1)；（2）；(3），且|.参考答案：1c2分析：乍看上述解答，真是简单明快然而，仔细研究题目已知，却发现其解答存在问题，这是因为，原题已知中,对向量e并无任何限制,那么就应允许e0，而当e0时，显然，a0，b0，此时,a不符合定理中的条件，且使ba成立的值也不唯一（如1，1，2等均可使ba成立）,故不能应用定理来判断它们是否共线可见，对e0的情况应另法判断才妥综上分析,此题应解答如下:解：（1)当e0时，则a2e0。由于“零向量与任一向量平行”且“平行向量也是共线向量”，此时a与b共线(2)当e0时，则a2e0，b2e0，ba这时满足定理中的a0，及有且只有一个实数（1），使得ba成立a与b共线综合(1)（2)，可知a与b共线3解:如图12，分别作向量、，过点a、c作